2. Loi de Biot et Savart pour un circuit filiforme

ÉM.V - CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE

1. Densité de courant

• On se limite ici aux champs magnétostatiques créés par des courants per- manents (pour des circuits immobiles parcourus par des courants continus).

• De même quʼon décrit la répartition des charges par une “densité volumique de charge” : ρ =

!

dQ

d" , on peut décrire la “répartition” du courant à travers la section dʼun conducteur par une “densité de courant” :

!

j =

!

"_i <v_i >

#

que le courant à travers la section dʼun conducteur soit : I =

!

j •dS

""

◊ remarque : on ajoute constructivement les contributions des porteurs de charge positifs et négatifs.

• On se limite ici à lʼétude de circuits “filiformes” (on ignore la répartition du courant, donc l'étude est moins approfondie que celle de lʼélectrostatique).

2. Loi de Biot et Savart pour un circuit filiforme

• Pour un circuit (fermé) filiforme orienté C, parcouru par un courant I constant (on oriente le circuit dans le sens du courant), le champ magnétique créé en un point M peut sʼécrire (loi de Biot et Savart) :

!

B =

!

µ₀ 4"

I

#

r²

$

avec :

!

d! ⁼

!

dOP “élément infinitésimal du circuit” ; r = PM ;

!

u_r =

!

PM r ^; µ₀ =

!

1

"₀c^{2 = 4π.10}

-7 H.m^-1 “perméabilité magnétique du vide”.

• À cause du produit vectoriel, la contribution

!

dB =

!

µ₀ 4"

I

#

r² à lʼintégrale est orthoradiale (la contribution analogue en électrostatique est radiale).

De ce fait, le champ magnétique

!

B est un “pseudo-vecteur” ; cʼest-à-dire que, pour une symétrie plane, il est transformé en lʼopposé de son “symétrique”

géométrique (de même quʼun “vecteur surface”

!

S).

3. Application au calcul du champ magnétique 3.1. Fil rectiligne “infini”

• En plus du problème de “lʼinfini”, un fil rectiligne infini nʼest pas un circuit (fermé) ; a priori, on ne peut donc pas lui appliquer la loi de Biot et Savart.

En réalité, le modèle du fil recti- ligne infini représente une portion rectiligne dʼun circuit dont on limite lʼétude à de faibles distances, de telle sorte que le “reste” (non rectiligne) du circuit ait un effet négligeable.

de lʼaxe, et par translation selon lʼaxe, conduit à utiliser des coordonnées cylindriques.

Lʼexpression algébrique des coordonnées du champ en un point M ne peut alors dépendre que de la distance R entre le fil et le point M.

En outre, puisque chaque contribution :

!

dB =

!

µ₀ 4"

I

#

r^{2 =}

!

µ₀

I

4"r^{2 cos(α)}

!

u_"

est perpendiculaire au plan défini par le fil et M, alors il en est de même pour

!

B total.

On peut ainsi écrire en coordonnées cylindriques :

!

B = B_θ(R)

!

u_".

Les lignes de champ sont donc des cercles perpendiculaires au fil et cen- trés sur lui ; elles sont orientées dans le sens de rotation positif par rapport au sens du courant.

◊ remarque : le fil et M sont invariants par symétrie selon le plan qu'ils définis- sent, donc

!

B doit lʼêtre aussi ; ainsi

!

B  B_R

!

u_R + B_θ

!

u_" + B_z

!

u_z (pseudo- vecteur représenté par un vecteur) est identique à lʼopposé du vecteur symé- trique :

!

B =

S

!

B)  -

S

!

u_R + B_θ

!

u_" + B_z

!

u_z ) = - B_R

!

u_R + B_θ

!

u_" - B_z

!

u_z ; on peut conclure que B_R et B_z doivent être nulles.

• On peut intégrer : dB_θ =

!

dB•u_" =

!

µ₀

I

!

d! cos(")

r^{2 avec :} r =

!

R² +z² ; cos(α) =

!

R

r ; z = R tan(α) ; dℓ = dz.

On obtient : B_θ =

!

µ₀

I

!

R

(R² +z²)^{3/ 2} dz

"#

$

!

µ₀

I

!

cos(") R

#$/ 2

$/ 2

%

!

µ₀

I

3.2. Spire circulaire (champ sur l’axe)

• On cherche le champ

!

B dʼune spire circulaire de rayon R et dʼaxe Ox, en se limitant aux points de lʼaxe.

Sur lʼaxe, le champ est selon Ox (dans le sens axial positif par rapport au sens de rotation du courant) :

!

B = B_x

!

u_x .

En effet, les contributions

!

dB =

!

µ₀ 4"

I

#

r² de deux éléments

!

d! ^et

!

d! "

symétriques ont des projec- tions qui se compensent dans les directions perpen- diculaires à Ox.

• En intégrant : dB_x =

!

