Méthode itérative basée sur la corrélation appliquée à un système
de vases communicants
Projet de semestre
Table des matières
1. Introduction_________________________________________________________3 2. Méthode itérative basée sur l’approche de corrélation_______________________5 2.1. Concept de la méthode_________________________________________________5 2.2. Mathématique impliquée dans cette méthode_______________________________7 2.2.1. Représentation des paramètres du système________________________________________7 2.2.2. Équation de corrélation (Solution)______________________________________________8 2.2.3. Fonction de corrélation (Minimisation)_________________________________________13 2.3. Termes fixes au sein du contrôleur______________________________________15 3. Description du système expérimental____________________________________16 3.1. Présentation du système_______________________________________________16 3.2. Calibration des capteurs_______________________________________________18 3.3. Réponses des actuateurs_______________________________________________20 3.4. Paramètres physiques du système_______________________________________22 3.5. Modélisation du système_______________________________________________24 3.5.1. Modélisation du système par identification______________________________________24 3.5.2. Modélisation mathématique du système_________________________________________26 3.6. Synthèse du régulateur initial___________________________________________30 4. Simulation_________________________________________________________31 4.1. Condition de simulation_______________________________________________31 4.2. Résultats de la simulation (minimisation)_________________________________32 4.2.1. Simulation avec un bruit faible________________________________________________32 4.2.2. Simulation avec un bruit élevé________________________________________________33 4.2.3. Simulation avec identification en boucle fermée__________________________________34 4.3. Résultats de la simulation (Solution)_____________________________________35 4.3.1. Simulation avec une approche FIR_____________________________________________35 4.4. Discussion des résultats de la simulation__________________________________36 5. Expérimentation____________________________________________________37 5.1. Description de la procédure____________________________________________37 5.2. Résultats de l’expérimentation__________________________________________37 5.2.1. Modification du point de fonctionnement_______________________________________37 5.2.2. Consigne avec des sauts plus importants________________________________________40 5.3. Discussions des résultats de l’expérimentation_____________________________43 6. Conclusion________________________________________________________45
8. Remerciements_____________________________________________________45 9. Bibliographie_______________________________________________________46 9.1. Ouvrages____________________________________________________________46 10. Annexes_________________________________________________________47 10.1. Mesure du débit en fonction de la commande_____________________________47
1. Introduction
La modélisation d’un système réel, dans le but d’une automatisation, ne pouvant jamais être parfaite, il existera toujours une différence entre une réponse que l’on souhaite obtenir sur un système et celle qui sera effective sur le système réel.
Les méthodes itératives paraissent à ce titre très intéressantes et prometteuses, car elles permettent d’affiner le régulateur qui a été désigné afin d’obtenir sur le système réel la réponse que l’on avait prévue grâce au modèle.
L’objectif du présent travail a été d’implémenter et de tester une nouvelle méthode itérative basée sur une approche de corrélation développée à l’Epfl (école polytechnique fédérale de Lausanne) au sein du laboratoire d’automatique. L’idée générale de cette approche est de faire en sorte que l’erreur de sortie en boucle fermée, soit la différence entre une réponse obtenue sur un système réel commandé par un régulateur et celle obtenue avec le même régulateur sur le modèle du dit système, ne soit pas corrélée avec le signal de référence. Ainsi, les paramètres du contrôleur seront solution d’une équation de corrélation.
Dans un premier temps, la méthode a été testée en simulation puis dans un second temps sur un système non linéaire réel nommé «Three Tank System » (3TS). Ce système est constitué de trois vases communicants. A la base de chaque bac se trouve une vanne à ouverture manuelle permettant de vider l’ensemble des trois bacs. Trois capteurs de pression permettent de connaître la hauteur du niveau de liquide à l’intérieur de chacun des bacs. Le système dispose aussi de deux pompes permettant le remplissage des deux bacs extérieur. L’objectif de l’expérience étant de contrôler le niveau de liquide à l’intérieur des bacs par l’intermédiaire des pompes.
Figure 1: Three Tank System
Voici comment va se dérouler le présent rapport :
Au cours du chapitre 2, la méthode itérative basée sur une approche de corrélation sera présentée. Dans un premier une vision intuitive de la méthode sera présentée puis dans un second temps les fondements mathématiques impliqués seront étudiés.
Dans le chapitre 3, l’expérience sera étudiée dans sa globalité. A partir de ses observations un modèle mathématique du système sera réalisé. Ensuite, un régulateur sera conçu par placement de pôle afin de donner au système des caractéristiques en boucle fermée que souhaite l’utilisateur.
Les résultats des la simulation ainsi que la discussion de ceux-ci seront présentés au cours du chapitre 4.
Ensuite, le régulateur dimensionné au cours du chapitre 3 sera appliqué sur le système réel et la méthode itérative basée sur la corrélation sera testée. Les résultats et la discussion des ses résultats seront décrit au chapitre 5.
Enfin, pour terminer, une synthèse de travail effectué sera faite au chapitre 6 en guise de conclusion.
