Demi-groupes commutatifs réticulés résidués intégralement clos

P

D

L

E. O

Demi-groupes commutatifs réticulés résidués intégralement clos

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1968, tome 5, fascicule 1 , p. 83-112

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83

Publicetiom du Département de Matbéiratiquas Lyoa 1963 t. 5-1

DKMI-GROUPES CGîCiuTATirS R E T I C U L E S

RE3IDUES IKTECFALEivEIîT CLOS

On connait trois caractérisations des anneaux commutât if s noethèriens intégralement clos, énoncées res-

pectivement par Van der Waerden - nrtin [4, KruJ 1 - Fagata f7J

# Yoshida i^c] . Les deux dernières caractérisâtions ont été étendues par G. Kaury a ^ demi-groupes commu- tatifs roethériens à clament unité en particulier.

Or, seule la première caractérisâtion * été éten- due par Madame Dubreil- J.^ctin [ Jj aux ç,^rbiers commutât if s résiduel. Le but que nous nous proposonc ect de définir

dans le cas d'un deini-groupe conrnutatif à élénent unité, réticulé, rosidué, une condition xjermettant do généraliser la deuxième caractérisâtion précédente.

Soit D un demi-grc:pe conrnutatif, à élément

unité e, deïTii-réticulé (appelé encore gerbier commutatif [ 3 J ) ^# c'est - à -dire que D est aussi un demi-treillis tel que la multiplication soit isotone par rapport à l'union, et soit D1 le sous-demi-groupe des éléments entiers, c'est-à-dire inférieurs ou égaux à e. Si de plus, D est résidué, D est dit intégralement clos si l'on a : V a £ 0 , a : a = e .

84

Dern. i-groupes intégralement clot

L'équivalence d'Artir étant définie par : a, b S D, a £L b <—-> e : a = e : b , la première caractérisation sVnonce alors (fej p 2>3) :

| Le gerbier commutatif à élément unité residue D est intégralement clos si e t seulement s'il vérifie l a condition ( M suivante :

' D/^ est un groupe

La deuxième caractérisation faisant intervenir la notion d'anneau des fractions A/p d^lun anneau consultatif A relativement à la partie multiplicative A -^CP , o C f P e s t un idéal premier de A, nous avons défini tout d'abord une

relation d'équivalence R , , 3 désignant un sous-demi-groupe de D¹ contenant l'élément unité . Cette relation R^r,

généralisa la relation d'iquivalence connue dans le cas du gerbier résidus des idéaux fractionnaires d'un domaine d'intégrité noethérien ( [.?] p. 28 ). Cette relation R é t a n t définie, nous avons romarcyjl que si D est l'ensemble des idéaux fractionnaires d'un domaine d'intégrité noethérien A, alors D3 = D /p avec S = [ (9)Q A ; (Q Ç }

3

coïncida a v e r 1 ' p n p o n h l p d<-><* ir^aiîx f r a r v i o n m i r p s de A ^ ^m

Après avoir introduit la définition d'un élément principal dans le deri -groupe réticulé r e n d u e D, nous avons étudié les propriétés des c!l^vcmpositions en intersection

d'éléments primaires et nous énonçons une condition (B) vérifiée si D e s t intéar^l c^er.t c l o s ou bien si D vérifie la condition (A), sous 1£ hypol-hér>o qvr> 1r-> s ^ " ^ - < ^ n i~ g r o n p 4 * t>*

Demi-groupes intégralement clot 85

soit noethérien. Toutefois, cette condition (B) n'étant pas suffisante pour que D soit intégralement clos, nous pouvons finalement énoncer une caractérisation valable sous la condition suivante : tout élément entier est supé- rieur ou égal à un élément principal.

En supposant de plus l'existence d'une décompo- sition primaire pour tout élément entier, on définit la notion de puissance symbolique d'un élément premier et il est alors possible d'énoncer une caractérisation générali-

sant la troisième caractérisation, sous certaines hypothèses supplémentaires qui sont vérifiées dans le cas où D est

le demi-groupe des idéaux fractionnaires d'un domaine d'inté- grité noethérien [ 1 2 J . La théorie développée redonne

alors les propriétés connues des anneaux et demi-groupes commutatifs noethériens intégralement clos.

86

CHAPITRE I - ETUDE DE D^g -

§ 1 - Hypothèses structure*

Soit D un demi-groupe commutatif à élément unité réticulé residue, cfest à dire :

1 ) D est un demi-groupe commutatif à élément unité e :

# D est muni d'une loi : V a , b £ D (a,b) > ab telle que : V a^#b Ê D ab » ba

V a C D ae = ea = a

. Si D possède un zéro^# D* = D - '{o") est un sous-demi-grout*

de D^#

2) D est un treillis :

# D est muni de deux lois :

V a,b 61 D (a,b) » a V b (a,b) * a A b telles que : V a,b#c e ù

a V b = b V a a A b = b A a

a V (b V c) = (a V b) V c a A (b A c) = (a A b) A c a V (a A b) = a a /\ (a v b) = a

# D est ordonné par la relation d8ordre : a,b €1 D a ^ b <~n> a V b = b A«> a A b = a

. la multiplication est isotone par rapport à l*union : V a ^ c t f D a ( b V c ) = (ab) V (ac)

, si D possède un zéro, 0 est le plus petit élément de On a alors les propriétés :

# V ^a,b,c e D , a ^ b =4 ac ^ bc Va,b,c fi D ^t a(b A c) < ab A ac 3) D * est residue :

87 Demi-groupes intégralement clos OY

On pose = D - fo) si D possède un zéro et D * = D si D ne possède pas de zéro. Alors V a j b d D * , l'ensemble

^ x D ; ax ^ b ] n'est pas vide et possède un élément maximum noté bsa et appelé résiduel de b par a0

On a alors les propriétés : V a.,b,c es. D

# bc ^ a b ^ a se c ^ asb . a ^ b =$> asc ^ b:c , c:b ^ c:a . (a.b) se = (asc) :b = a:bc

. a ^bs(bsa) , a:(a:(asb)) = a:b

• a(bsc) ^ absc

. (a A b} se = (a:c) A (bsc) . a: (b V c) = (a-.b) A (asc)

§ 2 - Ensemble a .

