Solutions de viscosité et contrôle Optimal Stochastique

i'(

[0

CI,

cs3

*:*3:H:,*lg:,1rnne

Dlmocratique

et

populaire

i

IWi ni

_{stdre de}

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rp;;i

_*

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lli."

_iu'

i#';f,.

Scientifique

Universitd

g

_Mai

_{lg45 _ Guelma}

Far:ulltd

_de

_{Mathdmatiques}

et de

I'Informatique

_et

_Sciences

_de

la

Matidre

Ddpartement

_de

_{Mathdmatiques}

Mdmoire

de

Fin

d'Etude

Master

Acad6mique

_en

_{Mathdmatiques}

Option

:

probabilit6s

_et

_applications

THIIl\4tE

Pr6senti!

par

_:

FAGHI Abdellah.

Jury

:

Mr. KERBOUA.

_M

Mr.

_{BENCHaaBAI.IE a.}

tvft.

BOUIIADJAR.

S. P16sident Rapporteur Examinateur ZtiElrt,'l

ir|clt

i'**-lliJt

siolutions

_de

_viscosit6

_et

_contrdle

Optimal

_Stochastique

I

1'1

'l

Uniru

(E'

MaL 45

Guelma

F.

MISM

D6partenent

de

Math6matiques

i

1fl

I

ll

_tt

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I

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I

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s"r"tiry*#,YHff3fi*f;h$3l

tr61e

M6moire

de

Master

en

Math6rnatiques

Par : FAGHI

Abdellah

Dirig6 par

:

Mr'

BENCHAABAIiIE

Abbes

^lnnde

universitaire 2012'

s

La

rdussite

: "99o/ode

transpiration'

1olo

d'iinnovation'"

Fernand

Petd -

SP6l6ologue

WMRemerciements

Ce

mirnoire

n'aurait

vu

k

jour

sans fes

geru qui nt'entourent et qui

tn'ottt

encowagi

d. fe rnencr d. son terme. fufes

prenitrs

remerciernents,

t*

phu

rtifs, aont

d. mon

encafreur,

fiv{r.

BENCT{AABWE

A66es

qui rn'o

q{comPagnd

tout

au

tang de cette

i.nautigation

et

qu i.[

trouoe

eryrinie

i.ci, ma

profon[e

gratitudc

et

fiur. recontlaissance.

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remzrcier, en

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:

Mr.

IGKtsOUA.

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fa pr&ence,

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matfis et

du

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Je

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fu

totx

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de

['uniaersitd

de

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_45.

_Merci

_d.

_mu

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_{[e promation}

de

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pou.r {'arn6in'n'ce

cfra-[etrreuse d. ta4ueffe

i{s

contrihuent. Qye

soicnt,

enfn,

remerciles toutes

[es

per'

sannes

quine

trow)erlt pas

ktr

rlofii sur

cette page,

nnis

qui

lnt

aitr6, et

concouru

d.,rnriafkation

de ce

nimoire.

.s"6d4{a[1.

EffiilTabte

des matidres

'fable

_des matiEres

lintroduction

.

Contr6le optimal stochastique

1.1

Equations

diff6rentielles

stochastiques

1.2

Contr6le

de processus de

diffusion

.

'

'

1,.2.I

Principe

de la

programmation

dytu*tqte

'

!.2.2

Equation d'Hamilton-Jacobi-Bellman

'

'

L.2.3

D6rivation formelle

de FIJB

t.2.4

Th6orEme de

v6rification

.

7.2.5

Un

problEme de contrOle

optimal

stochastique avec

fonction

va-leur

non-lisse (non r6guliEre)

Solutions

de

viscosit6

2.L

Pr6sentation et

ddfinitions

1 3 5 5 7

I

9

I

11 72 15 15

2.2

Solutions de viscosit€ et d6riv6es g6n6ralis6es

'

'

16

2.3

Existence

d'une solution

par la m6thode de

Perron

19

2.3.1.

La mdthode d'e

Perron

-

.

-

19

2.3.2

Existence d,une

solution

de viscosit6

continue

. .

.

.

.

27

I

f

.

Bbusflo[

':'&':

..1

*orobi[it&

et

app[tuatin*'l

-. -t

,*z

TABLE

DES

MATIENNS

2.4

2.5

2.6

Principe

de comParaison

Preuve

du principe

de comparaison Pour le second

ordre

la

programmation

dyr*iqre

et les

solutions

de viscosite

23 24 28 30 31 31 34 34 36 37 39 47

2.6.1

ProPridtd de viscositd

2.7

ExemPle d'aPP1ication

2.7.L

Calcul du

coOt de

surr€plication

3;

y'\nnexe

3.1

Calcul

stochastique

3t.2

Formule dTtd .

:i.3

AnalYse

convexe

-31.4 Mesure et

int6gration

Iiibliographie

I

f

,

gburtte!

,J':

.-,1

*or*i[it(s

et

oppntoru*'-l

^?

WffiilIntroduction

()ns

nrobldmes de contr6le optimal stochastique ont un grand nombre d'applications

{z

dans les domaines de I'dconomie et

i

la finance,

poufiant

le contrdle optimal

strochastique repose totalement sur la mdthode de la programmation dynamique via

I'diquation d'Hamilton -Jacobi-Bellman

fUA

_[ehaO7] qui est en gdndrale une dquation aux

d(lrivSes partielles non lindaire. Cependant, cette mdthode suppose

i

priori

que la

fonctjion valeur soit rdgulidre, ce qui n'est pas ndcessairement le cas m€me pour des cas

uEs simples.

Sln.*

surmonter cette

difficulti,

Crandall et Lions ont

introduit

dans les anndes 80

\V

t"

notion de solution de viscositd

_[Uoeg]

pour les dquations du premier ordre. Cette

thdorie a dtd ensuite gdndralisde aux iquations du second ordre. Ce concept

fournit

un

moyen uds puissant pour dtudier en toute gdndralitd les probldmes de contr6le

stochastique et permet de donner une formulation rigoureuse

i

I'dquation d'HJB pour des fonctiions supposdes seulement localement borndes.

()'ewression

"th6orie" des solutions de viscositd peut preter

)

sourire car, pour I'instant

4r

du moins. |'utilisation de cette notion de solution se heurte

i

la

difficultd

suivante :

sauf

quelqu.,

"u,

bien rdpertorids comme

ltquation

d'Hamilton-Jacobi-Bellman, par

exemple, I'dquation

)

laquelle on s'intdresse ne satisfait qu'exceptionnellement les

hlpothdses des rdsultats classiques de la thdorie.

r

Intro'duction

J"4

Nous passons maintenant

i

la description prdcise du plan de ce mdmoire, ce mdmoire est comprq5{ cle deux parties principales.

,/'

'."*"

_Chapitre

_{1. Dans le premier chapitre nous rappellerons} quelques notions

concernant le contr6le optimal stochastique cotnme par exemple la notion d'une EDS,

ainsi nous prdsenterons le conuOle des processus et leurs propridtds, et nous terminerons

ce chapitre par donner un exemple qui montre bien pourquoi la notion de solution de

viscositd

i

dtd introduite.

."1

"i'**"

_{Ghapitre 2. Dans le deuxidme chapitre on}

_difinira

_{ce qui est une solution de}

viscolsitd et donner quelques propri6t6s concernant cette notion et nous donnerons

e)iactement un rdsultat trds important qui est I'existence et I'unicitd d'une solution au sens de viricosit"d, par la mdthode de Ferron pour I'existence, et le principe de comparaison

pour l'unicitd. Et aprds nous donnerons une approche de la relation entre les solutions de viscolsitd et le principe de la programmation dynamique, et

finir

par un exemple

d'application de cette notion.

