Universit´e Paris-Dauphine M´ethodes num´eriques
D´epartement MIDO Ann´ee/
DE MI2E deuxi`eme ann´ee
Contrˆ ole continu du 20 Mars 2018
Les documents de cours, calculatrices, t´el´ephones et ordinateurs sont interdits.
Il sera tenu compte de la pr´esentation de la copie et de la r´edaction dans l’´evaluation.
Le barˆeme est orientatif.
Dur´ee : 2 heures.
Exercice 1: ´Etude d’une matrice tridiagonale (25 points/31).
Cet exercice est d´ecompos´e en trois parties ind´ependantes. Il faudra parfois r´eutiliser des r´esultats annonc´es explicitement dans des questions pr´ec´edentes.
Dans toute la suite,n d´esigne un entier naturel non nul.
Premi`ere partie (10 points) :
Pour toutt∈R, on noteKn(t) la matrice de Mn(R) d´efinie par
Kn(t) :=
2t 1 0 . . . 0 1 2t 1 . . . 0 ... . .. ... ... ...
... . .. ... ...
0 . . . 1 2t
Ainsi, lorsque n= 1, K1(t) est la matrice 1×1 dont le seul coefficient est 2t. On pose dn(t) = det (Kn(t)).
1. Calculerd1(t) et d2(t) pour tout t∈R. 2. Prouver que pourn≥3,
dn(t) = 2t dn−1(t)−dn−2(t).
3. On poset= cosθ avec 0< θ < π. Montrer que
dn(cosθ) = sin ((n+ 1)θ) sinθ . Pour cela, on pourra penser `a utiliser les formules d’Euler
cos(x) = eix+e−ix
2 et sin(x) = eix−e−ix
2i , ∀x∈R. 4. Pour quelles valeurs deθ∈]0, π[ a-t-on dn(cosθ) = 0 ?
5. On notepnle polynˆome caract´eristique deKn(0). Pour toutλ∈R, exprimerpn(λ) en fonction de dn et de λ.
1
6. En d´eduire que la matriceKn(0) admetnvaleurs propres distinctes et que son rayon spectral, not´eρ0, vaut
ρ0 = 2 cos π
n+ 1
. 7. Montrer queρ0 et−ρ0 sont des valeurs propres de Kn(0).
Deuxi`eme partie (11 points) :
Soit b∈Rn etα >0. Soit A∈ Mn(R) une matrice tridiagonale d´efinie par
A:=
c1
α −c1 0 . . . 0
−c2 c2
α −c2 0
0 −c3 . .. . .. 0 0 . . . . .. cn−1
α −cn−1 0 . . . −cn cαn
o`uc1, . . . , cn sont des r´eels non nuls. Suivant les notations du cours, on d´ecompose la matriceA en A=D−E−F o`uD est la partie diagonale deA, −E la partie inf´erieure stricte et −F la partie sup´erieure.
8. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que la matriceA soit sym´etrique.
9. Dans la suite, on s’int´eresse `a la r´esolution du syst`eme lin´eaire Ax = b par une m´ethode it´erative de Jacobi relax´ee. Celle-ci est d´efinie par une r´ecurrence de la forme
xk+1=Jωxk+bω (0.1)
avec
Jω = (1−ω)Id +ωJ
et J = D−1(E+F) est la matrice d’it´eration de la m´ethode de Jacobi sans relaxation. On cherche `a trouver la valeur optimaleω pour laquelle la m´ethode converge le plus rapidement.
(a) Montrer queJ =αKn(0).
(b) Soit λ∈R. Montrer queλ est valeur propre deKn(0) si et seulement si (1−ω) +αωλ est valeur propre de Jω.
(c) En d´eduire queρ(Jω) = max(|ρ1|,|ρ2|), o`u
ρ1 = 1−ω(1 +αρ0), ρ2 = 1−ω(1−αρ0).
(d) Montrer que la m´ethode de Jacobi relax´ee diverge quandω <0.
(e) Dans la suite, on suppose queω >0. Montrer que si la m´ethode de Jacobi diverge, alors la m´ethode de Jacobi relax´ee diverge aussi.
(f) On suppose d´esormais que αρ0 < 1. Tracer la courbe de la fonction ω 7→ ρ(Jω) pour ω∈]0,+∞[.
(g) Montrer que la m´ethode de Jacobi relax´ee converge si et seulement si 0< ω < 2
1 +ρ(J) 2
(h) Trouver graphiquement la valeur deω r´ealisant le minimum deρ(Jω). Conclure.
Troisi`eme partie : Impl´ementation sur Python (3 points) : 10. ´Ecrire une fonction
resolutionIterative(A,x0,ω,eps)
qui retourne une approximationxkde la solutionxpar le sch´ema it´eratif (0.1). Les it´erations se poursuivent tant que la norme euclidienne du r´esiduAxk−best plus grande que la tol´erance eps.
Exercice 2: M´ethode de la puissance avec shift (6 points /31).
Soit A∈ Mn(R) une matrice diagonalisable dont les valeurs propres λi, i= 1, . . . , n, sont r´eelles.
On les ordonne par ordre croissant de sorte que
λ1 > λ2≥ · · · ≥λn.
Une variante de la m´ethode de la puissance consiste `a appliquer ce mˆeme algorithme `a la matrice A−µIn, o`u In est la matrice identit´e de taille n etµ∈R. On cherche ici `a utiliser cette variante, appel´ee m´ethode de la puissance avec shift, pour acc´el´erer la convergence de la m´ethode de la puissance en choisissant judicieusement la valeur du param`etre µ.
1. Rappeler l’algorithme de la puissance et la quantit´e dont d´epend sa vitesse de convergence.
2. Pour une valeur du param`etre µ fix´ee, quelle valeur propre de la matrice A approche-t-on avec la m´ethode de la puissance avec shift ?
On suppose `a pr´esent que le param`etre µ est choisi de fa¸con `a ce que λn−µ soit la plus grande valeur propre en valeur absolue de la matriceA−µIn.
3. Montrer que la deuxi`eme plus grande valeur propre en valeur absolue est donn´ee soit par λn−1−µ, soit parλ1−µ
4. En d´eduire que la m´ethode de la puissance avec shift permet dans ce cas d’approcherλn et converge le plus rapidement possible pour le choix
µ= λ1+λn−1
2 .
3
