HAL Id: jpa-00205306
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Le claquement du fouet
Z. Carrière
To cite this version:
Z. Carrière. Le claquement du fouet. J. Phys. Radium, 1927, 8 (9), pp.365-384.
�10.1051/jphys-rad:0192700809036500�. �jpa-00205306�
LE
CLAQUEMENT
DU FOUET.par M. Z.
CARRIÈRE
InstitutCatholique
de Toulouse.Sommaire. 2014 Un fouet de laboratoire est décrit et son montage détaillé de manière à obtenir, par chronophotographie, les formes instantanées de la corde et de l’onde
sonore qu’elle engendre.
Les formes succesives résultent d’une onde transversale se propageant vers l’extrémité libre du fouet et, à cette extrémité, se réfléchissant avec changement de signe. La vitesse de propagation de l’onde et la courbure qui définit l’onde croissent d’abord jusqu’à des valeurs très grandes réalisées à l’instant où s’opère la réflexion (vitesse supérieure à 350 mètres par seconde, courbure d’un millier de dioptries). Ensuite, la vitesse diminue et le rayon de courbure croit à nouveau en valeur absolue (son signe est changé). Au
maximum de vitesse et au minimum absolu du rayon de courbure, le bout libre du fouet subit d’énormes variations de direction, de tension, de torsion. Il en résulte, au voisinage, une onde sonore sphérique dont les clichés reproduits montrent la trace. On y retrouve toutes les particularités de l’onde de sillage fournie par les projectiles.
Application de la théorie est faite au fouet de charretier, pour deux façons usitées d’en obtenir le claquement.
Deux claquements très rapprochés dans le temps (fouet à deux ficelles d’inégale
longueur) donnent à l’oreille la sensation d’un son de hauteur déterminée que ne donne pas un claquement isolé.
1. Fouet de laboratoire. -- Pour
analyser
leclaquement
dufouet,
il est nécessaired’employer
laphotographie
en chambre noire avec poses extrêmement courtes fournies pardes étincelles. Il faut donc obtenir le
phénomène cinématique
et sonoreappelé claquement
dans une
région
del’espace toujours
la même dont laplaque photographiquc
fournira desimages
quasi
instantanées.Ces conditions m’ont amené à substituer au fouet ordinaire un fouet de laboratoire
carac-térisé par le
dispositif
suivant., En
AA,
(fig. 1),
auplancher
dulaboratoire,
est fixée l’une des extrémités d’un caoutchoucde bonne
qualité (longueur
31 cm, section 5 X 5mm2), capable
desupporter
unpoids
de 3kg
et desallongements
de 300 pour i00. A l’autre extrémitéBB,
du caoutchouc est attachée une corde minceBiC!
(longueur
110 cm, diamètre1,~
mm,poids
1,7
g parmètre)
qui
est l’élément essentiel du fouet et quej’appellerai simplement
rouet.
C’est d’ailleurs lenom
qu’on
donne,
dansl’industrie,
à la corde mince quej’utilise
etqui
est obtenue parcommettage
de trois fils de caret(1).
Au fouet et au
plancher,
le caoutchouc est attaché par une sorte d’anse que forme unbout de ficelle de
quelques
centimètres dont les deux extrémités terminées par des noeuds sont étroitement serrées par un fil à coudre contre le caoutchouc(voir figure
B’).
Cedis-positif
d’attache réduit au minimum l’inertie des accessoires del’appareil ;
il s’estmontrê-toujours
efficace.Tendu d’abord suivant la verticale ascendante du
point
A,
lé fouetB,Ci
passe dans la gorge de lapoulie
trèslégère
Pi
(47
mm dediamètre,
axe à 160 cm duplancher),
et redescend verticalementjusqu’en
C,
où son extrémitélibre,
niunie d’un est arrêtée entre les branches horizontales d’unepetite
fourche convenablement calibrée. Les branches de lafourche sont deux courtes
goupilles
parallèles plantées
dans l’axeC,
C’ normal au tableau et(l) Bor,&ssE. Cordes et jJ/embranes, p. 3î.
366
maintenues horizontales par la
palette
de fer douxDID’
solidaire du même axelorsque
l’électro-aimant
E,
est excité. Un électro-aimant de sonnerie suffit àéquilibrer
la tension du fouet(2 kg
etplus)
si laligne
d’action de ce dernier est assez voisine de l’axegéorné-trique
Quand
on lève lepont Q1,
la traction fait basculer le n(-eudéchappe
englissant
lelong
desgoupilles
inclinées sur laverticale;
le couppart.
L’expérience
montre que lesystème
, , ,
ainsi constitué
produit
lephénomène
sonoreappelé
claquement
avec toute l’intensité désirable.Il est évident et la suite de cette étude montrera que, pour
claquer,
le fouet doit aban-donner lapoulie
Pi et
son extrémité libreéchappée
deCi
doit monter, passer au-dessus de,Pi, puis
redescendre vers la droite.Le fouet balaie ainsi une
portion
duplan
verticalqui
contientPP
1 et
quej’appellerai,
pour cette
raison,
j)lan
defouettement
(il
est normal au tableau pour laportion
droite de laîigure
1,
parallèle
au tableau pour lapartie
inférieuregauche
de la mêmefigure).
367
contre,
d’analyser
leplus
possible
saphase
médianequi
sedéroule dans
le plan
defouette-ment au-dessus de la
poulie
°
En chambre
noire,
à des instants convenables,je
prends
de ceplan
desphotographies
instantanées au moyen d’étincelles
produites
en FF’. L’éclateur estreprésenté
double parceque, pour la mesure des
vitesses,
il est nécessaire d’avoir au moins deux poses relatives ~~nième J’ai
emplo-vé
des éclateurstriples
et mêmequadruples.