I

-t

.0

I

Cfinpitre

1-lru

Contrdle

optimal

stochastique

1..1

Equations

diff6rentielles

stochastiques

Le concept d'dquation diffdrentielle stochastique gdniralise celui d'dquation diffdrentielle

ordilaire

aux processus stochastiques. La formalisation th€orique de ce problAme

i

elle

seule a posd

problime

aux math€maticiens, et

il

a

fallu

attendre les anndes 40 et les

n:avurux du mathdmaticien japonais

It6

Kiyoshi pour la ddfinition de I'intdgrale

stoc6astique.

Il

s'agit d'dtendre la notion dtntdgrale de Lebesgue atu( processus

stoclastiques selon un mouvement brorarnien. On construira cette intdgfale, et on donnera

un sens

i

I'eripression

f

,

I

f

(",

a)dBu

of

_f

(u,.)

est un processus

,ro.t urriqolmuni

de propridtds de rdgularitd suffisantes.

ir partir

de la thdorie de I'intdgration, on construit la thdorie des dquations diffdrentielles

stochastiques EDS

[Pro05]

.

1.1

Elquations

diff6rentielles stochastiques

a7''

6

Soit

(O,9,IF

₌

(9r)ret..rt,P)

un espace de

probabiliti filud

satisfaisant les conditions

habituelles 1, et soit

(Br),

un 9,-mouvement brorrvnien d valeurs dans lR. On se donne des

fonctions

b(t,x,ar)

et

o(t,x,al)

ddfinies sur [O,

f]

x

R

x

O

i

valeurs dans IR. On suppose

que pour

tout

@, les fonctions b(., ., <rr) et

o(-,

-,ar) sont bordliennes sur [0,

T]

x

IR et pour

to,ut :r e lR., les processus

b(-,x,.)

et

o(.,

x, .), notds parfois pour sirnplifier b(.,

x)

et

o(.,r:)

sont progressifs. On considdre alors fEDS

)

valeurs dans lR :

dXr-

b(t,xr)d.t +

o(t,xr)dB,

(1.1)

Les c,cefficients b(t, x, @) et

o(t,x,al)

sont de la

forrre

b(t,x,ar(o)), 6(t,x,cr(al))

oir

6,,

6

sont des fonctions ddterministes bordliennes sur

_[q

T] x

lR x A" A sous ensemble de

lR, et

c

:

((If _)f€lo,rl est un processus progressif

i

valeurs dans

A

Une solution de (1.1) porte le nom

de'di:ffusion'.

Ces dquations perrnettent de construire la plupart des modtles d'actifs utiles en finances, aussi bien lorsque

fon

cherche iL

modrlliser des actifs des taux

dlntdr€t.

Bidcisons, ce que I'on entend p:u une solution forte de I'EDS

(1-1)-Dfrnvrrror

1.1.1 (Solution forte d'EDS), Une solutionforte de\EDS

(L.I)

partant d

ll,nstunt

t

est unprocesflts

(Xr),

progressif tel

quel'on

ait

f'

r'

I

latu,x,)ldu+

|

lotu,x,)l'du(

*oo,

ps.,vt

(

s

€

_[0,

r]

J,

Jt

et:

quela

relotion

Xr=X,

o(u,Xr)dBu,

(7.2)

soitvraie p.s.

Notons qu'une solution forte de IEDS (1.1) est un processus continu 2.

Ll'exfutence et I'unicit€ d'une solution forte

i

IEDS (1.1) est assurde par les conditions de

LipschiU et croissance lindaire suivantes :

il

existe une constante finie

K

tels que pour

tous

f

€

[0,

T],

ar € O,

x,

y

€lR

lb{t,x,co)-b(t,y,o)l+

lo(t,x,a)-

o(t,y,<o)l

S

Klx-

yl

(1.:1

f

b(t,x,

c,r)l+

lo(t,x,o)l

<

rc(r

+

lxl)

(1.4)

c-i-d que la filtration F _{= (%t)t.rcIl} est continue iL droite et compldte.

Ses trajectoires sont p.s.

continue-+

lr'

utu,x,ror*

l,

1. 2.

:f

.lTbneIlo[

.*i-

..,!

*ornbilitis

et

app{batio*-

|

li

L.2

(lontr6le

de processus de

diffusion

,;f-

I

Tntcrntun 1.1.1.

Sous les conditions

(1.3),

(1.4),

il

esciste pour tout

t

€

_[0,

Tf,

une solution

fctrte d.I'EDS

(1.1)

Partant d l'instant

t.

De plus, pour tout

{

%r-mesurable d valeurs dcns IR, te:l qtrc

E(16'l)

( *€,

il

y a

unicit6, il'une solutian _forte

X

partont d l'rnstant

t

de €, i.e.

X,

:

_6.

Ilunicitd est trajectorielle (ou indistinguable3). De plus cette solunan est ile carrd

irtdgrable

etvdifie

:

pour tout T

>

t, il

ercrste une constante C7 tel que:

E( sup

_l&l')

<

cr(1 + E(lE'l)).

t<s<T

'/.,.2

_Contr6le

_de

_{processus de}

_diffusion

On considdre un moddle de contr6le

of lttat

du systlme est gouvernd par I'dquation

diffdrentielle stochastique EDS

i

valeurs dans lR."

dX,:

b(X'ar)ds

+o(X,,%)dB.

(1.5)

orh

(Itr),

est un mouvement brownien d-dimensionnel sur un espace de probabilitd

filtr€

(17, _9r,

(9

_{r) r>o, P)} satisfaisant les conditions habituelles.

On note par

.4

fensemble des conu6les admissibles

c,

tel que

d:

(d")" est un processus p:rog:essif (par rapport

i

(4),>o).

Les firnctions mesurables

:

b : lR.n

xA

--

IRo et

o

: IRn

xA

-{

lRnxd sadsfont une condition

dre Lipschiu uniforme

enA

et une condition de croissance lindaire,

c-i-d

:

f,K

):0, Vx,y

€Rn,

Va e A,

lb(x,a)

-

b(y,a)l

+

_{lo(x ,a)}

_-

o(y,a)l

<

_Klr

_-

yl.

(1.6)

lb(x,

a)l

*

lo(x, a)l

<

K(1

+

_lrl)

(r.7)

Critbre de

minimisation

Srrient

f

: _lO,

T]

x

IRn

x

A---+ 1R. et

g

: IR'

-r

lR des fonctions mesurables. On suppose que :

(i)

g est

i

croissance quadratique

:

_{lg(x)l <}

C(1*

_lxl'),

Vx

€ JR",

(ii)

_Jr est

)

coissance quadratique

_{: lf}

_G,x,o)l

<

C(1

*

_lxl'),

Vx

€ IR.n,

3. Signifie que si (Xr), et (Yt)t sont deux telles solutions fortes, on a P(X,

_-

y", Vf < s e [0, T]) =

t

1.2 Contrdle

de processus de

diffusion

J'g

pour une constante C inddpendante de

x.

C,Btt€:

derniire

condition garantit l'existence et I'unicitd d'un processus conff61d pour

chague dtat

initial

donnd et pour un tel contrdle, sous la condition de Lipschitz uniforme pour les coefficients b et

o.

C'est une cons€quence d'existence Pour des dquations

stochLastiques avec des coefficiens aldatoires

voir

[Pro05].

