Correspondance de Dold ] Kan et formes differentielles

Correspondance de Dold ] Kan et formes differentielles

Max Karoubi*

Mathematiques, Uni

´

´

Communicated by Wilberd_¨an der Kallen

Received September 3, 1996

Ž w x

La correspondance de Dold ] Kan classique cf. 7, Sect. 8.4 par exem- ple est une equivalence entre la categorie des complexes de chaınes . ´ ´ ˆ Ž gradues positivement , notee ´ . ´ C C dans cet article, et celle des groupes abeliens simpliciaux, notee ´ ´ S S . Plus precisement, l’equivalence est definie ´ ´ ´ ´ par le foncteur

F : S S ª C C

qui associe a un groupe abelien simplicial S ` ´ # , le complexe de chaınes C ˆ # defini par ´

C

s F Ker Ž ­

: S

ª S

. .

i)0

Ici, les ­

, i G 0, sont les operateurs face classiques et la differentielle ´ ´ C

ª C

est induite par le premier operateur face ´ ­

. On trouvera dans w x 7 une demonstration de ce theoreme ainsi qu’une description combina- ´ ´ ` toire d’un foncteur E : C C ª S S en sens inverse.

Un exemple typique de cette correspondance est la construction d’un

Ž .

modele ‘‘minimal’’ d’espace d’Eilenberg ` ] Mac Lane K U, n , U etant un ´ groupe abelien quelconque. Celui-ci est associe au complexe qui est trivial ´ ´ en chaque degre, sauf en degre n, ou il est egal a U. ´ ´ ` ´ `

* E-mail address: [email protected].

1

Il revient au meme de considerer le quotient de S ˆ ´

par la somme des images des operateurs de degenerescence, la differentielle etant alors egale a la somme alternee des ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ` ´

Ž w x.

operateurs face cf. 7, p. 266 . ´

618 0021-8693

97 $25.00

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Cependant, dans un article precedent qui utilise notamment la theorie ´ ´ ´ w x

des formes differentielles non commutatives 4 , nous avons montre que ce ´ ´ modele minimal etait insuffisant pour decrire la structure multiplicative de ` ´ ´ la cohomologie et les operations de Steenrod, definies a l’aide de modeles ´ ´ ` ` ou operent divers groupes symetriques. ` ´ ´

Le but de cet article est de construire, dans le cadre des formes differentielles, d’autres foncteurs entre les categories ´ ´ S S et C C qui ont le merite de decrire de maniere plus conceptuelle le foncteur E et des ´ ´ ` foncteurs analogues qui tiennent compte des structures supplementaires ´ definies par les operations cohomologiques. Il complete sur de nombreux ´ ´ `

w x

points les considerations de 2, 4 dont il s’inspire en partie. Enfin, les ´ resultats de cet article nous permettent de relier les classes caracteris- ´ ´

w x w x

tiques en K-theorie algebrique 3, 6 et le regulateur de Borel 1 , defini ´ ´ ´ ´ dans un contexte de geometrie differentielle. ´ ´ ´

1. MODELES SIMPLICIAUX DES ESPACES ` D’EILENBERG ] MAC LANE

w

1.1. Reprenons brievement les considerations developpees dans 4, Sects. ` ´ ´ ´ x

1 et 2 . Si R est un anneau commutatif quelconque et A une R-algebre ` Ž unitaire, mais non necessairement commutative , on peut definir l’algebre ´ . ´ `

Ž .

differentielle graduee ´ ´ V * A des formes differentielles non commutatives ´ Ž .

sur A, ainsi que le sous-complexe L * A des formes diffferentielles ´ antisymetriques. Si A est commutative, l’algebre des formes differentielles ´ ` ´

U

Ž . commutati _¨ es, analogues aux formes de de Rham, est notee ´ V

A et se

U

Ž .

