MÉMOIRE. Pour l obtention du diplôme de MASTER

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Ahmed Draia D’Adrar

Faculté des Sciences et de la Technologie Département des Mathématiques et Informatique

MÉMOIRE

Pour l’obtention du diplôme de

MASTER

En Mathématiques Spécialité :

Analyse Fonctionnelle et Applications Présenté par

Yamina BOUKHEIRA Thème

Étude de quelques Propriétés sur les Variétés Riemanniennes et Applications

Soutenu publiquement le 04/06/2018 devant le jury composé de : M. Laid GASMI Maître de assistant A Université d’Adrar Président M. Hadj MAZOUZI Maître de assistant A Université d’Adrar Rapporteur M. Nassira SOUDDI Maître assistant A Université d’Adrar Examinateur

2017–2018

Dédicace

Je dédie ce modeste travail:

À mes trés chers parents qui me permissent de continuer mes études dans les meilleurs conditions.

À tous mes fréres et mes soeurs.

À mes amis sans de promotion 2^eme annés Mastre Mathématiques.

À mes familles BOUKHEIRA.

@ B. Yamina @

ii

Remerciements

En premiér et avant tout, je remercie le Dieu de m’avoir donné la force de réaliser ce travail.

Je tiens a remercier, mon encadreur: "Mr. MAZOUZI Hadj" pour sa direction j’ai eu le plaisir de travailler gràce à ces consiels ces critiques scienti…ques.

Je remercie, maitenant, les nombres des Jury, Mr. Laid GASMI et Mme. Nassira SOUDDI.

Je remercie chaleureusement, les professeurs de mathématique sans exception et tous les enseignants qui ont contribué à notre formation du primaire jusqu’à l’Université.

En …n, je remercie tout seux qui de prés ou de loin à l’accompléssement de ce mémoire.

Table des matières

0.1

Introduction

1 Rappels et dé…nition 4 1.1 Notion d’espace topologique . . . 4

1.1.1 Espace topologique . . . 4

1.1.2 Espace séparé . . . 5

1.1.3 Di¤érentielle d’une application sur un espace normé . . . 6

1.1.4 Application Homéomorphismes et di¤éomorphismes . . . 9

2 variété di¤érentiable 13 2.1 Notion de variété di¤érentiable . . . 13

2.1.1 Variété topologique . . . 13

2.1.2 Atlas sur une variété topologique . . . 14

2.1.3 Variété di¤érentiable . . . 16

2.1.4 Application di¤érentiable sur une variété di¤érentiable . . . 20

2.2 Notion d’espace tangent à une variété di¤érentiable en un point donné . . . 22

2.2.1 Courbe tracé sur une variété di¤érentiable . . . 22 iii

iv

2.2.2 Espace tangente . . . 23

2.2.3 Champ de vecteurs . . . 24

2.2.4 Dérivation et champs de vecteurs . . . 25

3 Variétés Riemanniennes 26 3.1 Métrique Riemannienne . . . 26

3.1.1 Variété Riemannienne . . . 29

3.1.2 Connexion sur une variété Di¤érentiable . . . 29

3.1.3 Crochet de Lie . . . 30

3.1.4 Torsion de la variété Di¤érentiable: . . . 31

3.1.5 Notion de la Connexion Riemannienne . . . 32

3.1.6 Notion fondamentale en géométrie riemannienne . . . 36

4 Opérateurs sur une variété Riemannienne 45 4.1 Les isomorphismes canoniques . . . 45

4.1.1 Isomorphisme bemol b et diése # . . . 45

4.1.2 L’opérateur gradient sur une variété Riemannienne . . . 50

4.1.3 L’opérateur Divergence sur les champs de vecteur . . . 51

4.1.4 L’opérateur Laplacien sur une variété Riemannienne . . . 53

4.2 Conclusion et perspectives . . . 57

Résumé

Dans ce mémoire nous avons introduit les rappels et dé…nition de topologie génerale et calcul di¤érentielle des application sur un espace vectoriel normé et nous avons étudie la var- iété di¤érentiable à n dimension, et on introduit quelques propriétés et dé…nitions des variété riemannienne.

En …n nous avons donné les opérateurs sur une variété Riemannienne.

Le but de ce travaille j’ai représenté aux simpli…er l’étude sur une variété de dimension n à l’espace Rⁿ à partir de dé…nir une carte sur cette variété par suite l’espace tangent de chaque point.

Abstract

In this thesis we have introduced the recollections and de…nition of general topology and dif- ferential calculus of applications on a normed vector space and we have studied the di¤erentiable manifold with n dimension, and introduced some properties and de…nitions of the Riemannian manifolds.

In the end we gave the operators on a Riemannian variety.

The aim of this work I represented to simplify the study on a variety of dimension n to the espaceRⁿ from to de…ne a map on this variety consequently the tangent space of each point.

1

0.1 Introduction

En mathématiques, il ya plusieurs branches parmi les quelles a géométrie, cette derniére étudie les propriétés et les relations des formes et des …gures dans un espace.

La géométrie se divise en deux types, la géométrie analytique et la géométrie di¤érentielle:

La géométrie analytique: Partie de la géométrie ayant recours au calcul algébrique et analytique. Elle facilité l’étude des propriétés géométriques des courbes et des surfaces et de leurs présentations graphiques ou la recherche de "lieux géométriques".

La géométrie di¤érentielle: Est une continuité du calcul in…nitisimal, elle permet d’étudiér gràce aux techniques du calcul dé¤érentiel, une nouvelle famille d’éspaces topologiques appelées

"variété di¤érentiable", permettant la rénovation de la vieile géométrie des courbes et des surfaces deR³ à la Gauss Darboux, et en la placant selon un esprit actuel dans un cadre contemporain, le calcul di¤érentiel permet d’étudier l’evolution d’un phénoméne au voisinage d’un instant donné (sa vitesse, son accélération) lors que celui ci décrit une portion d’un espace dans lequel on a une structure d’espace vectoriel normé. Notre but est de montrer qu’on peut faire de l’analyse mathématique en dehors des espaces qui n’admettent pas de structure des espace vectoriel normé.