On peut alors ddfinir sous

(i)

et

(ii)

la fonction de

cotit

:

f

r'

_^

I

J(t,x,")

:

E

_|

_|

j[(s,X"''*,cr,)ds+

g(XiL-)

_l,

LJ,

J

pour

tout (t,

x)

e

_[0,

f]

x

lR." et a

e

-d

.Iiobjectif

dtant de minimiser cette fonction de

corig on

introduit

la fonction valeur :

v(t,x):

_Hl(t,x,d\

(1.8)

Four un dtat

initial

(t,x)

e

[0,

f

[xR",

on

dit

que

d e

-d

estun contr6le optimal si

v(t,:r)

_-

J(t,x,d.).

1.2.1

Principe

de

_{la Programmation}

dynamique

Le principe de la programmation dynamique (PPD) 4 est un principe fondamental pour la

tftdo:rie du contrdle stochastique _{[I(rySO], [FS06].} Dans le contexte de contrdle de

procrsssus de diffrrsion

dicrit

au paragraphe pr€cddent, et m€me plus g€ndralement pour

des contr6les de processus de Markovs,

il

s'dnonce ainsi :

TnfontMe

1.2.1 (Principe de la programmation dynamique). Soif

(t,x)

€

[0,

T]

x

lR'o.

A.lors on a

f

re

I

v(t,x)

_-

_-

qrf.

_-i"J

E

_|

|

_{/(s,X,t'*,cr,)ds}

+v(e,x!'-)

_l ae-4

0esr,7

LJ,

J

f

ro

I

:

_ill;Y,'t

lJ,

ru't;r'c')ds+v(o'xel')l

'

oi 9\1

estl'ensemble des temps il'arr€ts dvaleurs dans

[t,

T]-4. Ce principe est initid dans les annde 50 par Bellman.

5. Un processus de Markov est un processus stochastique jouissant de la propridtd de Markov, c-d-d : "ce

qui se pasie dans le futur d€pend seulement de

fitat

pr€sent et ne ddpend pas du parcours de

1-.,2

Contr6le

de processus de

di{fusion

J^'

g

Rnuangun 1.2.1. Le pincipe de

la

programmatian dynamique 6nonc€ ci-dessus peut se

fo'rmlrler de maniire dquivalente :

G) R;ur tout a

e

.4

et

0

e

9r,,

:

f

ro

I

v(t,x)s"

_I

_I

_{f(s,x;*,%)ds+v(o,xj'.)}

_|

.

LJ'

I

(ti)

P,our tout

6 >

0,

il

aciste a

€

,4

tel que pour tout 0 e

9r,,

:

f

re

I

v(t,x)+5 >E

_|

_|

;F(s,X"t'*,a")ds+v(O,Xjr)

_|

.

LJ'

I

C"est une version plus

_forte

que laversion traditionnelle du principe ile

la

programmation

$matnique:

f

r'

I

v(t,x):gtE

_|

_|

f(s,X,t,',a,)ds+v(0,x';\1

,

(1.9)

aed

_LJ,

J

pour tout temps d'arr€t

0

e 9r-r.

t,,z.iZ

Equation

d'Hamilton-|acobi-Bellman

L'tiquiation d'Hamilton-Jacobi-Bellman FIIB est la version infinitdsimale du principe de la proSlammation dynamique : elle ddcrit le comportement local de la fonction valeur

v(t,r')

lorsqu'on

fait

tendre le temps d'arr€t

g

dans (1.9) vers r.

Dans ce paragraphe, nous ddrivons formellement fdquation d'FUB en supposant que la

fonction valeur v

est

suffsamment

rdgulibre

_{lYon00], [phaOZ].}

l.,z.il

Ddrivation forurelle

de

HIB

Considirons le temps

0:

t

*h

et un contr6le constant

d":

e, avec

c

arbitraire dans, _,

on a d'aprds la relation de la programmation dynamique :

I

pt+tr

I

v(t,x)sE |

_LJ,

| f(r,x,''',c)ds*v(r*h,x:fh)1.

(1.10)

I

Err supposant que v est suffisamment rdgulidre, on a par la formule dTt66

ente t

et f

*h

:

6. tbur appliquer la fomrule d1t6, il faut que v soit une fois ddrivable par rapport

i

f et deux fois d€rivable par fappoft

i

x

(suffisamment rdgulidre).

1.2 Contr6le

de processus de

diffusion

;F

_ro

v(r*

h,x:';)=v(t,r)+

f

'*

(

{*e"v)(s,xt')ds*

l'*o

*rr,x:,,)itB,.

J, ot

_{J, 0x"}

s

'--

:

oi

2?" est I'opdrateur associd

i

la diffusion (1.5) pour _{le contr6le constant}

_c

_{et d€fini par :}

gov

:

_b(x,a)D,v+

ltr(o(x

,a)o,(x,a)D1u).

2

En substituant dans (1.L0), _{on obtient alors :}

I

r'*o.au

I

0 S

E

|

|

(

*

*

g"v)(s,Xt*)+/(s,X"'.*,c)ds

|

.

LJ, vL

J

(on

l;ait _{que le Processus}

lr'*o

#t

,*,t*)d4

est une martingale locale alors que

"

(/,'*u

fr{r,x;')a4)

:0

voir

remafque 3-1.1. dans annexe).

Err divisant par h et en faisant tendre h vers 0, on a :

Av

o

<

U;G,x)+

-v"v(t,x)*/(t,x,e).

Ceci rltant valable pour tour

a

€A, on a

ltndgalitd

:

0v

-

_{TG,x)+sg[-9"v(t,x)-}

f

(t,x,c)]

<

0.

(1.11)

D'autre part, supposons que d* est un contr6le optimal. Alors dans (1.9), on a :

v(t,

x)

₌

E

I

f

'*0,

u,";,

al)ds

*

v(r +

h,q*o)l

,

LJt

J

oti

X*

est l'6tat du qntdme solution de (1.5) partant _de

_x

_en

_t

_{avec le controle d*. Far un}

argunlent similaire et avec des conditions de rdgularit€s sur y, _{on obtient :}

0v

ilG,x)-

9"iv(t,x)

-f

(t,x,c])

=

o,

ce qui combind avec (1.11) suggEre que v

doit

satisfaite :

-#U,x)

_uL

*

sup[-

_{Eov(t,x)- f}

(t,x,a)]

₌

_O

V(r,x)

e

_[0, T[xlRo,

aeA

si Ie supremum ci-dessus en

c

est

fini. on rdicrit

souvent cette EDp sous la forme :

0v

- ;

_ot

*Il(r,

x,D*v(t,x),Dlv(t,x)):

_e

_V(r,x)

e

_[0,

T[xR.",

(L.L2)

.,T

oir po,ur

(t,x,p,M)

_€

_[0,

r]

_x

IRN

x

IR.N

x

s"

(s"

est l'ensemble des matrices n

x

n symdmiques) :

'l

H(t,x,p,M):

sup[-b(x,a).p

_-

,tr(oo'(x,a)M)- f

(t,x,c)].

Cette fonction

H

est appelde Hamiltonien du probldme de contrdle considdrd. Cette

iquation

(1.12) est appel6e

iquation

de la programmation dynamique ou dquation de

Hami:tton-Jacobi-Bellman FLIB. A cette dquation aux ddrivdes partielles,

_{il faut}

_{ajouter la}

condi'rion terminale :

v(4x):

g(x),

Vx

e tR".

P*

optrsrrrox

I .2-

l .

Soit

_/

(., .,

a)

une _fonction continue por rapport (t ,

x)

pour tout contr6|e

a eAt

et soit

H

continue. Supposons quelafonctionvaleur

_v

est ile clcsse

gt,,(l0,Tl,R').

