Feuille d'exercices 10. Espaces probabilisés nis
Exercice I.
Dans les expériences aléatoires suivantes, préciser l'universΩ, dire s'il est ni ou non, et dans le premier cas, préciser son cardinal :
1. On lance une fois (resp. 2 fois successivement) un dé à 10 faces.
2. On lance simultanément deux dés à 10 faces.
3. On lance un dé à 6 faces indéniment (cela pourrait être par exemple dans le cadre d'un jeu où l'on cherche à obtenir le plus vite possible un 6).
4. On lance cinq dés à 6 faces.
5. On observe un tirage du loto.
6. On distribue une main de deux cartes au hold'em (poker).
7. On joue au tiercé (15chevaux au départ).
Exercice II.
Exprimer en fonction des évènementsA,B et Cles évènements suivants : 1. E1= "A etB se produisent, mais pas C"
2. E2= "SeulA est réalisé"
3. E3= "Au moins un des trois évènements A,B,C est réalisé"
4. E4= "Deux des évènements au plus se produisent"
5. E5= "Deux des évènements ou plus se produisent"
Exercice III.
On tire deux cartes dans un jeu de 32 cartes. On considère les évènements suivants : A={les deux cartes tirées sont rouges}
B={les deux cartes tirées sont un valet et un dix} C={les deux cartes tirées sont des gures}
1. Que représentent les évènements suivants : a. A b. A∩B∩C c. (A∩C)∪(B∩C) 2. Ecrire à l'aide des évènementsA, B, C les évènements :
F ={les deux cartes tirées sont des gures et ne sont pas toutes les deux rouges}
G={on obtient au plus une gure rouge}
Exercice IV.
On lance un dé pipé à 6 faces. On sait que :
les faces paires ont toutes la même probabilité d'apparition, les faces impaires ont toutes la même probabilité d'apparition,
une face paire a quatre fois plus de chances d'apparaître qu'une face impaire.
∀k∈N, 1≤k≤6, on notepk=P({k}).
1. Quelle est la probabilité d'apparition du 1 ? Quelles sont les probabilités d'apparition des autres faces ? 2. Quelle est la probabilité des évènements :
A={le nombre obtenu est pair} et B={le nombre obtenu est supérieur à 3 } ?
1
Exercice V.
On pioche 4 cartes d'un jeu de 32 cartes.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 trèes et 2 piques quand le tirage est : 1. simultané 2. successif avec remise.
Exercice VI.
Un joueur parie au hasard lors du tiercé, dans lequel sont inscrits 10 concurrents.
1. Quel est l'universΩ?
2. Quel est la probabilité qu'il ait le tiercé dans l'ordre ? Dans le désordre ?
Exercice VII.
Au loto, les numéros s'étendent de 1 à 49. On doit trouver les 6 bons numéros.
1. DonnerΩ.
2. Calculer la probabilité d'obtenir les 6 numéros.
3. Calculer la probabilité d'obtenir 3 bons numéros exactement ; 3 bons numéros au moins.
Exercice VIII.
On lance 7 fois successives un même dé à 20 faces (que l'on suppose équilibré).
1. DonnerΩ.
2. Calculer la probabilité des évènements :
a. A= {toutes les faces portent un numéro distinct}, b. B= {toutes les faces portent un numéro identique}.
Exercice IX.
Une urne contient 2 boules rouges, 3 boules vertes et 5 boules bleues. On tire au hasard, successivement, et sans remise 3 boules de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir :
1. A= {au moins une boule rouge},
2. B= {que des boules d'une seule couleur}, 3. C= {deux boules bleues, ou une boule verte}.
Exercice X.
Une main au poker est composée de 5 cartes prises simultanément dans un jeu de 52 cartes. Calculer la probabilité pour qu'une main contienne exactement :
1. A= {trois rois et deux dix (un full aux rois par les dix)}, 2. B= {trois rois ou deux dix},
3. B= {un full}, 4. A= {un carré},
5. C= {un brelan qui n'est ni un carré ni un full}.
Exercice XI.
On répartit au hasard 3 boules dans 5 boîtes numérotées de 1 à 5.
1. Quelle est la probabilité que la dernière boîte soit vide ?
2. Quelle est la probabilité qu'une des deux premières boîtes soit vide ?
2
Exercice XII.
Dans une urne, il y a 2 boules rouges et 3 boules noires. On considère l'expérience consistance à tirer les boules sans remise, jusqu'à l'obtention de la première boule rouge.
On noteX le nombre de tirages nécessaires.
1. Déterminer l'ensemble des valeurs possibles pourX. On verra dans un chapitre prochain que ceci se note X(Ω).
2. Pourk≥1, calculer la probabilitépk=P({X =k})de l'évènement{X =k}.
Exercice XIII.
Dans un jeux de 32 cartes, on tire sucessivement 3 cartes sans les remettre dans le jeu.
On noteX le rang d'apparition du premier as. Si aucun as n'apparaît, on attribue à X la valeur0. 1. Quelles sont les valeurs possibles pourX?