Ž .

definit de maniere parallele. En particulier, ´ ` ` V

A s A et V

A est la

1

Ž .

nieme puissance exterieure de ` ´ V

A en tant que A-module. Notons que

1

Ž .

V

A s’identifie au premier groupe d’homologie de Hochschild de A a ` coefficients dans A.

Dans cet article, nous nous interessons plus particulierement au cas ou ´ ` `

w x

A est l’algebre quotient R x , . . . , x `

r I, I etant l’ideal principal engendre ´ ´ ´ par x

q ??? q x

y 1, algebre que nous noterons A , ainsi qu’a l’algebre `

` `

rq1

Ž .

R fonctions definies sur le r-simplexe standard a valeurs dans R et ´ ` que nous noterons A . Cette derniere est isomorphe au quotient de A

`

Ž .

par l’ideal engendre par les ´ ´ x

y x et x x pour i

/ j. L’algebre des ` formes differentielles non commutatives sur l’anneau A ´

s R

s’identi- fie donc a celle des cochaınes normalisees standard. ` ˆ ´

w x w x

En fait, les correspondances r ¬ A

et r ¬ A

definissent des ´ algebres simpliciales auxquelles nous pouvons appliquer les foncteurs ` V *, L * ou V

pour obtenir des complexes simpliciaux. En particulier, les

Ž . Ž . Ž . Ž

cocycles de degre n des complexes ´ V * A ,

V * A

et L * A

que nous

Ž . Ž . Ž . .

noterons aussi V * D

, C* D

et L * D

respectivement definissent trois ´

Ž .

modeles de l’espace d’Eilenberg ` ] Mac Lane K R, n , comme cela est

w x

Ž . Ž

montre dans 4 . Le modele minimal de K R, n de l’introduction pour ´ `

. w x Ž .

U s R est associe au troisieme modele r ´ ` ` ¬ L * D

. Plus precisement, ´ ´

Ž . Ž .

K R, n s’identifie au groupe des cocycles de degre n du complexe ´ L * A

Ž .

s L * D

, r etant la dimension simpliciale: cf. le paragraphe 1.3 pour plus ´ de precisions. ´

U

Ž .

Si Q ; R, les cocycles de degre n du complexe ´ V

A

definissent de ´

Ž . w x

meme un quatrieme modele de K R, n a la de Rham ˆ ` ` ` ] Sullivan; cf. 2 par

U

Ž .

Ž .

exemple. Si C ; R, on peut remplacer V

A

s V

D

par l’algebre ` des formes differentielles C ´

usuelles a valeurs complexes sur le simplexe ` geometrique ´ ´ D

. S’il n’y a pas de risque de confusion, on la notera aussi

U

Ž . V

D

.

1.2 Les modules differentiels gradues simpliciaux ainsi definis sont ´ ´ ´ w x

relies entre eux par des morphismes explicites dans 4 : ´ ´ L * Ž D

. ª C* Ž D

. ¤ V * Ž D

. ª V

Ž D

. . w x

Le foncteur X, ? , ou X est un ensemble simplicial et ou le point ` ` d’interrogation ? est un des trois premiers modules differentiels gradues ´ ´

Ž . Ž . Ž .

simpliciaux L * D# , C* D# ou V * D# , definit un complexe dont la ´ cohomologie est canoniquement isomorphe a la cohomologie usuelle `

Ž .

H * X; R . Si Q ; R, la meme assertion est vraie pour le quatrieme ˆ `

U

Ž . module V

D# .

1.3 Pour fixer les idees, supposons que R ´ s Z. D’apres ce qui precede, ` ´ `

n

Ž .

L D

est le Z-module libre forme des cochaınes normalisees antisymetri- ´ ˆ ´ ´ ques de degre n sur le simplexe standard ´ D

. Une telle cochaıne est une ˆ

Ž . 4

fonction f i , . . . , i

g Z, avec i

g 0, 1, . . . , r s D

, telle que

Ž . 1 f s 0 si deux indices consecutifs i et i ´

sont egaux condition ´ Ž de normalisation .