Empiriquement, nous pouvons mesurer des portions de la terre nous déplaçant entre les villes, les pays on peut décrire presque toutes les régions du globe terrestre d’une maniére adéquate en utilisant un petit livre, appelée atlas formée d’un ensemble des cartes qui sont des ouverts du plan R², ici chaque point du globe peut être représenté dans une carte.

En s’inspirant de la cartographie, on dé…nit une variété di¤érentiable de dimensionn par un atlas qui est un ensemble d’ouvert deRⁿ appelée cartes.

la géométrie riemannienne est une branche de la géométrie di¤érentielle nommée en L’honneur

du mathématicien Benhard Riemann qui introduisit le concept fondateur de variété géométrique, elle étend des méthodes de la géométrie analytique en utilisant des coordonnées locales pour e¤ectuer l’étude d’espaces courbes sur lesquels existent des notions d’angle et de longueur, la premiére pas de la géométrie riemannienne au19^{i^eme} siècle et en particulier lors d’une conférence inaugurale intitulée sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie, la géométrie riemannienne s’est fortement développée durant la seconde moitié du 20^{i^eme} siècle, mais les premiers travaux dans ce domaine se confondent avec la naissance du concept de variété di¤érentielle, il c’est arrété sur les changements de cartes d’un atlas.

C’est whitney en (1944) qui à réglé dé…nitivement ce probléme, c’est dans les changements de cartes ou réside la notion de variété di¤érentiable.

La formulattion géométrique de ces notions à conduit à introduire des métriques sur des variétés di¤érentiables (variétés riemanniennes).

Ce mémoire contient quatres chapites, dans le premiére chapitre est un rappel de quelque notion de la topologie générale, et on parle à les dé…nitions des: espace topologie, espace sé- paré, espace vectoriel normé, la di¤érentielle d’une application sur un espace vectoriel normé, application homéomorphisme et di¤éomorphisme sur un espace vectoriel normé.

Dans le deuxiéme chapitre, on étudie quelques notions de base de géométrie di¤érentielle:

les variétés di¤érentielles, espaces tangentes et applications tangentes, champs de vecteurs et sa dérivation.

Le troixiéme chapitre on va etudier variété riemannienne, on parle à la dé…nition de la métriques Riemanniennes et variété Riemanninne, connexion sur une variété di¤érentielle, crochet de Lie, torsion de la variété di¤érentiable, notion de connexion Riemannienne, notion fondamon-

3 tale en géométrie Riemannienne.

Et dans le derniér chapitre, on introduit les isomorphisme diése et bemol, divergence d’un tenseur sur une variété Riemannienne, Laplacien des fonctions di¤érentiable, divergence sur ces champs de vecteur et quelques propriétés.

Le mémoire se termine par une conclusion générale et quelques perspectives.

Chapitre 1

Rappels et dé…nition

Dans ce premiér chapitre, on rappelle les outils de la topologie générale, de calcul di¤érentiel et les applications dé…nis sur un espace vectoriel normé qui seront utilisé dans la suite.

1.1 Notion d’espace topologique

1.1.1 Espace topologique

Dé…nition 1.1.1 Soit X un ensemble non vide, une famille T de parties de X est une topologie si et seulement si:

1) X;?2T:

2) 8A; B 2T; A\B 2T.

3) soit(Ai)_i2I une famille quelconque deX, alors[ⁱ2IAi 2T. Les éléments deT sont appelés des ouverts deT.

Le couple(X; T)est appelé un espace topologique sur X. 4

5 Exemple 1.1.2 Soit X =f1;2;3;4g.

T = f?; X;f1g;f3;4g;f1;3;4gg est une espace topologie sur X puis qu’il véri…é les trois axiomes précédentes.

Dé…nition 1.1.3 Un espace topologique X est dit espace T₁ si et seulement si: 8a; b2X avec, a6= b alors 9v_a2V (a); v_b 2V(b).

(V(a) designe voisinage dea et V(b)designe voisinage de b) tel que b =2v_a et a =2v_b . Remarque 1.1.4 v_aet v_b ne sont pas nécéssairement disjoints.

Lemme 1.1.5 Un espace topologique X est un espace T₁si et seulement si lesfxg X sont des fermés.

Preuve. ))Supposons que X est un espace T1;il su¢ t de montre que fxg X est fermé.

Soit y 2 fxg^c (on suppose que X plus qu’on point) alors on peut choisir un ouvert V_y X qui contient ày mais pasx) fxg^c = [

y2fxg^c

V_y est un ouvert:

Donc fxgest fermé.

()on suppose que 8 fxgest fermé, et on montre queX est un espace T₁:

8x; y2X avecx6=y ) 9un ouvert U telle que x =2U fxg^c, (il est de méme de y).

Donc X est un espaceT1:

1.1.2 Espace séparé

Dé…nition 1.1.6 Un espace topologique X est un espace séparé ou Hausdorf ou espace T2 si et seulement si:

8a; b2X et a6=b;9 va 2V (a) et vb 2V (b); telque va\vb =?:

Exemple 1.1.7 Toute espace métrique est séparé.

Soit(X; d)un espace métrique.

Soitx; y2X ; x6=y on pose0< ^d(x;y)₂ =r et U =B(x; r); V =B(y; r):

Supposons que z2U\V.

Alors on a: d(x; y) d(x; z) +d(z; y)< 2r=d(x; y)contradiction.

Donc U\V =?)X est séparé.

Remarque 1.1.8 Un espace séparé est toujours espace T₁, mais la réciproque est fausse.

Exemple 1.1.9 La topologie grossiére ( T_g =f?; Xg) est un espace T₁:

En e¤et 8x; y2X avec x6=y et 8B(x; r) =B(y; r) =X:

DoncB(x; r)\B(y; r) =?) Tg n’est pas séparé.

1.1.3 Di¤érentielle d’une application sur un espace normé

Dé…nition 1.1.10 Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif | (R; ou C).

On appelle norme sur E, toute application k:k:E!R⁺ véri…ant les conditions suivantes:

(1) 8x2E;kuk 0et kxk= 0,x= 0:

(2) 8( ; x)2| E;k xk=j jkxk:

(3) 8(x; y)2E E;kx+yk kxk+kyk:

Un espace vectoriel munie d’une norme est appelé espace vectoriel normé.