La
figure
montre ungroupement
de 4jarres
payant
chacune1~3,~
décimètrescarrés)
etde circuits réalisant cette condition. Les
pointillés
yreprésentent
conventionnellement des tubes à eauaptes
à procurer lacharge jJl’ogressiL’e, infranchissables
à l’étincelle deCelle-ci est
provoquée
parcourt-circuitage
des armatures internes au moyen du doublepont
M que lâche l’électro-aimant Nquand
lepont
Q3
est levé. Onrègle
l’intervalle des étincelles endisposant
convenablement sur le parcours de M les extrémités desconduc-teurs à court-circuiter.
A cause due l’ionisation intense
qu’elles produisent
dans leurvoisinage,
les étincelles nepeuvent
être trèsrapprochées
dans letemps
et dansl’espace
quemoyennant quelques
précautions.
Dans le
plan
moyen d’un anneau de bois dur(en
F’,
en haut àdroite)
on perceradia-lement et en croix
quatre
trous danslesquels
onintroduit,
convenablementisolés, quatre
conducteurs
convergeant
vers le centre. On nepeut
faire passer une étincelle par deuxconducteurs diamétraux. L’ionisation intense
qu’elle
crée au centre provoqueimmédia-tement,
sans attendre l’intervention dupont
M,
ladécharge
de la seconde batterie dont l’étincelle passe au mêmepoint.
En connectant àchaque
batterie deux conducteurs àangle
droit,
on faitjaillir
les étincellesprès
du centre del’anneau,
suivant deuxlignes parallèles
voisines,
mais non confondues.On
empêche
l’action ionisante de l’une sur letrajet
de l’autre eninterposant
une lamede mica normale au
plan
de l’anneau.,
Les éclateurs à
trois, quatre
coupures ont ces coupures surtrois, quatre
verticales voisinesséparées
par des micas convenables.,
Les coupures ont 1 mm environ.
Un
réglage
ne vaut que pour une tension déterminée(20
000 voltsenviron) :
d’où lanécessité de l’électromètre
représenté
en G. Lacharge
estopérée
au moyen d’une machinede Whimshurst mue à la rnain.
Le miroir concave H de 29 cm d’ouverture et dont le centre est en F
(HF
= 143cm)
joue
le rôle de condenseur pour le faisceau lumineux incidentqu’il
réfléchit versl’objectif
de
l’appareil
photographique, disposé
un peu en arrière de F etréglé
sur leplan
defouette-ment. Un
petit
écranplacé
devantl’objectif
et centré sur son axepermet
d’appliquer
la méthode deFoucault-Tcepler susceptible
de donner sur laplaque photographique
la forme de l’onde sonorequi
prend
naissance à l’instant duclaquement.
Pour l’étudepurement
cinématique
dufouet,
onpeut
supprimer
lepetit
écran ou lelaisser;
en lesupprimant,
onaugmente
évidemment la luminosité del’appareil.
J’emploie
desplaques
Lumière,étiquette
violette(sensibilité extrême).
Le
chronographe
à bille J donnera les intervalles detemps
compris
entre lesdeux,
troisou
quatre
étincelles. ..La difficulté de
l’expérimentation
consiste à lever chacun des troisponts Q,, Q2, QJ
à des moments tels que, à l’instant où éclatent lesétincelles,
la billechronométrique
et le fouet à étudier se trouvent simultanément dans lechamp
del’objectif.
Il faut d’ailleurspouvoir
choisir à volonté lespositions
et les formes instantanées du fouet dont on désire un cliché.A lever cette difficulté et à
permettre
ce choix sert laguillotine
représentée
en bas et à droite de lafigure.
C’est unesimple
planche
R de 80 cm delong,
tombantdebout,
en chutequasi
libre,
entre deux filsmétalliques
verticaux xx, yyqui
lui servent deglissière
à frottementnégligeable.
Le,
long
etprès
de l’un des fils sont échelonnés les troisponts
à lever et leurs leviers de commandedisposés
pour être actionnés par laguillotine.
L’opérateur charge
l’appareil photographique
dont il laisse l’obturateurfermé ;
remonte368
substitue alors à la lumière blanche la
lumière
rouge, ouvre l’obturateur del’appareil
photographique
et, de la maindroite,
actionne la machine de Whimshurst tandis que la maingauche s’apprête
àagir
sur le déclic de laguillotine.
Celui-ci est actionné au momentoù l’électromètre G passe sur la division arrêtée à l’avance. 2. Formes successives du fouet. - La
figure 2 reproduit, d’après
les clichés(voir
planches
1 etII)
numérotées de 1 à12,
dans l’ordre de leurapparition, quelques-unes
des formes successives queprend
le fouetbalayant l’espace
au-dessus de lapoulie
P, .
Ce sont de véritables courbes à chacunedesquelles
il faudrait donner pour cote l’instantauquel
elles2.
ont été dessinées par le
fouet,
cotesqui
seront donnéesplus
loin
(§
6).
La famille de courbesse divise en deux dont l’une
correspond
à la montée dubout du
jouet
(courbes
montantes
cotées de 1 à6)
et l’autrecorrespond
à la retombée du fouet(courbes
descendantes cotées de 7 à12).
Chaque
famille couvre uneportion
déterminée duplan
de fouettement. Pour lesmontantes,
la zone couverte est limitée par la verticaleA2
B~
0 et par la courbeparabo-lique
Bi CI
0qui
sont de véritablesenveloppes
tangentes
aux courbes de la famille. Au moins dans les conditions del’expérience (fouet ,de
l10 cm ; tension initiale de lancement2
kg),
la verticaleAz B2
estéloignée
deAi B,
de trois fois environ le rayon de lapoulie.
Pour des raisons
développées ci-après, j’appellerai
lepoint
0point critique;
hauteurcritique,
la distance de cepoint
auplan
horizontalsupérieur
tangent
à lapoulie,
et courbecritique,
la courbeBi
Ci
0.369
raccordent à elle
apj-ès
traversée. Il faudrait chercherplus
àgauche
une véritableenveloppe
dont l’étude est sans intérêt. La droite ON est limite de zonebalayée
par les courbesdescendantes,
et à cetitre,
courbe desûreté,
mais non pasenveloppe. L’expérience
montre que, hors de la
région représentée,
laligne
01~ s’incurve en tournant sa concavitévers le bas.
