CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE 4 :

CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE 4 :

Dispersion par un prisme (partie cours poly p 109)

n dépend nécessairement de la couleur (de la fréquence) (cf exercice). On prend deux couleurs, le rouge et le bleu. On réalise le dessin ci-dessus, d'après le résultat expérimental (on sait que DB > DR). Le dessin montre que cela implique qu'on a aussi, non seulement i'R < i'B, mais aussi r'R < r'B et rR > rB. Comme nB sin rB = nR sin rR, on a donc nR < nB (!)

On peut donc déduire de cette expérience que l'indice du prisme décroît avec la longueur d'onde. (abus de langage en fait..)

4.1 Couleurs de drapeaux.

1) La zone bleue du drapeau a un coefficient de réflexion proche de 1 (100%) pour les basses longueurs d’onde, proche de 0 pour les autres. Pour le vert (drapeau italien) et le rouge (drapeau français), les spectres ont la même allure, centrés sur le vert et sur le rouge respectivement. S’ils sont éclairés par de la lumière blanche (contenant donc de la lumière à toutes les longueurs d’onde du visible), la lumière réfléchie par la zone du drapeau d’une couleur donnée se répartit en fréquence selon les schémas suivants :

Longueur d’onde

λ

0 Unités

arbitraires

Allure du spectre de réflexion diffuse de la partie bleue du drapeau éclairé en lumière blanche

2) De quelle couleur apparaissent les bandes de ces drapeaux éclairés avec une lumière bleue ? Une lumière rouge ?

Le pigment bleu absorbe V et R et diffuse B. Eclairé en bleu, il rétrodiffuse de la lumière bleue.

Eclairé en rouge, il ne rétrodiffuse aucune lumière et paraît noir.

Le pigment blanc n’absorbe aucune des composantes BVR de la lumière et en rétrodiffuse la totalité.

Eclairé en lumière bleue il rétrodiffuse du bleu ; éclairé en rouge, il rétrodiffuse du rouge.

Le pigment rouge absorbe B et V et diffuse R. Eclairé en bleu, il ne rétrodiffuse aucune lumière et paraît noir. Eclairé en rouge, il rétrodiffuse de la lumière rouge.

Le pigment vert du drapeau italien absorbe B et R et diffuse V. Eclairé en bleu, il ne rétrodiffuse aucune lumière et paraît noir. Eclairé en rouge, il ne rétrodiffuse aucune lumière et paraît noir Synthèse

Drapeau français éclairé en lumière blanche : B Bl R Drapeau français éclairé en lumière bleue : B B Noir Drapeau français éclairé en lumière rouge : Noir R R Drapeau italien éclairé en lumière blanche : V Bl R Drapeau italien éclairé en lumière bleue : Noir B Noir Drapeau italien éclairé en lumière rouge : Noir R R

3) Faire le même raisonnement avec les drapeaux du Mali (vert-jaune-rouge) et de la Belgique (noir- jaune-rouge)

Nouveauté pour cette question : la lumière jaune est obtenue par superposition V+R. Un pigment jaune absorbe donc le bleu et diffuse V+R

Eclairé par de la lumière blanche, il rétrodiffuse V+R = jaune

Eclairé par de la lumière bleue, il absorbe le bleu donc ne rétrodiffuse pas de lumière et paraît noir Eclairé par de la lumière rouge, il n’absorbe pas le rouge et donc rétrodiffuse du rouge.

Synthèse

Drapeau malien éclairé en lumière blanche : V J R Drapeau malien éclairé en lumière bleue : Noir Noir Noir Drapeau malien éclairé en lumière rouge : Noir R R

Longueur d’onde

λ

0 Unités

arbitraires

Allure du spectre de réflexion diffuse de la partie blanche du drapeau éclairé en lumière blanche

Drapeau belge éclairé en lumière blanche : Noir J R Drapeau belge éclairé en lumière bleue : Noir Noir Noir Drapeau belge éclairé en lumière rouge : Noir R R

4.2 DISPERSION PAR UN PRISME

1)

Il a été justifié dans l’exercice 1.5 du chapitre 1 la relation suivante : D = i + i' – A, sachant que pour un angle d’incidence i donné la valeur de i’ est fonction de r’ et r avec un lien avec i fonction de l’indice optique n du prisme : sin i = n sin r (1) et sin i' = n sin r' (2) et aussi A = r + r' (3)

(2) implique que i' dépend de n et r', or r’ dépend de r et A (3) et r dépend de i et n (1), donc i' dépend de n, i et de A. Ainsi, D dépend de i, n et A.