7 Exemple 1.1.11 Les trois normes usuelles sur | (R; ou C).

Soitn2N considérons8x= (x1; :::; xn)2| les réels kxk1;kxk2;kxk1 dé…nis par:

kxk¹ = Xn

k=1

jxkj;kxk² = ( Xn k=1

jxkj²)¹²;kxk1= M ax1 k njxkj:

Dé…nition 1.1.12 SoientE; F deux espaces vectoriels normésU un ouvert deE etf :U !F une application, on dit que f est di¤érentiable enx₀ 2U s’il existe une application linéaireg de E dans F telle que:

xlim!x0

kf(x) f(x0) g(x x0)k^F kx x₀ kE

= 0

Où f(x0+h) f(x0) g(h) =o(khk) (h) avec lim_khk!0 (h) = 0 et (h=x x0) On dit que g est la di¤érentielle def en x₀, et est noté par D_x0f .

On dit quef est di¤érentiable sur U s’elle est di¤érentiable en tout point xde U:

f est de classeC¹si s’application di¤érentielle est continue.

Si f admetk-di¤érentielles continues, on dit quef est de classeC^k(k 1).

Exemple 1.1.13 Tout application constante est di¤érentiable en tout pointa deU etDf 0.

Proposition 1.1.14 Si f est di¤érentiable au pointx0 2U, alors l’application linéaire continue g de la dé…nition est unique.

Preuve. Soient g₁ et g₂ deux application linéaire continue de E dans F telle que 8h 2 E;

avecx₀+h2U, on ait:

f(x₀+h) =f(x₀) +g₁(h) +o(khk) ₁(h) =f(x₀) +g₂(h) +o(khk) ₂(h):

Aveclim_{khk!0 1}(h) = lim_{khk!0 2}(h) = 0:

Alors on ak(g1 g2)(h)k=o(khk) (h), tel que = 1 2.

puis que lim_{khk!0 1}(h) = lim_{khk!0 2}(h) = 0;il en est de méme de :

Donc8r >0; il existe >0telle que pour touth2E;khk ) k (h)k r.

On a alors pour

khk ;k(g₁ g₂)(h)k=o(khk) (h) rkhk: Il s’en suite quek(g₁ g₂)k r 8r >0:

Donck(g₁ g₂)k= 0;et on obtient g₁ =g₂ .

Proposition 1.1.15 Soient E; F; G des espaces vectoriels normés, U un ouvert de E; V un ouvert de F; f :U !V; g :V !G; a2U; b =f(a)2V.

Si f est di¤érentiable en a et g di¤érentiable enb, alors g f est di¤érentiable en a, et

D(g f)(a) =Dg(f(a)) Df(a):

Preuve. On a (g f)(a+h) (g f)(a) =g(f(a+h)) g(f(a)):

Puis quef est di¤érentiable au pointa, on a alors 8>

><

>>

:

f(a+h) f(a) =Df(a)(h) + (h)khk lim_h!0 (h) = 0

PosonsDf(a)(h) + (h)khk=l; donc g(f(a+h)) =g(f(a) +l).

Puis queg est di¤érentiable au point f(a); on a alors 8>

><

>>

:

g(f(a) +l) =g(f(a)) +Dg(f(a))(l) + ⁰(l)klk lim_l!0 ⁰(l) = 0

9 Alors

g(f(a) +l) g(f(a)) = Dg(f(a))(l) + ⁰(l)klk

= Dg(f(a))(Df(a)(h) + (h)khk) + ⁰(l)klk

= Dg(f(a))(Df(a)(h)) +Dg(f(a)( (h)khk) + ⁰(l)klk

= Dg(f(a)) Df(a)(h) + (h)khk):

Où (h) =Dg(f(a))( (h)khk) + ⁰(Df(a)(h) + (h)khk)kDf(a)(_k^h_hk) + (h)k:

Comme l’application Dg(f(a)) Df(a)(h) est linéaire continue, il su¢ t de montrer que lim_l=0 (l) = 0:

1.1.4 Application Homéomorphismes et di¤éomorphismes

Dé…nition 1.1.16 Soient E; F deux espaces vectoriels normés, et U; W deux parties de E et F respectivement, une application f :U !W est un homéomorphisme si:

1) f est bijective.

2) f; f ¹sont continue.

On dit alors U; W sont des homéomorphes.

Proposition 1.1.17 Supposons que X; Y sont des espaces topologiques que X est homéomor- phisme à Y etY est séparé.

AlorsX est séparé.

Preuve. Soitf :X !Y est un homéomorphisme etx₁; x₂ 2X avecx₁ 6=x₂. Alorsf(x₁); f(x₂)2Y etf(x₁)6= f(x₂).

Par la condition de Hausdor¤, il existe des ensembles ouvertsV₁; V₂ de Y tels que

f(x1)2V1; f(x2)2V2

Et V₁\V₂ =?)x₁ 2f ¹(V₁); x₂ 2f ¹(V₂))f ¹(V₁)\f ¹(V₂) =f ¹(V₁\V₂) =?: DoncX est séparé.

Dé…nition 1.1.18 SoientE ; F deux espaces vectoriels normés et U; W deux parties de E et F respectivememt, une applicationf :U !W est appelée di¤éomorphisme si les condition suivant sont satisfaites:

1) f est bijective.

2) f 2C¹(U).

3) f ¹ 2C¹(W).

Si on a: la condition 1) avecf 2C¹(U)etf ¹ 2C¹(W), on dit quef estC¹ di¤éomorphisme.

Exemple 1.1.19 Soit f :R² !R² dé…nie par (x; y)7! f(x; y) = (x+y; x y) 8X(x₁; x₂)2R²; Y(y₁; y₂)2R²; f(x₁; y₁) =f(x₂; y₂) () x₁+y₁ =x₂+y₂ (1)

x₁ y₁ =x₂ y₂ (2):

De (1)+(2) on obtient: x₁ =x₂, en remplaçant x₁ dans (1) on obtient: y₁ =y₂:Alorsf est injective.