On

a

trlors

pour

tout

(t,

x)

€

_[0,

f]

x

IRn

.-0v

VG,x)

*

H(r,

x, v(r, x),

D*v(t,

x),

D]v(t,

x))

:

o.

l|:2.4.

Th6or&me

de

v6rification

Lttapr:

la plus importante dans la prograrnmation dynamique consiste

i

montrer,

itant

do:nnde une solution rdgulidre

i

I'dquation d'[UB, sous des conditions suffisantes, coincide

avec la fonction valeur. Ce rdsultat est appeld

thdorime

de vdrification et permet aussi

d'o'btenir un contrdle optimal.

Il

repose essentiellement sur la formule

d'Itd

_[yon00].

Tufon:tMe

1.2.2.

soit

w e

cr'z(lo,r[xRI)

n co([O,

T]

x

IR{) d. croksance quailratique,

i.e.

il

existe une constante C telle que :

lw(t,x)l

<

c(1*

lrl'),

V(t,x)

€

[0,

r]

x

IRN.

(i)

Suptposorrs que:

0w

-

_At

+sup[-.9"w(r,r)

_-

_f

(t,x,d)]

_S

_o,

(t,x)

e

_[0,

r[xRN,

w(T,x)<g(x),

xelRN.

oi,l'op'6rateur

9o

associ4

d.la

diffusion (L.5)

pourle

mntrilIe

a

est

dffinipar

:

1[-2

Contr6le

de _{processus de}

_diffusion

,ryq.

y"

₁₂

-g

o w

:

b (x,

a).D,w

+

lrtr

_{(o (x, a)o, (x,}

o)Dlw).

Alors

w

_Sv

sur

_[e

T]

x

lRN.

(iii) L'e pfus supposons que

_w(7.)

:

_{g, et}

_pour

_tout(r,

x) e

_[o

r[xRN,

il

acbte d,(t,

_x)

m:.esurable _{d va.leurs dans}

_Atel

que :

0w

-i(r,x)+sg[-

g"w(t,x)-f

_(t,x,d)f

_:

-ffft,x)-ga$.x)w(t,x)_f

(t,x,d.(t,x))

₌

_0, I'E:P5, dX,

₌

b(X ", A(s, X,))ds

+

CI

(X,d(s,

X,))dB"

sd;mette une _{solution, not6e}

_x!*,

_{dtant donn*e}

_une

condition

initiale

_x,

_-

_x,

_et {d(s,Jrj,*),

r

< _s

<

Tl

€

_-d.

Alors

w=v

et

ii

es,t

un

contrile optimal _morkovien.

sur

_[0,I]

x

lRil,

f

i!'5

_{un problime}

_de

_contrdle

_optimal

stochastique

_avec

_fonction

valeur non-Iisse (non r6gutibre)

Dans crstte partie, _{nous allons donner un exemple}

de conu6le _{de processus on suppose au}

ddbut que la fonction valeur _{soit suffisamment}

_rigulidre

et on arrive a la

fin

que cefte fonctiorn ne peut 0ue pas rdgulidre.

soitA

₌₌ lR, et soit le _{processus contr6rd}

_y

-

(y,z)dans

rR2, _{ddfini par les dynamiques} :

dY,

₌

Zr"fran!

_et

_ilZ,

₌

_vtdt

₊

_,ndB?,

ori 8l'

₌

_{1tr.l'Bf) est un mouvement brownien}

standard

i

valeurs _dans IR.2.

soit g

_une

foncrionL _{non-ndgative semi-continue infdrieur}

dans IR, et soit le probldme _{de controle}

stochastique ddfini par :

v(t,

x)

:

t:3

E ,*

[s(rr)].

On raiso,nne par _l,absurde,

o'

si

y

e

81'2{o,r],R2}

alors d'aprds la proposition (1.2.1.)

_v

_{satisfait :}

av av ,7rv

a2v

-

_at

-u6-z'e7-E>o

VueJR,

f

.9bur:tlaf=ixL

--l

_*orobiritis

_et

_{appficatio*-.1}

t lt

:aSS"aI.

d.

_e*"""r",

_a.

er pour

_{tout t}

_e

_[0,

_f],

_x

=

(y,z)e

lR2.

:,H::*itraire'

il

ddcoule que la _{fonction valeur}

_v

_{est inddpendante}

de _{la variable z,}

av. ,

^02v

-

illr,y)-

_"'G(t,y)

>

o

_{Va e}

JR,

_(r.13)

et porur

_tout

_(t,y)

_€

_[0,

_r]

_x

_R-

Fosons

z:

_{anous voyons alors que}

V(.,y)

est ddcroissanre _{pour tout}

_y

_e

_lR.

G.14)

Arrssi, _{lorsque on tendre z vers}

_l,infini,

_il

convient :

V(t,.)

est concave pour

_{tout r e}

_[0,

_f].

(1.15)

O. Delpuis

g

est positive,

_il

_{est facile d,obtenir}

:

V(T-,y)

_-WV(t,y,z)>

_g(y)

_V(y,z)e

_tR2.

(1.16) c'est une consdquence _{du lemme de Fatau, du}

semi _{continuitd infdrieur de g, et de la} conLtinuitd _de y,' _{en son dtat}

_initial

_y.

Majlntenant, _de (1.14J

_et

_{(1.16), on a}

v(t,y,z)= v(r,y)

>

_v(T-,yl

_>

_g(y)

_v(t,y,z)€

[0,

r]

x

rR2.

Utilisons _{(1.1S), on obtient alors}

v(t,y,z):v(t,y)

₂

_g"o".(y)

7

_v(t,y,z)

_€

[0,

T]

x

lR2.

_G.17)

O.

tltillsons

ltnigalitd

de Jensen, _{et la donner que g S}

g,on ,utilis6115 aussi la propridtd

de martingale sur

y,

on obtient alors :

V (t, y,

z)

:

sup

_4.*

_[S(yr)]

yed

<

_{supE,,,[g'on'(yr)]}

v€d

s

_{j:jg'"".(E,,[(yr)])}

₌

_g.on.(y).

on

a _{prouvd que, lorsque on combine cette}

dernidre indgalitd

_et

(1.17)

v

e

vr,z(Lo,

_rl,

R2)

a*jil,tt#jj::1".*"

concave de g' i'e' Ia plus petite fonction concave _{dont re sraphe se ,,ouve}

+V(t,y,z)=

g,o",(y)

y(t,y,z)

_€

[0,

T]

x

JR2.

Rapprelons exactement que cette implication se tient pour la fonction semi-continue

inrfdrrieur non-ndgative arbitraire

g.

_{Que nous obtenons alors une contradiction que la}

fcrnction g"o'" n'est pas V2(JR).

Rr

consdquent:

g'on'

_#.d'{R)

_--t

_V

_e

_vt'r(f1,r],

_R2).

l.flboelIaD

,a':

."-l

*oro*o*

Cfrapitre

₂

lEf

_solutions

_de

_viscositd

Dan:s _{ce chapitre' on va}

dtudier la notion de solutions _{de viscositd dans un}

_cadre

g6n6ral,

dansrun premier temps _{on va donner deux}

ddfinitions _{dquivalentes de cette}

notion, ainsi la

re'lati'n

entre les solutions _{de visocsitd et le contrdle}

optimal stochastique

_[uos3].

