ANNEE UNIVERSITAIRE 2013/2014 SESSION 2 PRINTEMPS
Licence de Math´ematiques
Examen de Syst`emes dynamiques (K1MA6021) Date : ? ?/06/2014 Heure : ? ?h00 Dur´ee : 3h00 Documents : Non autoris´es. Calculette homologu´ee : autoris´ee Epreuve de Mr : Bessi`eres. Longueur du sujet : 2 pages
Exercice 1. (Autour du cours)
(1) Equation logistique.
(a) Donner sa d´efinition.
(b) Quels sont ses points d’´equilibre et quel est leur nature ? (c) Tracer le portrait de phase des solutions.
(2) Soit A∈M2(R) de valeurs propres λ16=λ2 ∈R, et V1, V2 deux vecteurs propres associ´es.
(a) D´emontrer que {V1, V2} est une base deR2.
(b) SoitV ∈R2. Exprimer la solution de (X0=AX,X(0) =V), en fonction deλ1, λ2, V1, V2 et des coordonn´ees de V dans la base{V1, V2}. On justifiera la r´eponse.
(c) On suppose que0< λ1< λ2. Tracer le portrait de phase des solutions.
Exercice 2. On consid l’ationy0 =y−y2.
(a) Justifier sans calcul que pour toute donn´ee initiale 0< y0 <1, elle admet une unique solution y(t) d´efinie sur Rtelle que y(0) =y0.
(b) Calculery(t) en fonction dey0.
(c) On suppose quey0 = 0.1. Sur quel intervalle aura t’ony(t)≥0.9?
Exercice 3. Pour chacune des matricesM =A, B, C, D, E suivantes, A=
−1 0 2 −2
B = 2 1
1 1
C = 1 2
0 2
D=
−1 2
−1 −1
E=
1 −2
−2 4
.
on consid`ere le syst`eme diff´erentiel X0 = M X. Pour chaque matrice, dessinez soigneusement le portrait de phase du syst`eme (on pr´ecisera les axes) et d´eterminez les vecteurs V pour lesquels, lorsqueX(0) =V,X(t) tend vers0 quandt→∞.
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Exercice 4. On consid`ere des syst`emes diff´erentiels dans R3 : (1) D´eterminer la solution g´en´erale du syst`eme
x0 = y+z y0 = z z0 = 0
de deux mani`eres diff´erententes : (a) `a l’aide d’exponentielles de matrice, (b) en r´esolvant les ´equations une par une.
(2) Mˆemes questions pour le syst`eme
x0 = −2x y0 = x−2y z0 = y−2z
Exercice 5. On consid`ere le syst`eme diff´erentiel (S) =
x0 = −2x3−y4 y0 = −y3−x4
(a) Calculer le lin´earis´e du syst`eme en (x, y) puis en (0,0). Que peut-on en d´eduire quand au comportement des solutions de (S) au voisinage de (0,0)?
(b) Montrer que, dans un voisinage de (0,0), la fonction V(x, y) = x2 +y2 est une fonction de Lyapounov stricte. Que peut-on en d´eduire quand au comportement des solutions de (S) au voisinage de(0,0)?
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