Tle_Maths Complémentaires Nom, prénom :

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M.Darnaudet Tle_Maths Complémentaires

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Le devoir est à faire sur ce sujet Suites et Limites

Exercice 1 : Suites arithmétiques, Suites géométriques (7,5 points) 1. (𝑢_𝑛) est une suite arithmétique de premier terme 𝑢₁= 1 et de raison 𝑟 = 2 a. Calculer 𝑢₂ et 𝑢₃

𝒖_𝟐= 𝒖_𝟑=

b. Donner l’expression de 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛 (c’est-à-dire la relation fonctionnelle ou la formule explicite) 𝒖_𝒏=

c. Préciser la limite de la suite (𝑢𝑛) quand 𝑛 tend vers +∞

𝒏→+∞𝐥𝐢𝐦 𝒖_𝒏=

2. (𝑣_𝑛) est une suite géométrique de premier terme 𝑣₀= 2021 et de raison 𝑞 = 0,2 a. Calculer 𝑣₁ et 𝑣₂

𝒗_𝟏= 𝒗_𝟐=

b. Donner l’expression de 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛 (c’est-à-dire la relation fonctionnelle ou la formule explicite) 𝒗_𝒏=

c. Préciser la limite de la suite (𝑣_𝑛) quand 𝑛 tend vers +∞

𝒏→+∞𝐥𝐢𝐦 𝒗_𝒏=

d. Exprimer la valeur de la somme des 𝑛 + 1 premiers termes de cette suite et établir sa limite

Exercice 3 (partie 1) : Calculs de limites (4,5 points) Établir les limites en +∞ des suites suivantes en les justifiant

𝒂_𝒏= 𝒏^𝟐+𝟏

𝒏 𝒃_𝒏 = (𝟏

𝒏− 𝟏) √𝒏 𝒄_𝒏= 𝒏^𝟑− 𝒏^𝟐+ 𝟏

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M.Darnaudet Exercice 2 : Suite définie par une relation fonctionnelle (5 points)

On considère la suite (𝑤𝑛) définie pour tout entier naturel par 𝑤_𝑛= 2𝑛 + 5

𝑛 + 1 1. On considère la fonction 𝑓 définie sur [0; +∞[ par

𝑓(𝑥) =2𝑥 + 5 𝑥 + 1 Justifier que pour tout nombre réel 𝑥 ≥ 0

𝑓′(𝑥) = − 3 (𝑥 + 1)²

2. Conclure sur les variations de la suite (𝑤_𝑛) pour tout entier 𝑛 ≥ 0

3. Établir la limite de la suite (𝑤_𝑛)

Exercice 3 (partie 2) : Calculs de limites (3 points)

Établir les limites en +∞ des suites suivantes en les justifiant

𝒅_𝒏=𝟐𝒏^𝟐− 𝟑𝒏 + 𝟏

𝒏^𝟑+ 𝒏 − 𝟓) { 𝒆_𝟎 = −𝟑

𝒆_𝒏+𝟏= 𝟎, 𝟗𝒆_𝒏+ 𝟐

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Correction _ Suites et Limites

Exercice 1 : Suites arithmétiques, Suites géométriques (7,5 points) 1. (𝑢_𝑛) est une suite arithmétique de premier terme 𝑢₁= 1 et de raison 𝑟 = 2 a. Calculer 𝑢2 et 𝑢3

𝒖_𝟐= 𝒖_𝟏+ 𝒓 = 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 𝒖_𝟑= 𝒖_𝟐+ 𝟐 = 𝟓

b. Donner l’expression de 𝑢_𝑛 en fonction de 𝑛 (c’est-à-dire la relation fonctionnelle ou la formule explicite) 𝒖_𝒏= 𝒖_𝟏+ (𝒏 − 𝟏)𝒓 = 𝟏 + 𝟐(𝒏 − 𝟏) = 𝟐𝒏 − 𝟏

c. Préciser la limite de la suite (𝑢𝑛) quand 𝑛 tend vers +∞

𝒏→+∞𝐥𝐢𝐦 𝒖_𝒏= 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞(𝟐𝒏 − 𝟏) = +∞

2. (𝑣_𝑛) est une suite géométrique de premier terme 𝑣₀= 2021 et de raison 𝑞 = 0,2 a. Calculer 𝑣₁ et 𝑣₂