Ž . 2 f i Ž

, . . . , i

. s «

f i , . . . , i Ž

. si s est une permutation de

Ž .

signature «

condition d’antisymetrie . ´

Ž Noter que L D

Ž

. est nul pour n ) r . En particulier, le ‘‘cocycle volume’’ .

r

Ž . Ž .

est l’element ´ ´ v

de L D

caracterise par l’identite ´ ´ ´ v

0, 1, . . . , r s 1. Ce

ry1

Ž .

cocycle est le cobord de x

g L D

, defini ainsi: ´ Ž . 1 x

Ž i , . . . , i

. s 0 si i , . . . , i

4 / 1, . . . , r 4 Ž . 2 x

Ž 1, 2, . . . , r . s 1.

2

En fait, un examen attentif des considerations de 4 montre plus generalement que la ´

´ ´

structure d’anneau de R n’est pas indispensable pour ces definitions. Ainsi, R peut etre un ´ ˆ

groupe abelien quelconque. ´

1.4 Apres ces rappels relativement classiques, considerons un complexe ` ´ de chaınes C ˆ # , objet de la categorie ´ C C. On peut lui associer un double complexe simplicial du deuxieme quadrant defini par ` ´

D

Ž D

. s L

Ž D

. m

C .

Ž .

Les deux differentielles diminuant p ou q d’une unite sont induites par ´ ´ les differentielles sur ´ L

* et sur C # . A ce double complexe est associe le ´ complexe simplicial simple defini par ´

C

Ž D

. s [ D

Ž D

. s [ L

Ž D

. m

C

pqqsn qGn

ou n ` g Z. On s’interesse plus particulierement au sous-groupe, note ´ ` ´

Ž .

E C # , forme des chaınes fermees de degre n ´ ˆ ´ ´ s 0 de ce complexe: il est

q

Ž .

inclus dans la somme directe des L D

m

C . Sa structure de groupe

abelien simplicial est induite par les operateurs face et degenerescence sur ´ ´ ´ ´ ´ les D

.

1.5. T

. Le foncteur E : C C ª S S est in _¨ erse a isomorphisme ` canonique pres de l’equi ` ´ _¨ alence de categories F : ´ S S ª C C definie dans l’intro- ´ duction.

Demonstration. ´ Un morphisme naturel w : C

ª C

Ž D

. est defini par la formule ´

r ry1

w Ž . c s y Ž 1 . v

m c q y Ž 1 . x

m dc

ou ` v

et x

sont detailles en 1.3. Il est clair que ´ ´ w Ž . c est un cycle et

Ž .

appartient donc a E C ` # . En outre, grace au choix des cochaınes ˆ ˆ v

et x

, l’image de w appartient a l’intersection des noyaux des operateurs face ` ´ ­

, i s 1, . . . , r. Pour verifier que ´ w induit bien un isomorphisme entre C # et

Ž Ž ..

F E C # , il suffit de se restreindre au cas ou C ` # est concentre en un seul ´ degre, car les foncteurs F et E sont exacts et commutent aux limites ´

r

Ž .

inductives. Le resultat decoule alors immediatement du fait que ´ ´ ´ L D

est un Z-module libre de rang 1.

2. LES AUTRES CORRESPONDANCES

2.1. Remarquons d’abord qu’il existe un autre foncteur naturel F 9 : S

S ª C C. Il associe au groupe abelien simplicial S ´ # le complexe definis- ´

Ž .

sant l’homologie de S # somme alternee des operateurs face . On a des ´ ´

Ž . Ž . Ž . Ž .

morphismes evidents F S ´ # ª F 9 S # et F 9 S # ª F S # qui induisent

Ž .

des isomorphismes en homologie; en fait F S # est facteur direct naturel

Ž . Ž w x .

de F 9 S # cf. 7, p. 266 , par exemple .