L’angle
B2
0 N vaut 40degrés environ;
il est à peuprès
bissecté par la courbecritique.
La courbe 6 inscrite dans
l’angle
B20.N,
auplus
près
dusommet,
a en cepoint
unrayon de courbure très
petit (clichés 4
et5, pl.
II) ;
cette remarque n’est pas uneobjection
au tracé : elleprépare
l’analyse
duphénomène
étudiéet,
à vraidire,
est l’élément essentielde l’étude
physique
iciprésentée.
Considérons les courbes montantes cotées 1 à 6. Elles
présentent
toutes un maxinîumunique
ou somrnelet,
en cemaximum,
un ’rayonde cOlll’hu1’P nliuÍJJlunt. A mesure que le sommet des courbes s’élève au-dessus de la
poulie,
il serapproche
de la verticale.A.2 B2 et
son rayon minimum diminue. La diminution semble devoir allerjusqu’à
l’annulation(courbe 7
îdéjà
mentionnée)
puis
à l’inversion designe.
De 7 à
il,
le rayon de courbure croit à nouveau en valeurabsolue;
mais la concavité de cesformes est tournée vers la droite de
Bi
Ci
0 tandis que, pour les formes 1 àfi,
elle étaittournée vers la
gauche
de la même courbe. La forme 12(dont
les clichés ont fourniplusieurs
exemplaires)
n’estqu’une
apparente
exception
à larègle
de l’accroissement du rayon de courbure Cet accroissement est arrêté par la gorge de lapoulie qui s’oppose partiellement
à la tombée libre du fouet.
3.
Remarques
sur les clichés. - Tantpour la
bille que pour le fouet etchaque
pose, tous les clichés fournissent desimages
douhlesqu’il
ne faut pas confondre avec deuxposes différentes.
Ce dédoublement est dû non à
l’épaisseur
du miroir(qui estargenté sur
sa faceconcave),
mais à l’écartement inévitaLlequ’impose
ledispositif adopté,
tant pour l’éclateur E que pourl’objectif
0,
parrapport
au centre de courbure C du miroir M(fig. 3).
On réduit au~
Fig. 3.
minimum le dédoublement
(et
lesaberrations)
en rendant minimum la distance OE. Lemon-tage
de lafigure
1impose
OE =: CE.°
L’appareil
photographique,
dont 0représente
le centreoptique
del’objectif,
estréglé
sur leplan
AB defouettement,
distant de ia4 cm del’objectif
et de 9 cm du miroir. Lequasi-plan
A’B’image
de AB dans le miroir est à 152 cm de0,
et donc aussi sensiblement A touteimage
d’unpoint
dupremier
fixée sur lecüché,
correspond
uneimage
dupoint correspondant
du secondqui
est aussi inévitablement fixée. Dechaque point
duplan
de fouettement laplaque
donne donc deuximages
dont l’écartangulaire
estégal
au diamètreapparent
de AA’ vu del’objectif.
Supposons
horizontal leplan
de lafigure
3,
vertical le fouet àphotographier,
dont Areprésente
latrace,
etA’, l’image
de cette trace. Faisons tourner leplan
de lafigure
autour370
de GE. A décrit le fouet, A’
l’image
dufouet ;
sur lecliché,
on trouve deuximages
du fouetangulairement
distantes del’angle
AOA’.Supposons
horizontale laportion
de fouet àphotographier,
le sommet parexemple.
1
L’image
A’ de A est sur l’horizontalequi
contient le îoueL Tous lespoints
tels que A etleurs
correspondants
A’ sont donc sur la même horizontale dontl’objectif
donne uneimage
unique.
Le dédoublement n’existe pas.371
Dans la
figure
3,
je
suppose horizontale la Des clichés ontété
pris
avecd’autres inclinaisons
qu’il
est facile de retrouver encherchant,
sur lesclichés,
la directionpour
laquelle
latangente
aux courbes n’esl pas dédoublée.PLANCHE lI.
Très net sur les
clichés,
le dédoublementn’apparaît,
sur lesplancles,
qui
enrepro-duisent
quelques-uns,
que comme unélargissement
del’image
du sommets, où ledédoublement
n’a pas lieu, le fouet sembled’épaisseur
moindre.372
Les billes
chronométriques
paraissent elliptiques
pour la mêmeraison ;
leurgrand
axeest
parallèle
à la direction OE. Leur hauteur de chute est voisine d’un mètre.La circonférence
qui,
sur lesclichés,
limitel’impression
de laplaque
estl’image
du contour du miroir dont les défautsd’argenture
(disposée
sur la faceréfléehiseante
etexposée
àl’air)
sontreproduits,
ainsi que les défauts de courbure(cercles concentriques
au contourextérieur).
Sont visibles sur les clichés les 4
taquets
assujétissant
le miroir dans sa monture. Est visibleégalement,
vers lebas, partiellement,
lapoulie
servant au lancement.Une
ligne
fine verticale estl’image
d’un fil àplomb
tendu dans leplan
de base du miroir surlequel
deux n0153uds distants de 20 cm serventdepoints
derepère
pour les mesureschronométriques.
L’échelle est encore fournie par le diamètre du miroir
qui
vaut 29 cm. Mais l’échelle des courbesreprésentant
le fouet est à réduire dans lerapport
134 : 143 parce que leplan
de fouettement est à 9 cm en avant du miroir.Le cliché n° 6
(pl. II)
estpris
dans des conditions un peu différentesqu’il
est inutile depréciser,
son intérêt résidantuniquement
en ce que la formephotographiée
est la formeBi C1
0 de lafigure
1 et que, à l’instant où cette formeexiste,
le noeuclsupérieur
sectionnése détache. ’
Les clichés nOS j et 8
(pl. II)
sont obtenus sansobjeclif,
comme ombreportée
du fouetsur une
plaque
13 X 18.4. Théorie de la
propagation. -
Les courbes de lafigure 2
sont les formessucces-sives d’une corde le
long
delaquelle
se propage unedéforllzation
transversale.Il ne
s’agit
pas des déformations transversalesenvisagées
par la théorieclassique qui
laissent à peu
près
constante la tension de la corde etn’imposent
à sa direction que duepetites
variations. Dans le cas dufouet,
la déformation est notable et lechangement qu’elle
amène dans latension,
engrandeur
etdirection,
énorme. Deplus,
le fouet a un de ses bouts libres et chacun de sespoints
est animé d’un mouvementcOlnplexe.