D'après l'expérience D dépend de la fréquence e l’onde, et seul n peut dépendre de cette quantité. On justifie physiquement cette dépendance en étudiant les mécanismes microscopiques du mouvement des électrons d’un atome soumis au champ électrique d’une onde électromagnétique.

2) On a établi (cf exercice 5 du chp 1) la propriété suivante : si le prisme est orienté afin d’être au minimum de déviation pour chacune des longueurs d’onde (dans le vide), on a rm = A /2 = 30° et sin im = n sin rm puis Dm = 2 i m –A, pour remplir le tableau suivant :

Couleur λ (nm) Indice n im (°) rm (°) Dm (°)

UV proche 361 1.539 50.31 30 40.62

bleu sombre 434 1.528 49.82 30 39.64

bleu-vert 486 1.523 49.60 30 39.19

jaune 589 1.517 49.33 30 38.66

rouge 656 1.514 49.20 30 38.40

rouge sombre 768 1.511 49.07 30 38.14 Formules : im = arcsin(n sin 30°) à exprimer en ° ; Dm = 2 i m –A

3) On prend i = im(jaune) = 49.33° pour toutes les couleurs. Ensuite on calcule pour chaque couleur, r par sin i = n sin r puis r’ par A = r + r’ puis i’ par sin i ‘= n sin r’ puis enfin D par : D = i + i’ – A. On obtient ainsi le tableau suivant :

Couleur λ (nm) Indice n i r r' i' D

J J’

i r r’ i’

Indice n

J J’

Indice n S

Déviation J D

i

A

Rayon incident

UV proche 361 1.539 49.33 29.53 30.47 51.30 40.63 bleu sombre 434 1.528 49.33 29.76 30.24 50.31 39.64 bleu-vert 486 1.523 49.33 29.87 30.13 49.86 39.19

jaune 589 1.517 49.33 30 30 49.33 38.66

rouge 656 1.514 49.33 30.07 29.93 49.07 38.40

rouge sombre 768 1.511 49.33 30.13 29.87 48.81 38.14

4.3 ARC-EN-CIEL

1) a) On passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, donc on se rapproche de la normale

b) Dra = i - r

c) r' = r et Dre = π - 2r

d) La deuxième réfraction produit une nouvelle déviation Dra = i - r (l'angle que fait le rayon émergent avec la normale à la goutte = i)

Au total, le rayon est dévié de D = Dra + Dre + Dra = π + 2i - 4r

2) a) dD/di = 2 - 4 dr/di.

D=Dm => dD/di=0 => dr/di = 1/2 D’autre part sin i = n sin r

D’où cos i di = n cos r dr ce qui équivaut à dr/di = cos i / (n cos r)

Le minimum de déviation Dm correspond donc à un angle i=im tel que : cos im / (n cos r) = 1/2 soit pour 2 cos im = n cos r.

4 cos²im = n² cos² r 4 (1-sin²im) = n² (1-sin² r) 4 - 4sin²im = n² – n²sin² r

4 - 4sin²im = n² – sin² im d’après la 3^ème loi de Snell-Descartes d’où 3 sin²im = 4 – n²

sin²im = (4 – n²)/3

Cette relation n’est valable que pour i = im correspondant au minimum de déviation.

Pour n = 1.33, on trouve im = 59.6° et Dm = 138°

Pour vérifier que c'est un minimum, on peut calculer numériquement Dm pour différentes

valeurs de i :

i (°) r (°) D (°)

40 28.9 144.4

50 35.2 139.3

60 40.6 137.5

70 44.9 140.2

b) La lumière se répartit suivant une sorte de cône dont le bord correspond au minimum de déviation. Les rayons lumineux s'accumulent au voisinage de ce minimum de déviation et on a donc un maximum d'intensité lumineuse dans cette direction..

