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Méthode FDTD d’ordre élevé pour la simulation
électromagnétique dans le domaine temporel
N. Deymier, T. Volpert, V. Mouysset, X. Ferrières
To cite this version:
N. Deymier, T. Volpert, V. Mouysset, X. Ferrières. Méthode FDTD d’ordre élevé pour la simulation
électromagnétique dans le domaine temporel. 17ème Colloque International et Exposition sur la
Compatibilité ÉlectroMagnétique (CEM 2014), Jun 2014, CLERMONT-FERRAND, France.
�hal-01111400�
17eme` Colloque International et Exposition sur la Compatibilité ÉlectroMagnétique (CEM 2014)
Méthode FDTD d’ordre élevé pour la simulation électromagnétique dans le
domaine temporel
N. Deymier
1, T. Volpert
2, V. Mouysset
3, X. Ferrieres
4 1GERAC, Gramat, nicolas.deymier@gerac.com2ONERA-DEMR, Toulouse, thibault.volpert@onera.fr 3ONERA-DTIM, Toulouse, vincent.mouysset@onera.fr
4ONERA-DEMR, Toulouse, xavier.ferrieres@onera.fr
Résumé. Dans ce papier, nous présentons une nouvelle méthode différences finies en ordre élevé (FDTDOE) pour résoudre les équations de Maxwell dans le do-maine temporel sur maillage cartésien, et dans laque-lle un formalisme de fil mince oblique a été introduit. Actuellement, la méthode temporelle la plus répandue pour effectuer des études numériques est basée sur le schéma de Yee (FDTD), qui peut présenter des erreurs importantes liées à la dispersion numérique du schéma. L’utilisation de la méthode FDTDOE permet de réduire considérablement ces erreurs de dispersion, et à précision égale, avec la méthode FDTD, nécessite moins de degrés de liberté, pour obtenir une solution similaire. Pour aug-menter les performances de la méthode nous montrons aussi comment introduire des raffinements locaux dans le schéma. L’approche choisie pour l’introduction de ceux-ci permettra aussi de faire des couplages avec des méthodes de type Galerkin Discontinu (GD).
I. INTRODUCTION
La simulation numérique dans le domaine électromagné-tique prend une place de plus en plus prépondérante. Pour de nombreux domaines (aéronautique, militaire, santé, télécommunication, etc), les études électromagnétiques requièrent des analyses toujours plus complexes et pré-cises, pour des scènes de calcul de taille toujours plus grande. Pour répondre à ces enjeux, nous proposons une montée en ordre des schémas numériques résolvant les équations de Maxwell. En particulier, dans ce papier, nous décrivons un schéma différences finies d’ordre élevé. Nous montrons que cette méthode permet de réduire considérablement les erreurs de dispersion numérique du schéma de Yee [1].
Parmi les potentiels de cette méthode, nous avons aussi la possibilité de choisir l’ordre d’approximation spatiale dans les 3 directions et ceci pour chaque cellule. Cette particularité permet de réduire les coûts de temps calcul et mémoire tout en gardant une bonne précision de la solution.
Pour approcher au mieux les détails d’une géométrie, nous montrons ensuite comment introduire des raffine-ments locaux à la méthode. Cette technique pourrait aussi
être utilisée pour coupler cette méthode à une approche GD [3].
II. FDTD d’ORDRE ÉLEVÉ II.1. FORMULATION
Nous considérons dans le problème continu de Maxwell que n × E = 0 à la frontière du domaine Ω (conforme avec des conditions PML pour un domaine infini). On résout alors le problème variationnel (1) suivant :
Z Ω ∂tE · φ = Z Ω H · ∇ × φ (1) Z Ω ∂tH · ψ = − Z Ω E · ∇ × ψ ∀φ ∈ H1 0(rot, Ω) et ψ ∈ H1(rot, Ω).
Pour résoudre ce problème, nous approximons les champs E et H en des points de quadrature de Gauss et Gauss-Lobatto sur un ensemble de fonctions de base définies par des polynômes de Lagrange comme décrit sur la figure1. En particulier, l’ordre 0 en espace de ce schéma correspond au schéma de Yee.
