V. RESISTANCE DES MATERIAUX.

B. Van Oystaeyen: Cours de physique - I.31 – (N.B.: Ce chapitre est un résumé du ch.8 de "Physique", par Kane et Sternheim: voir phys4med/bibliographie)

L'application d'une force sur un objet n'a pas pour seul effet éventuel de modifier son état de mouvement. Que l'objet bouge ou ne bouge pas, les forces appliquées font toujours apparaître à l'intérieur des matériaux des contraintes qui tendent à déformer les objets (allongements, compressions, torsions, ...) ou, à la limite, à les briser (cassures, déchirures, éclatements, implosions,...). En fait ces contraintes jouent en premier lieu au niveau des atomes, dont les liaisons normales se voient sollicitées de façon plus ou moins importante, la question étant de savoir jusqu'à quelle limite chaque atome peut "s'accrocher" à ses voisin et dans quelle mesure le fait qu'un atome

"lâche" ses voisins oblige le suivant à lâcher les siens, etc.... A ce niveau microscopique, la réalité se révèle extrêmement complexe et très dépendante de la structure atomique: S'agit-il d'un cristal ionique, d'un matériau amorphe,...? C'est pourquoi nous nous contenterons d'une description macroscopique de ce genre de phénomène.

Notions préalables:

* Elasticité: On dira qu'un corps est élastique lorsque, ayant subi une déformation suite à une contrainte, il reprend sa forme initiale lorsque cesse la contrainte.

* Plasticité: On dira qu'un corps est plastique lorsque, ayant subi une déformation suite à une contrainte, il conserve cette déformation lorsque cesse la contrainte.

Il s'agit en fait de deux propriétés extrêmes: bien des situations sont telles que, lorsque cesse la contrainte, l'objet retrouve sa forme première , mais en partie seulement!

A. Résistance à la traction.

1. Contrainte et déformation.

Soit une barre de longueur l et de section S fixe à une extrémité et sur laquelle on exerce une force de traction F à l'autre extrémité. Soit aussi l l'allongement obtenu par cette traction.

Il semble raisonnable d'admettre que si la traction s'effectuait sur deux barres identiques, il faudrait une force double pour obtenir le même allongement l de ces deux barres. La conclusion serait la même si la traction s'effectuait sur une barre unique mais de section double. En conséquence, on définira la contrainte  comme la force de traction par unité de surface (Equ.1.55)

Il est tout aussi raisonnable d'admettre que si la barre avait une longueur double, l'allongement serait double: D'où la notion de déformation , définie comme l'allongement par unité de longueur (Equ.

1.56)

2. Module de Young.

Pour des contraintes  relativement faibles, la déformation  obtenue est directement proportionnelle à la contrainte. Cette loi est souvent appelée loi de Hooke, mais il est préférable d'en retenir la notion de module de Young, qui représente la constante de proportionnalité

entre  et  (voir 1.57). Le module de Young est vraiment l'une des caractéristiques de base des matériaux en ce qui concerne leur résistance aux contraintes. La table I.2 en donne quelques valeurs pour différents matériaux.

 = F

S ( 1.55 )

 = l l



( 1.56 )

E = 

 ( 1.57 )

3. Limite de résistance.

Lorsqu'on impose à une barre des contraintes de plus en plus élevées, la déformation  évolue selon la figure ci-contre.

La région OB est la région où le matériau garde sa propriété d'élasticité. Seule la région OA est vraiment linéaire et répond donc à la loi de Hooke (1.57) (La région AB est légèrement incurvée).

Au-delà de B le matériau garde des déformations permanentes.

Le point C correspond à la limite extrême de résistance à la traction: Si la barre atteint une fois ce point, par la suite une contrainte plus faible entraînera une déformation plus grande.

Le point D représente le point de rupture. Si D est très proche de C, on dira que le matériau est cassant. Si D est loin de C, le matériau sera dit ductile.

A noter encore que les matériaux présentent un effet de fatigue: Lorsqu'il subissent plusieurs fois la même déformation, le point C se déplace progressivement et la cassure s'obtient pour des contraintes plus faibles. Songez à un trombone qu'on plie plusieurs fois: il finit par se casser facilement!

(Bien sûr il ne s'agit pas là d'un effort de traction, mais différents types de déformations présentent les mêmes caractéristiques). Ces effets de fatigue doivent être pris en compte notamment lors de la mise au point de broches destinées à soigner les fractures osseuses, ou encore lors d'exercices de réadaptation du membre fracturé et muni de telles broches.