Aitken(’)
a étudié des chaînes sans fin en mouvement courbées en demi-circonférences ou même en circonférences entières. C’est le cas quej’étudie,
à ceciprès
que les chaînespassent
sur despoulies
fixes tandis que le bout du fouet est libre de se mouvoir dans l’es-pace. Je suis heureux de déclarer que le fouet de laboratoire décrit ci-dessus n’est que l’un desmontages
d’Aitken transformé. J’ai libéré le bout dechaîne,
laissé fixe par cetauteur;
la suite de cette étude montrera
l’importance
de cette libération.Aitken se borne à décrire des
phénomènes
et comparer des vitesses depropagation qui
ne
peuvent
être que constantes. J’aurai à déterminer des vitesses et des accélérations énormes danslesquelles
il estpossible
de trouverl’explication
d’unphénomène
acoustique
trèsimportant :
leclaqiiemeîît.
A l’instant où la fourche
Ci
C’ (fi;.
t)
libère le fouet et faitpartir
le coup, la traction du caoutchouc(2 kg
environ)
cesse d’êtreéquitibrée
etproduit
une accélération énorme dusystème
auquel
elle estappliquée.
Cesystème
comprend,
outre lecaoutchouc,
lapoulie (de
moment 4’inerte 48g-cm’,
de rayon à fond degorge 47 mm)
et lefouet
(de
poids
1,9
g).
La
poulie prend
un mouvement de rotation trèsrapide (plus
de 50 tours à la secondeà son
maximum)
et la forceaxifuge qui
en résulte ne tarde pas à détacher de lapoulie
le fouet
qui
se trouve alors constituer unsystème
nouveauindépendant
bien déterminé(fig.
2,
1).
Considérons-le
(fig. 4)
comme une corde à deux brins verticauxAi
Bi
A2 H2
raccordéstangents
à une demi-circonférenceB, EB2
coplanaire avec
les brins.En
A,,
la tension estnulle;
enA1,
elle estnotable,
de l’ordre dukilogramme;
la traction T du caoutchoucqui
la maintient est la seule force extérieureappliquée
ausys-tème ;
elle doit êtredynamiquement
compensée
par les forces d’inertie.Au moins au
début, quand
le fouet décolle de lapoulie,
son mouvement est unglisse-(’) L. 5 p. 8 1-10 J.
373
pendant
lequel,
àchaque
instant, chaque
élément de corde se substitue àl’élé-ment voisin
placé
enaval,
tant sur les verticales que sur la demi-conférence dont lecentre n’a
qu’un déplacement
négligeable.
Le mouvement suivant les verticalesengendre
des accélérationsproprement
dites outangentielles ;
-, le mouvement lelong
du cercle donne lieu en outre à une accélérationaxipète
et à la force d’inertieaxifuge F
correspon-dante.La tension
Ti
enB,
est la tension Tréduite,
parce que la masse de corde entraînée estplus
petite
en amont deB,
qu’en
amont deAi
La tension
T2
enB2
est due seulement à l’inertie de lalongueur A2
Bz.
Fig.
4.,
L’équilibre dynamique
des forces d’inertieF, Tl T2
estimpossible
tant queTl
estplus
grand
que7B.
Il y a une résultante verticaledirigée
vers le haut et uncouple
dont lafigure
4précise
lesigne.
L’introduction d’uncouple
estlégitimée
par toutes lesexpériences
d’Aitken,
qui
ont pour butprincipal
de montrer larigidité
apparente
deschaînes
ou des cordes enrnouvenlent.
Au moment où le fouet abandonne la
poulie,
les conditions cl’Aitken sont réalisées et lecouple
mis en évidence setraduira,
non pas par l’inclinaison du diamètreB,B2,
mais parla déformation du demi
cercle,
avec diminution de la courbure du côtéBj
etaugmentation
du côté
B,.
La résultante F sera par làauqmeîîtée
et déviée vers lagauche. Au
lieu de la demi-circonférence de rayon et de centre fixesenvisagée figure
4,
nous aurons les courbes de lafigure 2
dont le rayon du cercle osculateur minimum diminue avec lotemps
en mêmetemps qu’il
relève ets’approche
de la verticaleCette ascension est une véritable
propagation.
La déformationqui
se propage est la courbureBi
EB2
lelong
delaquelle
la direction du fouet tourne de 180degrés penclantque
la tension diminue deTi -
T2.
Loin de s’arrêter ou de
s’amortir,
lapropagation
nepeut
ques’accélérer,
car touteaugmentation
de courbure accroit la résultante verticale des forces d’inertie et simula-nément lecouple
cause de cetteaugmentation.
L’évolution du mouvement doit donc aboutir à une formecritique
du fouet pourlequel
la courbure sera infinie et la374
vitesse de
propagation
de cette courbure doit elle-même croîtrequasi
indéfiniment. La vitesse depropagation
croît avec la courbure.Aitken a observé que la vitesse de
propagation
lelong
d’une chaîne en mouvementdépend
iiïziqiieineiit
de la tension de la chaîne et pas du rayon du cerclequ’épouse
la chaîne déforme. Mais ils’agit,
pour cetauteur,
et dans le cas queje
cite,
deportions
de chaîne dessinant uneentière,
lelong
delaquelle
toutes les forces d’inerties’équili-brent sensiblement. Dans une
expérience
àlaquelle j’ai
déjà
fait allusion etqui
rm’asuggéré
monmontage,
il y abien,
chez Aitken comme chezmoi,
déformation endemi-circon-férence ;
commemoi,
Aitkensignale
alors une diminution du rayon de courbureconsécu-tive à la
propagation.