2. Méthode itérative basée sur l’approche de corrélation 2.1. Concept de la méthode
Dans une approche plutôt classique, afin de contrôler un système quelconque, il est tout d'abord nécessaire de le modéliser ou de l’identifier puis de dimensionner un régulateur dans le but de donner au système une dynamique souhaitée et une certaine réponse correspondante à un type d’excitation.
Le problème dans cette démarche provient du fait que les systèmes physiques réels jouissent d’une telle complexité qu’il est impossible de les modéliser de manière parfaite.
Ce faisant, il sera toujours nécessaire d’effectuer des simplifications et des réductions d’ordre pour décrire un système physique, on ne pourra ainsi jamais connaître l’intégralité de ses dynamiques intrinsèque.
Il existera ainsi des différences entre les réponses que l’on obtient par simulation avec le modèle du système et son régulateur et celles qui seront obtenues sur le système réel.
L’objectif de la méthode itérative basée sur l’approche de corrélation est, par un processus itératif, de faire en sorte que la réponse obtenue sur le système réel soit le plus proche possible de celle obtenue lors de la simulation. Pour ce faire, il faut faire en sorte que l’erreur de sortie en boucle fermée, soit la différence entre une réponse obtenue sur un système réel commandé par un régulateur et celle obtenue avec le même régulateur sur le modèle du dit système, ne soit pas corrélée avec le signal d’excitation. Ceci étant le cas, car la réponse obtenue sur le système réel va refléter les mêmes dynamiques que celles modélisées (le contrôleur compensant les dynamiques non modélisées). Ainsi lors de la soustraction de ses deux signaux pour le calcul de l’erreur, il ne restera plus aucune information concernant le signal de référence, l’erreur ne contenant plus que la contribution du bruit qu’il y a eu lors de l’application sur le système réel.
De ce fait, si le bruit n’est pas corrélé avec le signal de référence et qu’il est a moyenne nulle (ceci constituant une hypothèse fondamental et nécessaire à l’application de la méthode basée sur l’approche de corrélation), l’erreur de sortie sera indépendante du signal d’excitation et les paramètres du contrôleur pourront être trouvés par résolution d’une équation de corrélation.
Figure 2: Diagramme en bloc mettant en évidence l'erreur en boucle fermée entre la réponse
Cette figure est une schématisation en bloc mettant en évidences les deux systèmes, le système réel G et le modèle du système Go, en boucle fermée régulés par un régulateur RST.
La partie supérieure représente le système réel, on aura donc l’effet du bruit (v(t)) qui va venir s’ajouter. La sortie du système réel sera caractérisée par y(t).
La partie inférieure représente quant à elle le système modélisé en boucle fermée. Il n’y aura donc pas d’effet de bruit. Le modèle du système est modélisé par Go. Ro, So et To sont les polynômes initiaux du régulateur. La réponse de cette modélisation sera donnée par yd(t).
Ainsi, l’erreur en boucle fermée entre la réponse modélisée et celle obtenue sur le système réel sera donnée par :
) ( ) ( )
(t y t yd t
CL
[1]
Comme cela a été mentionné ci-dessus, cette erreur de sortie n’est pas corrélée avec le signal de référence r(t) car elle ne contient que le bruit qu’il y a eu lors de l’expérimentation et par hypothèse le bruit n’est pas corrélé avec le signal de référence donc l’erreur de sortie en boucle fermée ne peut être corrélée avec la référence.
Ainsi, l’espérance mathématique à la solution de l’équation de corrélation entre ses deux signaux doit être nulle, ceci constituant la base fondamentale de cette approche itérative basée sur la corrélation.
2.2. Mathématique impliquée dans cette méthode
2.2.1. Représentation des paramètres du système
Définissons-la sortie d’un système réel par :
) ( ) ( ) ( )
(t G q 1 u t v t
y [2]
Dans cette équation y(t) est la sortie du système, u(t) est l’entrée appliquée sur le système, v(t) représente un bruit a moyenne nulle.
La fonction de transfert G représente le modèle du système, ce modèle est caractérisé par les polynômes A et B de la manière suivante :
) (
) ) (
( 1
1 1
q A
q q B
G [3]
Supposons que le système est contrôlé par un régulateur polynomial à deux degrés de liberté nommés RST, alors la loi de contrôle sera la suivante :
) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
(q 1 u t S q 1 y t T q 1 r t
R [4]
Dans cette équation r(t) est la consigne appliquée sur le système et R, S et T sont les polynômes du régulateur. Ils sont définis comme suit :
nT nT
nS nS
nR nR
q t q
t q t q
T
q s q
s q s q
S
q r q
r q r q
R
...
1 ) (
...
1 ) (
...
1 ) (
2 2 1 1 1
2 2 1 1 1
2 2 1 1 1
[5, 6, 7]
Si l’on utilise le vecteur de régression T(,t) et le vecteur de paramètre défini de la manière suivante.