8 Z= (z1 ; z2)2R²

Z= f(x; y) () z1 =x+y (1) z₂ =x y (2) :

De (1)+(2) on obtient: x= ¹₂ (z₁+z₂), en remplaçant xdans (1) on obtient: y = ¹₂(z₁ z₂) doncf est surjective, en …nf est bijective.

f est dé…nit et di¤érentiable sur R², et ses dérivés partielles sont:

11

@f

@x(x; y) = (1;1) et ^@f_@y (x; y) = (1; 1) continues surR². Donc f 2C¹(R²)

f ¹(x; y) = ¹₂ (x+y);¹₂(x y) est dé…nit et di¤érentiable surR², et ses dérivés partielles sont: ^@f_@x(x; y) = ¹₂;¹₂ et ^@f_@y(x; y) = ¹₂; ¹₂ continues sur R².

Doncf ¹ 2C¹(R²)

Alorsf est un di¤éomorphisme sur R²:

Remarque 1.1.20 f di¤éomorphisme )f homéomorphisme.

La réciproque est fausse une application f :U !V de classeC¹ peut admettre une fonction inversef ¹ continue sans étre un di¤éomorphisme.

Par exemple f :R ! R dé…nie par f(x) = x³ est bijective et C¹. Son inverse est f ¹(y) = x¹³ qui est continue mais pas di¤érentiable en0.

Remarque 1.1.21 1) Pour tout ouvert U deE; Id_U est unC¹ di¤éomorphisme de U surU:

Si f :U !V est unC¹ di¤éomorphisme etg :V !W est unC¹ di¤éomorphisme, alors f g est unC¹ di¤éomorphisme de U surW.

Si f :U !V est un C¹ di¤éomorphisme, alorsg :V !U est un C¹ di¤éomorphisme.

2) Il se peut que deux ouverts U; V étant donnés, il n’existe pas de C¹ di¤éomorphisme de U surV.

Dé…nition 1.1.22 Soient E; F deux espaces vectoriels normés, U ouvert de E et f : U ! F de classe C^k(k 1), on dit que f est immersion (respectivement submersion) en x2U si Dxf est injective (respectivement surjective).

Si E et F de dimension …nies alors: dimE = dim ker (D_xf) + dim Im (D_xf).

Si f est une immersion enE;dimE= dim Im (D_xf) =rang (f).

Si f est submersion enE;dimE = dim ker (D_xf) + dim F dim F = rang(f):

Chapitre 2

variété di¤érentiable

Dans ce chapitre, On va etudier la variété di¤érentielle, on parle de la variété topologie et rappele la dé…nition de carte et atlas, application di¤érentiable sur une variété di¤érentiable.

Et on va étudier la courbe tracée sur une variété, espace tangente, champs de vecteurs et sa dérivation, voir [1], [2], [6], [7], [12].

2.1 Notion de variété di¤érentiable

2.1.1 Variété topologique

Dé…nition 2.1.1 Soit M un ensemble non vide, M est une variété topologique de dimension n et de classe C^k; k 1 si:

M est un espace topologie séparé.

Pour tout x 2M il existe un ouvert U de M contenant x et un homéomorphisme dé…nie par: ':U !'(U) Rⁿ et de classe C^k.

13

i) Le couple(U; ') est dite carte surM.

ii) Deux cartes(U; ') et (W; ) surM sont compatibles (équivalentes) si:

1) U\W 6=? .

2) ' ¹ : (U\W) !'(U\W) est di¤éomorphisme.

2.1.2 Atlas sur une variété topologique

Dé…nition 2.1.2 Une atlasA surM de dimension n et de classeC^k(k 1) est une famille de carte notéeA=f(Ui; '_i)_i2Igtelque:

1) Les ouverts U_i recouvrentM; i,e: M =[i2I U_i;8i2I . 2) Touts les cartes de A sont compatibles deux à deux .

Exemple 2.1.3 Soit R une variété topologique, en e¤et R est séparé, et l’application identité Id_R :x7! x est un homéomorphisme.

Donc 8 U =] 1;1[; V =]0;+1[, on dé…nit ' : U !'(U)

x7! '(x) =e^x

et

: V ! (V) x7! (x) =x² ' ¹ : '(U)!U

y 7!lny

et

1: (V)! V y 7!py

on a: U \V 6=? car ¹₂ 2U et ¹₂ 2V et U[V =R .

' et sont continues et ' ¹; ¹sont aussi continues. Ils sont bijectives. (surjective par construction et injective par dé…nition) donc' et sont des homéomorphisme .

15 ' ¹(x) = (lnx)² est bijective et de classe C¹ et( ' ¹) ¹ =e^px est de classe C¹ donc

' ¹ est di¤éomorphisme.

Alors la famille f(]0;+1[; x²);(] 1;1[; e^x)g est un atlas surR. Exemple 2.1.4 M =Rⁿ

Rⁿ est un espace topologique séparé.

On prend U =Rⁿ; '=Id_Rⁿ:

Alorsf(Rⁿ; Id_Rⁿ)gest un atlas de dimension n et de classeC¹.

Id_Rⁿ :Rⁿ!Rⁿ homéomorphisme, etId_Rⁿ (Id_Rⁿ) ¹=Id_Rⁿ de classe C¹. Exemple 2.1.5 M =E un R espace vectoriel de dimension n.

Soitfe₁; :::; e_ngest une base de E:

8x2E;9 uniquex₁; :::; x_n2Rtqx= Xn

i=1

x_ie_i Alors':E !Rⁿ dé…nie par x7! (x₁; :::; x_n) A=f(E; ')gatlas de classeC¹.

Exemple 2.1.6 Mn(R) matrice réelles de type(n; n):

M_n(R) est unR-espace vectoriel de dimensionn², alors d’aprés l’exemple (2.1.5) OnA=f(M_n(R); ')g avec:

': M_n(R)!Rⁿ² dé…nie par:

0 BB BB BB BB BB

@

a11; a12; :::; a1n

a₂₁; a₂₂; :::; a_2n ...::::::::::::::::

a_n1; a_n2; :::; a_nn 1 CC CC CC CC CC A

7!(a₁₁; a₁₂; :::; a_1n; a₂₁; a₂₂; :::; a_2n; :::; a_n1; a_n2; :::; a_nn):

Exemple 2.1.7 M est un espace topologique séparé muni d’un atlas de dimensionnest de classe C^r, V un ouvert de M.

