M1 IM, université Nice Sophia Antipolis Séries temporelles
Sylvain Rubenthaler
http://math.unice.fr/~rubentha/cours.html
Complément de cours no 1
Soit (t)t∈Z un bruit blanc centré de variance σ2. On cherche à construire un processus sta- tionnaire(Xt)t≥0 vériant (∀t≥0)
Xt+1=t+1+
p
X
k=1
akXt+1−k. (1)
(On suppose que les racines deA[X] = 1−Pp
k=1akXk sont toutes de module>1.) Nous avons montré en cours qu'on écrire le développement suivant
1 A(z)=
+∞
X
k=0
αkzk
pour toutz∈Ctel que|z|<1et avec desαk∈Rtels queα0= 1,P+∞
k=0|αk|<∞. Nous voulons montrer que
Xt=
+∞
X
k=0
αkt−k
vérie (1) (nous avons montré en cours que cette variable est bien dénie). Calculons (∀t≥p) : t+
p
X
k=1
akXt−k = t+
p
X
k=1
ak
+∞
X
j=0
αjt−k−j
( aveci=j+k) = t+
+∞
X
i=1
t−i
inf(i,p)
X
k=1
akαi−k
.
Nous avons (∀z∈Ctel que|z|<1)
(1−a1z− · · · −apzp)×(1 +α1z+α2z2+. . .) = 1.
Le coecient dezndans le terme de gauche ci-dessus estαn− αn−1a1+· · ·+αn−inf(n,p)ainf(n,p)
, donc
αna0+αn−1a1+· · ·+αn−inf(n,p)ainf(n,p)= 0,∀n≥1. Donc
t+
p
X
k=1
akXt−k = t+
+∞
X
i=1
t−iαi
= Xt.
1
