Feuille d’exercices no 4

M1 IM, université Nice Sophia Antipolis Séries temporelles

Sylvain Rubenthaler

http://math.unice.fr/~rubentha/cours.html

Feuille d’exercices no 4

1. Soit(x1, x2, . . . , xn)∈Rⁿ,n≥2. On cherche

(ba,bb) = arg min

(a,b)∈R²

F(a, b), avecF(a, b) :=

n

X

t=1

(xt−a−bt)².

(a) Trouver les points critiques deF. Formules à savoir par cœur :

n

X

k=1

k=n(n+ 1)

2 ,

n

X

k=1

k²= n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

(b) Montrer que l’unique point critique est un minimum absolu deF.

2. Soit R[X] l’espace des polynômes à coefficients réels. Soit T ∈ R. Soit ∆ : P ∈ R[X] 7→

∆P(X) =P(X)−P(X−T).

(a) On suppose que deg(P) ≥ 1. Montrer que deg(∆P) ≤ deg(P)−1. Montrer que si deg(P) = 0, alors∆P = 0.

(b) On suppose que∆^kP 6= 0. Montrer quedeg(P)≥k.

3. Les processus (Xk) suivants sont stationnaires. Le processus(n)_n≥0 est un bruit blanc de varianceα²et de moyenne nulle.

(a) Quelle est la fonction d’auto-covariance du processus auto-régressif de représentation

Xn−1

2X_n−1=n? (b) On considère le processus auto-régressif de représentation

X_n−1

6X_n−1−1

6X_n−2=_n.

Donner les valeurs deσ(0)etσ(1). Trouver les racines du polynôme1−¹₆z−¹₆z² et en déduire l’expression de σ(h)pourh≥1.

(c) On considère le processus auto-régressif de représentation X_n−X_n−1+1

2X_n−2=_n.

Donner les expressions deσ(0)etσ(1).Trouver les racines du polynôme1−z+¹₂z²et en déduire l’expression de σ(h)pourh≥1.

4. Soit le processesAR1 (centré) suivant

Xt=aX_t−1+t (1)

oùtest un bruit blanc centré de varianceσ². On supposea6= 0.

1

(a) Quelle condition doit-on imposer surapour qu’il existe un processus stationnaire véri- fiant (1) ? On suppose dans la suite que cette condition est vérifiée.

(b) Calculer la variance de ce processus.

(c) Montrer que l’auto-covariance d’un tel processus est

σ(h) =σ² a^h 1−a².

(d) En déduire la convergence vers0de l’auto-covariance lorsqueh→+∞.

(e) Calculer les auto-corrélations.

(f) On suppose que E(X0|X1) = X1/a (il n’y a pas de raison que ce soit toujours vrai).

Calculer les auto-corrélations partielles.

5.

6. Considérons le processus stationnaire(Xt)_t≥0satisfaisantXt=aX_t−1+t+b_t−1 (avec(t) bruit blanc centré de variance σ²).

(a) Montrer queσ(0) =σ²×^1+b_1−a^2+2ab2 ,σ(1) =σ²×^a+b+ab_1−a²2^+a2b. (b) Montrer queρ(1) = (a+b)(1+ab)

b²+2ab+1 etρ(h) =a^h−1ρ(1)pourh≥1.

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