La vitesse de
propagation
V doit être mesurée lelong
de la cordedéformée,
àpartir
deAi
parexemple.
Il faut ladistinguer
de la vitesse d’ascension U du sommet(maximum)
des courbes de la
figure 2 qui
est mesurée sur une verlicale àpartir
duplan
horizontalsupérieur tangent
àP1
parexemple.
Le
glissement
ne seproduit
pas avec la même vitesse delong
des verticalesAi BI
et,
A2
B2 .
Soient~1 et g~ ces vitesses.
On a :
Au
départ
du coup, Uestnégligeable,
g1 et g2 notables. A mesure que Uaugmente,
g2augmente
également
tandis que g, reste presque constant ou commence à dirninuer. Aupoint critique,
g1 estnégligeable
devantq,
et devant U devenus trèsgrands.
5. Phénomènes au
point critique. -
Les clichés nIl 4 et 5(pl. II)
montrent que,sur le
point
deprendre
la formecritique,
laportion
de fouet osculatrice au cercle éva~ nouissant embrasse encore un arc de 180degrés.
Mais la tensionmarquée T’a
sur lafigure 4
est,
e:l cepoint,
inclinée sur laverticale;
sacomposante
verticale est très voisine dezéro,
ainsi que sa valeur totale.Quelle
que soit l’accélérationimposée
réellement au bout dufouet,
la force d’inertiequi
en dérive nepeut
que s’annuler avec la masse accélérée. L’accélérationtangentielle
s’annule elle-même aupoint critique, qui
est bien de vitesse maximum.Le cercle osculateur ne
peut
arriverà
l’évanouissementcomplet.
Larigidité
de la cordes’oppose
à une diminution du rayon au-dessous d’un rayon limite de l’ordre dumillimètre;
larigidité statique
est d’ailleurs accrue de larigidité dynamique
due auglissement.
’Le
mouvement,qui
tend à l’évanouissement du cercle se transformera donc en unmou-vement
compatible
avec les forces intérieuresengendrées
par ladéformation,
compatible
également
avec lephénomène prévu
pour laphase
ultérieure,
à savoiraugmentation
pro-gressive
du rayon de courburechangé
designe.
Supposons
à un instant donné le cercle osculateur limite matériellement réalisé sousforme
d’unegoupille
de 2 mm(voir
clichés 4 et 5, pl.
II)
dediamètre,
autourduquel
est enroulé le bout du fouet sous unangle
de iHOdegrés
environ(en
1,
fig. 5).
En vertu de la vitesseacquise,
sans vaniation de coul’bure désormaisexclue,
l’arc de cercle(la goupille)
s’élève. Lefouet
glisse
sur lagoupille
fictive tantqu’un
reste de tension s’exerce à l’extrémité libre. En2,
toute tension acessé,
ou du moins estincapable
d’assurer le contact avec le cercle.En 3 et
4,
le contact n’existeplus
qu’au
voisinage
du diamètre horizontal. L’inertie assurele passage de 4 à
puis
à 6pendant
que le rondin fictif continue son ascension. En6,
lechangement
designe
de la courbure est assuré et sagrandeur
continuera sur lescourbes descendantes à subir les variations
prévues qui
doivent être une croissance durayon.
375
imposé
par la nature et le diamètre de la corde utilisée. L’intervention de larigidité
auvoi-sinage
dupoint critique
est manifestée par lephénomène
suivant.Prenons un fouet neuf et faisons le noeud aussi
près
quepossible
du bout.Lançons
après
avoir donné au caoutchouc une tensionnotable, 2,5
kg
parexemple.
Le fouet retombeprivé
de son naeudqui
semble avoir été détaché par un coup de ciseaux. Le boutsectionné,
violcmmentprojeté
vers le haut’à un mètre etplus)
retombe dans leplan
defouet-ternent,
à droite de la verticaleA,Bi.Il
ne reste pas d’ailleurs àl’état noué. Non seulement le noeud estdéfait,
mais encore lesfils
de caretqui composaient
lapetite longueur
nouée sontdissociés et
séparés.
La liaison des fibres dans lefil de_caret
persiste
cependant
plus
ou moinsrelâchée.
Le sectionnement ne prouve pas l’existence d’une tension du fouet
égale
à la tension derupture
(qui
est,
pour le fouet quej’utilise, supérieure
à20 g).
Ilpeut
y avoirrupture
Fig. ~.
par
flexion
danslaquelle
les fibresplacées
à l’extérieur du cerclecritique
ont seules àsup-porter
en 1 et 2l’allongement
derupture,
tandis que les fibres intérieures sontpressées
dans le sens
qui
tend à les raccourcir.Ces dernières sont donc seules à
supporter
l’effort de traction du à la forceaxifuge
quand
s’opère
le passage 4-5(figure
4),
et ellesrompent
à leur tour.Il
peut
yavoir,
mêmequand
la flexionpréalable
laisse le fouetinchangé,
rupture
véritable par traction.La vitesse au
voisinage
dupoint critique
est,
eneffet,
au moinségale
à 300 mètres parseconde. La masse par mètre de corde étant I7
décigrammes,
admettons que le noeudcon-centre en un
point
la masse d’un centimètre de corde et que le centre de rotation C(fig. 4)
est à 5 mm du passage 4-5 , la force
axifuge
représente
une trentaine dekiIo-grammes. Elle
peut
suffire pour larupture
par traction. Sa directrice est assez voisinede la verticale pour que les débris du noeud retombent à
quelques
décimètres seulement de la verticale A,Bi
(à droite).
Le cliché 6
(pl.
II)
montre le noeud se détachant du fouet dans leprolongement
même du fouet.La flexion d’une corde ne va pas sans détorsion. Le
commettage
des fils de caret tend à diminuer. La diminution estpermanente
vers le bout s’iln’y
a pas de noeud. Libérées dufrottement mutuel que leur
imposait
la torsion, les fibres ne sontplus
solidaireset,
sousl’influence de l’action
axifuge,
auvoisinage
dupoint critique,
certaines sedétachent et
sontprojetées
à des hauteursvariables,
retombant lentement à peu de distance de la verticale d’ascension.