3) a) Chaque radiation possède son propre angle de déviation minimum Dm, car l'indice de l'eau dépend de la fréquence. La séparation des couleurs ne se voit qu'au bord. Dans le reste du cône, les couleurs se superposent et la lumière est blanche.

b)

Violet Bleu Jaune Rouge im 58.98 59.17 59.41 59.52 rm 39.74 39.95 40.22 40.34 α 41.02 41.47 42.08 42.34

Le rouge est le moins dévié et se situe sur l'extérieur (logique, car il a un indice de réfraction plus faible que le bleu). On voit bien sur la photo ci-dessus qu'à l'intérieur de l'arc, il y a de la lumière blanche, et que c'est sombre à l'extérieur.

c) Géométrie : Pour une position donnée de l’œil, il ne recevra de la lumière colorée que des gouttes qu’il voit sous l’angle α. Les gouttes concernées sont donc situées sur un cône de demi- angle au sommet égal à α, de sommet l’œil et d’axe passant par l’œil et parallèle aux rayons du soleil¹. La portion de l’arc observée dépend donc de la hauteur du soleil dans le ciel (cf dessin ci-dessous).

Remarque : ce raisonnement est complètement indépendant de la taille des gouttes d'eau (par contre, il est important qu'elles soient sphériques, ce qui est le cas, grâce à la tension de surface…)

1 Lorsqu’on observe un arc-en-ciel alors qu’on est au milieu d’embruns, l’arc-en-ciel « nous suit » quand on se déplace : il est bien lié à la position de notre œil.

Couleurs :

Le dessin est centré sur l'œil. Les rayons des différentes couleurs parvenant à l'œil

proviennent a priori de gouttes différentes. On voit le rouge sur l'extérieur de l'arc (photo).

La photo permet de voir également:

• Que l'intérieur de l'arc primaire est bien éclairé, alors que l'extérieur est sombre (comme dans l'expérience)

• l'arc secondaire

4.4 Fabrication d’une lumière blanche à partir de diodes électroluminescentes,

1) Le domaine visible s’étend d’environ 400 nm à 750 nm. La diode D1 est dans l’ultra- violet, les diodes D5 et D6 dans l’infra-rouge.

Les diodes D2, D3, D4 émettent une lumière dans le visible. Comme leurs longueurs d’onde correspondent au bleu (maximum de sensibilité pour les cônes bleus à 455 nm), vert (maximum de sensibilité pour les cônes verts à 430 nm), rouge (maximum de sensibilité pour les cônes rouges à 575 nm), la superposition des faisceaux lumineux de ces trois diodes pourra par synthèse additive donner de la lumière blanche ou bien n’importe quelle couleur selon les puissances respectives des diodes 2, 3 et 4.

2) On éclaire les miroirs dichroïques avec de la lumière blanche supposée superposition de B (455 nm), V (530 nm) et R (575nm), en choisissant ici les longueurs d’onde correspondant au maximum de sensibilité des cônes de l’œil. (poly p 124). Les courbes donnant les facteurs de réflexion (de transmission) des miroirs dichroïques 1 et 2 montrent que :

- Le miroir dichroïque 1 réfléchit efficacement B 455 nm (coefficient de réflexion proche de 100 %)

Nom D1 D2 D3 D4 D5 D6

Longueur d'onde

centrale 365 nm 465 nm 525 nm 635 nm 850 nm 1050 nm Largeur à mi-hauteur du

spectre d'émission 15 nm 25 nm 35 nm 15 nm 40 nm 55 nm

Longueur d’onde

λ (nm)

0 Unités

arbitraires

Spectres des lumières émises par les diodes D1 à D6 (les échelles ne sont pas respectées ni pour les largeurs ni pour les hauteurs)

350 450 550 650 750 850 950 1050

400 500 600 700 800 900 1000

- Le miroir dichroïque 1 réfléchit très mal V 530 nm (coefficient de réflexion proche de 0 %)

- Le miroir dichroïque 1 réfléchit très mal R 575 nm (coefficient de réflexion proche de 0 %)

Si on éclaire le miroir dichroïque 1 avec de la lumière blanche, la lumière réfléchie ne contient que du bleu.

- Le miroir dichroïque 2 réfléchit efficacement B 455 nm (coefficient de réflexion proche de 100 %)

- Le miroir dichroïque 2 réfléchit efficacement V 530 nm (coefficient de réflexion proche de 100 %)

- Le miroir dichroïque 2 réfléchit très mal R 575 nm (coefficient de réflexion proche de 0 %)

Si on éclaire le miroir dichroïque 2 avec de la lumière blanche, la lumière réfléchie contient du bleu et du vert, l’observateur la voit de couleur cyan.