Matériau Module de Young E (en N.m^-2)

Limite de résistance à la traction _l (idem).

Aluminium 7 10¹⁰ 2 10⁸

Os

Traction 1,6 10¹⁰ 12 10⁷

Compression 0,9 10¹⁰ (ici compression) 17 10⁷

Bois dur 0,9 10¹⁰

Tendon 2 10⁷

Caoutchouc 10⁶

Vaisseaux sanguins.

2 10⁵

Table I. 1: Module de Young et limite de résistance pour quelques matériaux.

B. Van Oystaeyen: Cours de physique - I.33 –

B. Résistance à la compression

1. Compression d'une barre

La résistance qu'oppose une barre à la compression se décrit de façon tout-à-fait parallèle à la résistance à la traction: Les définitions (1.55) pour la contrainte, (1.56) pour la déformation et (1.57) pour le module de Young restent valables. A noter que ce module n'est pas le même pour les deux types de contrainte: La table ci-dessus montre que pour les os le module à la compression est environ la moitié du module à la traction. Les limites de résistance sont assez comparables.

Exemple: Si la section droite d'un fémur d'une personne adulte vaut 6 10^-4 m², à partir de quelle charge y a-t-il fracture en compression?

(Le résultat vous paraîtra sans doute fort élevé mais on peut montrer qu'il est facilement dépassé quand une personne fait une chute de plusieurs mètres et se reçoit sur les jambes) En faisant l'hypothèse que la relation entre la contrainte et la déformation reste linéaire jusqu'à la fracture, déterminer la déformation correspondant à la fracture.

2. Le flambage.

La résistance à la compression ne dépend que de la section droite de la barre, de sorte qu'on obtient le même résultat avec un cylindre plein, par exemple, et un tuyau creux pourvu que la section matérielle circulaire dans le premier cas et la section matérielle en couronne circulaire dans l'autre cas soient égales. Il faut toutefois tenir compte d'un phénomène qui intervient lorsque la paroi devient très mince (Pensez à une feuille de papier enroulée en cylindre et qui supporte un livre): Pour une charge donnée, bien inférieure à la charge limite, la paroi latérale "flanche" et le système s'effondre. C'est ce qu'on appelle le flambage.

N.B.: En fait, l'effet peut se produire pour tout cylindre, même plein, à partir d'une certaine hauteur de ce cylindre. La cause peut même être le propre poids du cylindre! Pour un cylindre plein de rayon r soumis à son propre poids, la hauteur critique évolue selon la loi l=cr^2/3, où c est une constante dépendant de la densité du matériau et de son module de Young. Il est remarquable de constater que lorsqu'on étudie la hauteur des arbres en fonction de leur rayon, les résultats fluctuent autour d'une courbe parfaitement parallèle à cette loi, tout en lui restant bien entendu inférieure, sans quoi ces arbres s'effondreraient sous leur propre poids! Des études sur la masse des animaux comparée à leurs dimensions, de la souris à l'éléphant, font aussi apparaître le rôle important de la résistance au flambage comme facteur déterminant les dimensions.

C. Résistance à la flexion.

Soit une barre de longueur l et de section rectangulaire, de hauteur a et de largeur b. Posée sur deux supports aux extrémités, elle ploie sous son propre poids. La courbure finale correspond à un arc de cercle appartenant à un cercle de rayon R: Le rayon de courbure.

La face supérieure subit une légère contraction, alors que la face inférieure subit un léger étirement (Entre les deux il doit exister une surface qui garde sa valeur malgré la déformation: On

l'appelle la surface neutre). Dès lors, si on considère une moitié de la barre, elle ressent de la part de l'autre moitié un couple de force formé d'une force de contraction en haut et d'une force de dilatation en bas (voir cours). Le moment de force correspondant est donné par:

où I_s est le moment d'inertie de la section droite. (!!NE PAS CONFONDRE AVEC LE MOMENT D'INERTIE DEFINI EN III.B.2 !!). Nous nous contenterons de discuter deux cas intéressants:

1°) Pour une barre de section rectangulaire de dimensions verticale a et horizontale b, le moment d'inertie vaut I_s = a³b/12. Il augmente donc très rapidement avec la valeur de a. Il explique entre autres cet effet bien connu selon lequel une planche posée à plat sur deux supports présente une flèche importante, alors que la même planche posée sur chant fléchit à peine (et supporte des charges importantes: de nombreuses charpentes modernes utilisent des planches posées sur chant).