Soit D¹ le sous-demi-groupe des éléments entiers de D et S un sous-demi-groupe de D¹ contenant l'élément unité et ne contenant pas l'élément zéro, s'il existe.

Soit a un élément de D et soit l⁵ensemble s ag = {x

e

e

On a alors les propriétés suivantes : P 1.1 :

V ^a

e

e

P 1.2 :

a#b

e

x £ l as= i > ^ s e s ! s x ^ a ^ b ^ x e b g P 1.3 :

V s ^{£ 5}

, V

as < a (as)„

SL *

88 Demi-groupe* intégralement clos

x e a0 = ^ 3 s' e S J s'x ^ c s'sx < as x S (as)r =£• a., £_ (as)r,

P 1.4 :

j

V

sx ^ a x € a [

sx < b x € . b⁰ S S x €. (fT\ be =*> x £ a_ =*» 3 s £ S ¹ sx ^ a

x €. b^g j s '

e

, j , - . , !=* ss'x • a A b = ^ x €1 (a A b )

[ ss'x ^ sb ^ b j ^ S P I. 5 :

j V a,b

A

! x €. a0 3 s £ S '| sx ^ a ^ a v b

x € a S ^ ^b C ⁼ ^ I ° ^U x e b ^ 3 s' £ S | s ' x < b^N<^aV b x e (a V b ) 0

P 1,6 :

V s € S , \/a €.0* , a^Q = (a:s)^

» ^ù °

sa ^ a = ^ a ^ a:s ==^ a^g Ç_ (ass)^s

x £ (a:s) 3 s¹ 61 G | s¹:*: < ass ==> ss'x ^ a = ^ x €. a

§ 3 - Relation d'équivalence R .

— — «— — — —»•• — — — -• — — -*• — — •• —"•"•••••"•••••••vJ

Soit la relation a,b £. D, a ^ a Ç_ b , c'est une relation de préordre dans D, car :

. a^s £ . a^g« = * a ^ a

. a ^ b . b ^ c - ^ a s C b s Ç . c s ^ a ^ c

Soit R la relation d'équivalence associée à cette relation s

de préordre :

89

Demi-groupes intégralement clos

a,b fi D , a R b (a J b et b À a) <T=T> a„ = b

On a alors les propriétés : P 1.7 :

I

|^ a,b e: D , V c e . D , a R ⁵ b = ^ ( a A c)R^g (b A c) a R^r. b<?=> a = b„ =» a„/Hï c = b⁰ c <=*

•j b b ij -j b o

(a A c) , = (b A c)., (d'après P 1.4) 4=» (a A c)R (b A c) P I. 8 :

a,beo*, V c £ D * ⁽ a R_ b (a:c)R (b:c)

x

H

<b

I ^ &

P 1.9 :

! a,b e D * , Y c € D * , a R^e b =* (c:a)R (c:b)

^ _ ^ S o

x éT(c:a)s = » H s ^ . S | sx ^ c : a =3> sax ^ c = * a ^ e s s x =>

a_ « b_ ^ (c:sx) ; b <£, b ^ (c:sx) = ^ 3 s¹ fi- S ! s'b ^ c:sx

s-fr S S * b X ^ C S S^BX 4 ^{C : b} = ^ X & ( C 2 b ^ .

Donc (c:a)_ c (c:b)„ et de même (c:b) ^ (c:a)_, P 1.10 :

j a,b,c fi D , a ^ . b ^ c , a R ^s c = » b R ^s c

a X b ^ c = > a C "b C c_ j or a R„ c «=> a = c donc

a

s •

s

s ^

s

s

-

Soit X une partie non vide de D, on peut alors considérer l'ensemble :

X ^r= x,„ = î y € D ;

] s e s , ] x e x

* x ^ X ^J

Nous avons alors les propriétés : P 1^11 :

Y a,b C D , soit ae. b « $xy ; x €Ia0,y e b ] , alors (a b )^s = ( a^s. b^s)^g

90 Demi-groupes intégralement clos

x £ ( a b )⁰ 3 s S G • sx ^ ab ; or a € a^g, b <= b,,, donc x <= (^{a s}. ^^s)^s z C ( a . . b j . =S> 3 x e a „ , ^ y e b , 3 s e.') J sz ^ xy

or x G a 3 s' £ G J s'x ^ a !

-, ! , , ! =?> s's"xy < ab y ê b ^c « j s" €. S | s"y .<: b | ^ ^v * alors ss's"z ^ s ' s " x y ^ ab ==» z e ( a b )^s

P 1 . 1 2 :

a , b e : D , V ^{c e D} ' ^{a a} o ^b (ac)R„(bc)

O »->

a R^s b a^g = b^s - + a^s. c^s = b^g. c^s

( a c )^s = ( V^ s ' s ⁼ ^ S ' V s = ( b c )S (^d'^aP^{r è s p} *** (ac)R^s(bc) P 1.13 :

| V a,b e D, soit a^g U b^g = [ x V y ; x e a^s, y e b^g } , alors J < a V b )^s - ( a^s U D^s)^s

x G (a V b ) 3 s £ S ¹ sx <; a V b ; or a £ a , b e b , donc

x

^

s

V s

z <= (a_ U b_)„ <î=* 3 x Ê a_, 3 y <E.b . 3 s €1 S I sz ^ x V y or x €. a^g 3 s* e S | s'x ^ a s's"x ^ s"a ^ a

y e b 3 s" ^€L S ' s"y <: b ^ s" s"y ^ s'b ^ b ^

s's^'x V s* s^Hy = s¹ s" (x Y y ) ^ a V b ss¹s"z ^ s¹ s" (x v y) ^ a V b

=^ z (a v b )ⁿ P 1.14 :

1 w

a,b €. D ,

V

(a V c )^s = ( a^g VJ c ^s) ^s = ( b^s U c ^s) ^s = ( b ^ c) (d'après P 1 . 1 3 ) (a V c) R^s( b V c ) .

