Incertitude et analyse des

Incertitude et analyse des erreurs

Master 2

Floren Colloud

floren.colloud@univ-poitiers.fr

Plan du cours



1- Introduction à la mesure



2- Définitions et règles préalables



3- Evaluation d’une incertitude



4- La propagation des incertitudes

Plan du chapitre



2- Définitions et règles préalables

 Meilleur estimation  incertitude

 Erreur et incertitude

 Incertitude systématique

 Incertitude aléatoire

Définition et règles préalables



Définitions et règles préalables

Définition et règles préalables



Meilleur estimation  incertitude

Définition et règles préalables



Meilleur estimation  incertitude

 Meilleur estimation = valeur moyenne

 Ce résultat est presque toujours vérifié

• Ex: 2,3; 2,4; 2,5; 2,4 X = 2,4

Intervalle probable: de 2,3 à 2,5

Définition et règles préalables



Méthodes statistiques sur mesures réitérés

 Valeur objective de l’incertitude est obtenue indépendamment de tout jugement de l’observateur

 Il faut s’assurer que la quantité est la même à chaque fois

• Ex: rupture d’un fil: 1 seule expérience

• 2 mesures différentes:

• Mesures incertaines

• 2 fils pas tout à fait identiques

Définition et règles préalables



Meilleur estimation: 2,4



Intervalle probable: 2,3 à 2,5



Expression compacte du résultat

2,4  0,1 s

Définition et règles préalables



Tout résultat de mesure d’une grandeur x s’écrit sous la forme suivante:

(valeur mesurée de x) = x

 x [unité]

Définition et règles préalables

 Cette expression indique que la meilleure valeur expérimentale x_m se situe

probablement entre

 x_m - x

 et x_m + x

 La valeur de x s’appelle l’incertitude ou la marge d’erreur

 Par convention, elle est toujours définie positive de sorte que:

• x_m + x constitue la valeur probable la plus élevée

• et x_m - x la plus faible

Définition et règles préalables

 Même en s’assurant de mesurer la même quantité, les mesures répétées ne

révèlent pas toujours toutes les incertitudes

• Ex: chronomètre qui « accélère » le temps de 5%

• Toutes les mesures seront affectées de 5%

• Un grand nombre de mesure avec le même chronomètre ne révélerait par pour autant cette erreur

 Cf incertitude systématique

Définition et règles préalables



Erreur et incertitude

Définition et règles préalables



Erreur et incertitude

 Définition qui reste controversée dans le contexte des mesures scientifiques

 Habituellement ces notions ne sont pas distinguées



Erreur de mesure d’une certaine grandeur

 = différence entre valeur mesurée et valeur vraie

Définition et règles préalables

 Exemple t_m = 56 s t_v = 54 s e = 2 s à t₁

erreur = | t_m(t₁) - t_v |

erreur absolue (avec unité) erreur = | t_m(t₁) - t_v |

erreur relative (adimensionné) t_m

t_v

t_v

Définition et règles préalables

à t₂

On obtient une autre valeur de t_m(t₂) donc une autre erreur

En pratique, on ne connaît jamais l’erreur.

C’est pourquoi on mesure une grandeur car on ignore sa valeur vrai.

C’est ici qu’intervient la notion d’incertitude

Définition et règles préalables



Incertitude

 Traduit les tentatives scientifiques pour estimer l’importance de l’erreur commise

 Paramètre, associé au résultat d’un

mesurage, caractérisant la dispersion du résultat qui pourrait être raisonnablement attribué au mesurande

Définition et règles préalables

 56  3 s

• Valeur vraie se situe probablement entre 53 et 59 s

• L’incertitude est de 3 s

• L’incertitude définit un intervalle autour de la valeur mesurée incluant l’erreur

inconnue

Définition et règles préalables

 Incertitude absolue (avec unité)

• x = | X_e - X_m |

• X_e : valeur exacte

• X_m : valeur mesurée

 Incertitude relative (fractionnaire; sans unité)

• x / | X_m |

• ≡ précision d’un appareil

Définition et règles préalables

 Incertitude en soi n’est pas très parlante

• x = 1 cm

• 1  0,00001 km

• Traduit une mesure très précise

• 3  1 cm

• Traduit une mesure très grossière

• Pour des mesures sérieuses, x reste plus petit que X_m

Définition et règles préalables

 Incertitude fractionnaire (ou relative)