] 9 [ ], ,..., , , ,..., , , ,..., , [
] 8 [ )], (
),..., 1 ( ), ( ), (
),..., 1 ( ), ( ),
( ),..., 2 ( ), 1 ( [ ) , (
1 0 1
0 2
1 nR nS nT
T
T S
R
t t t s s s r r r
n t r t
r t r n
t y t
y t y n
t u t
u t
u t
Il est alors possible d’écrire la sortie du contrôleur u(t) d’une manière très condensée sous forme d’une régression à partir des équations ci-dessus.
, ) ( )
(t t
u T [10]
2.2.2. Équation de corrélation (Solution)
Si l’on souhaite améliorer la réponse obtenue sur le système réel, on ne va pouvoir jouer uniquement sur les paramètres du contrôleur. Ainsi, l’erreur de sortie en boucle fermée va se définir de la manière suivante :
) ( ) , ( )
(t y t yd t
CL
[11]
Du fait que cette erreur est indépendante du signal de référence (cf §1.1), au même titre que du vecteur de variable instrumental (celui étant corrélé avec le signal de référence), les paramètres du contrôleur seront solution des équations de corrélation suivantes :
) , ( ) , 1 (
) (
0 )}
( { ) (
1
t N t
f
f f
N
t CL
[12 , 13]
Dans cette équation, {} représente une espérance mathématique, N étant le nombre de données récoltées lors de l’expérimentation, (,t) est un vecteur de taille n
contenant les variables instrumentales. Ces variables doivent quant à elle être corrélées avec le signal de référence, mais être indépendantes du bruit.
Pour résoudre cette équation, il est possible d’utiliser des algorithmes de convergence du type :
( )
1 ( )1 i i i i
i Q f
[14]
i représentant la taille du pas d’itération comprise entre 0 et 1. Q(i) est une matrice carrée de taillen(ceci correspondant aux nombres de paramètres du régulateur). Pour que cet algorithme converge vers une solution, il faut faire en sorte que la taille du pas d’itération soit bien adapté par rapport à la distance du point de convergence. Il est aussi primordial que Q(i) ne soit pas singulière, sinon il y aura un problème lors de l’inversion de cette matrice. Il faut aussi prêter attention au fait que si cette matrice est presque singulière, il y aura des problèmes numériques. Ce problème surviendra si les données ne contiennent pas assez d’information sur le système ou si le régulateur est sur paramétrisé.
Pour garantir la non-singularité de la matriceQ(i), il est possible de l’égaler à la
équations de corrélation sont en règle générale non linéaires et ne peuvent pas être résolues de manière analytique mais elles peuvent être résolue avec des algorithmes de convergence classique. Notamment la méthode de Newton-Raphson qui converge rapidement.
Avec cette méthode qui utilise les gradients, Q(i) se définit ainsi :
N
t
i cl
i cl
i t t
t t N
Q f
i i
i 1
)}, ( ),( / ),(
),( / 1 {
/
)(
[16]La valeur exacte de cette équation ne peut pas être trouvée, car l’on ne peut pas connaître la dérivée de l’erreur de sortie en boucle fermée en fonction des valeurs des paramètres.
Cela ne posera pourtant pas de problème, car pour converger vers la solution seule une bonne estimation est nécessaire, car cette matrice Q n’aura d’influence que sur la vitesse de convergence et non sur le point de convergence lui-même.
Pour estimer cette valeur, on peut négliger le premier terme de l’équation 17 car les dérivées des variables instrumentales ne sont pas corrélées avec l’erreur de sortie. Donc si on néglige ce terme Q(i) se définira ainsi :
N
t cl i
i t t
N ty Q f
i
i 1
)},(
),( / 1), {
/ (
)(
[17]La dérivée de la fonction par rapport aux valeurs des paramètres revient à faire la dérivée de la sortie du système réel, car la sortie du système modélisé n’est pas fonction de et de t donc sa dérivée est nulle.
Il s’agira donc de calculer la dérivée de la sortie par rapport aux valeurs des paramètres du régulateur.
L’entrée et la sortie du système se définissent par :
) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ) (
(
) ( ) ) (
) ( (
) ( ) ) (
, (
) ) (
(
) ( ) ) (
) ( (
) ( ) ) (
, (
1 1
1 1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
q S q A q
R q A q
P avec
t q v
P q S q t A
q r P
q T q t A
u
t q v
P q R q t A
q r P
q T q t B
y
[18, 19]
Les dérivées de la sortie y par rapport aux paramètres du régulateur sont données par :
R j
j j
j
j
n j
pour j
t P u
B
t P v t AS P r AT P
Bq
t P v
AAR q
AP t q
P r ABT q
r y
,..., 1 )
(
)]
( )
( [
) ( )
( 2
2
[20]
Les calculs pour trouver la dérivée de y par rapport à S et à T sont exactement identique et l’on trouve donc :
T j
S j
n j
pour j
t Pr B t
y
n j
pour j
t P y
B s
y
,..., 1 )
(
,..., 1 )
(
[21,22]
Ainsi, la dérivée de la sortie par rapport au paramètre du contrôleur peut se trouver par un filtrage du vecteur de régression par le polynôme B/P, soit :
) , ) (
,
( t
P B t
y T
[23]
2.2.2.1. Avantage et inconvénient de cette recherche de solutions
Lorsque l’on cherche à résoudre les équations de corrélation cela présente l’avantage que le gradient n’est impliqué que dans la matrice Jacobien, ainsi une erreur dans cette matrice ne va modifier que la vitesse de convergence, en aucun cas le point de convergence lui-même. On ne va donc pas modifier les équations elles-mêmes si le Jacobien n’est pas parfait, ainsi la recherche des solutions ne sera pas biaisée.