P 1.15 :

Î V c, â € D , soit c_.d = { x d ; x £ c "l , alors V a , b£ D * ⁽ ( a : b )^s = { x £ D ; b^g. x _ £ a^g j x C (a:b)„ 3 s e S ! sx ^ a:b sbx ^ a

O

or V Y € b^g , 3 s ' € s | s'y ^s< i

9 1 Demi-groupes intégralement clos

donc V y e b ^ s s ' y x - ^ sbx ^ a = ^ V y C b ^M y x £ a ^ =^ b_.x C ^a Soit x €T D tel que b^.x C a - alors bx .€ b.^.x C a, ~ >

S — S z> — S

3 s £ S ! sbx ^ a= 3> s x ^ a : b = " $ > x e (a:b)r

§ 4 - Eléments premiers et grimaires dans D.

Définition I.1 :

D1 étant le sous-demi-groupe des éléments entiers de D, un élément p, p € Df, est premier si :

x,y £ D¹ , x y < p = ^ x 4 p o u y ^ p et un élément q, q 6 D¹ , est primaire si :

x , y 6 Df / x y ^ q = 4 x ^ q o u 3 n ^ U* ! y^{1 1} ^ q On a alors les propriétés :

P 1,16 :

!

! Soit a entier :

a) s¹ il existe s <£L S tel que s ^; a, alors a R^g e. En parti- culier V s e S , s R e^#

i *^

j b) si V s £ S , s i a , alors a n'est pas congru à e nodulo R .

\ _ :

a) a < e =?> ag C e„

x C e„ 3 s* e. S ! s'x ^ e et, par hypothèse, 3 ^S < SS is < a =»

ss'x a ==» x £ ==» e^ c a - Finalement ac = e et a R e.

b) Supposons que a Rg e, alors ag »G g e e e^g = ag =3> 3 s E S | se a, ce qui est exclu par hypothèse, donc a n'est pas congru à e modulo R .

P 1.17 :

i .

! Soit p entier premier tel que V s e S, s < p, alors p est

!

: maximum parmi les éléments entiers congrus à p modulo R • x G D¹, x R p <*=> pⁿ = x⁰ ==» x <£ p⁰ 3 s e S | sx < p et

S ^ P Pa r hypothèse, donc x ^ p car p est premier. Donc p est maximum parmi les éléments entiers congrus à p modulo R .

w>

92 Dem i-groupes integralem ent clos

P 1.18 :

! Soit q entier primaire tel que V s € S [s ^Q, alors q est

|^ maximum parmi les éléments entiers congrus à q modulo x e. D^f , x R^g q <=* q^g = x^g =t> x <=: q^g 3 s € S | sx ^ q et^f par hypothèse, V s C S ^# s ^ q = » V s S S , V n £ K^x, s^{1 1} ^ q, alors sx ^q,

V n e N *# s1 1 ^ q =4> x ^ q car q est primaire. Donc q est maximum parmi l e s éléments entiers congrus à q modulo R •

o

§ 5 - Ensemble c m o t ^ ^ t D0.

Etant donné la relation d'équivalence R^{0 #} on p^ut considérer l'enseT^v.e qv.otic-nt D / R^{o /} que nous noterons D » Corme la relation d'équivalence R est compatible avec la multiplication, l8union et l'intersection, nous avons :

1) est un demi-croupe commutatif à élénont unité pour la loi V a,b C D a b = a b , avec l'élément unité e

et si D possède un zéro, D* = D^c - [o ] est un sous-domi-arour*

de D^{0 #}

2) D^o est un treillis pour les deux lois :

»-»

V a.b € T DS a V b = a V b , a A b = a A b

(en notant encore V et A I^e union et 1*intersection dans D 1 avec la relation d'ordre :

a , b Ç D^g , a ^ b a A b = a <=^> a V b = b ( ^ désignant aussi la relation d'ordre dans D )

S

e t si D possède un zéro, 0 èst le plus pstit élément de D S*

Nous avons alors les propriétés : P T,19 :

j a,b 6 P^s # V c ^ D^g , a ^ b = ^ > a c ^ b c a ^ b <—> a v b = b = a V bO*> (a V b )^s = b^g, alors

93

Demi-groupes intégralement dot

(ac V b c )g = ( ( a v b ) c )s = ( ( a V b )s. cs)s = (t>s.<=s)G » ( b c )s (d'après P I. 11) donc a c V b c = a c V b c » b c = b c à=$ a c 4 b c.

P 1.20 :

V a,b,c € D , a ( b v c ) = a b v a c

O

a(b V c) = a(bv c) = ab v ac « a b V a c P 1.21 :

| a,b € : D , a ^ b = 3 > - a ^ b

a ^ b a V b = b (a V b) = b 4=> a V b =» b a 4 h Alors, étant donné ces propriétés, D est un demi-groupe commutatif à élément unité réticulé.

Etant donné la relation de préordre considérée précédemment dans D : a,b e D a ^ b 4 = » a^g C b^g

nous avons défini la relation d'équivalence associée R . Alors, par passage au quotient, on peut définir une relation d1ordre associée dans D par : a,b a < _ b 3 x e a, 3 y <£: b < x y

<*=> Y x <£ a, V y e b , x ^ y Nous avons alors la propriété :

P 1.22 :

| a,b £ D g , a ^ b ^ as < 3 b

a ^ b a V b = b <*=> (a V b) = b ; or a ^ a V b

a^e fE_ (a V b) ⁰ = b^e a ^ b et, conur«e a € a .b € 1 b_, a 4 b.