-J’ai mis en évidence cette détorsion par
l’expérience
suivante. J’enfume l’intérieur d’un376
ont pour traces
B2
0 N. J’utilise une cordeIneuve
bien propre munie du noeud terminal.Quand
elleprend
successivement les formes4,
5, fi,
elle frôle le dièdre par un de sespoints
éloigné
du bout dequelques
eentinzètres et y retient adhérente une tache noire. La tacherelative à la courbe 4
(fig.
2)
estplus
éloignée
du bout que celle de la courbe 6. Lesformes 8 et 9 ne donnent
qu’un
noircissement terminal. Ramené au repos, le fouetporte,
sur sa facelatérale,
uneligne
noire lieu despoints
de contact successifs. C’est une hélice de même sens que celle des fils decaret ;
ellecorrespond
bien à une détorsion.Le cliché 8
(pl.
obtenu avec une grosse ficelle(sans
objectif, simple
ombreportée)
un peu
après
lepoint critique,
montre unelarge houppe
de fibres terminales’ dontl’éta-lement semble dû surtout à la détorsion. La même
houppe
afourni,
un peu avant lepoint
critique,
le cliché n8 7 où leglissement empêche
l’étalement.Ma
technique impose
un naeud terminalqui supprime
ledécommettage permanent
et limitel’effilochage
à laportion
située au’delà
du noeud. A condition de modérer la tensionde
lancement,
le noeud n’est pas arraché àchaque
coup, onpeut
même donnerplusieurs
dizaines de coups avec le même fouet si l’on a soin de laisser au delà du nceud une lon-gueur de 15 à 20 millimètres.Cet
appendice
ne subitqu’un
effilochage progressif.
Dissociées comme les crins d’une queue decheval,
ces fibres subissent individuellement sansdommage
la flexioncritique
qui,
ainsi localisée surelles,
épargne
le noeud.Lorsque
l’effilochage
a réduit suffisammentl’appendice,
c’est le noeudqui
se retrouve en bout et subit l’arrachement par la forceaxifuge.
6. Vitesses. - Aupoint critique,
la vitesse linéaire du bout du fouet est maximum etdépasse
300 mètres à la seconde(pour
la tension de lancement 2kilogrammes).
Elle ne durequ’un
instant trèscourt,
moins d’un dix-millième deseconde,
et il faudrait des posesextrê-meinent
rapprochées
pour localiser ce maximum au moyen des clichés. Mes meilleuresexpériences
fournissent des vitesses moyennes mesurées sur un intervalle d’un millième de seconde et c’est parce que ces moyennes sont élevées(100
à 150mètres)
quand
ellescom-prennent
le passage aupoint critique,
quej’ai
voulu obtenir la vraie valeur à cepoint
cri-.
tique,
ou du moins la certitude que cette valeur est un maximum.Dans ce
but,
j’ai
utilisél’enregistrement
direct sur tambours enfumés dont lafigure
2,
enhaut, représente
deuxprofils.
L’un est une
poulie épaisse
If de Il cm dediamètre,
creusée d’une gorge en Vprofonde
de 35 mm et dont leprofil
est celui del’angle
B20N
quand
lesjoues
sont verticales.Montée
à hauteur convenable sur un axe horizontal
qui
est dans leplan
de frottement etqui
fait 100 tours à laseconde,
lapoulie-tambour
conserve, sur lespentes
de la gorge,après
uncoup de
fouet,
la trace de latrajectoire
relative du bout de ce fouet.L’expérience
montre que les mesures de vitesse aux différentspoints
de cette trace sont illusoires.Malgré
la vitesse élevée dutambour,
malgré
la différence des vitesses des bordset du fond de la gorge, la trace
a.la
forme d’un ’7" contenu dans unplan
dontl’angle
avecl’axe de rotation est de
quelques degrés
seulement. On nepeut
retenir que la vitessemoyenne déduite de la
petite
différence deslazimuts de lapoulie
à l’entrée et à la sortie de la gorge.Encore faut-il remarquer que cette différence
provient
presque exclusivement des deux derniers centimètres du V frolés immédiatement avant la sortie(le développement
total dela trace a ’7 5
mm).
’
La vitesse moyenne ainsi mesurée atteint et
dépasse
350 mètres par seconde.J’ai voulu contrôler ce résultat au moyen d’un
enregistreur
tel que tous lespoints
de la surface enfumée aient la même vitesse linéaire. D’où le second tambour Lreprésenté
figure
2,
simple cylindre
de 276 mm dediamètre,
de 47 mmd’épaisseur,
dont l’axe derota-tion est dans le
plan
de fouettement, incliné sur la verticale de manière que sesgénératrices
occupent
successivement laposition
de la droite La trace obtenue sur le tambour dontla vitesse
périphérique
est 57 mètres par seconde est àl’entrée,
auvoisinage
deLO,
sensi-blement })arallèle
arcagénératrices;
elle est un peu incurvéeaprès
3 centimètres de parcours377
C’est donc au
voisinage
immédiat dupoint
0qu’est
localisée la vitesse maximum. Savaleur,
non mesurable parl’expérience
présente,
est certainementsupérieure
à 570 m :même pour des tensions initiales modérées du caoutchouc.
Au-dessous du
point
critique,
tant pour les courbes montantes que pour lesdescen-dantes,
les mesures de vitesses ont été faites àpartir
des clichés(dont quelques-uns
repro-duitspl. I).
Les mesures des vitesses d’ascension U
(ou
dedescente)
sont immédiates. Il est malheu-reusementchimérique d’espérer compléter
lesrenseignements
relatifs à un coup de fouetFig. 6.
par ceux relatifs au coup suivant. Des écarts considérables existent pour les vitesses
mesu-rées dans des conditions
qu’on
croîtidentiques.