Avec cette méthode, on cherche à résoudre un nombre d’équations qui correspond au nombre de paramètres du régulateur sinon le système d’équation serait surdéterminé et n’aurait pas de solution.
Le degré du régulateur que l’on souhaite implanter sur le système est fini et la plupart du temps il est relativement faible pour éviter des simplifications pôles-zéros. Cela engendre le problème que l’on va ne chercher à résoudre qu’un nombre restreint d’équations de corrélation et qu’idéalement il faudrait en résoudre autant que l’ordre du système en boucle fermée que l’on souhaite réguler.
Par exemple pour un régulateur proportionnel ce nombre se limite à 1 et la fonction de corrélation va représenter dans ce cas uniquement la cross-corrélation entre
) 1 ( ) ,
( t et r t
cl
. Mais un système réel possède en théorie un ordre infini, en tous les cas il est très élevé. Donc dans ses conditions les équations de corrélation peuvent avoir plusieurs solutions et certaines de ses solutions ne décorrèlent pas nécessairement les deux signaux, il est donc difficile de discuter la qualité du régulateur correspondant à la solution de telles équations. Pour pouvoir espérer décorréler un grand nombre d’équations, il faudra donc un ordre de régulateur très élevé, mais cela posera d’autres problèmes comme le risque d’engendrer des matrices Jacobien proches d’être singulières et cela posera des problèmes lors de leur inversion.
Un autre problème plus évident celui-là, provient du faite que si le système d’équation que l’on souhaite résoudre ne possède pas de solution, le gradient va emmener les paramètres du régulateur dans tous les sens sans jamais converger !
2.2.2.2. Idée pour avoir plus d’équations à résoudre lors de la recherche de solutions
Comme cela vient d’être mentionné au paragraphe précédent, lorsque l’on cherche à résoudre le système d’équations de corrélation, le nombre d’équations constituant le système est limité par le nombre de paramètres du régulateur. Cela posant le problème que l’on ne va pouvoir décorréler uniquement un nombre restreint d’équation, il est donc difficile de pouvoir apprécier la qualité du régulateur obtenu.
La première idée venant à l’esprit serait de penser qu’il suffit d’augmenter le degré du régulateur. Le raisonnement est juste, le problème c’est qu’avec cette approche on risque très fortement d’avoir des simplifications pôles-zéros, en tous les cas des pôles et des zéros très proches, cela posera de gros problèmes notamment lors de l’inversion de la matrice du gradient, car la matrice sera presque singulière.
L’idée qui est envisagée pour s’affranchir de ce problème est de passer d’une représentation en fonction de transfert pour caractériser le régulateur à une représentation en réponse impulsionnelle finie (RIF). Ainsi on n’aura plus de problème concernant la proximité des pôles et des zéros, car la représentation en RIF ne fait intervenir qu’un numérateur. Ainsi, il sera possible de représenter le régulateur avec un grand nombre de paramètres. Donc, l’idée est de concevoir un régulateur adapté au modèle du système.
Puis d’en calculer sa réponse impulsionnelle finie et d’appliquer sur le système réel cette réponse impulsionnelle. Effectuer ensuite toute la procédure itérative avec cette réponse RIF et c’est seulement lors que le système converge vers une solution satisfaisante que l’on effectuera le passage d’une réponse impulsionnelle finie à une fonction de transfert pour remettre le régulateur sous une forme plus condensée.
Pour que se passage soit parfait il est important que les deux représentations soient parfaitement identiques. En d’autre terme, il faut que la fonction de transfert aie une réponse impulsionnelle finie. Ce qui n’est pas le cas d’un intégrateur qui lui possède une RIF infinie. Cela ne posera pas de problème si l’on prend quelque précaution. Si l’on souhaite un effet intégrateur, on veut que le pôle correspondant ne varie pas au cours des différentes itérations donc il ne le fera pas entrer dans le processus itératif. Ainsi, on peut séparer la fonction de transfert du régulateur avec d’un coté les termes fixe et de l’autre les termes que l’on souhaite améliorer. Ainsi, lors du calcul de la réponse impulsionnelle on ne prendra que la partie variable donc on ne sera pas confronté au problème d’une réponse impulsionnelle infinie.