D’autre part, la description du foncteur E en 1.4 a utilise les cochaınes ´ ˆ normalisees antisymetriques. L’inconvenient de ces cochaınes est leur non ´ ´ ´ ˆ stabilite vis-a-vis du cup-produit. Il est donc naturel de remplacer dans la ´ `

Ž . Ž . Ž . Ž

definition du foncteur E le complexe ´ L * D

par C* D

ou V * D

et

U

Ž . .

meme ˆ V

D

si Q ; R , dont la structure est plus riche. Ainsi, a partir ` d’un complexe de chaınes C , nous pouvons definir parallelement des ˆ

´ `

V

Ž . Ž

Ž .

Ž ..

groupes abeliens simpliciaux analogues C ´

D

resp. C

D

, C

D

. Les morphismes

L * Ž D

. ª C* Ž D

. ¤ V * Ž D

. ª V

Ž D

. w x

explicites en 4 induisent des morphismes de groupes abeliens simpliciaux: ´ ´ C

Ž D

. ª C

Ž D

. ¤ C

Ž D

. ª C

Ž D

. .

2.2. T

. Les fleches precedentes sont des equi ` ´ ´ ´ <sub>¨</sub> alences d’homo- topie entre groupes abeliens simpliciaux a condition de supposer que Q ´ Ž ` ; R pour le dernier morphisme . .

Demonstration. ´ Puisque les morphismes commutent aux limites induc- tives et que l’homotopie des objets est l’homologie des complexes corre- spondants, il suffit de verifier le theoreme pour des complexes concentres ´ ´ ` ´ en un seul degre, par application repetee du lemme des 5. Nous nous ´ ´ ´ ´

w x

retrouvons ainsi dans la situation detaillee dans 4 , ou le theoreme est ´ ´ ` ´ `

Ž .

demontre modeles simpliciaux d’espaces d’Eilenberg ´ ´ ` ] Mac Lane .

2.3. Il peut etre interessant de construire l’analogue des cochaınes ˆ ´ ˆ v

et

Ž . w x

x

dans le complexe V * D

. Ces formes sont explicitees dans 5 : elles ´ sont definies sur le simplexe type ´ D

et verifient les proprietes suivants ´ ´ ´ Ž D

etant consideree comme la 0-face de ´ ´ ´ D

. :

v

N

s 0; v

s d x

; x

N

s v

,

r ry1

la restriction de x

aux autres faces de D

´ etant egale a 0. La forme ´ ` v

Ž

. est choisie en sorte qu’elle engendre le groupe d’homotopie p

Z f

r

Ž .

H D

, ­D

f Z.

De maniere plus precise, si r ` ´ s 1, nous pouvons poser x

s x ,

v

s dx ,

4

x etant la coordonnee locale de

´ ´ D

s 0, 1 . Si v

et x

sont donnes, ´ definissons ´ v ˜

de degre r sur ´ D

en sorte que ses restrictions a toutes ` les faces soient egales a 0, sauf celle a la 0-face qui est egale a ´ ` ` ´ ` v

Ž cf.

w 5, Sect. 2.3 . On pose alors x . x

s v ˜

et v

s d x

. Il est clair que

Ž .

le couple x

, v

satisfait aux conditions requises au niveau r q 1.

Avec les notations standard, nous avons par exemple

4

x

s x ,

v

s dx sur

D

s 0, 1

4

x

s y x dx

q x dx ,

v

s y dx dx

q dx dx sur

D

s 0, 1, 2

4

D s’identifiant a la 0-face 1, 2

Ž

` .

etc.

Remarquons que l’integrale de ´ v

sur le simplexe standard D

est egale ´ a 1 en raison de la formule de Stokes. Dans le contexte du complexe de

`

de Rham classique et avec les notations de l’algebre exterieure, un autre ` ´ choix des formes differentielles ´ v

et x

est le suivant.

v

s r ! dx

n dx

n ??? n dx ,

n iy1

x

s Ž r y 1 ! . Ý Ž y 1 . x dx

n dx

n ??? n dx ˆ

n ??? n dx .