* < s

z € (a V b )s = (ag VJ bs)g (d'après P I . l 3)=*3s E S, 3 x e a^g,

"3 ^{y €. bg} | sz V y

x € a^g C_ b^g 3 s ' £ s | s ' x ^ b l j ^s'sMx ^ s"b ^s< b y £ l >^s ^ 3 s" e S | s"y ^ b j ^ | s's"y ^ s'b ^ b

94 Dcm i-groupes intégralement clos

alors ss«s'»2 ^ s^!s"(x V y) = s's"x V s's"y 4 0 = ^ ? . e b^{g (} donc (a v b ) ^s Ç _b g

b ^ a V b =t> b³ Ç_ (a V b )^g. Finalement (a V b )^g = b^g <=>

a v b = a V b = b a ^ b

Ainsi la relation d'ordre dans Df l peut être définie par les conditions équivalentes : a,b €1 D

a ^ b a V b = b «=5> a A b = a

<^> 3 ^x <E. a, 3 Y e ^{b xr} £L Y o

<=e> V ^x c a, V y e b . x ^ Ç y

Nous avons de plus la propriété : P 1.23 :

y €1 D*,y b ^ a 4=*> (yb) ^ a^r (d'après P 1.22) = 4 yb € a^o ==> 3 ^s £ S syb 4 a ^ sy ^ a:b =t> (sy)⁰ = v„ c (asb)c< (d'après P 1.3) <5=*>

— —_____ ^ ~*

y 4 (a:b).

(a:b)b ^ a =t> (a:b) b ^ a

De plus a;b ne dé;:,and pas .les représentants choisie, dans les

classes a et b, mais seulement des classes car a Rg a' =±> (a:b)Rg (a1 *b) et b R b' (a:b)R (a:b8) (d'après P I. 8 et P 1.9).

Ainsi l'ensemble des éléments y D * tels que y b ^ a possède un élément maximum a:b bien déterminé, qui est résiduel de a par b, noté a:b.

Finalement D0 est un demi-groupe conmutatif à élément unité réticulé résidué.

Nous avons alors : Proposition 1.1 :

| Si D est intégralement clos, alors û^g est intégralement

| clos.

u >

95

Dexn ivgroupct intégralement dot

Si D est intégralement clos, ai a « e pour tout élément non nul a de D.

Alors V a s . D * , a:a * a:a » e, car a e D*^# le seul élément de O étant 0, donc est intégralement clos.

§ 6 - Elément maximum d'une classe entière»

Dans cette partie nous supposerons de plus que le sous-demi- groupe D¹ des éléments entiers est noethérien, c'est à dire que D*

vérifie la condition de chaîne ascendante.

Nous avons alors les propriétés : P 1.24 :

! Soit a a ^ e, alors il existe un élément maximum parmi J les éléments entiers de la classe a.

Soit a €L a, alurs a ^s a A e = a, donc a A e est un élément de a et toute classe entière contient au moins un élément entier. Alors, d'après la condition de chaîne ascendante dans D', i l existe un entier maximal m parmi les éléments entiers de a. De plus, soit x € O ^ x f i a x V m € D¹ x v m « x \ / w = a, donc x V m ^ ^v ^ 4! ^

m * x V m car m e3t maximal parmi les éléments entiers de &• Ainsi m est maximum parmi les éléments entiers de la classe a*

? I»25 :

* \/

Soit a e D¹* , alors Z. ((a:s) /\e) est maximum parmi les

S ^ » o

éléments entiers congrus à a modulo R^g

Soit a <£. D^f* et x R a avec 2: e D * , alors x « a x a

, s s

s

J 8 e S J sx < a «*> x ^ a:s «5> x A e = x 4; (a:s) A e. D'autre part (a:s)R^c a (d^faprès P 1.6) donc (a:s)R_ x et comme x ^,(a:s) J\ e S a:s et que les classes modulo R sont convexes (d'après P 1.10),

s

x Rs((a:s) A e ) Rg a.

Soit l'ensemble des éléments de la forme (a:s) A e avec s € S, c e t ensemble n'est pas vide, car il contient l'élément

9 6 Demi-groupes intégralement clos

(a:e)A e = a A e « a. Alors comme D1 est noethérien, ^c( ( a : s ) A e) s S

existe et est union finie d¹éléments de cette forme.

Soit ((a: s) A e)Rg a# ( (a: s1 ) A e)Rs a , s, s1 e s

((a:s)A e) v ((a:s') A e ) R ( a V ((a:s*) A e)) car l'équivalence R

^ S est compatible avec l'union et (a V((a:s') A e)R (a V a) = a, donc

(((a:s)A e) V ((a:s^l)A e))R a. Donc toute union finie d'éléments de la forme (a:s)A e, s e S, est équivalente à a module R^g et en parti- culier ( V ( ( a^{! S}) A e ) ) R0 a.

S fe. s s

Finalement V x s D', x R a, x ^ ^ ((a:s) /\ e) et l'élément _Ç ^e((a:s) A e) est maximum parmi les éléments entiers congrus à a modulo R avec a £ D¹, a / 0 si D possède un zéro.

§ 7 - Eléments premiers_et primaires dans D ^c. Proposition 1.2 :

! Soit p entier prenier, alors p est premier dans D'

i S

Soit x ^ e,y ^ e,x y < p, alors x y = xy ^ p 4fï> (xy) Ç_ p ¹

-, I S

(d'après P 1,22) ^ 3 s e s ] sxy ^ p

x ^ e = ^ xc £ e 3 s* <£I S ; s^!x y e ^> yg £_ es 3 s" S S | s"y ^ e

Finalement ss'x ,^e,s"y ^ e, ss,xs"y v< p ss'x ^ p ou sMy ^ p c a r

p est premier (ss»x)^s = x^g p^g ou (s"y)^s) = y^g p^g (d*après P 1.3) 4** x ^ p ou y < p, donc p est premier dans D£

Proposition 1^3 :

j Soit q entier primaire, alors q est primaire dans D¹

I S Soit x ^ e, y ^ e, x y <<: q, x ^ q, alors x y = xy ^ q

(xy)^s = ( x^s. y^s)^s q^s (d'après P I.'ll)

x ^ q < ^ x s <ji q^s 3 z e x^{s #}z ^Lq^s 3 z < S x^s, V s ç s sz ^ q

' 2 e Xs, y e .y,,, ^ V ^ s — qs 3 S' <£S | s ' z y ^ q

9 7 Demi-groupes intégralement clos

x ^ e 4f=> x ⁰ e„ z e x„ C = ^ 3 s . £ S I s.z ^ e

Finalement s * s^{2 z} ^ ^s* ^ ^e' - 4³' ^{s % S}2^{z s}i^y ^ ^Sl^s2^q ^ ^q'

( V ^s e ^{S, sz} 4 °ï ^ ^{s l s} 2 ^Z ^ ^q * 3 ^{n €} M* | (s,y)ⁿ<T q car q est primaire [[(s^)^{1 1}] C . q^g ( s ^ )^{1 1} = s~y = y ^ q (d»aprôs P 1.3

et P 1.12), donc q est primaire dams D*.

