MP – Physique-chimie. Devoir
Jean Le Hir, 28 mars 2008 Page 1 sur 2
DS n°7-2 -corrigé
Cinématique : révolutions sidérale et synodique de la Lune, orbites stationnaires
1. Période synodique de la Lune.
1 syn
L T
1 1
29, 53 j
T T T
−
= − =
2. Durée du jour lunaire et durée du jour solaire moyen.
1 j lune
j sid L
1 1
24 h 50 min
T T T
−
= − =
.
1 j sol
j sid T
1 1
24 h 00 min
T T T
−
= − =
(bien sûr !…) 3. Démonstration de la troisième loi de Kepler
2 n
F v
a = m= R ou encore
2 2
1 2
GM R
R R T
π
=
, soit
3
2 2
4
R GM
T = π 4. Calcul du produit GM.
2 3 TL 14 2
4 R 4,04 10 S.I.
GM T
= π = ×
5. Orbite géostationnaire.
Il s’agit d’une orbite circulaire équatoriale.
1 2
3 j sid 3
2 3
géostat 2 j sid TL
L
42 10 km 4
GM T
R T R
T
= = = ×
π
Ces satellites présentent un grand intérêt particulièrement pour les télécommunications.
6. Orbite héliostationnaire. Il s’agit d’une orbite circulaire écliptique (dans le plan de l’orbite de la Terre autour du Soleil) parcourue dans le sens rétrograde à la même vitesse angulaire que le mouvement orbital de la Terre.
1 2 3 3
2 T 6
héliostat 2 T TL
L
2, 2 10 km 4
T
R GM T R
T
= π = = ×
Ces satellites permettent l’observation permanente du Soleil ou, au contraire, mais c’est également intéressant, ils peuvent être en permanence dans l’obscurité de la nuit.
7. Problème à deux corps.
Il faut reprendre l’étude dans le référentiel du centre de masse du système Terre-Lune. La troisième loi de Kepler est alors modifiée, la masse M représentant la somme des masses MT+ML.
Mécanique du point : étude de pendules de pesanteur
A. Pendule simple
8. Équation différentielle.
2
2 sin 0
d g
dtθ +L θ = .
9. Oscillations de faible amplitude. θ = θ0cosω0t avec 0 g ω = L .
10. Trajectoire de phase. Il s’agit bien sûr d’une ellipse parcourue dans le sens horaire.
LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Devoir surveillé n°7 -2
JLH 28/03/2008 Page 2 sur 2
11. Diagramme énergétique.
En prenant pour origine le point le plus bas, nous avons :
( ) (
1 cos( 0cos 0 ))
1 02(
cos 0)
2p 2
E t =mgL − θ ω t ≈ mgLθ ωt et
( )
1 20(
sin 0)
2k 2
E t = mgLθ ω t . 12. Relation entre θ et θ. 1 2 2
(
1 cos) (
1 cos 0)
2mLθ + mgL − θ =mgL − θ soit θ = ω2 2 20
(
cosθ −cosθ0)
.13. Portrait de phase.
0 2
θ = ±π : θ = ω2 2 20cosθ
θ = ±π0 : 2 2 20
(
cos 1)
2 0cos 22 θ
θ = ω θ + = ω
B. Pendule sophistiqué
14. Choc. Par application du théorème du moment cinétique, nous pouvons affirmer que le moment cinétique est conservatif : θQ
(
L a−)
2 = θPL2.15. Calcul de l’amplitude θ1. Nous avons θ = −ω θP 0 0 et donc
2
Q 0 0 1 1
L L a
θ = −ω θ = ω θ
−
soit
3 2
1 0
L L a
θ = −θ
−
.
16. Calcul de l’amplitude θ2.
3 3
2
2 1 0
L L
L a L a
θ = −θ − = θ − .
17. Calcul de l’amplitude θn.
( )
3 2
1 0
n n
n
L L a
θ = − θ
−
.
L’énergie mécanique totale E t est une fonction croissante du temps. A chaque passage au plus bas,
( )
le dispositif mécanique donne une impulsion qui fait croître l’énergie. Comme les oscillations sont
synchrones de période L L a
T g g
−
= π +
, l’énergie est une fonction croissante par paliers.
Lors de la première impulsion, l’énergie passe de la valeur 0 1 20 1 2 2P
2 2
E = mgLθ = mLθ à la valeur supérieure 1 1 2 2Q
E =mga+2mLθ . L’énergie potentielle mga est restituée lors de l’élongation extrémale lorsque la masse m redescend en P, mais l’augmentation d’énergie cinétique est définitivement acquise.