A =f(U_i; '_i)gi2I, alors A_V = f(U_i\V; '_i=_Ui\V)gi2I est un atlas deV de dimension n et de classeC^r.

Exemple 2.1.8 GL(n;R) =fA2M_n(R)=detA6= 0g:

GL(n;R) est un ouvert deM_n(R);car on a det :M_n(R)! Rcontinue car polynomiale.

R est un ouvert de Ret GL(n;R) = det(R )ouvert de Mn(R).

Comme M_n(R) posséde un atlas de dimension n² et de classe C¹; alors d’aprés exemple (2.1.6) on aGL(n;R)posséde un un atlas de dimensionn² et de classeC¹:

2.1.3 Variété di¤érentiable

Dé…nition 2.1.9 Soit M une variété topologique de dimensionn et de classeC^k(k 1), on dit que M est une variété di¤érentiable de classe C^k(k 1) s’il existe un atlas f(U_i; '_i)gi2I de M telque 8 i; j U_i\U_j 6= ?, l’application: '_j '_i ¹ :'_i (U_i \U_j ) ! '_j(U_i \U_j ) est de classe C^k:

Remarque 2.1.10 Stucture de variété di¤érentiable de classeC^k de dimensionn est la donnée d’un couple(M; A) o¼u M est une variété topologique et A est un atlas.

Remarque 2.1.11 Soit M est une variété di¤érentiable de dimension n et de classe C^k; U est un ouvert de M(U M):

Alors d’aprés l’exemple (2.1.7) U est une variété di¤érentiable de dimension n et de classe C^k:

17 Systéme de cordonnées

Dé…nition 2.1.12 Soit (U; ') une carte de la variété di¤érentiableM. Pourx2U; '(x)2Rⁿpeut s’écrire

'(x) = (x₁(x); x₂(x); ::::::; x_n(x))

On appelle le coordonnées dex dans la carte (U; ') et(x₁; x₂; ::::::; x_n)sont les application coor- données.

Exemple 2.1.13 Rⁿ est une variété di¤érentiable de dimension n est de classe C¹ : D’aprés l’exemple (2.1.4) on a f(Rⁿ; Id_Rⁿ)g est un atlas à une seule carte.

Ainsi Rⁿ est une variété di¤érentiable de dimension n et de classe C¹ :

2) Soit la sphéreS²=f(x₁; x₂; x₃)2R³ :x²₁+x²₂+x²₃ = 1g R³est une variété di¤érentiable de dimension2et de classe C¹:

On considére les ouvertesU_N =S²nN etU_S =S²nStelle que: N = (0;0;1)etS= (0;0; 1) L’application: '_N :U_N !'(U_N) R² dé…nie par: '_N(x; y; z) = ₁^x_z;₁^y_z ; '_N est continue surU_N car ses composantes sont continues sur U_N:

'_N :est bijective car:

'_N est surjective par constraction.

'_N est injective, par dé…nition:

8 (X; Y; Z);(X⁰; Y⁰; Z⁰)2U_N

'_N(X; Y; Z) = '_N(X⁰; Y⁰; Z⁰) ,

X

1 Z = ₁^X_Z⁰₀

Y

1 Z = ₁^Y_Z⁰₀:::::::::(1) ,

X²

(1 Z)² = ₍₁^X_Z⁰²₀₎2

Y²

(1 Z)² = ₍₁^Y_Z⁰²₀₎2

:::::::(2) ) X²+Y²

(1 Z)² = X⁰²+Y⁰² (1 Z⁰)² ) 1 Z²

(1 Z)² = 1 Z⁰² (1 Z⁰)² ) 1 +Z

1 Z = 1 +Z⁰ 1 Z⁰

) (1 +Z)(1 Z⁰) = (1 Z)(1 +Z⁰) ) Z =Z⁰

on remplace se résultat dans (1), on obtient: X =X⁰ Y =Y⁰

Alors(X; Y; Z) = (X⁰; Y⁰; Z⁰); donc '_N est injective surU_N;ainsi '_N est bijective.

'_N¹ :'_N(U_N) R² !U_N, avec

(x; y) = ( X

1 Z; Y 1 Z)

, 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

X =x(1 Z):::(1) Y =y(1 Z):::(2) X²+Y²+Z² = 1:::(3)

19 En remplassant (1) et (2) dans (3) on obtient:

(x(1 Z))²+ (y(1 Z))²+Z² = 1) x²(1 2Z+Z²) +y²(1 2Z+Z²) +Z² = 1 ) (x²+y²+ 1)Z² 2(x²+y²)Z+x²+y² 1 = 0 ) ⁰ = (x²+y²)² (x²+y²+ 1)(x²+y² 1) = 1 ) Z₁= x²+y² 1

x²+y²+ 1 et Z₂= x²+y²+ 1 x²+y²+ 1 = 1

Z₂est rejeté car siZ₂ = 1)X²+Y²+Z₂² = 1)X²+Y² = 0) X =Y = 0) (0;0;1)2=U_N: Z₁ = ^x_x²2^+y+y²²+1¹ car: Z₁ 6= 1:

Si Z1 = 1) ^x_x^22+y_+y²²₊₁¹ = 1) x²+y² 1 =x²+y²+ 1) 1 = 1 contradiction.

L’application inverse est donnée par:

'_N¹(x; y) = 2x₁

1 +x²₁+x²₂; 2x₂

1 +x²₁+x²₂; 1 +x²₁+x²₂ 1 +x²₁+x²₂ : est aussi continue car ses composantes continues.

Donc '_N est un homéomorphisme de R³ sur U_N.

L’application: '_N : U_N !'(U_N) R² dé…nie par: '(x; y; z) = ₁^x_z;₁^y_z est un homéo- morphisme deR³ sur U₁.

L’application inverse est donnée par:

' ¹(x; y) = 2x₁

1 +x²₁+x²₂; 2x₂

1 +x²₁+x²₂; 1 +x²₁+x²₂ 1 +x²₁+x²₂ :

De méme l’application: '_S: U_S !'(U_S) R² dé…nie par: '(x; y; z) = _1+z^x ;_1+z^y est aussi un homéomorphisme deR² sur U₁.