Fig. 1. Cellule du schéma en ordre élevé
II.2. Stabilité
L’étude de stabilité du schéma donne un critère qui dépend à la fois de l’ordre, du pas d’espace et de la vitesse de propagation dans le milieu cmin. Plus l’ordre
sera élevé, plus le critère sera restrictif. A l’ordre 0, nous retrouvons la condition CFL du schéma de Yee. La
condition de stabilité (2) s’écrit sous la forme: ∆t < 2 min K ∆h,K cmin q λmax Mˆ −1 2 K RˆKMˆ −1 2 K , (2)
où K est l’ensemble des cellules partitionnant le domaine, ∆h,Kle pas d’espace minimal selon les 3 dimensions de
la cellule K et λmax Mˆ −1 2 K RˆKMˆ −1 2 K le rayon spectral
du produit des matrices de masse et de rigidité sur l’élément de référence ˆK. La valeur de ce rayon spectral ne dépend que des ordres d’approximation rKde la cellule
K, et chacune peut donc être préalablement calculée et stockée dans une matrice CF L(rK). Ainsi, le calcul de
la condition de stabilité (2) se présente sous une forme simplifiée (3) : ∆t < 2 min K CF L(rK) ∆h,K cmin . (3) II.3. Formalisme de fil mince oblique
Dans cette méthode, nous avons aussi introduit un for-malisme de fil mince oblique tenant compte de l’ordre élevé du schéma. La difficulté réside dans l’emploi d’un ordre spatial élevé et variable selon les directions pour le calcul des champs. La méthode [5] proposée fournit de bons résultats (figure2).
Fig. 2. Comparaison FDTDOE/MoM sur fil oblique
III. RÉDUCTION DE LA DISPERSION
Le point fort de la méthode FDTDOE est le gain en temps CPU et en mémoire pour le calcul d’une solution avec une précision élevée. Cet avantage est issu d’une judicieuse combinaison entre une bonne condensation de la matrice de masse et un stockage minimal pour la matrice de rigidité. Ainsi, cette méthode présente les avantages de la méthode FDTD [2], avec la possibilité d’augmenter l’ordre d’approximation lorsque cela est nécessaire. Cette méthode est particulièrement efficace pour traiter les problèmes qui nécessitent un temps d’observation long. En particulier, pour le calcul d’un mode de cavité sur un temps de 6000λ/c0s, nous avons pu constater une légère
erreur de dispersion, et aucune erreur de dissipation, alors
0 50 100 150 200 250 300 nb Lambdas 1 10 100 Erreur Dephasage en % Ordre 0 FDTD Ordre 1 Ordre 2 Ordre 3 Ordre 4 Ordre 5
Evolution de l’erreur de dispersion en fonction du nb Lambdas
pour un pas de maillage fixe
Fig. 3. Erreur de dispersion/déphasage sur la simulation d’un mode de cavité
que le schéma de Yee conduit à une erreur de dispersion importante aux alentours de 100 ∼ 200λ/c0 s.
Nous avons étudié l’évolution au cours du temps d’un mode TE dans une cavité d’un mètre cube. Nous avons comparé la méthode FDTDOE avec la méthode FDTD et une autre méthode d’ordre élevé, un formalisme Galerkin Discontinu (GD). La figure 4 illustre le phénomène de déphasage au cours du temps de la méthode FDTD, tandis que les méthodes d’ordres élevé conservent une bonne erreur de dispersion.
Fig. 4. Évolution d’un mode de cavité au cours du temps De plus, les temps de calcul (table 1. ) sont plus avantageux pour les méthodes en ordre élevé.
Table 1. Temps CPU
Méthode Maillage Temps FDTD 120x120x120 184s FDTDOE Q3 5x5x5 7s GD Q3 5x5x5 24s
IV. STRATÉGIE DE RAFFINEMENT LOCAL Les performances du schéma FDTDOE en temps CPU et en précision sur la solution sont obtenues avec la
montée en ordre spatial. En effet, il est connu que le fait d’augmenter l’approximation spatiale diminue la CFL, et donc le pas temporel, et accroît la précision. Cependant, pour être efficace en temps CPU et en précision, la montée en ordre requiert la possibilité d’utiliser des pas d’espace plus importants. La figure5illustre la position des degrés de liberté pour une cellule d’ordre 2 et son pendant FDTD de 9 mailles.
Fig. 5. Cellules du schéma en ordre élevé VS schéma de Yee en 2D
Les contraintes de la géométrie ne permettent pas toujours de privilégier une montée en ordre sur l’ensemble du maillage. Nous présentons deux méthodes pour con-server les avantages de la méthode, le mixage des ordres d’approximation dans chaque direction et une technique de raffinement local en ordre (p).
IV.1. Raffinement local par direction
De par le potentiel de la méthode, on peut facilement définir pour chaque cellule et dans chaque direction un pas d’approximation différent. Ceci permet d’avoir d’importants raffinements locaux tout en conservant une bonne précision de la solution. Néanmoins, cette approche nous oblige à avoir des zones de raffinement par direc-tion, ce qui reste contraignant, mais très intéressant pour certains problèmes, comme la propagation à l’intérieur de bâtiments, figure6.
Fig. 6. Raffinement par direction
Un calcul sur la pénétration d’une onde incidente dans une pièce de ce bâtiment illustre l’intérêt d’utiliser des raffinements locaux et des pas d’approximation différents selon les directions. En effet, pour une solution identique (figure7), le temps de calcul est réduit de 25% ou divisé par 3 selon l’étendue des ordres spatiaux.