Comme dans le Theoreme 1.5, les formes ´ ` v

et x

, dans un contexte commutatif aussi bien que non commutatif, permettent d’expliciter un quasi-isomorphisme entre le foncteur identique et le foncteur compose ´

Ž .

Ž .

Ž .

Ž .

E.F ou E C ` # est un des trois modeles C `

D

, C

D

ou C

D

.

c

Ž .

Ž .

2.4. Revenons a la definition des complexes C ` ´

D

et C

D

definis ´

Ž . Ž .

en 2.1 et associes aux modeles C* ´ ` D

et V * D

. Dans ces deux cas, nous pouvons definir des variantes en remplac ´ ¸ ant la somme directe des D

par leur produit direct, soit

D Ž D . .

Ł

pqqsn

c

Ž .

Ž .

Notons C

D

et C

D

respectivement les nouveaux groupes abeliens ´ simpliciaux obtenus par cette substitution.

e

Ž .

Ž .

2.5. T

. Les morphismes d’inclusion C

D

ª C

D

et

V

Ž .

Ž .

C

D

ª C

D

induisent des equi ´ _¨ alences d’homotopie entre les groupes abeliens simpliciaux correspondants. ´

Demonstration. ´ Le complexe de chaınes C ˆ # peut s’ecrire comme la ´ w x

limite projecti _¨ e des complexes ‘‘tronques’’ C ´ # s definis par ´

d_s

0 ª Im d

ª C

ª C

ª ??? ª C

ª 0

dont l’homologie en chaque degre satisfait a la condition de Mittag ´ ` ] Lef-

c

Ž . w x

Ž . w x

fler. Il en resulte que les complexes correspondants C ´

D

s s C

D

s

3

Sur le simplexe geometrique defini par l’equation x ´ ´ ´ ´

1.

V

Ž . w x

Ž . w x

et C

D

s s C

D

s ont des homologies qui satisfont aussi a la ` w x

condition de Mittag ] Leffler puisque c’est celle de C # s . L’homologie de

s

Ž . Ž

Ž ..

C

D# resp. C

D# est ainsi la limite projective des homologies des complexes precedents, d’ou le theoreme. ´ ´ ` ´ `

w x < <

2.6. Notation. En suivant C. Weibel 3 , nous noterons C # le groupe

Ž .

abelien simplicial E C ´ # associe au complexe de chaınes C ´ ˆ # . Il convient de noter que cette notation est ambigue si nous choisissons un foncteur E different de celui de Dold ´ ] Kan. Dans le paragraphe suivant, nous

Ž .

Ž .

choisirons le modele E C ` # s C

D# explicite en 2.4; il sera le plus ´ commode pour notre propos.

3. CORRESPONDANCE DE DOLD ] KAN ET HOMOLOGIE DES GROUPES

Ž .

3.1. Soit G un groupe discret et soit C # s C # EG le complexe d’Eilenberg ] Mac Lane ‘‘homogene’’ definissant l’homologie ` ´

de BG s EG r G lorsqu’on quotiente par l’action de G. Nous allons definir une ´ application simpliciale equi ´ _¨ ariante remarquable

< <

F : EG ª C #

< <

la construction C # etant celle explicitee en 2.4 ´ ´ ] 2.6 a l’aide du complexe ` de de Rham non-commutatif et en considerant le produit des D ´

pour p q q s 0. De maniere precise, a un element ‘‘homogene’’ g ` ´ ` ´ ´ ` s Ž g , g , . . . , g

. de degre r de EG est associee la serie formelle suivante: ´ ´ ´

F Ž g . s Ý x

m g

q Ý x dx

m Ž g , g

.

i Ži , j.

q Ý x dx dx

m Ž g , g , g

. q ???