Dans la suite nou3 supposerons que le sous-demi-groupe D¹ des éléments entiers de D est noethérien.

Proposition 1.4 :

Soit p une classe première de D', p ï e, alors l¹élément

o

maximum parmi les éléments entiers de p est premier.

Soit p une classe première de D *^# alors p contient un élément

S

entier p maximum, car û! est noethérien (d'après P 1.24) et p ^ e car p fi e. Soit x ^ e, y ^ e, xy ^ p, y ^ p, alors x ^ e, y ^ e, x y ^ p.

Supposons que aiors y V P ^Œ y \ / p = p ^ t comme p est maximum parmi les éléments entiers de p, y V p = p, soit y ^ p,ce qui est-

exclus, donc y ^ p^# Alors x y ^ p , y ^ p x ^ p car p est premier =^

x V p 5 3 p = ^ x V p = p car p est maximum parmi les éléments entiers de p, donc x ^ p et p est premier dans D⁸.

Progosition^I.^ :

! Soit q une classe primaire de D', q ^ e, alors l'élément

! _

J maximum parmi les éléments entiers de q est primaire.

Soit q une classe primaire de D£, alors q contient un élément

entier q maximum, car D1 est noethérien et q / e car q / e, Soit x < e, y ^ xy ^ q, yn ^ q, V n é H*, alors x ^ e, y ^ e, x y ^ q.

Supposons que y^D< ^ q, alors y ⁿ\/ q = q = * > yⁿV q = * q car q est maximum parmi les éléments entiers de q, donc y1 1 ^ q, ce qui est exclus, et yⁿ^ q/ V n e V*. Alors x y ^ q, y ⁿ< £ q, Y n e W * = » x ^ q car q est primaire = S > x V q = q = ^ x V q = q car q est maximum parmi les éléments entiers de q, donc x ^ q et q est primaire.

98 Demi-groupes intégralement clos

§ 8 - Appiication_aux idéai^^fractionnaires.

Soit A un anneau commutatif à élément unité sans diviseurs de zéro et K le corps des fractions de A. Soit S un sous-demi-groupe de A ne contenant pas 0 et contenant 1, soit un idéal fraction- naire de A, on considère l'ensemble :

D

3

d'équivalence dans l'ensemble des idéaux fractionnaires de l'anneau A.

Nous allons étudier le rapport entre cette relation d*équiva- lence dans le cas où S est le complémentaire d'un idéal entier premier de l^§anneau A et la relation d'équivalence R^{o l} précédente définie dans le demi-groupe des idéaux fractionnaires de l¹anneau A.

Soit A un anneau commutatif à élément unité, ^ un idéal entier premier de A, S la partie multiplicative A - ^ . Soient (3L et deux idéaux fractionnaires de l^fanneau A, la relation d¹équivalence est définie par £L £R o>5 C l = ^ ^c ^^{v e}c

VjLg = J x/y 61 K ; 3 s1 ^ S j s'x/y e OC J avec K corps des fractions de A^#

Soit D l'ensemble des idéaux fractionnaires de P a n n e a u A^# S1 la partie multiplicative de D :

s ' = [ C l é D;01 Ç . A ,

OLÉ £?}

Soient

CXI^JS

C î ^ , = | <Ç €1 D ; "3 C p ' e s ^ j O ^ ' C Ç Ç ^ G L j comme nous l'avons défini précédemment.

Soit O t , ^ S D tels que OLllg.^b , alors 0^^T =

Soit x/y C. Q L^S. alors 3 s' S S | s'x/y C (X . Or

<3.

<Ç <É.V , tel que Ç> £ . ®>. Soit s» ^ <Ç> ,s" , alors s"s«x/y £ ® C 1 et x/y e ^s/ d'où 0 t^g C _ ^ ^g . De même

Demi-C⁰*¹?³* intégralement clos 99

C_ 0 [ et C L , = 3 ^^s , entraîne C ? ^ = 5 ^ ^s - Donc la relation d'équivalence R^{o t} prolonge la relation d^:équivalence j^g.

Soit ce plus A noethérien et C l , ^ ) <£. D tels que C L S ^ S , alors C t^s = 5^>^s. Soit 6 ? e a ^s , , alors

<$• £ $ | <Ç'<9 L< 3 L (^'c_ e f £ _ (5L^S = Alors pour tout élément 2 d'un svstène de générateurs de CD¹ (D , il e::iste un élément s ^ l ^ tel que sz ^ oT> ; soit s¹ le produit de ces éléments, en nombre fini, alors s^x (Ç ¹ Ç> £L^> - De plus s^x • dl car s eÇ*

et

<Ç» ^

$

<Ç ' Q_ (Ç

a,

J\ s ^ ' Q Ç ^ ^

Ç

e

Ç_ S >

.

D'autre part soit A I^eanneau des fractions de A relativement à la partie multiplicative S = A - ù ^# i l y a correspondance biunivoquo entre les idéaux fractionnaires de A^ et les classes d'idéaux fraction- naires de A module o^ J . Ainsi, dons le cas où A est noethérien, si D est l'ensemble des idéaux fractionnaires de A, D/R ^c sera l'ensemble des idéaux fractionnaires de Ao, S et S1 étant les sous-demi-groupes de A et D définis précédemment.