Nous;teruninerons ce chapitre _{par un exemple d,application.}

2.7

_{.Prdsentation et}

_{d€finitions}

on

s'iintdresse

_ici

i

_{une dquation}

elliptique, c,est-i-dire

_i

_{une dquation de la}

forme :

H(x,u(x),Du(x),D2u(r)):O

_xee

(Z.I)

of

O rest _{un ouvert de lRr donnd}

et

I{

: O

x

lR

x lRr

_{x Srv}

*

_{lR. Dans toute}

la suite on

supposeril que

_{H est'blliptique",}

_c,est-i-dire

que

Ir

_{est d6croissante par rapport}

_i

ra

dernii:re r,rariable _:

H(x"s,,t,x))Ir(x,s,

_p,Y)

_siX<

_y

_v{x,s,p,X,r)

€n

xlR

xlRN

xs"

xs"

_(2.2) (lindgalitr!

_{x <y}

_{dtant comprise}

au sens des _{matrices symcuiques).}

f

.9,bor'rto[

".*"-

_-.!

_*ouor*r*

lglgg1*lt1gsitd

et d6riv6es

D'frnvruor

_2.1-1

_{solution

de viscosit.-ddfinition _{par les}

fonctions-test).

_on

_dit

_qu,une

fo,nct,bn u : O

_-r

lR est sous_s _{olution deviscosit|, de}

_(2.1)si

a esf semi_continue

s,pdrieurement (s-c.s) _{dans dt}

_et

_si"

_pour

toutefonction-test

s

e

v2(n)

_{terle que u}

_

_{Q a un}

mwdrnum _{local en}

_un

_{point xo}

e

_e

_{on a}

fr(xo,

u(xo), D

_S(x),

_{Dt 6}

Ui) .

_o.

symatiquement'

_an

_{ilit qufunefanction}

u:

o

--+ lR esf surso

lution

d.eviscositr] _{iLe (2.1) si u}

est senni-continue _{infdtieurement (s'c-i)}

darc dl

et

si,

pour

_{tautefonction test}

S e

vz{n)

telte que

_{u.- 6}

_{u un minimum}

local en

un

point x6

€

dl" _{on a}

H (xo,

_u(x),

D _S

(x),

_nz

Q

ki) I

O.

EnJin' iu : f,l --+ _{lR est soluao n}

de _{viscositdl de}

_(2.r)

_{si u est sou'-}

et

sursolution _de (2.1).

z.tz

solutions

_de

_viscositd

_et

_d6riv6es

g6n6ralis6es

Nours alllons donner _{dans ce paragraphe une}

ddfinition dquivalente _{de la notion de}

solution de viscositd _{qui s'appuie sur la}

notion _{de sur- et sous-diffdrentiels}

dbrdre

2 d,une

fonction'

_L'i*tdrdt

_{de cette}

_difinition

dquivalente _{est trds}

_rimiti

_pour

les _{dquations du}

prennie' ordre mais _elle joue _{au contraire un r6le}

fondamentar _{pour les iquations}

du deurriinre ordre.

DfprNrtron 2.2.1(Sous-diffdrentiel _d,ordre

2). Saitu

: O _+ lR (s.c.r).

_Le

_{sous_diff?rentiel}

D2'-tt(x,r) _{d'ordre 2 de u}

_il

_xoe

f,r esf tensembre

da

_coupra

_@,x)e

IRo

x

s"

_{ters que,}

_pour

tout .r

e

dl,

u(x) >

_u(xs)*

₁

_p,x-ro

_{) *I.x(x_}

xo),x_xo

)

_+o(x

_

_xol\.

Renenguu

_2'2'l'

_i)

_Trornu

_{un sous-diff*rantiel}

dbrdre

₂

_{consiste donc d mettre, d}

une

et,eur d'ttrdre

_supdieur

_{pris, une parobalesous}

le _{graphe de u,}

_porabole

_{qui. colle au graphe}

en xo.

ii)

De la m€me manidre, pour une _{fonction (s.c.s), on itefinit Ie}

_{suriliff|rmtiel}

d,ordre Zu nat6

D2'+ u(x q'.1, en inv ersant

lln1gatitd-iii)

si

u e;t

niguriire

alors

D2'-u(x):

_{(vu(xo

_),x),x

e

s*

tere que

X

<

_D2u(x)r.

on

a ailons _{une nouvelle ddfinition}

des solutions _{de viscositd, dquivalente}

_i

_{la prdc6dente}

:

1' srruligrons que, par _{ddfinition, orr.}

_*lurio'est

toujours une _{fonction continue.}

li.ghut;IsbA

_-

l

*orobititis

et

appfitatio*=

!

2.2

fiolutions

de

viscosit€

et d€riv€es g6n€ralis6es

J"

17

DfrrNrrroN

2.2.2 (solution

de viscositd-d€finition par les sous- et surdiff€rentiels d'ordre

2.). Soit

{l

un owtert de Rtr, et soit u : O

_-

&

i)

On dit que

u

est une sous-solution de viscosit{, de (2.1) si u est (s.as) et si" pour

tout

x,o

€

Q et tout

(p,X)

e Da+u(xo),

on

aff(xo,u(xs),p,X) <

0.

it)

Dez m€me, u ?st une sursolution deviscositd de (2.1) si u est (s-c.i) et si, pour tout

ro e

O

el.tolrt

(p,X)

e D2'-u(xo), on

aH(xo,u(xo),p,X)

Z

O.

ii;i) u est une solution de viscositd de (2.1)

si

elle

st

ufte sur ef sous-solution deviscositd de

(:2.1).

Orn va donner maintenant la

dimonstration

de

ltquivalence

entre les deux ddfinitions (la

d,dfinition par les fonctions-tests et la ddfinition par les sous- et surdiffdrentiels d'ordre 2),

mais avant de ga, on a besoin d'un lemme :

Leuuu 2.2.L.

Si

_ftt,X)

e

D\+u(xo)

il

anste unefonction

_$

de clcsse

€2

telle que

pr{(:r6)

-p,

D'Q(xo):X

ettelle

queu-

Q ounmacimumlom.len

xo.

Drfuronsrnarron

(dquivalence)

ern va faire la preuve dans le cas'3ous-solution" seulemeng (indiquons que les cas

"r;ursolution" et osolution" sont prouvds de m€me maniEre).

rsr _D"une

_paft,

_si

_d

une fonction-test de dasse

32,

alors on peut dcrire

_$

comme suit :

d(x)

_-

d(xo)+

<

Dd(xo),x

-

xo

, *;<

o'd(to)(x

-

xo),x

-

xo

)

+o(lx

_-

rol')-et si xo un point de maximum local de u

-

_d,

ott a alors,

u(x)

_-

u(xo)

S

d(x)

-

d(to)'

En crcmbinant ces deux derniers

rdfliltats,

on obtient :

u{x)

_-

u(xo)-

<

Dd(xo),r

_-

ro, -;<

p'd(*o)(x

_-

xo),x

_-

rcg

><

o(lx

-

xol'),

d'oir

(D{(xo),D2{(xo))

e Dz,+u(ro). (Daprds la ddfinition de sous-diffdrentiel d'ordre 2).

16r _Et

_d'autre

parg _{Soit x0}

€

_O et soit

(p,X)

e Da+u(x6) sous laquelle on a

.EI(x6,u(xs),p,X) <

O (c'est-d-dire u est une sous-solution de viscositd par la deuxidme

d.dfirrition), alors d'aprds le lemme prdcddeng

il

existe une fonction

_$

de classe

g2

telle

q.ue

_D{(xo)

_{=p, D'd(to) =X}

et telle que

u-

_$

a un maximum local en

ro.h

r,emplagant dans Fr(xo,

u(xo),p,X)

S O

p

par

D{(xo)

et

X

par

D2$(xs)

et le r€sultat a 6td

o,btenu.