Ži , j, k. V

Ž .

qui est definie dans C ´

D

. Ici, les x dx , x dx dx , etc., sont les formes

differentielles non commutatives standard sur ´ D

associees aux coor- ´ donnees barycentriques x . ´

Ž .

Un calcul immediat montre que ´ F g est bien un cycle de degre 0 dans ´

Ž .

Ž .

le complexe defini au cran n par ´ Ł

D

D

s Ł

V D

m

C . Examinons maintenant la compatibilite vis-a-vis des structures

´ ` simpliciales. Effectuer l’operation face ´ ­

sur EG revient a omettre ` l’element g , ce qui se traduit par l’equation x ´ ´

´

s 0 dans le membre de droite de la formule precedente. De meme, l’operation de degenerescence ´ ´ ˆ ´ ´ ´ ´

4

A coefficients dans un groupe abelien quelconque R. ` ´

s revient a dupliquer l’element g , ce qui se traduit par la substitution de

` ´ ´

x en x

q x

et le decalage des coordonnees x suivantes. ´ ´

3.2. T

. L’application simpliciale precedente ´ ´ F , quotientee par ´ l’action de G, est homotope a l’inclusion de BG dans le groupe abelien ` ´ simplicial engendre par BG. ´

Ž .

Demonstration. ´ Le complexe C # EG definit une resolution libre de Z ´ ´

w x Ž .

en tant que Z G -module grace a l’augmentation evidente C EG ˆ ` ´

ª Z.

V

Ž .

Par ailleurs, les C

D

, r s 0, 1, . . . constituent une resolution acyclique ´

w x

Ž .

de Z en tant que Z G -module, l’augmentation C

D

ª Z associant a `

V

Ž . 1 m g le nombre 1. En effet, chaque element du complexe C ´ ´

D# est une

w x

limite projective de Z G -modules libres; l’acyclicite resulte donc de l’argu- ´ ´ ment de Mittag ] Leffler utilise en 2.5. Puisque ´ F est un morphisme de resolutions compatible avec l’augmentation, il induit ainsi un isomor- ´ phisme

( _V

H BG

Ž . ª H C

Ž

Ž D# . r G . .

Par ailleurs, les differents isomorphismes etablis au §2 montrent que ´ ´

Ž

Ž . . Ž .

H C

D# r G est canoniquement isomorphe a H BG . Le resultat final `

´

Ž .

est ainsi un automorphisme naturel de H BG . D’apres un argument deja

` ´ ` w x

utilise en 3 grace au theoreme de Kan ´ ˆ ´ ` ] Thurston, un tel automorphisme est necessairement de la forme u ´ ¬ l

u, ou ` l

est un scalaire indepen- ´ dant de G. Pour montrer que l

s 1, il suffit d’examiner le cas particulier

r

Ž .

du groupe G s Z . Soit en effet t le caractere sur H G defini par `

´

Ž . Ž .

le cocyle normalise antisymetrique ´ ´ x , . . . , x

¬ t x , . . . , x , egal a 1

´ `

Ž .

sur une suite ordonnee ´ g , . . . , g

de generateurs du groupe. Soit I : ´ ´

r

Ž .

V D

ª Q l’integrale usuelle sur le simplexe ´ D

. En appliquant I m t Ž .

a l’expression de F g , on trouve precisement

` ´ ´

r ! H t Ž g , . . . , g

. s 1.

Dr

Ce calcul acheve la demonstration du theoreme. ` ´ ´ `

3.3. Remarque. En cohomologie rationnelle ou complexe, nous pou- vons remplacer le complexe de de Rham non commutatif par le complexe

Ž .

de de Rham ] Sullivan V * D

construit a l’aide des formes differentielles ` ´

i

Ž .

exterieures. La serie definissant ´ ´ ´ F en 3.1 devient alors finie car V

D

s 0 pour i ) r.

REFERENCES

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