- Le miroir dichroïque 1 transmet très mal B 455 nm (coefficient de transmission proche de 0 %)

- Le miroir dichroïque 1 transmet bien V 530 nm (coefficient de réflexion proche de 100 %)

- Le miroir dichroïque 1 transmet bien R 535 nm (coefficient de réflexion proche de 100 %)

Si on éclaire le miroir dichroïque 1 avec de la lumière blanche, la lumière transmise contient V+R, l’observateur la voit jaune.

- Le miroir dichroïque 2 transmet très mal B 455 nm (coefficient de transmission proche de 0 %)

- Le miroir dichroïque 2 transmet très mal V 530 nm (coefficient de transmission proche de 0 %)

- Le miroir dichroïque 2 transmet bien R 535 nm (coefficient de transmission proche de 100 %)

Si on éclaire le miroir dichroïque 2 avec de la lumière blanche, la lumière transmise contient R, l’observateur la voit rouge.

L’observateur pourra donc facilement identifier les miroirs dichroïques 1 et 2 par la couleur de la lumière transmise (éclairage par source blanche)

3) Ce montage doit permettre de superposer les faisceaux des trois diodes (a), (b) et (c). Pour cela : - Le miroir dichroïque (a) doit transmettre efficacement la diode (a)

- Le miroir dichroïque (a) doit réfléchir efficacement la diode (b)

Le miroir dichroïque (b) doit transmettre efficacement la diode (c)

Le miroir dichroïque (b) doit réfléchir efficacement les diodes (a) et (b).

On examine, connaissant les longueurs d’onde des diodes et les courbes de réflexion/transmission des miroirs dichroïques, comment sont réfléchis et transmis les faisceaux. Par identification avec les caractéristiques attendues, on déduit diode 2 = diode b ; diode 3 = diode a, diode 4 = diode c, miroir (a) = miroir 1, miroir b = miroir 2.

Réfléchi efficacement par le miroir dichroïque 1

Transmis efficacement par le miroir dichroïque 1

Réfléchi efficacement par le miroir dichroïque 2

Transmis efficacement par le miroir dichroïque 2 Diode 2 (465 nm)

Diode (b)

X X

Diode 3 (525 nm)

(Diode a)

X X

Diode 4 (635 nm)

(Diode c)

X X

Miroir dichroïque (a) Miroir dichroïque (b)

Exemple de raisonnement conduisant à la conclusion : sur le montage, Dichr. b réfléchit deux gammes de longueur d’onde et transmet la 3ieme (donc c’est dichr. 2), celle transmise est D4

= rouge ; Dichr.a (dichr 1 par élimination) réfléchit D2 (= diode b) et transmet D3 (=diode a) 4) Une pomme rouge apparait en rouge pour l’observateur donc la diode rouge fonctionne.

Un citron jaune éclairé en lumière supposée blanche devrait être jaune = V+R. S’il apparait rouge, c’est que la composante verte manque dans la lumière incidente. C’est la diode verte qui ne fonctionne pas (ce test ne dit rien sur le fonctionnement de la bleue)

Diode a

Diode b

Diode c Miroir dichroïque a

Miroir dichroïque b

4.5 Mesure par spectroscopie de la vitesse de récession d’une galaxie

1) Spectres d’émission dans le domaine optique : on observe des raies d’émission sur un continuum.

2) Les longueurs d’ondes des raies de la série de Balmer ne sont pas les mêmes mesurées dans le laboratoire et en provenance de cette galaxie.

3) Si on trace λreçue en fonction de λemise, on trouve une droite. Ceci s’explique bien dans le cadre de l’effet Doppler-Fizeau : c’est la vitesse d’éloignement de la galaxie qui décale l’ensemble des longueurs d’ondes des raies d’émission d’un facteur 1+v/c.

4) On mesure la pente de cette droite qui vaut

1,043. Sachant que la pente a pour expression 1 + v/c, on en déduit la vitesse de la galaxie : v

= 0.043 c ~ +13 000 km/s.

5) La distance D de la galaxie vaut, à partir de la Loi de Hubble : D = v/H0

D = 13 000 / 67,3 ~ 200 Mpc, soit plus de 100 fois plus loin que les galaxies les plus proches.