L’inverse pour expression:

' ¹(x; y) = 2x₁

1 +x²₁+x²₂; 2x₂

1 +x²₁+x²₂;1 x²₁ x²₂ 1 +x²₁+x²₂ :

L’application de changement de cartes:

'_S¹ '_N :'_N¹(UN \US) =R³ f(0;0;1)g !R³ f(0;0;1)g='_S¹(UN \US):

S’écrit:

'_S¹ '_N(x; y) = x

x²+y²; y x²+y² : Qui est clairement est de classe C¹;ainsi que son l’inverse.

Doncf(U_N; '_N);(U_S; '_S)g est une Atlas surS²:

En suite S² est une variété di¤érentiable de dimension 2et de classeC¹. Remarque 2.1.14 On peut généraliser pour

Sⁿ=f(x₁; x₂; :::x_n+1)2Rⁿ⁺¹:x²₁+x²₂; :::; x²_n+1= 1g est une variété de dimensionn est de classe C¹ surRⁿ⁺¹:

2.1.4 Application di¤érentiable sur une variété di¤érentiable

Dé…nition 2.1.15 Soient(M; A);(N; B)deux variétés di¤érentiable de dimension n; mrespec- tivement .Une application f : M ! N est di¤érentiable de classe C^r, si pour tout x 2 M, il existe une carte (U; ') 2 A autour de x, de classe C^r, et une carte (V; ) 2 B de classe C^r, telles que: f(U) V et f ' ¹ soit de classe C^r:

Exemple 2.1.16 8(S² ; AN);(S² ; BS) deux variétés di¤érentiable de dimention 2 sur Rⁿ et l’application

f :S² ! S²

(x; y; z)7 !f (x; y; z) = (x; y; z)

21 8(U_N; '_N)2A de S², on prend U_N =S²n fN; Sg

'_N : UN !R² (x; y; z) 7! (₁^x_z;₁^y_z)

est de classe C¹ sur UN alors (UN; '_N) de classeC¹ et 8 (U_S; '_S)2B de S², on prend U_S =S²n fSg

'_S : U_S! R²

(x; y; z) 7!(_1+z^x ;_1+z^y )

est de classe C¹ surU_S alors (U_S; '_S) de classe C¹ et f(U_N) U_S: En e¤et '_S f '_N¹ :R² !R²

'_S f '_N¹(x; y) ='_S f _x2+y^2x2+1;_x2+y^2y2+1;^x_x²2^+y+y²²+1¹

='_{S x}2+y^2x2+1;_x2+y^2y2+1;^x_x²2^+y+y²²+1¹

= _x2+y^{x 2};_x2+y^{y 2}

'_S f '_N¹ est de classe C¹; alors f est di¤érentiable et de classeC¹. Proposition 2.1.17 Soient f et g deux fonction de classe C^r telleque:

f :M !N etg :N !K alors g f est de classe C^r:

Preuve. Soient f : M ! N de classe C^r i,e: 9(U; ')de M et (V; ) de N de classe C^r tellquef (U) V et f ' ¹ est de classe C^r. et g :N !K de classe C^r i,e: 9(U₁; )de N et (V1; !)de K de classeC^r tellque g(U1) V1 et ! g ' ¹ est de classeC^r:

En e¤etg f :M !Kon suppose quef(U) =U1 V et = ,8p2N=)g f(U) V1

! g f ' ¹ =! g ¹ f ' ¹ comme ! g ¹ et f ' ¹ sont de classeC^r: alors ! g f ' ¹ est de classeC^r, doncg f est de classeC^r.

2.2 Notion d’espace tangent à une variété di¤érentiable en un point donné

2.2.1 Courbe tracé sur une variété di¤érentiable

Dé…nition 2.2.1 Soit M une variété di¤érentiable de dimension n et de class C^k, (k 1 ou C¹) et x un point deM. On note:

C(M; ) =f :] ; [!M; t7! (t) et passant par x; telque (0) =xg: S’appelle courbe tracée surM :

Remarque 2.2.2 Si :I !M )C(M; ) =f :I !M; (t0) =xg:

Dé…nition 2.2.3 Deux courbes ₁ et ₂ sont tangentes au point x o¼u ₁(0) = ₂(0) = x s’il existe une carte(U; ') telle que x2U et _dt^d(' ₁)(0) = _dt^d(' ₂)(0):

Remarque 2.2.4 La dé…nition est independante de la carte choisie. En e¤et si (V; ) est une autre carte enx, alors on a

d

dt( ₁)(0) = d

dt(( ' ¹) (' ₁))(0)

= ( d

dt( ' ¹))(' ₁)(0)[d

dt(' ₁)(0)]

= ( d

dt( ' ¹))(' ₂)(0)[d

dt(' ₂)(0)]

= d

dt(( ' ¹) (' ₂))(0) = d

dt( ₂)(0):

On dé…ni une relation d’équivalence. (c’est à dire une relation qui est transitive, symétrique, et ré‡exive ) sur l’ensemble de courbes passant parx: _{1 2} si elles sont tangents enx.

23

2.2.2 Espace tangente

Dé…nition 2.2.5 Un vecteur tangent à M enx est une classe d’équivalence de courbe tangentes enx.

L’espace tangent àM en x, notéT_xM, est l’ensemble des vecteurs tangents à M en x. dé…ni par:

T_xM =f[ ] classe d’équivalence : 2C(M; ), avec (0) =xg=C(M; )=_R l’espace quotient.

Dé…nition 2.2.6 On appelle …bré tangent àM, noté par T M, est la réunion de tous les espaces tangents T_xM

T M = [

x2M

T_xM:

Ainsi, chaque élément deT M, peut être identi…é à un couple (x; X_x), où x2M etX_x2T_xM:

T M = [x2MT_xM est appelé le …bré cotangent àM.

Application tangente linéaire

Dé…nition 2.2.7 Soient M et N deux variété di¤érentiable, f : M ! N une application di¤érentiable, l’application tangente linéaire def en x2M est

df : T_xM ! T_f(x)N x7 !df(x) = _dt^d (f ) (0) Ou est une courbe passant par xet ⁰(0) =x.