100 CHAPITRE II

- CARACTERISATION (B) -

§ 1 - Hypothèses do structure.

Dans ce chapitre, nous supposerons que :

1) D est un demi-groupe commutatif à élément unité réticulé (ayant éventuellement un zéro).

2) D1 est un sous-treillis noethérien de D.

3) D* est residue (voir ch. I, § 1) Nous avons alors la propriété : P II. 1 :

D1 et D* sont des demi-groupes noethériens demi-réticulés complets (ou gerbiers noethériens complets).

D¹ est un sous-demi-groupe et un sous-treillis de D. Comme D¹ est noethérien, D¹ est un demi-treillis complet, c'est-à-dire que tout sous- ensemble non vide de D¹ admet un plus petit majorant ( £3^] P 1 p. 33).

De plus Df étant un demi-groupe réticulé et un demi-treillis noethérien complet, la multiplication est distributive sans restriction par

rapport à l^,union ( £3"] p. 131). Donc D¹ est un demi-groupe demi-rê- ticulé complet ( [[3]] p. 130).

Soit x. < < ... ^ x ^ ... une chaîne croissante d^léments de

1 v 2 n

D*. Soient x? les éléments maximumsdes classes entières x.# alors nous

S X 2»

avons x* ^ x* ^ ... < x1 v < çrui est une chaîne croissante d'éléments 1 ^N 2 ^v ^ n ^

de D1, donc cette chaîne est finie, car D1 est noethérien. Alors

3 k S M * I » x £s l, d'où xk - et la chaîne ^ £ *2 $ .. . ^ xr ^ . est finie, donc D£ est noethérien.

De même D1 étant un demi-groupe réticulé et un demi-treillis noethérien, D* est un demi-groupe demi-réticulé complet.

o

Demi-groupes intégralement clos 101

§ 2 - Elément grincipal_de_D.

Définition II. 1 :

Un élément a de D est dit principal, s¹i l admet un inverse a 1 dans D0

Nous avons alors les propriétés : P II.2 :

; Si un élément de D est principal/ alors c'est un résiduel de

! I

j e et il est maximum dans sa classe modulo 1¹ équivalence d'Artin.

Soit a un élément de D . Si D possède un zéro, 0 ne peut être -1

principal, donc a <£: D*. Alors il existe un élément a de ET tel que a a""1 = e et a a "1 = e => a 1 ^ e:a e = a a 1 ^ a(e:a) ^ e, donc a(e:a) = e et a ^ = era. De plus comme a(e:a) « e, (e:a) est principal et nous aurons (esa) ^ = a = e:(esa), donc a est un résiduel de e.

Enfin comme e.(e:a) est maximum dans sa classe modulo ^équivalence d'Artin ( £ 3 ] ] p. 242) , a est maximum dans cette classe.

P H > 3 :

Si a est principal dans D , alors, V n£. H * , a^{1 1} est principal.

Soit a principal, alors a ^ . D * et a(e:a) = e aⁿ( e : a )ⁿ = e V n e M * * , donc a^{1 1} est principal et (a11) ^ = era1 1 = (e:a)n

P II. 4 :

I —

i Si a est principal dans D , a est principal dans D .

^ o

Soit a principal dans D , alors a £ et a e D * . De plus

a(e:a) = e a (e sal_ = e (d¹ après P 1.23) et a est principal dans D^g avec a ¹ = e:a = a ¹. De plus a - e: (esa) a = e:(e:a).

P II 5 :

Soit a une classe principale de Di, a ^ e, alors l¹ élément maximum parmi les éléments entiers de a est un résiduel de e, maximum dans sa classe modulo l^léquivalence d'Artin.

102 Demi-groupes intégralement clos

Soit a une classe entière de D , alors a contient un élément a, a / e, maximum parmi les éléments entiers de a. De plus a éteint

principal dans D^g, a = e:(e:a), alors e:(e:a) a et, comme a ^ e , e : ( e : a ) ^ e. Donc e: (e:a) ^ a car a est maximum parmi les éléments entiers de a. D'autre part a ^ e : ( e : a ) , soit finalement a « e: (e:a) et a est maximum dans sa classe modulo l'équivalence d'Artin.

§ 3 - Décompositions primaires.

Proposition II.1 :

| Soit q entier, l^fensemble ^x D¹ ; 3 ^{N &} W*# x^{1 1} ^ q } admet un élément maximum p. De plus si q est primaire#

alors p est premier.

\

—

Soit q entier, considérons l1ensemble des éléments entiers r tels que 3 ⁿ ^ rⁿ ^ q, cet ensemble n'est pas vide, car q ^ q.

Alors, comme D1 est noethérien, il existe vin élément maximal p, s o i t 3 k G* H* } ^ q. Soit r un élément quelconque de l'ensemble, alors

n+k s

(r v p) ^ q, donc r v P appartient à l'ensemble et r V p = p c a r p est maximal, d'où r ^ p et p est maximum parmi les éléments entiers r tels que 3 n S M * rⁿ ^ q. De plus q fait partie de l'ensemble

considéré et q ^ p.

Soit q entier primaire, x ^ e, y ^ e, x y ^ p , x ^ p

3 n & »* | x V

V k

-» x V 4

£ q

3^{n §} S N* | (y^{1 1})^{1 1} ^ q car q est primaire y^{1 1 1 1} ^ q y ^ p# donc p est premier.

Définition II.2 :

L'élément entier p ainsi défini est appelé radical de l'élé- ment entier q. Si q est primaire, on dit que q est p-primaire»

Définition II.3 :

Si un élément entier a peut s'écrire a = q¹ A q²A ... A q^^

avec qi p^primaire, 1 ^ i ^ n , on dit que q^ A • • • A q ^ est une

1 0 3

Demi-groupes intégralement clos

décomposition primaire de a et Q ^ f - ' ^ ^{s o n t} appelés les composants de la décomposition.

Une décomposition primaire ••• ^{e s t d}* t e réduite si aucun des composants ^ ' • • • »<ïn n*est superflu et normale si de plus les radicaux Pj/*-*'Pn d e s composants sont tous distincts.

