Solution de la question 181 (Strebor)

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T H . L OXHAY

Solution de la question 181 (Strebor)

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 11 (1852), p. 146-148

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SOLUTION DE LA QUESTION 181

(STUEBOR)

(Yoir t. VII, p 157);

PAR M. T H . LOXHAY, Répétiteur à l'École militaire de Belgique.

LYnoncé doit être rectifié de la manière suivante : Démontrer la formule

Tï

•"* ~ S g ( i — sin2 a sin2 cp)

J

| 2 log (l S

o S/l— s isin2 a sin2 c

/*2 dy Jo y i — sm2 a sinJ cp

^*) On peut voir, pour ce problème, le Mémoire de J.-A.. Euler, in- titulé : Recherches des mouvements d'un globe sur un plan horizontal (His- toire de l'Académie de Berlin, année i ;58, pages 284 à 353), et la Théorie des effets du jeu de billard, par G. Coriolis (chap. Ie r, pages 5i à 77).

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( ' 4 7 )

P o u r démontrer cette formule, considérons seulement le premier m e m b r e , et posons

( 2) (i — sin2 a sin2 y) (i — sin2 a sin2 w) = cos2 a ; d'où

cos2 <p sin* w = -

y i — sin² a sin² cp

Pour 9 = 0 , on obtient w = -? et pour © = -* on obtient a) = o *, de sorte qu'après la substitution de <p en a), dans le premier membre de l'équation (i), l'intégrale sera encore prise entre les mêmes limites, pourvu que l'on en change le signe. De la formule (a) on tire

cos2

ï — sm2 a sin2 «

d'où

cos ad w

Remplaçant maintenant, dans le premier membre de la formule (i), les quantités en <jp en fonction de celles en o), on trouve, en simplifiant et en changeant le signe du second membre,

I:

^{—y i — ssm}^!og(i— ² a sin* <

X

^{2 . cos* a}_log

_

r — sin2 a sin2

Mais on peut, sous le signe de Tintégrale définie, chan- ger w en une^autre quantité variable sans modifier le résultat; changeons-y w en y et simplifions, on en

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( '48 ) tire

TT

X

2 log ( i — sin5 a sin2 <p)

— . ^^p

v/1_ s i n2ö s i n3(P

f f* rfT r i l o g ( i — sin2 a sin2 y) j ~]

2 l o g COS a I I . : — I 1 . . " ? 1 7

& L J0 v^1 —sin2 «sin2 f Jo yl — s m rt s m ? -»

d'où, enfin ,

X

*51off(i—sin2 «sin2 o») . Cv dy

—° v 1' dy — log cos « I t