E

l{ous allons montrer que ces ddfinitions ont bien un sens lorsque u est de classe 7!2 _; on

remarquera dans la preuve que la condition

d'ellipticitd

sur

rl

est cruciale pour cela.

:

:f

.tilburttstJ

w

_-,.1

*oroblfrtds

et

app[icatio*--!

-d

2.2

liolutions

de

viscosit6

et ddriv€es g6ndralisdes

f'

1g

pnoposrflor 2.2.1.

Soit u de classe

g2

ilons O. Alors u est sous-s olutisn de vucositd si et seule,mmt

siuvffifie

H(x,u{x),Du(x),D2u(x))<O

xeO.

(2.3)

Rnunnguu

2.2.2. Onvffifieimmddiatement

queles ossertions

symffiques

sont d,galement

vrsies pour

la

sursolutiotu et pour

la

solutions-Dtftltrcxstnettorrl

La condition est ndcessaire, car, si u est une sous-solution de viscositd, et si I'on prend

clcnune fonction-test la fonction

lf

_-

u, alors

u-u

admet un maximum local en tout

point

x

€

!),

et donc (2.3) doit €tre

virifid.

La condition est €galement suffisante. En effet, si u

vdrifie

(2.3), alors pour toute

foncldon-test

_d

€

A'(n)

telle que

u-

_$

a un maximum local en un point xse on a, d'aprBs

les conditions ndcessaires d'optimalitd,

Du(xo)-D{(xo)-6 et

D2u(xo)-D2'd(x0)<0.

Ciomme

H(x6,u(x6),Du(xo),D2u(xo)) <

0 par hypothdse et comme

H

est elliptique

(,c'est-i-dire vdrifie

(2.2)),

on en ddduit que

H(xs, u(x6),

D{(ro), D'd(*o))

< I{(xs,

u(x6), Du(xo), D2u(xo)) S 0

a

L,Erulur

2.2.2.

On wppose ici que

H

at

continue dans toutes ses vsri%bla- Soit u une

sous-soluti on ile vkcasitf, de

(2.L)

udmettant un darcloppement limit6' d'ordre 2 en un

point

x.

Atlors

H (x,

u(x), Du(x),D2u(x)) <

0.

llsMeneun

2.2.3.

Par

*u

ailmet

un

darcloppemmtlimitd il'ordre 2

m

unpoint

x"

nous

voulons dire

quil

atbte un vecteurp € RN et une matriceX e

S"

tels que

u(y)

_-

u(x)+

<

p,y-

x >

*f,.

xbt

_-

x),y

_-x

>

+llv

_-

xll2e(v

_-

x).

I?ar nbus

ile

notation" nous noterons

Du(x)

:

p

et

Existence

_d,une

_solution

_la

_mdthode

de

perron

Dfurousrnerron

(Lemme)

Itixons e

>

0. _{Alors, comme u admet un DL d'ordre 2 en}

_x,la

fonction

Jr

+ u(y)-

[u(r)+ <Du(x),y

-x

_>

+i(.

(D2u(x)*er,v)(y_x),y_x >]

_possdde

un

nnaximum local en

x.

Donc

_{H(x, u(x), Du(x),D2u(x) +}

_{elrv) S 0. On obtient le rdsultat}

dldsn.d en laissant tendre e vers 0.

2!.3

Existence

_{d'une solution}

_par

_ra

_mdthode

_de

perron

Nlous e:rpliquons dans cette partie _{comment construire une solution de viscositd d,une}

drquation lorsque I'on en connait une sous- et une sursolution et que l,on sait que

ll5quation possdde

_un'lrincipe

_{de comp?rais911,. Cette mdthode}

est connue sous le nom

dre mdthode de Perron.

En

faig

le procddd trds gdndral ddcrit ici permeq pratiquement sans hypothdse, de

consruire

des _{solutions "trds}

faible'

: des _{solutions dites discontinues.} On s'intdresse

)

nouveau d 1'6quation

H (x,

u(x), Du(x),

D2u(x))

_-

O

xef,l

(2.4)

oii,

dans toute cette partie, f,l un ouvert de IRN et

r{

:

o

x

rR

x

rRil

x

srv

_-

lR est supposde

elliptique et continue.

D6rrutron

2.3.!.

On

dit qu'unefonctionu:

f,l --+ _{lR est une solution deviscositd ilkcontinue}

de (2.4) si u* est une sous-solution de

(2.4)

tandis que

u*

est sursolutian ile cette |quation.

Rruangut 2.3.1.

Ilne

manque ilonc d une solution discontinue quela continuitd pour Atre urrc solution continue!

2.,3.I

La

mdthode

de

Penon

Nrrus ddcrivons maintenant la mdthode de

krron.

Bien plus que le r€sultat -qui est assez

formel-,

il

convient de retenir de cette partie la technique de construction d'une solution, erpliqude au ddbut de la preuve.

Soit (uo)orr une tamille localement majorde de fonctions de O dans lR. Posons

u(x):

suPu"(x).

deA

!

j'.(tbutf{b-&

..1

*oroilititfs

et

apptiratio*-,1

lt

Existence

_d,une

_solution

la

m6thode

de

perron

'Lrrunrn

2'3'1'

supposotu que, pour tout

ae,4

(u")*

est unesous-solutro _{n de l,7quation} t(2.a0. Alors u* est _{encore une sous_solution de}

{2.4).

1lsdoniun 2.3.1.

On suppose que

u:

_O

_-r

_{]R est une sous_so}

_lution

ile

(2.4)

tandis que

rr : f,) -+ IIR esf _{une sursorution de cette dquation.}

_on

suppose i.e plusu

_s

_{v dans}

_o.

_Alors

_iI

euaite une _{solution de viscasit{, discontinue}

_{w :f,I _,}

lR.

telle

que u

1w

1

v.

Dfuomsrnarrow

Sloit

E

₌

_{z : {-l '-+ JR _la* est une sous-solution _{de (2.4) et u}

(

_z

_<

_vI.

lrlotcrns que

d

I

0 _{puisqu e u}

_e

_E.posons

w(x):

supz(x)

ze8

Ntour; allons montrer que

w

est bien la solution cherchde

Remirrquons d'abord que

il/

e E puisque u

1w

1

v

etw*

est une sous-solution de (2.4)

grdce au lemme (2.3.1). Reste

i

prouver que w* est une sursolution de

t2.4).pour

cela on

raisonne par I'absurde en supposant

qu'il

existe un point xo

€

f,l et une fonction-test

6

e'8'tels

que

w*-

₆

a un minimum local strict en x0 et

Fl(xo, w _*{xo), D

_$(ro),

prd

(xo)) <

O. _(2.s)

Quitte

i

remplacer

_d

par

_d

_-

_d(xo)

_*w*(xo),

_{on peut supposer que}

_{(xo):

_w*(ro).

M.ontrons d'abord que w*(xo)

< v(rg).

En effet, sinon, comme

w

_sv,cela

impliquerait

que

uu*(xo):

?(xo) et donc que v

_{- {}

possdderait un minimum local en xo. Mais alors

(21.5) _{conuedirait lhypothdse que}

_v

_{est une sursolution de (2.4). Donc}

w*(xo)

<

v(xo).