R RIF S R S R S Rin g Sin
fix fix fix
fix
var
Re var [24]
Par exemple si le terme fixe est un pole égal à 1 dans R R RIF
S R S Rin g Sin
fix
fix
-1
var var
z - 1
Re 1 [25]
2.2.3. Fonction de corrélation (Minimisation)
Comme cela vient d’être mentionné au cours d’un chapitre précédent (§2.2.2.1), le fait de rechercher les solutions aux équations de corrélation pose certains problèmes. L’idée qui va être développée dans ce chapitre sera de rechercher non plus une solution aux équations de corrélation, mais de rechercher le minimum d’un certain critère.
On va ainsi rechercher à minimiser le critère suivant :
)}
( ) , ( { ) (
) ( )
( ) ( )
( 2
t r t R
Avec
R f
f J
CL oe
l
l oe T
[26]
)
2 (
Roe , représente la fonction de cross-corrélation entre l’erreur de sortie et le signal de référence du système.
Minimiser cette fonction revient à rechercher une dérivée première nulle soit :
0 ))
( ) (
min(
T
T f f
f
f [27]
Cela est de nouveau une équation de type stochastique pouvant être résolue avec certaines méthodes d’approximation stochastique, mais si le nombre de données est suffisamment grand, on peut faire l’hypothèse que l’équation est déterministe. Cela permettant de la résoudre avec des méthodes de convergence classique telle que :
) (
) , ( )
, ( ˆ
) , ˆ ( ) 1 (
/ ) (
) ( ) (
1 1
gradient du
ion Approximat P t
t B et
t N t
Q f Avec
f Q
i i
T
N
t
i T i
i i T i i i
i
[28]
Il est possible d’optimiser la vitesse de convergence en utilisant la dérivée seconde, soit en utilisant l’algorithme de Gauss-Newton.
) ( )) ( ) ( ( ) (
) ( )
(
) ( ) (
1 _
_
_ 1
i i
i i
inv Pseudo
i i
inv Pseudo
i i T
inv Pseudo i i i
Q Q
Q Q
Soit
Q de inverse pseudo
la est Q
Où
f Q
[29]
2.2.3.1. Avantage et inconvénient de cette méthode
Avec cette approche de vouloir minimiser un certain critère, il est possible de choisir un plus grand nombre de variables instrumentales que lors de la recherche de solution. En effet, on va pouvoir choisir un nombre de variables instrumentales qui sera borné par les considérations suivantes :
• Ordre du système en boucle fermée Nombre de variables instrumentales<<Nombre de données
De cette manière, il sera possible de décorréler un plus grand nombre d’équations et donc d’obtenir des régulateurs de meilleure qualité.
Un autre avantage par rapport à la recherche de solution est le faite que maintenant on aura un algorithme qui convergera toujours. Malheureusement, il se peut que l’on tombe dans un minimum local et à moins de modifier les conditions initiales, on ne pourra plus en ressortir.
Un autre problème avec cette manière de procéder, soit de rechercher un minimum, vient du fait que maintenant la précision du gradient intervient directement sur le point de convergence du système. En effet, le système va toujours converger vers un minimum, mais ce minimum est directement donné par la valeur de la matrice Q. Donc si celle-ci n’est pas parfaite on va converger vers un minimum qui ne sera pas le minimum du critère que l’on souhaite réellement minimiser.
Dans cette optique, il est recommandé d’identifier à chaque itération le modèle du système. Ainsi, on aura un gradient le plus précis possible et bien en rapport avec l’expérience qui vient de se dérouler. Un autre aspect très intéressant de la méthode est que l’on peut se permettre d’identifier le système à chaque itération d’une manière très précise avec des modèles d’ordre élevé sans que cela aie une influence sur le degré du régulateur, car le modèle venant d’être identifié ne sert qu’au calcul du gradient.
2.3. Termes fixes au sein du contrôleur
La plupart du temps il est souhaitable de conserver des pôles ou des zéros dans le régulateur à une place bien définie afin d’obtenir certaines propriétés par exemple un pôle égal à 1 pour avoir un effet intégrateur. Cela est tout à fait possible avec cette méthode itérative basée sur la corrélation. Pour cela, il suffit de décomposer R ou S en deux parties, une partie fixe et une partie mobile qui variera au fur et à mesure des différentes itérations. Ainsi, R et S se décomposeront de la manière suivante :
fixe Variable
fixe Variable
S S
S
R R
R
[30]
A chaque itération on va modifier les paramètres du régulateur par l’intermédiaire du gradient. Mais si le régulateur contient des termes fixes on ne va montrer à l’algorithme, d’un point de vue externe, que le régulateur qui contient les termes variables, ainsi on va modifier seulement ses termes.
Toutefois, ces termes fixes interviennent quand même au sein du processus itératif dans le sens où ils sont impliqués dans le filtre contenant le gradient. En effet, l’erreur sera filtré par
P S B fix
et la commande par P
R B fix
.
Ensuite pour trouver le régulateur à implanter sur le système réel, il restera a convoler la partie fixe du régulateur avec la partie variable venant d’être modifiée, ainsi le nouveau régulateur contiendra non seulement les nouveaux paramètres venant d’être améliorés mais aussi les termes fixes que l’on souhaites imposer sur le système.