2. Quelle est la probabilité deE= {Aucun as n'est tiré} ?
3. Pour1≤k≤3, calculer la probabilitépk =P({X =k})de l'évènement{X=k}.
Exercice XIV.
Une urneU1 contient 2 boules rouges, 3 boules bleues et 5 boules vertes.
Une urneU2 contient 4 boules rouges et 5 boules bleues.
Une urneU3 contient 3 boules bleues et 6 boules vertes.
On tire au hasard une boule de l'urneU1 pour la mettre dans l'urneU2, puis une boule de l'urneU2 pour la mettre dans l'urneU3, puis enn une boule de l'urneU3 que l'on place dans l'urneU1.
On note pourk∈[[1; 3]],Rk (resp.Bk,Vk), l'évènement "la boule tirée dans l'urne kest rouge (resp. bleue, verte)".
Calculer la probabilité que la composition de l'urneU1 n'ait pas changé à l'issue de ces 3 manipulations.
Exercice XV.
Deux urnes contiennent respectivement4boules rouges et3 boules vertes,5 boules rouges et2boules vertes.
On tire au hasard une boule dans la première (sans l'y remettre), puis on procède au tirage d'une deuxième boule, dans la même urne si la première boule tirée est rouge, dans l'autre urne si la première boule tirée est verte.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules vertes (resp. deux boules rouges) ? 2. Calculer la probabilité d'obtenir une boule rouge au deuxième tirage.
3. On sait que les deux boules tirées sont de même couleur.
Quelle est la probabilité qu'elles soient rouges ?
Exercice XVI.
Parmi 100 dés cubiques, 75 sont équilibrés, et 25 sont truqués, de telle sorte que la probabilité d'obtenir6soit 1 2 et que les autres numéros aient la même probabilité d'apparaître.
On prend un dé au hasard parmi les 100 et on le lance.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir6?
2. On obtient6. Quelle est la probabilité que ce dé soit truqué ? 3. On obtient5. Quelle est la probabilité que ce dé ne soit pas truqué ?
3
Exercice XVII.
Une urne contient au départ un jeton blanc et un jeton noir.
On eectue des tirages dans l'urne de la façon suivante :
si le jeton tiré est blanc, on le remet dans l'urne avec un autre jeton blanc.
si le jeton tiré est noir, on le remet dans l'urne avec deux autres jetons noirs.
On noteNi= {Le ie jeton tiré est noir}.
1. CalculerP(N1),P(N2),P(N3).
2. Sachant que le deuxième jeton tiré est noir, quelle est la probabilité que le premier jeton tiré ait été noir ? 3. Sachant que le deuxième jeton tiré est noir, quelle est la probabilité que le troisième jeton tiré soit noir ?
Exercice XVIII.
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. Dans les cas suivants, dire si les évènements considérés sont indépendants :
1. A= {tirer un roi} et B = {tirer une carte rouge}
2. A= {tirer un roi} et B = {tirer une dame}
3. A= {tirer un roi} et B = {tirer une gure}
4. A= {tirer un roi} et C= {tirer une carte qui n'est pas une gure}.
Exercice XIX.
1. Dans quel(s) cas deux évènements incompatibles peuvent-ils être indépendants ?
2. Montrer qu'un évènement de probabilité nulle est indépendant de tout autre évènement.
Exercice XX.
Une urne contient deux boules vertes et trois boules jaunes.
On eectue 4 tirages avec remise dans cette urne.
On considère les évènements suivants :
A= {les deux premiers tirages donnent des boules vertes}
B= {les deux derniers tirages donnent des boules vertes}
C= {les2eet3etirages donnent des boules jaunes}
D= {les quatre tirages donnent des boules de la même couleur}
1. Parmi ces évènements, dire lesquels sont indépendants.
2. Ces quatre évènements sont-ils indépendants dans leur ensemble ?
Exercice XXI.
On lance 2 fois une pièce dont la probabilité d'obtenir Pile estp∈]0; 1[.
Ensuite, on relance autant de fois la pièce que l'on a obtenu de Pile aux deux premiers lancers (si on a eu aucun Pile, on ne relance pas la pièce, si on a obtenu deux Piles, on relance deux fois la pièce).
SoitX le nombre de fois où l'on a obtenu Pile au cours de cette expérience.
On note égalementPk l'évènement "On a obtenu Pile auke lancer".
Calculer la probabilité d'obtenirnpiles pourn∈[[0; 4]].
Exercice XXII.
On lance 3 fois une pièce dont la probabilité d'obtenir Pile estp∈]0; 1[.
Ensuite, on relance autant de fois la pièce que l'on a obtenu de Face aux deux premiers lancers (si on a eu aucun Face, on ne relance pas la pièce, si on a obtenu deux Faces, on relance deux fois la pièce).
SoitX le nombre de fois où l'on a obtenu Pile au cours de cette expérience.
On note égalementPk l'évènement "On a obtenu Pile auke lancer".
1. Quel est l'ensemble, notéX(Ω), des valeurs prises parX? 2. Calculer la probabilité d'obtenirnpiles pour n∈X(Ω).
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