Je n’ai pas pu mettre en évidence les facteursqui
commandent cesvariations,
pasplus
queje
n’ai pu obtenirplusieurs
fois de suiteexactement la même pose. La réactivité du caoutchouc ne doit pas être
incriminée,
carj’ai
eu le même insuccès en donnant un coup parjour
seulement et laissant le fouet armé,hen-dant les 24 heures
séparant
deux coups.J’en suis
réduit,
pour chiffrer les vitesses dontje m’occupe,
àprendre
une moyenne sur une centaine de clichés utilisables.La
figure
6représente
les vitesses d’ascension U en fonction des élévations H mesurées àpartir
de latangente
horizontalesupérieure
de lapoulie.
La courbe est sensiblement unedroite au
voisinage
del’origine
près
dela,quelle
elle coupe l’axe des élévations. On nepeut
378
et,
parintégration
D’où, quel
que soit10’
une valeur infiniepour t
-to si l’on donne à Il la valeur zéro. En
réalité, t
-Io a
toujours
des valeurs trèspetites.
On doit écrireet
Quand
leslongueurs
sontmesurés
en mètres et letemps
ensecond es,
on a := - mm est l’ordonnée à
l’origine
de la droite étudiée.C’est
d’après
ces calculs quej’admets
12 millièmes de seconde nécessaires pour que lefouet passe du contact de la
poulie
à la forme1,
valeur difficile à déterminer d’autrepart
parl’expérience.
A
partir
d’une certainehauteur,
à peuprès égale
à la moitié de la hauteurcritique,
la vitesse croîtbeaucoup
plus
vite que H. La droite s’incurve vers l’axe des vitesses et rencontrel’horizontale du
point critique
en unpoint
tellementéloigné qu’elle
semble resterasymptote
à cette droite.d’après
la formuleprécédente
etd’après
les moyennesprises
sur de nombreuxclichés,
en millièmes deseconde,
lestemps
nécessaires pour le passage du fouet par lesformes successives
représentées figure 2 ;
la forme zérocorrespond
autemps
zéro et àl’adhé-rence du fouet à la
poulie.
Courbe 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112
Temps
012,0
15,2
17,4
19,0 19,6 19,9 20,0 20,2 ~0,~ 20,9 21,6 22,6
Différences
3,2
2,2
1,6
0,6
0,3
0,1
0,2
0;3
0,4
0,7
1,0
Ainsi,
àpartir
du moment où il estlancé,
le fouet ne metguère
plus
de deux centièmes de seconde àbalayer l’espace compris
dansl’angle
Bz0N
au-dessus de lapoulie,
et pasplus
d’un centième pour passer de. la forme 1 à la forme t 2. De là la difficulté des
réglages
parlesquels
on cherche à obtenir un clichéreproduisant
une forme déterminée àl’avance ; de
là l’effet de
statistique qui
fournît enmultiples exemplaires
les formes voisines-de1, 2
ou3,
enexemplaires plus
rares les formescomprises
entre 5 et8,
enexemplaires
très rares la forme 7.Pour mesurer les vitesses sur les clichés de la
planche
I,
il fautcompter
la hauteur de chute du centre des billes àpartir
d’unpoint
situé à 1096 mm au-dessus de l’horizontaletangente
vers le haut à lapoulie
de lancement.7.
Claquement
aupoint critique.
-- Les clichés n°S 1 à 3(pl. II) pris
avec l’écranFaucault-Toepler,
portent
parfaitement
nettes des traces de l’onde sonore.379
Ces traces sont circulaires et leurs centres sont au
voisinage
despoints
critiques qu’il
est facile de situer en
remarquant
que le fouet a à peuprès
la forme 8 de lafigure
2. Les mêmescaractéristiques
valent pour deux autres clichés quej’ai
obtenus dans des condi-tionsanalogues.
Le
voisinage
du centre de l’onde et dupoint
critique
n’est pas fortuit. Ils’agit
de trou-ver, dans les conditionscinématiques
du fouetpassant
aupoint
critique,
la causegénératrice
de l’onde
photographiée.
En
balistique,
leclaquement
résulte du mouvement d’unprojectile
animé d’une vitessesupér-iell1>e
à la vitesse du son. La balle d’un fusil Lebel pousse devant elle l’onde dite desillage
qui,
latéralement et enarrière,
se déforme et traîne enquelque
sorte un côned’angle
au sommet bien déterminé.’
Le bout de fouet a, lui
aussi,
près
dupoint critique,
une vitessesupérieure
à celle duson.
D’après
leparagraphe
précédent.
le maximum de cette vitesse est réaliséquand
le fouetprend
la forme7, quasi verticale,
etquand
son extrémité libre frôle leplan
hori-zontalpassant
aupoint critique
(voir
fig.
6).
Cette extrémité est alors exactement dans les conditions d’unprojectile,
à celaprèa
que son mouvement ne reste horizontal et trèsrapide
quependant
un très court instant et sur un parcours limité à unpetit
nombre de centi-mètres. L’onde sonore estengendrée
à ce moment et lancée dans leplan
horizontalqui
con-tient le
point
critique;
elle n’est pasentretenue;
elle n’est pas troublée dans sapropa-gation
par le bout de fouetgénérateur dont
latrajectoire
ultérieure est à 45degrés
de l’horizon.Du cône à sommet arrondi caractérisant l’onde de
sillage
d’une balle n’existe ici que le sommetarrondi,
une sorte de calottesphérique
tournée vers lepoint critique.
Le cliché n° 1
(pl. Ii)
montrebien,
enclair,
la trace de cettecalotte;
j’ai
obtenu unpetit
nombre d’autres clichés où l’arc de circonférence sotus-tend des
angles
notablement’plus
petits,
mais esttoujours
du côté où va le fouet et auvoisinage
duplan
horizontalcritique.
Enréalité,
l’arc estplus développé,
au-dessousqu’au-dessus
de ceplan,
cequi
peut
provenir
de l’inclinaison deON,
trajectoire
du bout de fouetaprès
l’émission de l’ondesonore.
Comme pour un
obus,
l’ondeproduite
par le fouet estunique,
sanspériodicité
(cliché
3,
pl.