Choisiissons maintenant

r

>

0 et e

)

0 tels qu"

_ffiJ

_{c fi}

_et

o

Htix,

_d(x)

+

e,

D$(x),

D2{(x))

<

o Vx e

B.(xo)

(ce qui est possible d'aprds (2.5) et par continuitd de

H)

O

(w'*

_-

_dXr)

>

e

Vx e dB.(xo)

(ce qui est possible car w*

-,f

possdde un minimum local strict en x0 et

d(xo) =

w*(xo))

g d(x)<v(x)-e

Vxe

B.(x6)

(ce qui est possible puisque

v

est (s-c.i) et ,f (xo)

:

u/*(r')

<

v(xo))

Vx€O.

a

lt_Ia

On pose

{ ,,

z(x):

_ltt'l

sixeo\'.(xo)

Imax{w(x),6&)+

el

si

x

e

B,'(ro)

On

:rffrme

que _z

_e

_{E - F.neffet, d'aprB}

s @,

z(

v. De plus, u

1 w

1a,

_{et donc u} <

_{z 1}

_v.

llvlonLtrons _{que z* est une sous-solution}

de

(2.4).Soit

_{rir une fonction_test telle}

que z*

_

₄₎

possdde _{un maximum local en}

un point -r1 € f,). si

z"(xr)

₌

w*(xr),

alors

w*_

_{

possEde aussi un _{maximum local en}

_xl,

_{et donc.Fl(x,}

,z*(x1),Dls(x),D2$(xr))

<

_O puisque _w*

est une sous-solution.

supposons _{maintenant que}

_{z*(xr) > w*(xr).}

Alors, d,aprds _{la ddfinition de z, on a}

r,

effi).

Norons que,

_dansBm,

_{z*:max.,w*,0*e}.}

Donc

z*(xr)=

_d(xr)*e,

_et

@ implique _que

_x,

_{€ B_(xo).}

_mr

consdquen

\

_{+ +}

_e

_

_lt

_{possdde un maximum}

local en

xl,

ce quLi entraine que

DiQ)

_-

Dth{l)

et

Dzg(xr)

<

_or.h@).

D'aprds O et

I'ellipticitd

de

If,

on a alors

0

>

H(x1,

_d(xr)

_*

e, DS(x

_t),DrQ(xr))

_>

_{Il(xr,z*(xr), D*(xr),}

_pr{("r)).

Nous _{avons donc prouvd que z*}

_est'ne

sous-solution de

(2.4),et

_{que z e E.}

Prrruvons finalement que z

_t'

w.

soit(xo),,

_{une suite qui converge vers .r0}

et

tele

que

w(x,)

tend vers w*(xa)-Alors

_{z(x,) 2}

_6k)*

_{e. De plus (@(x,)}

+

e) _{converge vers}

d(xo)

*

e, avec

_d(xo)

*

_e

)

_w.(xo)-

_{Dong pour n}

assez

_{gran4 z(x^) >}

_w(x).Nous

avons donc prouvd que _z

eE,zlw

_etz*w.ceci

esten contradiction _{avec la}

constn[cdon _m6me

_dew.

_Lhlpothdse

de ddpart (2.S) _{est donc impossible. Ceci}

montre

que

w

est _{une sursolution, et donc une solution, de}

(2.4)-a

2.3i.2

Existence

_d'une

_solution

_de

_viscositd

continue

Afinr de _{rdcupdrer la continuitd de la solution,}

nous allons _{supposer que l,cquation vdrifie}

un princrpe _de compa1ai.ss11 ;

Dtrnrrrr:rom

_2'3'2'

_on

_{dit que I'lquation (2.4)}

vdrtfie

un

principe

_de

_{comparaison dans}

_o

_si

pour _{totfte sous-solutron u et pour toute}

sursorution v de

_{2.4),sf

u

<

v

dons ldto alorsu

_s

v

dcru; Q.

f

.gtbnelrslA

_-.!

_*ouobi{itas

_et

_{app[b,atio*-.}

_!

Existence

_d'une

_solution

'RurmnQun

2.3-2-

Dans toutera suite,I'in6gatitd,u

(

_u

_dans

_oQ

_signiftepar

abus de

toottttian:

Iimsup

u(x')

<

liminf

u(x,)

_{Vx e}

_de.

a'+a,x/€f,I t'-r,x'€O

Itlous dtudions maintenant le probldme _{de Dirichlet pour}

_ltquation

_{(2.4).soit g}

:

dfl.+

lR

rme fonction continue.

conorrarRr 2'3'1-

supposons que

_l'lquation

(2.4) vdrifie

un

principe

de

comparaison dans

f). supposons 4galement qu'ir _{aciste iteuc opptimtrons u et}

_v

_terlu

_que

r,

uesf _{une sous-solution de} (2.4) _et

*,jlp.nu(x'):

g(x)

Vx e

?o

r

v r5t _{une sursolution de} (2.4) _et

*,-{*,.no(x')

- g(x)

vx

e

6Q

'r{lors

il

existe une unique solution de viscositi

w

de l'ftquation

(2.4)

telle que w --

g

dans 0

n.

Auffrsment

dit,

le probldme de

Dirichlet

(2.6)

prossdde _{une unique solution de viscositd.}

Dftuolstnetron

Rr

lir m€thode de Ferron, on construit une solution discontinue w telle que u

I

w

1v.

Mlonlrons d'abord que w+

:1ry*:

g

sur le bord de

f].

En effet, pour tout

x

€

do,

on a

s(x)

-,,_,*.nu(x')

<

_Hif"r(x')

<

w*(x) < w*(x)

_=,H:E

w(x')S

_*,S.nv(x')

-

g(x).

Dbt

w*

_-

w* sur dO.

Cromrne w* est une sursolution tandis que

w"

est une sous-solution, et comme 1,r/* :14,,* sur

d0,

le principe de comparaison affirme que

rr*

)

w*. Ilindgalit6 inverse dtant toujours

vl'aie., cela prouve que u/*

₌

11y*, et donc que w est en

fait

_une solution _{de viscositd}

continue.

Lhnicitd

est une consdquence directe du principe de comparaison car, si

wl

er w2 sonr

deux solutions du probldme de Dirictrlet, alors

wr=wzsur

le bord de O, et comme u/1 est

une sous-solution etw2 est une sursolution, on a

wt

_{Swz- Llndgalitd} inverse est obtenue

err int.ervertissant les r6les de

w,

etwz.

t

I

n(*,u(x),Du(x),D2u(x))-

g

_x

_€O

I

I

I

u-s

x€4CI

E

!

2.4

Principe

de

comparaison

On

dit

que I'on a un principe de comparaison

_fort

(pour les _{solutions discontinues) pour}

I'EDP (2"1) _{dans le cas d'un ouveft}

_f)

_{bornd si}

_ltnoncd

suivant est

wai

:

lsi u est une sous-solution _{de viscositd de (2.1) et}

_v

_{est une sursolution}

de

viscositi

de

(2.1) tel que u*

(

y* _sur

_7dl

_alors

n*

1y*

sur

d.

Ilruaneun 2.4.1.

Dansle cas il,uneEDp elliptique

(2.1)

dans toutl,espacee

_{_ lR1}

_{on c}

i'o

₌

A et

i|faut

raiouter des conditions de croissance

d

I'infiw sur u et

v,

comme

par

exentple une croissance _{quadratique. De m€me, ilans}

_le

_{cas il'une EDp parabolique}

sur Ie

olomaine

o

:

_[0,

_T[xRn'

_on

_u

ldt-

_{T}

_x

_R1

_{et ilfaudra}

_{aussirajouter}

des _{conditions ile}

croissonce

d.ltnfini

sur u et v.

xl'ruenQuE 2-4-2- Leprincipe de comparaison seformule aussi demaniire 6,quivalente: Si u

est _{une sous-solution (s.c.s) de viscasitri ite}

_t2.1)

_et

_v

est une sursolution (s.c.i)

_ile

_{viscosit1 ile}

(2.1) _{tel que u*}

(

y* _sur

_7dl

_alors

uSv

surd.

otn donne _{ci-dessous quelques exemples de fonctions}

_Ir

_{pour lesquels}

_{il y}

a un principe de

comparaison

_fort.