3. Description du système expérimental 3.1. Présentation du système
Afin d’appliquer cette nouvelle méthode itérative basée sur une approche de corrélation, on dispose d’un système de trois réservoirs communicant (cf. figure 3). Ce système étant intéressant dans le sens où il est non linéaire. Il dispose de deux pompes (la pompe numéro 1 et la pompe numéro 2) commandées en tension qui délivrent un certain débit à l’intérieur de respectivement le bac1 et le bac3. Chaque réservoir dispose d’un capteur de pression avec le quels il est possible d’extraire la hauteur du niveau de liquide à l’intérieur de chacun d’eux. Il y a aussi à la base de chaque réservoir une vanne permettant de vider l’ensemble du système. Le but de tout ce dispositif est de contrôler le niveau de liquide à l’intérieur des bacs (sorties) avec le débit fourni par les deux pompes (entrées).
Figure 3: Set up expérimental
Dans le schéma ci-dessus représentant le système expérimental, « Q1 » et « Q2 » pressante le débit fournit par respectivement la pompe 1 et 2. « h1 », « h2 » et « h3 » représentent la hauteur dans les bacs respectifs. « Q12 » et « Q23 » représente les débits qu’il y a entre respectivement les bacs 1 et 2 et les bacs 2 et 3. « Q30 » représente quant à lui le débit qui vide le système. « Sn » exprime la section du conduit interconnectant les bacs, « az » indique le coefficient d’écoulement à l’intérieur de ce même conduit. Enfin, la terme « A » exprime la section des réservoirs.
Afin de se placer dans une situation dans la quelle le système ne possède qu’une seule entrée et une seule sortie, la pompe numéros 2 a été désactivée et la sortie du système est définie comme étant la hauteur du niveau de liquide à l’intérieur du réservoir numéro 2.
Le tout donnant la configuration suivante. C’est cette même et unique configuration qui sera utilisée pour toutes les expériences qui suivront.
Figure 4: Set-up expérimental en configuration SISO
Afin de gagner du temps lors de la partie expérimentale (le système étant intrinsèquement très lent), le troisième bac a été fermé. Ainsi, la dynamique sera plus élevée et le temps nécessaire à l’expérience en sera plus court. Mais cela n’entraîne en aucun cas une perte de généralité et si l’on souhaite faire le modèle avec les trois bacs, la démarche sera exactement identique.
Cette configuration avec le troisième bac permet aussi d’utiliser de manière plus adéquate le système. En effet si l’on souhaite, à l’équilibre, se trouver au milieu de la dynamique de l’actuateur (cf §3.3) il faut un débit Q20 relativement important. Donc si ce débit est important, il faut (toujours à l’équilibre) que le débit Q12 le soit aussi. Donc pour obtenir ce débit, cela nécessite un gradient de hauteur entre deux bacs assez élevé. Ainsi, si le troisième bac était ouvert, il faudrait un tel gradient entre chaque bac et on dépasserait allégrement la hauteur limite du bac numéro 1.
La fermeture du bac numéro 3 permet aussi de tester plus de hauteur différente avec des sauts plus grands d’où une plus grande liberté.
3.2. Calibration des capteurs
Les capteurs utilisés pour mesurer le niveau à l’intérieur des trois bacs sont des capteurs piezorésistif qui mesurent la différence de pression qu’il existe au fond des bacs.
Pour caractériser la réponse des trois capteurs, les trois bacs ont été remplis, puis pour plusieurs hauteurs différentes du niveau d’eau dans les bacs, la réponse des capteurs a été enregistrée. La réponse de ses capteurs étant assez linéaire, l’hypothèse d’une réponse linéaire a été posée. Pour caractériser les capteurs il suffit d’approcher par moindre carré une fonction de droite pour chaque capteur.
Voici les réponses et leurs approximations qui ont été obtenues :
5 10 15 20 25 30
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Hauteur du niveau d eau [cm]
Réponse du capteur [V]
Reponse capteur 1 Approx. capteur 1 Reponse capteur 2 Approx. capteur 2 Reponse capteur 3 Approx. capteur 3
Figure 5: réponse et approximation pour les trois capteurs de pression
La pression atmosphérique n’étant pas constante, il est nécessaire de disposer d’un processus d’étalonnage afin de calibrer de manière rapide et simple ses capteurs. Ainsi, pour compenser ce phénomène, un terme constant peu être rajouté au moyen de trois slider intégré dans la GUI de LabView. Ce terme constant va permettre de décaler la courbe approximant la réponse soit vers le haut soit vers le bas en fonction des conditions météorologiques.
Ces trois fonctions auquel on ajout un terme constant fourni par l’utilisateur afin de calibrer les capteurs, va permettre de donnée une valeur en [cm] de la hauteur du niveau de liquide à l’intérieur des bacs correspondants.