5e-08 1e-07 1,5e-07 Temps (s) -30 -20 -10 0 10 20 30 40 champ E composant x (V/m) Gorf3D (FDTD) Lambda/10 ElFiC (FDTDoe) Lambda/8 ElFiC (FDTDoe) Lambda/6
Comparaison FDTD vs FDTDoe
Onde plane sur batiment
Fig. 7. Calculs avec un raffinement par direction
IV.2. Raffinement local en p
Nous proposons d’introduire une stratégie de raffinement local non conforme par couplage de la même méthode FDTDOE sur deux maillages différents, comme illustré sur la figure 8.
Pour réaliser cela, nous modifions localement, à la fron-tière des deux zones, la formulation variationnelle (1) en rajoutant des termes de saut : α[H × n] et β[E × n] respectivement sur la première et la deuxième équation, avec u × n = u2 − u1, où u1 est la solution à la
frontière sur le premier maillage et u2sur le second. Pour
assurer la stabilité du schéma numérique, la conservation de l’énergie est garantie sur le problème global par le choix unique α = 1/2 et β = −1/2 ; et le nouveau critère de stabilité (4) se présente sous la forme :
∆t < 2 min i,Ki CF L(rKi) + CF Lhyb(rKi) ∆h,K i cmin . (4)
où i désigne les zones de raffinements locaux Ωi du
domaine, et CF Lhyb(rK) =λmax Mˆ −1 2 K SˆKMˆ −1 2 K −1 le rayon spectral du produit des matrices de masse et des sauts des champs électriques frontières, sur l’élément de référence ˆK. La matrice SˆK est creuse et ne dépend
que de l’ordre d’approximation rK, et la valeur du rayon
spectral peut donc être préalablement stockée pour chaque ordre.
Le schéma de la figure 8 décrit un guide d’onde présen-tant un fort contraste d’impédance entre deux zones : epsr = 1 et epsr = 80. Chaque zone est maillée en fonction de la vitesse du milieu. La correspondance de la grille est maintenue, mais le choix des ordres d’approximation entre les deux domaines ne garantit plus la continuité des fonctions de base entre les deux zones. La méthode décrite précédemment est appliquée pour coupler les domaines.
Les figures 9 et 10 présentent la solution calculée pour deux étendues d’ordres spatiaux. Les résultats sont con-cluants, les comparaisons des calculs pour cette méthode VS un ordre fixe ou VS un ordre variable par direction sont homogènes.
Fig. 8. Raffinement local en p
Fig. 9. Ordre 3 VS raffinement local O1/O3
Fig. 10. Ordre 3/5 VS raffinement local O1/O3/O5
Pour approcher des géométries courbes restreintes à une partie du domaine de calcul, on peut envisager d’effectuer le même type d’hybridation avec du GD, qui conduira à d’autres valeurs pour α et β. Pour améliorer les perfor-mances du schéma, nous pouvons adapter une stratégie récursive de pas de temps local [4] comme cela a été fait en GD.
V. CONCLUSION
Nous avons présenté une méthode FDTD d’ordre élevé, sa condition de stabilité, ses intérêts en comparaison des schémas de Yee et d’une méthode GD. Nous avons proposé d’exploiter ce schéma en utilisant un ordre d’approximation spatial variable dans chaque direction. Nous avons ensuite proposé une méthode de raffinement
local non conforme permettant d’améliorer la prise en compte de détails dans la géométrie, et pour laquelle une stratégie de pas de temps local pourrait être mise en œuvre.
Une stratégie de raffinement local en pas d’espace est en cours d’étude pour compléter le raffinement local en ordre.
REFERENCES
[1] K.S. Yee, “Numerical solution of initial bound-ary value problems involving Maxwell’s equations isotropic media”. IEEE Trans. Antennas Propagat, Vol. 14, No. 3, pp. 302-307, May 1966.
[2] A. Taflove and S. C. Hagness,“Computational Elec-trodynamics: The Finite-Difference Time Domain Method”, 2nd ed. Norwood, MA: Artech.
[3] S. Pernet, “Etude de méthodes d’ordre élevé pour résoudre les équations de Maxwell dans le domaine temporel. Application à la réduction et à la com-patibilité électromagnétique”. PhD Thesis, Université Paris Dauphine-Paris IX- U.F.R. Mathématiques de la décision, 2004.
[4] E. Montseny, S. Pernet, X. Ferrieres, and G. Cohen. “Dissipative terms and local time-stepping improve-ments in a spatial high order Discontinuous Galerkin scheme for the time-domain Maxwell equations”. Journal of Computational Physics, 227(14): 6795-6820, 2008.
[5] T.Volpert, X. Ferrieres,“High Precision Method to Solve the Maxwell Equation in the Time Domain Adapted to Structured Meshes”. ACES 2013, March 24-28, 2013, Monterey, California USA