Exemple: Une planche est épaisse de 1 cm et large de 10cm. Soit R₁ son rayon de courbure lorsqu'elle est posée à plat sur deux supports, et soit R₂ son rayon de courbure lorsqu'elle est posée sur chant.

Quel est le rapport R₂/R₁?

2°) Soit une barre cylindrique pleine et une barre cylindrique creuse de mêmes sections droites (section circulaire pour la première; section en couronne pour la deuxième): Le moment d'inertie de la deuxième est supérieur à celui de la première (nous n'en discuterons pas les valeurs exactes, ni les formules: nous admettrons donc cette affirmation comme vraie!). Ainsi, les structures creuses apparaissent plus résistantes que les structures pleines, ce qui constitue un atout intéressant pour tous les systèmes qui doivent être à la fois légers et solides. Ainsi, les os ont généralement une structure creuse: La section droite d'un fémur représente les ¾ seulement d'un os plein qui aurait la même résistance à la flexion. Rappelons-nous tout de même le problème du flambage qui impose que les structures creuses n'aient pas des parois trop minces¹!

De façon générale, une barre est d'autant plus résistante que sa masse principale s'éloigne de la surface neutre (voir figure ci-dessus). C'est ce qui explique la forme en I donnée par les ingénieurs aux poutrelles métalliques.

1 On admettra aisément que les oiseaux apprécient un poids réduit: Comme par hasard, leurs os ont des parois particulièrement minces. Danger de flambage? Ces parois sont dotées de filaments osseux qui

Figure 2: Barre posée sur supports et ployant sous son propre poids. R est le rayon de courbure.

Dessiner les couples de force qui

équilibrent une moitié de la barre

 = EIs

R ( 1.58 )

B. Van Oystaeyen: Cours de physique - I.35 –

D. Résistance au cisaillement.

La figure ci-dessus montre ce qu'on entend par cisaillement. (Un modèle simple est celui d'un livre posé sur une table sur lequel on pose la main pour exercer une poussée horizontale: Le livre se déforme comme le suggère la figure. Par ailleurs, l'image des pages glissant les unes sur les autres donne une bonne idée de ce qui doit se passer au niveau atomique pour un objet qui n'est pas feuilleté comme un livre).

La situation se décrit de façon tout-à-fait analogue à la traction: On définira la cause (la contrainte), l'effet (la déformation) et le lien entre les deux (un module typique de l'objet concerné):

* La contrainte est la force de cisaillement par unité de la surface sur laquelle elle agit:

* La déformation est la distance de glissement par unité d'épaisseur:

* Le rapport entre les deux est le module de cisaillement G :

Exemple: Le patin de frein d'une bicyclette a un module de cisaillement qui vaut 10⁷ N/m². Lors d'un coup de frein, le bloc exerce une force de 100N sur la jante. La surface de contact vaut 1cm X 5cm. Le patin a une épaisseur de 0,8cm. a) Que vaut l'effort de cisaillement sur le bloc? b) Sur quelle distance la surface en contact est-elle déplacée?

Figure 3 : Soit un objet de hauteur h et de surface S. Un couple de forces F induit un glissement  d'une surface par rapport à l'autre.

 = F

S ( 1.59 )

 

=

h ( 1.60 )

G = 

 ( 1.61 )

E. Résistance à la torsion.

Dans le dessin ci-contre, on admettra que le cylindre est fixe sur son côté gauche, et soumis à droite à des forces F formant un couple de torsion . Sous l'action de ce couple, l'extrémité droite tourne d'un angle : On peut montrer que couple et angle sont directement proportionnels l'un à l'autre. On admettra la relation suivante:

où G est le module de cisaillement défini en (1.61) et où k est une constante qui dépend de la géométrie de l'objet (forme, longueur, largeur).

Exemple : Le moment correspondant à la fracture d'un tibia est de 100Nm (angle de torsion à la fracture: 3,4°). Si la spatule d'un ski est à 1m de la cheville, la fracture correspond à une force de 100N s'exerçant sur la spatule. La pointe du pied tendra à éviter la torsion par un moment égal et opposé: Si la pointe du pied est à 30cm de la cheville, elle devra donc exercer une force de 330N.

Conclusion: le risque d'accident pourra être limité si la fixation du ski est pourvue d'une sécurité qui s'ouvre sous une force inférieure à 330N

 = G k 