Pour vérifier le comportement de ses capteurs, le niveau dans le bac N°2 a été fixé à une hauteur approximative de 21 [cm] et voici la réponse obtenue.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
21.06 21.08 21.1 21.12 21.14 21.16 21.18 21.2 21.22 21.24
Temps [s]
Réponse [cm]
Réponse du capteur Fitting du premier ordre
Figure 6: Dérive et bruit sur le capteur de pression N°2
Si l’on approche une courbe du premier ordre sur cette réponse, on obtient une dérive équivalente à environs 0.6 [mm/h] ce qui reste relativement faible et donc n’aura pas d’impacte significatif sur le comportement général du système.
Ses capteurs souffrent aussi d’une certaine dérive en température qui selon le constructeur varie entre 0.5 et 1% par degré, mais cela ne devrait pas poser trop de problème, car l’on peut s’en trop de risque poser l’hypothèse que dans une journée d’expérimentation la température à l’intérieure du laboratoire ne varie pas beaucoup (laboratoire complètement fermé sur l’extérieur).
3.3. Réponses des actuateurs
Afin d’observer le comportement des acteurs face à une commande constante, une petite expérience a été menée. Le système est touts d'abord mis dans les configurations de la figure 4 (soit avec une configuration avec 2 bac), soit que l’entrée est le débit de Q1 et l’on mesure la hauteur du niveau d’eau dans le bac numéro 2.
Afin de toujours avoir les mêmes conditions initiales, le système est amené grâce à un régulateur à un point d’équilibre désiré d’une hauteur de 15 [cm] dans le bac 2. Puis à un instant donné, on coupe la contre-réaction et l’on donne une valeur constante à la pompe numéro 1 d’une valeur équivalente à la moyenne de la commande en boucle fermée à l’état d’équilibre.
Il a été mené en tout 4 expériences dont voici les résultats correspondants.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
8 9 10 11 12 13 14 15 16
Temps [s]
Réponse dans le bac 2 [cm]
1ière expérience 2ième expérience 3ième expérience 4ième expérience
Figure 7: Réponse en boucle ouverte de l'actuateur N°1
Même si la valeur constante ne devait pas correspondre à la valeur exacte de la valeur d’équilibre, on devrait observer le même effet que lors d’un saut et dans tous les cas un retour à une situation d’équilibre. Malgré tout, on observe qu’entre chaque expérience, une tension constante ne donne pas du tout les mêmes réponses et de plus les réponses ne sont non plus pas stationnaire au cours du temps. On observe en effet un comportement aléatoire, et ce, dans des proportions qui ne sont pas négligeables.
Cela n’est pas très surprenant, car le débit délivré par les pompes est engendré par un système qui n’est pas bouclé par rapport au débit délivré. En effet, les pompes qui sont montées sur le système reçoivent une tension et délivrent sans contre-réaction aucune un débit. De ce fait, il est très difficile de garantir un débit homogène et constant surtout que sur une longue période, une petite différence de débit aura de grandes répercussions sur
Il faut tout de même noter que le système est non linéaire, il n’est donc pas impossible que cela a une influence sur le graphique ci-dessus. En effet, au moment où l’on coupe la contre réaction, le bruit fera que l’on n’aura pas exactement les mêmes conditions initiales donc des réponse qui peuvent être relativement différent. Malgré tout, après un certain temps, le système devrait se stabiliser. Ceci n’étant pas le cas sur le système réel, on a donc quant même affaire a des non linéarités sur l’actuateur.
Toutefois, afin d’étudier la réponse de l’actuateur en fonction de la commande, le bac numéros 1 à été fermée. Puis on donne une commande constante pendant un certain temps, ensuite on coupe l’actuateur et l’on mesure la hauteur d’eau dans le premier bac.
Cela permettant de connaître qu’elle est à peu près le débit délivré par la pompe en fonction de la commande. Pour essayer de limiter un maximum les effets de perturbation mentionnés précédemment, plusieurs expériences ont été menées pour chaque valeur de commande et c’est la moyenne qui a servi à l’élaboration du graphique ci-dessous (Voir les résultats numériques en annexe §10.1).
Figure 8: Débit [m^3/s] en fonction de la commande
Comme prévu la réponse de la pompe en fonction de la commande est relativement linéaire. Toutefois, le constructeur prévoit une réponse linéaire entre -5 et +5, est comme cela est montré sur le graphique, on n’obtient une réponse qu’entre -3 et +5. Cela provient du fait qu’en dessous de -3 la tension délivrée n’est pas suffisante pour faire grimper le liquide au sommet du bac. Cela aura pour conséquence que si l’on veut avoir
3.4. Paramètres physiques du système
La loi de Torricelli nous permet de calculer un débit à l’intérieur d’un conduit :
) 2
( )
sgn( h g h
Sn az
Q [31]
« Q » étant un débit en m3/s, « az » est un coefficient de flux compris entre 0 et 1 pour tenir compte du fait que l’écoulement n’est pas laminaire, « Sn » représentes la section du conduit en m2, sgn signifie le signe de «h » (différence de hauteur entre deux bacs communicants) et « g » représente la gravité terrestre.
