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EXAMEN D’ETAT CONGO BRAZZAVILLE : Baccalauréat Série C 2004, Epreuve de Mathématiques PDF
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Bac Rouge Série C 2004
Exercice 1 :
1. Montrer que ∀ 𝑥 ∈ ℝ COS ( 𝜋
2+ 𝑥 ) = sin 𝑥
2. Soit 𝑓 la fonction numerique definie par 𝑓 (𝑥) 𝑒𝑥 sin 𝑥.
Résoudre dans 𝑅 l’equation 𝑓′(𝑥) = 0 (1), 𝑓 étant la derivée de 𝑓.
3. Soit (𝑈𝑛) et (𝑉𝑛) deux suite numeriques definies par : 𝑈𝑛 = − 𝜋
2+ 𝑛 𝜋 et 𝑉𝑛 = 𝑓 (𝑈𝑛), ∀ 𝑛 ∈ N ;
a) Montrer que 𝑈𝑛 est une solution de l’equetion (1)
b) Montrer que (𝑈𝑛) est une suite arithmetique et que (𝑉𝑛) est une suite geometrique, on precisera la raison et le premier terme de chaque suite.
c) Calculer en fonction n 𝑆𝑛 = 𝑉0+ 𝑉𝑛 + … + 𝑉𝑛 Exercice 2 :
Le tableau ci-dessous représente le couple (𝑋, 𝑌) de deux caracteres statiques :
2 4 2 0
1. Représenter le nuage de point de cette série 2. Calcule les coordonnées du point moyen 𝐺
3. Calcule l’inertie du nuage par rapport au point 0 (0 ; 0) , puis par rapport au point 𝐺.
𝑋 𝑌
1 2 3
0 2 0 2
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Partie A :
On considère la fonction numérique 𝑓 definie par : 𝑓(𝑥) = √ 2− 𝑥2
2
1. a) Etudier les Variations de 𝑓
b) Trace la courbe (𝐺𝑓) representative de 𝑓 dans un plan (𝑃) rapport à un repere orthonormé (0, 𝑖,⃗ 𝑗 ), Unité : 2 cm.
c) En déduire la construction de l’ensemble (E) des points de (P) de coordonnées (𝑥, 𝑦) tel que : 𝑥2 + 2𝑦2− 2 = 0.
2. Soit 𝐴 le point de coordonnée (0, 2), 𝑀 un point quelconque de (𝑃) et m son Projeté orthogonal sur l’axe des abscisses.
a) Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble (𝑇) des points (𝑃) tels que :
𝑀𝐴2+ 𝑀𝑚2= 4.
b) Démontrer qu’il existe une transformation ponctuelle simple qui permet de passer de (𝐸) à (𝑇). Quels sont les points communs à (𝐸) et (𝑇) ?
3. Soit 𝑇 la transformation ponctuelle qui à tout point 𝑀 (𝑥, 𝑦) fait correspondre le point de 𝑀′(𝑥′, 𝑦′) tel que :
{𝑥′ = 𝑥−1𝑥
𝑦′ =𝑥−1𝑦 avec 𝑥 ≠ 1
a)Montrer que de 𝑇 est involutive de 𝑇°𝑇 = 𝐼 d(p)
b) Démontrer que les points de 0, 𝑀, 𝑀′ sont alignés.
c) Démontrer une équation cartésienne de (𝐸′) image de (𝐸) par 𝑇.
Construit de (𝐸′) dans le même repère que (𝐸).
Partie B :
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AMID CONGO // Site internet : www.amidcongo.org // E-mail : info@amidcongo.org Soit de 𝑃 le polygone defini sur de 𝐺 par de 𝑃(𝑧) = 𝑧3− 4(1 + 𝑖)𝑧2+ 12𝑖𝑧 + 8 − 8𝑖 1) Montrer que l’équation 𝑃(𝑧) = 0 admet une solution imaginaire 𝑧0 et une solution réelle de 𝑧1 à déterminer. En déduire l’autre solution 𝑧2.
2) Dans le plan (𝑃), on designe par 𝐴, 𝐵, 𝐶, les points d’affixes respectives : 𝑍𝐴 = 2𝑖, 𝑍𝐵= 2 et
𝑍𝐶 = 2 + 2𝑖
a) Détermine le module et un argument de ZB −ZC
ZA−ZC. En déduire la nature du triangle ABC.
b) Soit (𝐶)le cercle circonscrit au triangle ABC et N un point de (𝐶) distinct de A, B et C. On désigne par A’, B’ et C’ les projetés orthogonaux de N sur (BC) et (AB).
Donner le nom de la droite passant par ces trois points.
3) Soit S l’application de (P) dans (O) telle que S(A) = A et S(B) = G. Donner la nature et les éléments caractéristiques de S.
4) Soit K un point de (P) tel que 0𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ 1
3𝑂𝐴 et 𝐾′ le point de concours de la parallele à (𝑂𝐶) passant par K avec (𝐴𝐶).
a) Placer K et K’
b) démontrer qu’il existe une homothétie h qui transforme 0 en K et c en K’.
Préciser son centre et son rapport.
c) Soit g la symétrie orthogonale qui transforme 0 en C. On pose 𝜑 = g° 𝑓.
Donner la nature et les éléments caractéristiques de 𝜑.