2.2.3 Champ de vecteurs

SoitMune variété de classeC^k, on appelle champ de vecteur de classeC^ksurM toute application : M ! TxM

x7! (x) =X_x

telle que (x) 2 T_xM; pour tout x 2 M. On note ^k(T M) (resp. (T M) ) l’ensemble des champs de vecteursC^k (resp.C¹) sur M:

Remarque 2.2.8 Soient (x₁; :::; x_n) les coordonnées au voisinage de x; une base de T_xM est donné par: f_{@x i}^@ (x)g1 i n

8x2M; X_x 2T_xM )X_x= Xn

i=1

X_xⁱ_@x^@

i

convention

= X_xⁱ_@x^@

i )dimT_xM = dimM =n:

Avec:

Xⁱ : M !R x7!X_xⁱ

Fonction coordonnées du champ de vecteur.

fdxig^i=1;:::;n la base de T_xM: est un espace dual de TxM . w(x)2T_xM )w(x) =

Xn i=1

wⁱ(x)dx_i =wⁱ(x)dx_i: T_xM : est appelé un espace cotongent àM au pointx:

T_xM ={forme linéaire surT_xM }.

T_xM et T_xM : R espace vectoriel tel que dimT_xM = dimT_xM:

25

2.2.4 Dérivation et champs de vecteurs

Dé…nition 2.2.9 Soit M une variété di¤érentiable de dimension n.

Une dérivation en x est une application linéaire D : C¹(M) ! R qui véri…e pour tout

; 2Ret tout f; g 2C¹(M) :

1) D ( f + g) = D f + D g:...linéarité.

2) D (f g) =f D(g) +D(f)g:...Leibniz.

SoitX 2X(M);(Xf) (x) =Pn

i=1Xⁱ(x)_@x^@f

i(x): Donc nous identi…ons X(M) aux dérivations deC¹:

Chapitre 3

Variétés Riemanniennes

Dans ce chapitre on introduit quelques propriétés et dé…nitions des variété riemannienne que on accompagnons par quelques exemples, voir [3], [5], [8], [10], [14], [15].

3.1 Métrique Riemannienne

Dé…nition 3.1.1 Soit M une varieté di¤erentiable de dimension n. Pour tout x2M T_x^(p;q)M =T_xM T_xM :::

| {z }

pfois

T_xM T_xM :::

| {z }

qfois

l’espace des tenseurs de type(p; q)sur l’espace tangent à M en x.

Dé…nition 3.1.2 On appelle champ de tenseurs de type (p; q)sur M, une application di¤éren- tiable.

T : M !T^(p;q)M x7!T_x 2Tx^(p;q)M

26

27 qui exprime une carte (U; ') avec coordonnées locales (x₁; x₂; :::; x_n) comme:

T =X

i;j

T_j^i1;i2;:::;ip

1;j2;:::;jq

@

@x_i1 ::: @

@x_ip dx_i1 ::: dx_iq: Où T_j^i1;i2;:::;ip

1;j2;:::;jq sont des nombres réels.

On note T^(p;q)M = [

x2M

Tx^(p;q)M: L’ensemble des champ de tenseur de type(p; q):

1) Un champ de vecteurs Xest un tenseur de type (1;0):

2) Une 1- forme di¤érentielle sur M est un tenseur de type(0;1):

Dé…nition 3.1.3 Soit M une variété di¤érentiable.

Une métrique Riemannienne g surM est un champ de tenseur de type (0;2), telque 1- g est C¹(M)-bilinéaire.

2- g est dé…nie positive: g(X; Y) 0;8X; Y 2X(M):

3- g application symétrique: g(X; Y) =g(Y; X)8X; Y 2X(M):

4- g non dégénérée: g(X; Y) = 0; pour tout Y 2X(M)) X = 0_X(M):

Remarque 3.1.4 Soit (U; ')2A; (U; x1; x2; :::; xn) système de coordonées de X et (U;_@x^@

i).

Le repère de l’espace tangent et dx_i la base de l’espace dual.

1- On noteg_ij =g(_@x^@

i;_@x^@

j): la matrice associée à g, comme g est symétrique:

g_ij =g_ji=g( @

@x_i; @

@x_j):

2- g est dé…nie positive i,e det(g_ij)>0:

3- g est non dégénérée i,e det(g_ij)6= 0:

Exemple 3.1.5 Sur M =R³;on poseg =dx dx+dy dy+dz dz= (dx)²+ (dy)²+ (dz)²:

La matrice associe àg est: g_ij = 0 BB BB BB

@

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 CC CC CC A :

1- g est bilinéaire. car: soient X₁; X₂; Y₁; Y₂2X(M); etf; h2C¹(M)

g(f X1+hX2; Y) = (dx)²(f X1+hX2; Y) + (dy)²(f X1+hX2; Y) + (dz)²(f X1+hX2; Y)

= dx(f X₁+hX₂)dx(Y) +dy(f X₁+hX₂)dx(Y) +dz(f X₁+hX₂)dz(Y)

= f dx(X1)dx(Y) +hdx(X2)dx(Y) +f dy(X1)dy(Y) +hdy(X2)dy(Y) +f dz(X₁)dz(Y) +hdz(X₂)dz(Y)

= f g(X₁; Y) +hg(X₂; Y):

g(X; f Y₁+hY₂) = (dx)²(X; f Y₁+hY₂) + (dy)²(X; f Y₁+hY₂) + (dz)²(X; f Y₁+hY₂)

= f g(X; Y1) +hg(X; Y2):

2- det(g_ij) = 16= 0alors g est non dégénérée.

3- g₁₂ =g₂₁ = 0et g₁₃ =g₃₁ = 0et g₂₃ =g₃₂ = 0 alors g est symétrique.

4- det(g_ij) = 1>0alors g est dé…nie positive.

Donc g est une métrique Riemannienne sur R³:

Exemple 3.1.6 Soit g =x²(dx)²+x(dy)²+ (dz)²: est-elle métrique riemannienne.

29

La matrice associe àg est gij = 0 BB BB BB

@

x² 0 0 0 x 0 0 0 1

1 CC CC CC A :

1- g est bilinéaire.

2- g est non dégénérée.

3- g est symétrique.

4- det(g_ij) =x³ >0 si x >0donc g est dé…nie positive si x >0.

Alorsg est une métrique riemannienne si et seulemet si x >0.