_{Des rdsultats gdndraux avec leurs preuves peuvent €tre trouvds}

dans

Crandall, Ishii et P.L.Lions

_[epl92]

ou Barles

_[narlS].

r

on

considire d'abord le cas

oi

o

est un ouvert

borni

de IRN.

otH('x,s,p,x)=

pr*F(x,p)-)v1oo'(x)x)

_avec

p

)

_0,

_o:

_o--rlRN*d

_{Lipschitziennne}

et

F

: f,)

x

RN

-'

lR. vdrifiant _{ltrypothdse suivante :}

(l\1)

_lF(x,

p)

_-

F(y,p)l

< m(lx

_-

yl(1

+

lpl)),

of

m(z) tend vers zdro quand

s

rend vers z(!ro.

o r{(x,s,p,x)

₌

F(x,p)

avec

F

:

o

x

IRN

-

lR

vdrifiant

(Al}

_{et les hlpothdses}

suLppldmentaires :

(A2)

F(x,p)

est convexe en

p,

pour

tout

r

€

{-l

(riS) Il

existe une fonction

g e

cl(n),

continue sur

d,

et

d >

0 telle que

F(.x,Dtp(t:))

<

_-5

sur O.

2.5

Preuve

_du

_{de com}

le second

ordre

€-

₂₆

D'aprds le lemme

(2'5'5),

_pour

_tout

_e

_>

_{0 suffisamment}

petit

_ma6*dw.

_{est strictement} positif et

il

existe

g

>

0

_{(inddpendant de e) tel que, pour tout point}

de maximum _{x",

_y,)

de

w.,

on a

d.un(x)

>

g

_et

_dni(srr)

_>

_0.

_Apartir

de maintenant, _{on fixe un tel e}

_>

_0. Inuoduisons _{une nouvene}

_{rigurarisation}

: pour

tout

c >

0, on pose

w,.o(x,y)=

u"(r)

_-

v"(y)

_-

J,,"

-

yll2,

o'li ud et vd sont respectivement _{les sup- et inf-convolutions de u}

et

y

dans

n.

Alors,

d'aprds le lemme (2.5.3), w€,a _{est semi-convexe dans}

_o

_{x o.}

_{D,aprds le lemme (2.5-4)}

wr,o2w,

et

^lTrrp

w,,o(xo,!o)

-

w.(x,y).

(l-U',Xd-X,!td-y

Enfin, le lemme (2.s.6) implique que, si

(xo,yo)est

un point de maximum de wuo dans

nix

il,

alors

(xo,yo)

est proche d'un point de maximum

(x.,y.)

_de

_w"pourvu

_que

_c

_>

_o

soit sufflsamment petit. En _{paniculie4 d7n(xo)}

_>

₀

_/z

_et

_dun(y)

_>

_e

_/zpour

_{tout c}

_>

0

suffisamment petit. De plus,

"S.-"pA"

=Hffr. r

o.

Montrons maintenant que

(u"(xo))

et

(v"(y"))

sont _{bornds inddpendamment de a}

*

_o+.

crlmme u est s.c.s- dans

o

et

v

s.c.i. dans

_G

il

existe une constante Mo telle que u

<

Mo et

v

1-Modans

d.

Alors uo

l

Moet vo

)

_-Mo

dans

d.

Comme,

poffi a

>

0 suffisamment

petit,

uo{xo)

_-v'tyo)-

}l*" -

y,.ll':

S4}w.,,

)

0,

on

a

u"(ro) > -Mo

et

v"(y")

1Mo,

ce qui prouve

(u"(x"))

et

(v,(y"))

sont bornd

inddpendamment de

c

---' _{0+. Donc, pour}

_a

_assez

_petit,

_{xo appartient}

_i

0" =

{x

e

nlu"(x)

_{> -Moet}

drn{r)

>

(2Woa)iy

tandis _eue

_/c

appartient d

Oo

₌

_U

e Olvofu)

)

Moet dBn(y)

>

(2Moc;i

y.

Par consdquent nous venons de montrer que, pour

a >

0 :rssez petit, la fonction w.,o possdde un maximum strictement positif dans

l'ouvett

0"

x

Oo.

Apartir

de maintenant, on fixe un tel

a >

_{o et on note Crc,D un} tel point de maximum. comme w€,d est

semi-convexe, le corollaire (2.5.2) affirme

qu'il

existe une suite

((r,,y"))

qui converge

vers

(f,/)

et telle que w€,d possdde un DL

dbrdre

2 en

(xo,y,,),

avec

Dwr,o(xo,yn)

_{- 0}

et D2wr,o(xn,!n)

-+A

(

₀

'tA

€

s*'

Notons que, vu ra strucfure

_d,

_*,,o,

_na

_etvoont

dgarement _{un DL}

_dbrdre

₂

respectivement _{en xn et}

en yn avec

Dw,,o(xn,!o)

₌

_(Du"(xnl

-

_{3O, -}

y,)

_-

_Dv,(y)*

3(*" -

y,))

et

Dzw",o(xn,!n)=

(D2u"(x^) o

\

\ o

-D,,o(yn))

-

3(ji

,j')

comme

_Dw".o(xo,!n)

_tend

vers 0 quand ₄ -+

_*oo,

_Duo(xo)

_et

Dvo(yr)tendent _vers

3A

-7).

O.

plus, _{comm e D2w,,o(xn,y*)}

tend versA _{quand n} _r

_*oo,

_les

_matices

Dttu"(xn) _et

_D2vo{y)

_convergerrt

respe.tivement _vers

'ne

matricex

et

y

avec

o=(I

o)-,(,*

-r"J=o

\o

_YJ

Ft_r"

rNJ

cela implique _{en particulier que}

_x

s

Y

(le rrerifier _{en testantA contre}

des vecteurs _{de ra}

forme (z,z')).

D'aprds le lemme

(2-s-s),uc

_{est une sous-solution}

de

(2.7)

darrs

oo.comme

_{uo possdde} un DL d'ordre 2

en

xnqui apparti _{ent d. CIa,le lemme}

_(2.1.f)

donne que

H (u" (x

_),

_{Du" (xn),}

_D2u"(ro))

_<

0. Lonsque n

_-'

_{+oo cela implique que}

2.5

Preuve

_du

pourle

_second

_ordre

H(uo@),

je

_-D,x)

_<

_o.

De rn€me, vo dtant une _{sursolution de}

_(2.7)

_dans

Oo, H (v

_o(y,),

_Dv

o(!,),

Dru

_o(y))

_Z

_O, ce qui implique, lorsque n _a

*oo,

que

H(voO),

je

_-V),y)>

_o.

€'

_2T

(2.e)

t2.to)

calcrrlons la diffdrence _{enffe (2-9) et}

_(2-10),on

obtient, en tenant compte _de

_lhlpothdse

(2.8) _{et du}

_fait

_que

_X

_{5 y,}

f.GlnoettsD

.+:

_-.,i

_*oro*r*

_et

_{oppfuatiotu.-l}

_,i*;-