Proposition II.2 :

J Soit q entier p-primaire non nul, alors pour tout entier a non nul tel que q:a ^ e, q:a est primaire. De plus si a ^ q, alors q:a a pour radical p et si a ^ p, alors q:a « q^#

Soit q,a ^: D¹* tels que q:a ^ e. Soit x ^ e, y ^ e, xy ^ q:a x ^ q:a = ^ axy ^ q # a x ^ q = £ 3 n 6 N * y^{1 1} ^ q car q est primaire

3 n € M * | ay¹¹ ^ y ⁿ ^ q = ^ 3 n £ N * y \ < q:a donc q:a est primaire.

Soit a et p1 le radical de q:a. p1 est l'élément maximum tel que 3 n 6 M * j p 'ⁿ ^ q:a a p, n ^ q et comme a ^ e et a ^ q par hypothèse, 3 ( p *ⁿ)ⁿ < q ^ p ^{, n n} ^ q donc p¹ ^ p^ radical

de q. D'autre part p éteint le radical de q, 3 n £ J p^U ^ q ^ qs a

p ^ p ¹ radical de q:a. Finalement p = p¹ et q:a est p-primaire lorsque

Soit a ^ p, alors V n € M*, a^{1 1}^ q et a (qsa) ^ q, qsa ^ e

q^{s a} <ï^{c a r} q^{e s t} primaire. Comme, d^f autre part, q ^ q:a, car a ^ e, nous aurons finalement q = q:a lorsque a ^ p.

I

Définition^II.4 :

Soit q un élément p-primaire, on appelle exposant de q le plus petit entier n tel que pⁿ ^ q.

Proposition II.3 s

Soit q un élément non nul p-primaire dfexposant n ^ 2 tel que q:p ^ e, alors qsp a un exposant égal à n-1.

104 Demi-groupes intégralement clos

Soit q p-primaire d'exposant n ^ 2 tel que q:p ^ e, alors q:p est p-primaire (d*après PrII.2). De plus pⁿ ^ q, p¹¹*"¹ 4 donc

n-1 ^v ne n-2 ^y . n-1 „

P ^ ^⁸P^{e t o n} P^{e u t a v o i r} P % <I*P# car alors p ( q, ce qui

est exclu. Donc pⁿ q:p et p^{n 2} ^ qsp, do$c q:p a pour exposant n-1.

Proposition II.4 :

j Soit q un clément p-primaire tel que V s é S , s ^ p#

alors q est p-primaire dans D0.

S

Soit q p-primaire, alors q est primaire dans D et p est premier dans D . avec q / p / e, car V s 6 S ^; s p (d'après P 1.16). Soit p' le radical de q# alors il existe un élément entier p* maximum parmi

les éléments entiers de p* et cet élément p' est premier (d¹ après Prop. 1.4). p* étant le radical de q, 3 n ' e j p 'ⁿ < q = ^

""•n1 — — .n1 k . „

p¹ v a = q =^ p¹ v q = q car q est maximum parmi les éléments

— n*

entiers de q (cyprès P 1*13) p¹ ^1 q =^ p¹ ^ p car p est le radical de q = ^ P* ^ P* D?autre part p étant le radical de q,

3 n e N * J pⁿ ^ q p^{1 1}^ q = ^ p ^ p^ft car p* est le radical de q.

Finalement p' = p et q est p-primaire.

Progosition_II._5 :

j Soit a = q^ A ... ^ ^ (^)^{u n e} décomposition primaire de a avec q^ p^-primaire, 1 ^ i ^ n, telle que :

a) V i , l ^ i < n, V s 6 S , s ^ p ±

b) V i # m+1 ^ i ^ n, 3 sieS S si < pi

alors a = q ¹ A ... A (2) et ceci est une décomposi- tion primaire de a dans D . De plus si la décomposition

o

(1) est réduite (resp. normale), la décomposition (2) est réduite (resp. normale).

Soit a » q^ A A ^ décomposition primaire vérifiant les conditions de l'énoncé. V i# m+l>^ i ^ n, 3 s . £ S | s. p. =^

V i, m+1 O ^ n , p± = e (d'après P 1.16) et V i , m+1 < n ,

s* < p^k

\/}<LG

105

Demi-groupes intégralement clos

puissance de inférieure à q^^f d'où il existe une puissance de s^^#

toujours contenue dans la partie multiplicative S, inférieure à et q. ° e, V i# m+1 <C i ^ n.

D'autre part V i , 1 ^ i ^ m, V s S, s => V i , 1 ^ i ^fm, e et p^ est premier. Supposons que 3 S S | sî^ q^, V i ,

1 ^ i ^ m^# alors V i, 1 ^ i ^ m, sî^ 4 q^ 4 ^{c e} qui^{e s t} exclu. Donc V i, 1 ^ i ^ m , V s € S , s ^ qi V i, 1 < i ^ m, q, ^ e et q, est primaire. Enfin# comme V i, 1 < i ^ m, s ^ p^{i #} q^ est p^-primaire

(d'après Prop. II.4).

Alors a = q^ A ... donne en passant au quotient dans Dg, a « A ... A q^ A q ^ ^ A . - . A q ^ ^ q ^ A . . . q^, car q^ = e, V i, m+1 ^ i ^ n et q. < e, V i# 1 ^ i ^ m. i*e plus q^ A ... A est une

décomposition primaire de a dans û .

b

Soit a = q^ A ... A q^ ( 1 ) une décomposition réduite ?Q a. Nous avons a = q^ A ... A q^ (2) et supposons, par exemple, que

q2 A ... A Alors (q^ A ... A q^) V qj 8 q1

(q^ A ••• A q^) V q^ = q^ car q^ est maximum parmi les éléments entiers de q1 =4 q2 A t, # A q^ ^ q^# ce qui est impossible, car la décomposition (1) est réduite. Donc aucun des q^, 1 ^ i ^ m, n'est

superflu et la décomposition (2) est réduite.