𝒗_𝟏= 𝒗_𝟎× 𝒒 = 𝟐𝟎𝟐𝟏 × 𝟎, 𝟐 = 𝟒𝟎𝟒, 𝟐 𝒗_𝟐= 𝒗_𝟏× 𝟎, 𝟐 = 𝟖𝟎, 𝟖𝟒

b. Donner l’expression de 𝑣_𝑛 en fonction de 𝑛 (c’est-à-dire la relation fonctionnelle ou la formule explicite) 𝒗_𝒏= 𝒗_𝟎× 𝒒^𝒏= 𝟐𝟎𝟐𝟏 × 𝟎, 𝟐^𝒏

c. Préciser la limite de la suite (𝑣_𝑛) quand 𝑛 tend vers +∞

𝒏→+∞𝐥𝐢𝐦 𝒗_𝒏= 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞(𝟐𝟎𝟐𝟏 × 𝟎, 𝟐^𝒏) = 𝟎 𝒄𝒂𝒓 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝟎, 𝟐^𝒏= 𝟎

d. Exprimer la valeur de la somme des 𝑛 + 1 premiers termes de cette suite et établir sa limite

∑ 𝒗_𝒌

𝒌=𝒏

𝒌=𝟎

= 𝒗_𝟎×𝟏 − 𝒒^𝒏+𝟏

𝟏 − 𝒒 = 𝟐𝟎𝟐𝟏 ×𝟏 − 𝟎, 𝟐^𝒏+𝟏

𝟏 − 𝟎, 𝟐 =𝟐𝟎𝟐𝟏

𝟎, 𝟖 × (𝟏 − 𝟎, 𝟐^𝒏+𝟏) = 𝟐𝟓𝟐𝟔, 𝟐𝟓(𝟏 − 𝟎, 𝟐^𝒏+𝟏)

𝒏→+∞𝐥𝐢𝐦 𝟎, 𝟐^𝒏+𝟏= 𝟎 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝟐𝟓𝟐𝟔, 𝟐𝟓(𝟏 − 𝟎, 𝟐^𝒏+𝟏) = 𝟐𝟓𝟐𝟔, 𝟐𝟓 Exercice 3 (partie 1) : Calculs de limites (4,5 points)

Établir les limites en +∞ des suites suivantes en les justifiant

𝒂_𝒏= 𝒏^𝟐+𝟏 𝒏² 𝒏

𝒏→+∞

→ +∞

𝟏

𝒏^𝒏→ 𝟎 ^→+∞

𝒅𝒐𝒏𝒄 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒂_𝒏= +∞

𝒃_𝒏 = (𝟏

𝒏− 𝟏) √𝒏 (𝟏

𝒏− 𝟏)

𝒏→+∞

→ −𝟏

√𝒏_𝒏→ +∞ _→+∞

𝒅𝒐𝒏𝒄 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒃𝒏= −∞

𝒄𝒏= 𝒏^𝟑− 𝒏^𝟐+ 𝟏 𝒏^𝟑

𝒏→+∞

→ +∞

𝒏²𝒏→ +∞ →+∞

𝒄_𝒏

𝒏→+∞

→ ∞ − ∞ + 𝟏 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒆 𝑰𝒏𝒅é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏é𝒆

𝒄_𝒏= 𝒏^𝟑− 𝒏^𝟐+ 𝟏 𝒄_𝒏= 𝒏^𝟑− 𝒏^𝟐+ 𝟏

𝒄_𝒏= 𝒏^𝟑(𝟏 −𝟏 𝒏+ 𝟏

𝒏^𝟑) 𝒏^𝟑

𝒏→+∞

→ +∞

𝟏 −𝟏 𝒏+ 𝟏

𝒏^{𝟑 𝒏}→ 𝟏 ^→+∞

𝒅𝒐𝒏𝒄 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒄_𝒏= +∞

www.enneagone.jimdo.com Lycée Jules Supervielle 2021 M.Darnaudet Exercice 2 : Suite définie par une relation fonctionnelle (5 points)