3.1.1 Variété Riemannienne

Dé…nition 3.1.7 On appelle variété Riemannienne tout variété di¤érentiable munie d’une métrique Riemannienne.

Exemple 3.1.8 (R³; g); R³ muni de la métrique g = (dx)² + (dy)² + (dz)² est une variété Riemannienne.

3.1.2 Connexion sur une variété Di¤érentiable

Dé…nition 3.1.9 Une connexion linéaire sur M ( M est une variété di¤érentiable) est une application : r:X(M) X(M)!X(M), telle que, pour toutX; Y; Z 2X(M) etf 2C¹(M).

1)r^{f X}Y =fr^XY:

2)r^X(Y +Z) =r^XY +r^XZ:

3)rX+Y(Z) =rXZ+rYZ:

4)rX(f Y) =X(f)Y +frXY:

rXY est appelée dérivation covariante du champ de vecteur Y dans la direction du vecteur tangent X.

Remarque 3.1.10 Dans un système de coordonnées(x_i)surM;rest complètement dé…nie par les symboles de Christo¤el ^k_ij 2C¹(M)dé…nis par r@i@_j =

Xn k=1

k

ij@_k; @_i = _@x^@

i; @_j = _@x^@

j

et ^k_ij = (_@x^@

i;_@x^@

j)e^k où _@x^@f

i = ^{@(f '}_@x ¹⁾

i '. et(e^k =dxk)1 k n est la base de l’espace dual.

3.1.3 Crochet de Lie

Dé…nition 3.1.11 Soit M une variété di¤érentiable, le crochet de Lie noté[ ; ] est dé…nie par:

[X; Y] =XY Y X. 8X; Y 2X(M):

Propriété 1 Le crochet de Lie véri…ant les propriétés suivantes:

1)[;] est bilinéaire. (i.e: [;]linéaire à gauche et à droite) 2) antisymétrique. (i.e: [X; Y] = [Y; X])

3)[[X; Y]; Z] + [[Y; Z]; X] + [[Z; X]; Y] = 0;8X; Y; Z 2X(M): identité de Jacobi.

Si le crochet de Lie de deux champs de vecteurs est nul [X; Y] = 0, on dit que les deux champs de vecteurs commutent.

Preuve. 1) [;]est bilinéaire.

En e¤et: soientX1; X2; Y 2X(M)et f; h2C¹(M)

[f X₁+hX₂; Y] = (f X₁+hX₂)Y Y(f X₁+hX₂)

= f X₁Y +hX₂Y Y f X₁ Y hX₂

= f(X1Y Y X1) +h(X2Y Y X2)

= f[X₁; Y] +h[X₂; Y]:

31 De méme maniére par la linéarité à gauche.

2) [;] est antisymétrique.

Soient X; Y 2X(M)on a:

[X; Y] =XY Y X = (Y X XY) = [Y; X]:

3) En e¤et: soientX; Y; Z 2X(M)

[X;[Y; Z]] + [Y;[Z; X]] + [Z;[X; Y]] = [X; Y Z ZY] + [Y; ZX XZ] + [Z; XY Y X]

= (X(Y Z ZY) (Y Z ZY)X) +Y(ZX XZ) (ZX XZ)Y + (Z(XY Y X) (XY Y X)Z)

= XY Z XZY Y ZX+ZY X+Y ZX Y XZ ZXY +XZY +ZXY ZY X XY Z +Y XZ

= 0:

Remarque 3.1.12 Si X et Y sont de classe C^k, alors [X; Y] est de classe C^{k 1}: L’expresion locale de crochet de Lie est: [X; Y] = (X^{i @Y}_@x^j

i Y^{i @X}_@x^j

i)_@x^@

j, telque X = X^{i @}_@x

i et Y =Y^{i @}_@x

i: [_@x^@

i;_@x^@

j](f) = (^{@(f '}_@xⁱ¹⁾

i '_i@x^@

i(^{@(f '}

1 j )

@xj '_j) ^{@(f '}_@xⁱ¹⁾

i '_i@x^@

i(^{@(f '}

1 j )

@xj '_j))_@x^@

j = 0:

3.1.4 Torsion de la variété Di¤érentiable:

Dé…nition 3.1.13 Soit M une variété di¤érentiable menu d’une connexion linéaire r. On appelleT torsion de la connexion r un champ de tenseur de type(1;2) dé…nit par:

T(X; Y) =rXY rYX [X; Y];8X; Y 2X(M)

Expresssion en coordonnées locale de T: X =X^{i @}_@x

i ; Y =Y^{j @}_@x

j: T(X; Y) = rX^{i @}

@xiY^j @

@x_j rY^{j @}

@xjXⁱ @

@x_i [Xⁱ @

@x_i; Y^j @

@x_j]

= Xⁱ(r ^@

@xiY^j @

@x_j) Y^j(r ^@

@xjXⁱ @

@x_i) Xⁱ @

@x_i(Y^j @

@x_j) +Y^j @

@x_j(Xⁱ @

@x_i)

= Xⁱ(Y^j)r ^@

@xi

@

@xj

+Xⁱ @

@xi

(Y^j @

@xj

) Y^j(Xⁱ)r ^@

@xj

@

@xi

Y^j @

@xj

(Xⁱ @

@xi

) Xⁱ @

@x_i(Y^j @

@x_j) +Y^j @

@x_j(Xⁱ @

@x_i)

= (XⁱY^j YⁱX^j)r ^@

@xi

@

@xj

:

Remarque 3.1.14 T(X; Y) = T(Y; X):

3.1.5 Notion de la Connexion Riemannienne

Soit(M; g) une variété Riemannienne.

Dé…nition 3.1.15 Une connexion linéaire sur M est dit compatible avec la métrique g si:

X:(g(Y; Z)) =g(r^XY; Z) +g(Y;r^XZ):

Dé…nition 3.1.16 Sur une variérté riemannienne, il existe une unique connexionrsur le …bré tangent T M tel que:

1) La torsion de r s’annule. (i.e: T(X; Y) = 0_X(M) ;8X; Y 2X(M)).

2) La métrique riemannienne est paralléle. (i.e: rXg = 0;8 X 2X(M)).

S’appelle la connexion de Levi-Civita sur M.