µ₀

I

4"r^{2 cos(α}) avec r =

!

R² +x² , cos(α) =

!

R

r ^et dℓ = R dθ, on obtient : B_x =

!

µ₀

I

2(R² +x²)^{3/ 2 .}

◊ remarque : pour une bobine plate constituée de N spires, il suffit de multi- plier par N ; on retrouve en particulier au centre de la spire : B_x =

!

µ₀N

I

3.3. Bobines de Helmholtz

• Pour un ensemble de deux spires circulaires de rayon R et dʼaxe Ox, pla- cées en x₀ et -x₀, et parcourues par le même courant I (de même sens) ; on cherche la valeur de x₀ telle que le champ magnétique au voisinage du centre du dispositif soit le plus uniforme possible (en se limitant aux points de lʼaxe).

Puisque le champ est selon lʼaxe : B_x = B_1x + B_2x. Par symétrie, le champ est forcément extremum au centre, cʼest-à-dire que :

!

dB_x

dx = 0, et de même :

!

d³B_x

dx³ = 0, donc : B_x(x) ≈ B_x(0) + d²B_x dx²

x² 2! ⁺

d⁴B_x dx⁴

x⁴

4! ^{+ ...}

Pour que le champ soit le plus uniforme possible il faut en plus : d²B_x

dx^{2 = 0,} ce qui correspond à x₀ =

!

R

2 (distance R entre les deux bobines) :

Dans ce cas, le champ est d'ailleurs aussi quasi-uniforme radialement. Le dispositif ainsi ajusté (bobines de Helmholtz) est très pratique pour obtenir simplement une zone de champ magnétique quasi-uniforme et facile d'accès.

3.4. Solénoïde

• Pour calculer le champ sur lʼaxe dʼun solénoïde de N spires et de longueur L, on considère une “bobine plate infinitésimale” dʼépaisseur dx₀ et compor- tant

!

N

L ^dx0 spires, puis on intègre pour x₀ variant de -

!

L 2 ^à

!

L 2^.

On obtient ainsi : B_x(x) =

!

µ₀N

I

!

x+L 2 R² + x+L

2

"

#$ %

&

'

2 (

x( L 2 R² + x( L

2

"

#$ %

&

'

2

"

#

$

$

$

$$

%

&

' ' ' ''

.

En pratique, le solénoïde crée :

◊ à l'extérieur un champ semblable à celui d'un barreau aimanté ;

◊ à l'intérieur un champ quasi-uniforme, de norme B ≈ µ₀nI (indépen- dante du rayon) avec n =

!

N L ^.

◊ remarque : une bobine parcourue par un courant se comporte comme un aimant dont les pôles nord et sud sont liés au sens de rotation du courant dans les spires ; en particulier l'orien- tation du champ ne dépend pas du côté par où arrive le courant, mais uniquement du sens de rotation.

◊ remarque : la terre a un pôle magnétique sud au voisinage du pôle géogra- phique nord et réciproque- ment (mais lʼétude de la croûte terrestre montre que les pôles sʼinversent tous les quelques millions dʼannées).

◊ remarque : le champ ma- gnétique terrestre comporte une composante verticale.

& exercices n° I, II et III.

4. Dipôle magnétique

• On appelle “dipôle magnétique” un circuit électrique de type spire (mais non forcément circulaire) de dimension très petite en com- paraison de la distance dʼobservation.

On appelle “moment dipolaire” le “vecteur”

!

m

!

IS (lʼunité de base est A.m²) où I est le courant dans le circuit et

!

S son vecteur surface (orienté selon le sens du courant).

• Le champ magnétique dʼune spire circulaire peut sʼécrire sous une forme analogue à celle du dipôle électrostatique ; en coordonnées sphériques, dʼaxe Oz orienté selon

!

S :

!

B = B_r(r,θ)

!

u_r + B_θ(r,θ)

!

u_" (dʼaprès les symétries).

À grande distance : B_r ≈

!

2µ₀

m

4#r^{3 et Bθ ≈}

!

µ₀

m

4#r³ , cʼest-à-dire :

!

B =

!

µ₀

4"r³

(

( m

)

^m )

◊ remarque : ces calculs ne sont toutefois valables que si la taille de la spire est très petite en comparaison de la distance “dʼobservation” r = OM ; ils représentent en effet mal le champ à proximité du dipôle (ceci découle des différences fondamentales entre les propriétés de

!

E et

!

B) :

dipôle électrostatique dipôle magnétique

• De façon analogue au cas électrostatique, la principale action dʼun champ

!

B

“extérieur” sur un dipôle est la tendance à lʼorientation :

◊ la force totale est nulle si

!

B est uniforme ;

◊ il apparaît un moment de force, qui tend à aligner

!

m

!

B:

!

M

!

m "

◊ remarque : lʼénergie potentielle du dipôle dans le champ extérieur peut sʼécrire :

E

!

m

E

& exercice n° IV.