II. Très satisfaisant commedétails,
mais mal venu à lareproduction
parce quenotahle-ment
plus
clair que les autres’.L’impression
laissée sur laplaque photographique
est de même nature dans les deux cas(’) :
uneligne
claire et fine dessine la trace du front del’onde;
elle est suivie(du
côté ducentre)
d’une zoneplus large,
obscure,
limitée par desarcs
concentriques.
L’onde frontale est évidemmentcondensée;
la zonesuivante,
dont lenoir est
plus
intense que celui du reste ducliché,
correspond
sans doute à une dilatation.En tout cas, l’obus
fournit,
pour l’onde desillage,
la mêmeligne
frontale étroite suivie d’une zoneplus
large
et lestransparences
relatives sont dans le mêmerapport.
D’autre
part,
dans le cliché 3 ’de laplanche
II, qui
n’a subi aucuneretouche,
laprésence
de deux cerclesconcentriques
limitant l’onde frontale et la zone troubléearrière,
empêche
de supposer que les variations de teinte observées sont dues à des causes acci- °dentelles
étrangères
auphénomène.
A l’oreille et à
distance,
leclaquement
du fouet seconfcnd,
avec leclaquement
d’un fusilLebel,
voiremême,
dans certains cas, avec celui d’un obus depetit
calibre. 11 est encoreanalogue
au bruitproduit
par une boule de verrequ’on
faitéclater,
en lasoufflant,
sousforte
pression; également
au bruit despistolets
à ventqui
servent dejouets
aux enfants etdans
lesquels
l’airemprisonné
etcomprimé
dans uncylindre
entre deux bouchonsqu’on
rapproche
ne tarde pas àexpulser
le bouchon obturateur.°
Par
contre,
àl’oreille,
leclaquement
du fouet semble très différent du bruitproduit
par le
crève-vessie,
ou par le bris d’uneampoule
delampe
électrique
vidée d’air. Si lecrève-vessie a une cavité
susceptible
d’engendrer
une résonance et de créer unepériodicité
dans lephénomène
sonore, on nepeut
rien arguer de semblable pourl’ampoule,
dont le verre est380
quasi pulvérisé.
Il semble bien .que l’onde solitaire condensée caractérise leclaquement
dufouet comme les autres
claquements.
Un bruit sourd très différent du
claquement
caractérise un coup de fouet mou dont la vitesse aupoint
critique
est inférieure à la vitesse du son.IL est facile de contrôler
expérimentalement
cette conclusion.Plaçons
unecapsule
deKoenig
de manièrequ’elle
reçoive
sur sa membrane flexiblel’onde du cliché n" 1
(pl. II) ;
évitons que cette membrane soit frôlée par le bout de fouet ou bombardée par les brinsqui
s’en détachent. Observons le sens de laprelllière
variation dela flamrne
(l’observation
se fait sans coupperdu
si on fait lever lepont Ql
de lafigure
1 aumoment convenable par le miroir tournant
utilisé).
L’expérience
montre que lapremière
variation de la flamme est unallongement.
Autredispositif : parallèlement
auplan
de fouettement et àpetite
distance,
dressonsune
grille métallique
à mailles de 5 millimètres sur les bordsdesquelles,
au moyen d’unlarge
pinceau trempé
dans unliquide
savonneux, nous tendons des membraneslégères
et peurésistantes. Faisons
claquer
le fouet. De nombreuses membranes sontcrevées,
principale-ment enregard
dupoint
critique.
Sur une secondegrille
non savonnée peu distante de lapremière,
recueillons lesgouttelettes
d’eau savonneuse enlesquelles
se résolvent les membranes crevées. Laposition
de cette secondegrille
quand
ellereçoit
lesgouttelettes
détermine lesigne
de l’onde incidente.Au voisinage
dupoint critique,
lesgouttelettes
sontprojetées loinduplandefouettement.
Au
voisinage
de la verticaleA,B,
(fig. ~),
lesgouttelettes
sont attirées vers lepoint
defouettement.
Corrélativement,
auvoisinage
de la mêmeverticale,
la flamme de lacapsule
deKcnnig
commence par se raccourcir. Ce sont deux indices d’une évacuation d’air
qui
n’est pas uneonde
proprement
dite parcequ’elle
est lente et met untemps
relativementlong
à sedéve-lopper.
J’ai
appelé
glissement
le mouvement de laportion
de fouetqui
monte suivantA2B2.
Unpiston glissant
dans soncylindre
produit
un vide derrière lui. Derrière lefouet,
seproduit
également
un videqui
d’ailleurs estrapidement
comblé parl’atmosphère.
Cependant,
l’entraînement de l’air vers le haut nepeut
dépasser
lepoint critique
où,
par unbrusque
crochet,
le fouet entraîneur rebrousse chemin. Butant contrel’atmosphère
immobile,
l’air ascendant doitproduire
un choc dontl’énergie s’ajoute
à celle transmise parle fouet et
contribue,
parconséquent,
à laproduction
de l’onde sonore.Dans l’effet de vide que
j’analyse,
le n0153udn’augmente
pas sensiblement la masse d’airentraînée.
Le volume d’air entraîné est
toujours plus grand
que le volume ducylindre
entraîneur."
Où se
trouve,
avant leclaquement.,
l’énergie
actuellement localisée dans l’onde sonore ?Il semble
qu’elle
existe sous formecinétique
dans laportion
du fouetglissant
lelong
de laverticale
A2B;l.
Un peu avant leclaquement,
eneffet,
leglissement
gi estnégligeable
et leglissement ,q¿
trèsgrand.
Enappelant
1 lalongueur
du brin verticalconsidéré,
onpeut
.
écrire,
pour cet intervalle de temps := constante.
’
Admettons que la
portion
verticalependante
du fouet a unelongueur
de 5 cmquand
lavitesse est de 300 mètres à la seconde. Son
énergie cinétique,
en ergs, estégale
à :soit environ
0,4
kilobramrnètres..
La formule rend
compte
de l’énorme accroissement de g2quand
le bout du fouetapproche
dupoint critique;
elle donneraitmême,
en cepoint,
une valeur infinie pour cettevitesse. J’ai montré au