Concernant le coefficient de flux « az », il est très difficile, voire impossible, de déterminer ce coefficient de manière analytique, car cela fait intervenir beaucoup de paramètres dont beaucoup sont inconnus par exemple l’état de surface à l’intérieur du conduit ou la viscosité du fluide. Donc le meilleur moyen de trouver ce coefficient reste la manière expérimentale.
Pour ce faire, on remplit les trois bacs à leur maximum puis on coupe l’alimentation des pompes. Les bacs vont alors se vider et l’on pourra observer leur descente. À partir des mesures prises lors de cette descente, il sera alors possible d’en extraire un gradient de vitesse.
Prenons par exemple une situation dans la quel les trois bacs seraient connectés et où le débit de fuite s’effectue par l’intermédiaire de la vanne manuelle située au pied du bac numéros trois. Toutes les pompes étant coupée, il n’y a plus aucun débit d’entrée. Il est alors possible de décrire la variation de hauteur dans les différents bacs par les équations suivantes :
30 2 3
1 30
23 3
23 2
1 23
12 2
12 1
) (
) (
dt Q dh dt dh dt A dh Q
dt Q Adh
dt Q dh dt A dh Q
dt Q Adh
dt Q Adh
[32, 33, 34]
Lorsque les trois bacs se vident, il existe un gradient de hauteur entre les différents bacs et donc on peut affirmer que h1>h2>h3. Ceci permettant de définir le sens des flux.
Ainsi, on trouve les coefficients de flux « az » :
)) (
2 (
) (
)) (
2 (
) (
3 2
2 1
23
2 1 1
12
h h g Sn
dt dh dt A dh az
h h g Sn
dt A dh az
[35,36]
En ce qui concerne le débit Q30, donc le débit qui vide le bac numéro 3, il n’est pas possible de connaître la section de la vanne concernée, car elle est entre ouverte
(ouverture manuelle). Pour pallier ce problème, le produit az30Sn dans l’équation du débit sera remplacé par le termenewAZet trouvé lui aussi de manière expérimentale.
3 2 3 1
2
) (
h g
dt dh dt dh dt A dh newAZ
[37]
Pour les raisons qui ont été définies au §3.1, le système expérimental sur le quel va être effectué les expériences comporte non pas trois, mais deux réservoirs. Nous aurons ainsi seulement deux coefficients à déterminer, le coefficient de flux qu’il existe entre le bac 1 et 2, puis celui de la vanne manuelle du bac numéro 2.
Voici les résultats qui ont été obtenus sur le système réel pour ses deux coefficients.
Comme on pouvait s’y attendre, le coefficient est faible au début de l’expérience, car les débits sont élevés et donc l’écoulement est plus turbulent. Par contre, pour les mêmes raisons, aux cours de l’expérience se coefficient augmente, car le débit y est moins important et l’écoulement plus laminaire.
Il s’agit donc maintenant de trouver qu’elles sont les bons coefficients correspondant à la valeur d’équilibre de notre système. Pour ce faire, les coefficients ont été définis comme étant la moyenne de certaines valeurs autour des valeurs de coefficient obtenue lorsque le système se trouvait à la hauteur d’équilibre que l’on désire (dans le cas présent, la hauteur d’équilibre est de 15cm dans le bac 2).
On obtient donc les deux coefficients suivants :
2733 . 0 _ 48
.
0
et new az
az
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54
Temps [s]
az12
az12
Figure 9: Variation du coefficient de flux
« az12 » par rapport au débit
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38
Temps [s]
newAZ
newAZ
Figure 10: Variation du coefficient de flux
« new_az » par rapport au débit
« Arx », « Armax » ou « Output error » par exemple. Mais au vu de la réponse de l’actuateur en boucle ouverte, il paraîtrait très prétentieux de vouloir identifier un système avec ce genre de procédure.
La précision de la convergence est directement liée à la précision du gradient lors d’une approche en minimisation. Donc pour avoir un gradient le plus précis possible et bien en rapport avec l’expérience qui vient de se dérouler, il est recommandé d’identifier à chaque itération le modèle du système.
Malheureusement, il y a un problème sur le système réel. En effet, la dynamique du système en boucle ouverte est très différente de celle en boucle fermée, donc pour identifier de manière correcte le système avec des mesures effectuées sur un système bouclé il faudrait une fréquence d’échantillonnage beaucoup plus lente que celle que l’on utilise en boucle fermée. Le fait que la période d’échantillonnage ne soit pas adaptée au système en boucle fermée engendre des problèmes numériques dans le sens où les pôles seront extrêmement proches de 1 et lors de l’identification on obtient tantôt des systèmes stables tantôt instables, mais dans tous les cas cette identification est très mauvaise et ne peut être utilisé pour calculer le gradient.
Voici un exemple d’une identification typiquement obtenue avec une identification en boucle ouverte (oe 331).
0 500 1000 1500 2000 2500
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
y1
Measured Output and Simulated Model Output
Measured Output th Fit: 63.52%
Figure 11: réponse type avec une identification en boucle ouverte