Soit, de plus, la décomposition (1) normale et supposons que

» p2# alors p^ = p2 car p^ et p^ sont maximuns parmi les éléments entie:

de la même classe. Or ceci est impossible, car la décomposition (1) est normale, donc les radicaux p^, 1 ^ i <C m, de la décomposition (2) sont distincts et la décomposition (2) est normale.

Progosition^II^ô :

Soit a = q A q ^ A ,# # A q^ une décomposition primaire normale de a, avec q^ p^-primaire, 1 ^ i ^ n, et q p-primaire tel que p soit un élément premier minimal dans D * . Soit S = { x ^ ^e ?x ^ p ] # alors, dans Dg f

a = q.

106 Demi-groupes intégralement clos

p étant un élément premier minimal dans D*, alors V i , 1 ^ i ^ n, Pⁱ ^ p, donc V i f .1 £ i £ n, p^ S et, d'après la propriété précé- dente, q ^ = e , V i, 1 ^ i ^ n et finalement a = q.

§ 4 - Condition (B).

Proposition II^#7 :

! Si D est intégralement clos, alors tout élément entier j principal admet une décomposition primaire telle que les i

radicaux des composant s soient des éléments premiers minimaux dans D*.

Soit a ion élément entier principal, D l'ensemble quotient D/Ol>

où CL est l'équivalence d^TArtin et a la classe de a dans D^# Alors

comme D est intégralement clos et De noethérien, tout élément entier de D est représentable de façon unique en produit de puissances d'éléments premiers ou en intersection d'éléments primaires, soit a = q ^ A . - . A ç ^

( £ 3 ] Th. 15 p. 246 et Th. 16 p. 267). Comme l'élément maximum d'une classe primaire est primaire ( [ 3 ] P. 6 p. 246), nous aurons

e:(e:a) = q^ A ... A q ^ . De plus a étant principal, a = e: (e:a) et a

est maximum dans sa classe modulo l'équivalence d'Artin (d'après P II.2) Alors a = q ^ A ••• A qn est une décomposition primaire de a#

Supposons que, par exemple, le radical p^ de q^ ne soit pas minimal dans D^, alors il existe un élément premier p1 non nul tel que

P¹ < p^ ^ e. D étant intégralement clos, D^!/ C t ^{e s}t un gerbier de Dedekind ( [2j p. 24) et il y a identité entre éléments premiers non nuls et éléments maximaux, donc p^ = e modulo a et

\/*eK*,

moduloC3L • De plus p¹ étant le radical de q ^ 3 n C N J p^ q ^ et, comme les classes modulo sont convexes, q^ s e modulo a . Alors

a s* ç * 2^/^ • • • ^ans /^{c e} CI¹¹*^{e s t} exclus car la décomposition est unique, donc les radicaux des composants sont tous minimaux.

Soit p un élément premier minimal dans D * et S = ^s ^ e ; x ^ p\, alors on peut considérer l'ensemble D_. que nous noterons alors D .

S

p

Demi-groupe! intégralement cloi 107

Nous avons vu précédemment que si D est intégralement clos, alors D^

est intégralement clos (Prop. I. 1).

Définition^II^S :

Nous appellerons condition (B) 1*ensemble des conditions : a) pour tout élément premier p minimal dans D ^t est intégralement clos^#

b) tout élément entier principal admet une décomposition primaire telle que les radicaux des composants soient des éléments premiers minimaux dans D*.

Nous avons alors le résultat suivant : Théorème II.1 :

Si D est intégralement clos, alors D vérifie la condition (B).

§ 5 - Contre-exemple.

Toutefois la condition (B) n'est pas une condition suffi- sante pour que D soit intégralement clos. Soit en effet le demi-groupe D donné par sa table de multiplication et son diagramme de Hasse :

X e e q p » ». pⁿ ...

© © © q p ••• p ... • e

e © e q p ... pⁿ ... ., e

q q q q P pⁿ

1

P P P P p2* . . p n + ^ . ,^; P

. . . . . . .

• • • • • • •

• •

n n n n n+1 2n , n

P P P P P P | P

• • • • • • •

• • • • • • •

• • • • • • .

108 Demi-groupes intégralement cloe

D est évidemment un demi-groupe commutatif à élément unité.

De plus D est réticulé, car D est ordonné en chaîne. Enfin D = D*1

est residue et nous avons le tableau de résiduation : : | © e q p • •• p •• • •

© © © © © . . . © . . .

Nous voyons alors que e q e

j _ D n^fest pas intégralement

q J q q © © ... 9 • •• ^ ^

^ ^ clos, en effet p :p « ©,

p p p p © ... © ... ^

. . . . . . Nj^ le fil N*^.

. . . . . .

• • • • • • n n n n n-1 _ p p p p

• . • • . . . . . . . • . . • • • •

D'autre part p et q sont premiers et p est premier minimal. Soit le sous-demi-groupe S » [x ^ e ; x ^ p } = |e,q} , alors 0, e et q sont congrus modulo R . car e,q € S et q 9 = 9 =^ (q © )^c = q_ = © et

2

P#P #...#P sont distincts modulo R . car V 3 e <SN*, p " * : ( p * )0, le / le+1. . ""le , -k+1 w_ ^ V T*

Alors D = ^e,p,p^, #.. ,pn,... } et D est intégralement clos, car

—-jç ^ P ^. — P

p :p = © = e y ^ ^ et ©:© = © = e^# D'autre part il n'existe pas d'éléments principaux dans D, donc D vérifie la condition (B).

Ainsi D vérifie la Condition (B) et D n'est pas intégralement clos.

S 6 - Condition suffisante.

ProgositÎ22-ï!î.§ :

î II y a équivalence entre les conditions ( [[2]] p* 27) : a) x:x = e, V x 6 ^{D *}

b) x G. D,* 3 m Ê D⁸* j roxⁿ ^ e, V n e M * = ^ x ^ e Soit D vérifiant la condition a ) . Soit x 61 D, tel que 3 m « D¹* !