n° 6. SD Géométrie
FICHE GUIDE DE RECHERCHE 1NDIV•DUELLE c ;:LASSE DE 4e
13
Elle est suivie de la confrontation des 1ésultats qui donne lieu à
une séance de synthèse au co1J1s de laquelle les démonstrations né cessa1res se font au sein d·une d1scuss1on
Avantages :
Redécouverte préconisée dans les 1 0
rythme pe1 sonnel 1especté (tous peuvent réuss11 à répond;e) ; travail ind1v;duel plus intense;
théorèmes bien ass1mdés sons être apprts Inconvénients :
- ceux habituels de la fiche guide • évasion 1mposs1ble;
- caractère artificiel . aucun rapport avec la vie.
DROITES PARALLELES
Définiiion:
P 1 (Rappel) Complète
---
Droites
om lète le tableau
H C
---
D-l-
xyp 3
---
Droites Droites
Termine la phrase:
Deux droites perpen- diculaires à. -- - -...
Des droites pa iallèles sont. ...
Signe : / /
à xy.
Pourrais-tu construire une parallèle à D passant par le point P
Combien pourrais-tu consuuire de parallèles à D passant par P ?
Conclus
Par un point extérieur à une droite.
Ce théorème est le «Postulat
d " EUCLIDE ~
(1) p.14-14 Géoméirie n°
6
SDT.P. 4 : Complète le tableau :
~
Hc ·· . ··· ... ···· '' "} ~ ... .. .. ,
Trac.e une droite
o· / /
Ô Deux droites .... ··-· , .•...0 0 D // /:}. .. .
-- -
..-
... ...1
T.P.~ : Complète :
~ à d
H. --- c.
6.
el/Y. ,
sont parallèles} Si tu prolonges D, que.. -
...- - - - .. -
...- .
D c.oupe la dtoile Ô fa11 ceue droiie ? .
. -- -· - - - -
.....· · · - -·· -- - - ·-· ~ - . . - - - . - - -
...1
T.P. G:
.. . ·- .. . } =9
1Complè1e • - • • • w• J
A
H. -- c.
Lorsque deux droites son!~ A //A l l~ '
parall.. . .... ..
èles... .--
....
.. ...
... . . - -
..- -· - . . .
Prolonge D (en couleur)
D .. .... ...
~
(1) Un ~postulat» ou enc.01e oaxiome »est l'énoncé d'une propriété admise sans dé- monstralion. (Elle apparaî1 comme évidente mais n·a pas été démontrée).
EUCLIDE : était un géomètre ~rec qui vécut de 320 à 270 avanl
J
.C.n°
6
SDCENTRE INTERNATIONAL DE PROGRAMMATION DE L ECOLE MODERNE
l C.E M CANNES (AM)
Tous d10Jfs 1ése1vés
1 '.:>
GEOMETRIE Classe de Se LE THEOREME
SA RECIPROQUE
SA TRADUCTION
en langage symbolique
Dl
Elam donné un segment BC, on marque le milieu M de ce segment.
MB
=
MC traduit-il complè- tement ce début d:énoncé ?Sinon complète. Fais la figure.
Rî
s
~1~~--.t~:~~-+M 1~~--1i~·~~~,cPour que M soit le milieu de BC il faut que le point M appartienne au segment BC et que MB = MC.
Donc il manque : M
f
BCE
signifie appartientRaisonnement 1 ogiquc
On considè1e un cercle de centre O.
02
Soient A et B, 2 poincs de ce cercle
,...
et I le milieu de
r
un des arcs AB.Fais la figure et écris les rela·
tions qui traduisent Le texte.
A
. .
,, - I R2;<o
tBCes relations_. s"appellent :
LA TRADUCTION DU TEXTE EN LANGAGE SYMBOLIQUE.
Hypothèses : A
r (
0, R)B
t (
0, R) 1t ( 9,
R)... 'I "
AI = IB
{
OA
=
OB = OI=
R ou ,..., """'AI = IB
16
03
Construis un cercle de centre 0 el de diamètre AB.
Place les points M, 1, C d'après les indicalions suivantes :
{
M
t
AB { IA = 1BMO= MA 1
~
ABl
COA"'
OC = =OA C... OB\ signifie n'appartient pas.
9 R3
Ta figure peul te sembler différente Elle peur être juste quand même
04
SI deux ongles au centte d un même
1 ,
A1 •
cerc e sont egaux, 1 s interceptent deux a. es égaux
C
Cetce phrase est un THEOREME.
<Si un artisan est menuisier, il travaille
le bois.»
Ceue phrase est construite comme un théorème. Partage-la en soulignant HYPOTHESE et CONCLUSION.
qo
6
SDR4
«Si un artisan est menuisier, il tra- li
-==-
vaille le bois.»
La propos
2
ition entraîne celle auueUn artisan est menu1s1e1
ou implique
)
proposition il tcavaille
le bois
Ce schéma s'appelle : TRADUCTION DU THEOREME.