On considère la suite (𝑤𝑛) définie pour tout entier naturel par 𝑤_𝑛= 2𝑛 + 5

𝑛 + 1 1. On considère la fonction 𝑓 définie sur [0; +∞[ par

𝑓(𝑥) =2𝑥 + 5 𝑥 + 1 Justifier que pour tout nombre réel 𝑥 ≥ 0

𝑓′(𝑥) = − 3 (𝑥 + 1)²

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟓

𝒙 + 𝟏 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒆 𝒆𝒕 𝒅é𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒔𝒖𝒓 [𝟎; +∞[, 𝒇 = 𝒖

𝒗 , 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒆𝒕 𝒗 = 𝒙 + 𝟏 𝒇

= 𝒖

𝒗 − 𝒖𝒗

𝒗

, 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖

= 𝟐 𝒆𝒕 𝒗

= 𝟏 𝒇

(𝒙) = 𝟐(𝒙 + 𝟏) − (𝟐𝒙 + 𝟓)

(𝒙 + 𝟏)² = 𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟓

(𝒙 + 𝟏)² = −𝟑

(𝒙 + 𝟏)² 𝑪𝒒𝑭𝒅

2. Conclure sur les variations de la suite (𝑤_𝑛) pour tout entier 𝑛 ≥ 0

𝑼𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒓é 𝒆𝒔𝒕 𝒕𝒐𝒖𝒋𝒐𝒖𝒓𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇, 𝒇^′𝒆𝒔𝒕 𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒐𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒆 − 𝟑 𝒑𝒂𝒓 𝒖𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒓é 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒇^′(𝒙) < 𝟎 𝒔𝒖𝒓 [𝟎; +∞[

𝑰𝒍 𝒔^′𝒆𝒏𝒔𝒖𝒊𝒕 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒇 𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒓 [𝟎; +∞[

𝒆𝒕 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 (𝒘_𝒏)𝒆𝒔𝒕 𝒅é𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕𝒐𝒖𝒕 𝒆𝒏𝒕𝒊𝒆𝒓 𝒏 ≥ 𝟎 3. Établir la limite de la suite (𝑤_𝑛)

𝒘_𝒏=𝟐𝒏 + 𝟓

𝒏 + 𝟏 =𝟐𝒏 + 𝟓

𝒏 + 𝟏 =𝒏 (𝟐 +𝟓 𝒏) 𝒏 (𝟏 +𝟏

𝒏)

=𝟐 +𝟓 𝒏 𝟏 +𝟏 𝒏

𝒏→+∞

→ 𝟐 + 𝟎 𝟏 + 𝟎= 𝟐

Exercice 3 (partie 2) : Calculs de limites (3 points)

Établir les limites en +∞ des suites suivantes en les justifiant

𝒅_𝒏=𝟐𝒏^𝟐− 𝟑𝒏 + 𝟏

𝒏^𝟑+ 𝒏 − 𝟓) (𝐅. 𝐈. ∞ − ∞ 𝐚𝐮 𝐧𝐮𝐦é𝐫𝐚𝐭𝐞𝐮𝐫)

𝒅_𝒏= 𝒏²(𝟐 −𝟑 𝒏+ 𝟏

𝒏²) 𝒏^𝟑(𝟏 + 𝟏

𝒏²− 𝟓 𝒏^𝟑) 𝒅_𝒏=𝒏²

𝒏^𝟑× 𝟐 −𝟑 𝒏+ 𝟏

𝒏² 𝟏 + 𝟏

𝒏²− 𝟓 𝒏^𝟑 𝒅_𝒏=𝟏

𝒏× 𝟐 −𝟑 𝒏+ 𝟏

𝒏² 𝟏 + 𝟏

𝒏²− 𝟓 𝒏^𝟑

𝒏→+∞

→ 𝟎 × 𝟐 − 𝟎 + 𝟎 𝟏 + 𝟎 − 𝟎

𝒅𝒐𝒏𝒄 𝐥𝐢𝐦

𝒏→+∞𝒅_𝒏= 𝟎

{ 𝒆𝟎 = −𝟑 𝒆_𝒏+𝟏= 𝟎, 𝟗𝒆_𝒏+ 𝟐 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒆𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆 à 𝒍𝒂 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆

𝒏→+∞𝐥𝐢𝐦 𝒆_𝒏= 𝟐𝟎