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p78_84_correction
1. 𝐴(1 ; −1 ; 3 ) et 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (2 3 1
)
(𝐴𝐵): {
𝑥 = 2𝑡 + 1 𝑦 = 3𝑡 − 1 𝑧 = 𝑡 + 3
avec 𝑡 ∈ ℝ
2. 𝑑 parallèle à (AB)
donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur directeur de la droite 𝑑
(𝑑): {
𝑥 = 2𝑡 − 5 𝑦 = 3𝑡 + 7 𝑧 = 𝑡 + 1
avec 𝑡 ∈ ℝ
3. a. 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ (−2 14 0
) ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (2 3 1
) ; −2
2 ≠ 14
3 donc les vecteurs 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ne sont pas colinéaires or 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ étant un vecteur directeur de la droite 𝑑,
les droites (𝐴𝐹) et 𝑑 ne sont pas parallèles.
b. équation paramétrique de (𝐴𝐹): (𝑑): {
𝑥 = −2𝑡′ − 1 𝑦 = 14𝑡′ + 13
𝑧 = 3
avec 𝑡′ ∈ ℝ
On résout le système : {
𝑥 = 2𝑡 − 5 = −2𝑡′ − 1 ① 𝑦 = 3𝑡 + 7 = 14𝑡′ + 13 ② 𝑧 = 𝑡 + 1 = 3 ③ L’équation ③ donne 𝑡 = 2
① 2 × 2 − 5 = −2𝑡′− 1 soit 𝑡′ = 0
Vérifions l’équation ② avec 𝑡 = 2 et 𝑡′ = 0
3𝑡 + 7 = 3 × 2 + 7 = 13 ; 14 × 0 + 13 = 13 ; l’équation ② est vérifiée
Les deux droites sont donc sécantes ; les coordonnées de leur point d’intersection est : {
𝑥 = −2𝑡′− 1 = −1 ① 𝑦 = 14𝑡′ + 13 = 13 ②
𝑧 = 3 ③
(−1 ; 13 ; 3 )
2