05
Ecris, souligne et traduis la phrase réciproque
Est-elle vraie ?
R5
Si un arrisan tra,aille le bois, il est
=
menuisier.
Un artisan uavaille
>
le bois
---7~
il es1 menu1s1er.
Cette 1écip1oque est fausse, par ce qu'il peul élre cha1pentier, chaJCon etc ...
J
1
l
;1e
06
1) Copie le théorème direct relatif aux angles au centre. (04) en soulignant.
Fais-en la lladuc.tion pa1 une figu- 1e el le langage symbolique.
2) Fais le même lravail pour le théorème réciproque.
R6 Si de.ux angles au centre d un même cercle sont égaux, ils interceptent deux ::11cs égaux.
EXERCICE 1
{ Â " "'
Hl
AOB = COD~""'
~C l AB = CD
0 7
Si on uac.c la biss
...-
ectrice OM d un angle au centre âO ... , ~lie passepa1 le milieu de l'arc
AB
intercepté par cet angle.Copie.
Souligne
Traduis par une figure ei le langage symbolique.
17
R7
Si on trace la bissectrice OM d'un angle au cenf(e
ÀÔb,
elle passe par le milieu de raiei.B'
intercepté par{ ~ {"'"' ,.._
H OM biss. de AOB~ C MA =MB
os
Fais de ton mieux, la démonstra tion de cette propriété.
CONSEIL : pense à la définition de la bissecll ice d un angle.
REDACTlON.,POSSIBLE OM b1s,,ec • , ....
de l angle AOÎl...J,e pa••j!.!tC en 2 anglt"• au rent e égaux ~!OA MOB S1 2 angles au cen1re d un metnt• ( e .. )<' son• Af.aux 1.J.:....
in te• cepl enr dt>s a•.c s
,,...
égaux MA 'MG M, pa!1agci1n1 1 aie AB en 2 a•cs égaux es• son milieu18
09
EXERCICE II.-
Si on prend le milieu M de J' arc AB inlercepté par ~
...-...
un angle au centre AOB, il appartient à la bissectrice de cet angle.Copie.
Souligne.
Traduis par une figure et le langage symbolique.
Â9
Si on prend le milieu M de
r
arc AB~inte1cepté par un angle au centre
i(°ÔÎ! ,
il appartierit à la bissectrice de cet angle.
D 10
Fais la démonstration de cetle propriélé par un schéma en indiquanl bien la signification de chaque signe.
n°
6
SDR 10 . - ,...-.. r1 ) /"'.. / " (:2)
t-.iA. = MB~ MOA= MOB~
OM biss. de
;\oo
(1) théorème réciproque relatif aux angles au centre
(2) définition de la bissectrice FAIS-EN MAINTENANT LA REDAC- TION.
Toul problème de ~éoméuie se pré- sentera maintenant sous celle forme : TRADUCTION, sc1-1m.iA. DE LA DE.
MONS TRA TION, REDACTION.
D 11
Recopie les traductions symboliques des exercices I et II.
Comment peux-tu appeler les phrases des exercices I et II, J' une par rapport à !"autre ?
· R 11 /"\
H { OM biss. de AOB
::::i+
s{MÀ = MÈ
1-1{MA = ~ ~
C { OM biss de AOB EXERCICE 1 : Théorème direct.
EXERCICE II : Théorème réciproque
'
(,
n° 6 SD ùéométrie
rrRAVAUX PRATIQUES Cfasse de 4e
PmSSANCES
1. Rappel Rela1ions qui 1appellent la définJtion dune « puissance~
an - - - ,
= ---
..._ _ _ _ _-
....,..--_ _ _- - -
_,-1.... fac.teurs égaux à ... .
Une puissance d'un nombre c"est
12 .
En songeant toujours à la définition, c:omplèfe les tableaux suivants :a3 X a4
. • .
= a X•••• X a ...
'
' ,
. .. -
facteurs=a···
On généralise ce résultat en remplaçant les exposants par les lettres met n (ou d'autres)
am x an
1
,{ . 3
(a. ) . ( a . . . ) 3
= (···· ... ·) (· ... ···) (···-· . ·)
= a X •
... facteurs
= a ...
Généralisatio1 : (am ) n
19
20 Géométrie n° 6 SD
(abcd)3· =
== ·abcd x abcd x ... . a
X ....•••.••••
b Regroupe les a, les b , les c :
= a ... X b ... X C . ... •• a X • •• •••• • • •
:
~ ... .,,-...,,. b ~z:
. .. ... .
= a
...
X i; .. X c
. ..
= a
...
= a b c b ...
Généralisation : Généralisation :
____ I 1 ( + )
1
(a be d ) m = n
3. QUELQUES PUISSANCES RE~iARQUABLES :
En appliquant toujours la définition recherche le résultat de ces puissances par- ticulières.
= . ... . .
el a 1ln =
... . ... = ... ...
el 10°a 0 ? ?? sera étudiée plus tard