• Adimensionnement suffit à la distinguer de l’incertitude absolue

• (x / | X_m |) × 100

• Exprime l’incertitude relative en pourcentage

Définition et règles préalables

 Incertitude fractionnaire

• Traduit la qualité d’une mesure quelle que soit la taille de la grandeur mesurée

• 10%: est souvent une mesure grossière

• 1 à 2%: mesure plus soignée

• < 1%: nettement plus délicate à obtenir

• Ex: decamètre mesure sans peine 10 m au centimètre près soit (0,01/10) × 100 = 0,1%

Définition et règles préalables

 Exercice: calculer la précision de ces 3 balances

• m₁ = 5,012  0,002 g

• m₂ = 5,0  0,1 g

• m₃ = 5,01  0,05 g

Définition et règles préalables

 Exercice: calculer la précision de ces 3 balances

• m₁ = 5,012  0,002 g => 0,04%

• m₂ = 5,0  0,1 g => 2%

• m₃ = 5,01  0,05 g => 1%

Définition et règles préalables

 En général, l’incertitude ne dépend pas uniquement de l’instrument

• Autres paramètres à prendre en compte

=> grandeurs d’influence

• x ≥ précision de l’instrument

Définition et règles préalables

 Pour évaluer une incertitude

expérimentale, il va falloir distinguer 2 types d’incertitudes

• Les incertitudes systématiques

• Les incertitudes aléatoires

• x = _syst + _aléa

Incertitude systématique



Incertitude systématique

Incertitude systématique



Incertitude systématique

 Dérive qui affecte toutes les mesures de la même manière

 Elle reste très difficile à déceler

Incertitude systématique



Elle peut provenir:

 D’une particularité de l’instrument de mesure

 De l’observateur

 Ou du montage expérimental



Objectif:

 Réduire

 Voir éliminer cette incertitude

Incertitude systématique

[m/s²] 10,01

g



Pour la détecter

 On peur répéter la prise d’une valeur avec le même instrument



On observe

 Un écart systématique que l’on peut corriger => facteur de correction

Incertitude systématique



Dans le cas d’une acquisition par ordinateur

 La valeur mesurée est codée en un nombre de bits précis

• Avec une carte acceptant +/- 10 V codés sur 8 bits, on obtient une résolution

(sensibilité)

• S = EM / 2^{n bits}

• EM: étendue de mesure

• S = 20 / 2⁸ ≈ 0,078 V

• 2⁸ = possibilités de codage

Incertitude aléatoire



Incertitude aléatoire

Incertitude aléatoire



Provient des variations non-

prévisibles des grandeurs d’influence



Impossible à compenser

 On peut tenter de la réduire en augmentant le nombre de mesure

 En statistique, on conseille 30 mesures

Incertitude aléatoire



Illustration Systématique vs. Aléatoire

 Jeu de fléchette

 Centre du cercle: valeur exacte

Incertitude aléatoire



Illustration Systématique vs. Aléatoire

 Faiblement aléatoire

 Faiblement systématique

Incertitude aléatoire



Illustration Systématique vs. Aléatoire

 Faiblement aléatoire

 Fortement systématique

Incertitude aléatoire



Illustration Systématique vs. Aléatoire

 Fortement aléatoire

 Faiblement systématique

Incertitude aléatoire



Illustration Systématique vs. Aléatoire

 Fortement aléatoire

 Fortement systématique

Incertitude aléatoire



Illustrations restent trompeuses

 Elles indiquent la position des cibles

 Donc la précision du tir



Equivaut à connaître la véritable valeur de la grandeur mesurée

 En général, cette valeur s’avère inconnue

 Sinon, inutile de mesurer

Incertitude aléatoire

 Analogie avec les expériences réelles impose de cacher les cibles

 ?? aléatoire

 ?? systématique

Incertitude aléatoire



Cette distinction n’apparaît pas toujours de façon aussi tranchée

 Un problème occasionnant des incertitudes aléatoires lors d’une

expérience peut produire des incertitudes systématiques dans une autre

• Ex: lecture d’une règle – effet de parallaxe

Incertitude aléatoire



Dans la pratique, il existe plusieurs sources possibles d’incertitudes qu’il faut examiner:

 Définition incomplète du mesurande

 Connaissance insuffisante des

conditions d ’environnement sur le mesurage

 Mesurage imparfait des conditions d’environnement

Incertitude aléatoire

 Mauvaise lecture des instruments analogiques

 Valeurs inexactes des étalons de références

 Approximations et hypothèses introduites dans la méthode et la procédure de mesure

 Variation des observations dans les mêmes conditions de répétabilité

Université de Poitiers 1431