P 1 et P 2. La fabriation de es produits néessite du

ReherheOpérationnelle

Modélisation-Résolutiongraphique

Utilisation de solveurs

utilisationdeIORTutorial

utilisationdeGLPK

1 Exerie 1

Une entreprise fabrique deux produits

P 1

^et

P 2

^{. La fabriation de es produits néessite du}

temps de travail (main d'oeuvre), du temps-mahine et de la matière première. Les oeients teh-

niquesdeprodutionainsiquelesprixdeventeparunitédeproduitsontfournisdansletableausuivant:

P 1 P 2

Quantitéde"travail"(exprimésenheures)

néessaire àlefabriationd'uneunité. 0.75h 0.5h

Quantitéde"temps-mahine"(enh.)

néessaireàlafabriationd'uneunité 1.5h 0.8h

Quantitédematièrepremière(exprimée

ennombred'unitéu)néessaireàla

fabriation d'uneunité deproduit 2u 1u

Prixdevente parunité(exprimé

enunitésmonétaires:u.m) 15u.m 8u.m

Chaquesemaine400unitésde matièrepremièreauplus,peuventêtre ahetéesàunprixde 1,5u.m

parunité.

L'entreprise emploie 4personnes qui travaillenthaune 40 heures par semaine. La nature de leur

travailestlamain d'oeuvre.Cespersonnespeuventeetuerdesheuressupplémentairesquisontpayées

à6u.m.l'unité.

Chaquesemaine,ladisponibilitéentempsmahineest de320h.

Enabsenedepubliité,lademandehebdomadaireduproduit

P 1

^{seraitde50unités,ellede}

P 2

^de60

unités;maisonpeutréaliserdelapubliitépourdévelopperlesventes,haqueunitémonétairedépensée

enpubliité sur

P 1

(respetivementsur

P 2

^{)augmente lademande}hebdomadairede

P 1

^(resp.

p 2

^)de10

unités(resp.de15unités).Lesfraisdepubliiténedoiventpasdépasser100u.mparsemaine.

Lesquantitésde

P 1

^et

P 2

^{fabriquéesdoiventrester}inférieuresouégalesàlademanderéelle(ompte- tenudelapubliité).

Ondénitles6variablessuivantes :

X ¹

^{:nombred'unitésduproduit1fabriquéesparsemaine.}

X ²

^{:nombred'unitésduproduit2fabriquéesparsemaine.}

HS

^{:nombretotald'heures}supplémentaireseetuéesparsemaine.

M P

^{:nombred'unités dematièrepremièreahetéesparsemaine.}

P U B 1

^{: nombred'unités monétairesdépenséesenpubliitésur}

P 1

P U B 2

^{: nombred'unités monétairesdépenséesenpubliitésur}

P 1

L'entreprisedésirexerlavaleurdehaundees variablesdemanièreàmaximisersonbénée:

Bénée=Chiredevente -Sommedesoûtsvariables

Lesalaire(oûtdesheuresnormales)desquatrepersonnesest unoût xepourl'entreprise.

Question:modéliserleproblèmeàl'aidedessixvariablesquisontproposées,sousformedeprogramme

linéaire.Larésolutionn'estpasdemandée.

Unfabriquantdésireproduire100kgd'unepréparationdebasepourrèmeglaée.Cettepréparation

doitontenir21,5 kg dematière grasse,21 kg desure,1,2 kg d oeuf et 56,3 kg d'eau.Les ingrédients

dont il dispose gure entête des olonnes dutableau i-dessous; lesonstituants gurent en ligne.Ce

tableaupréiseégalementlespourentages(enpoids)dehaqueonstituantdanshaqueingrédientainsi

queleoût, aukg,dehaqueingrédient.

Ingrédients

Constituants Crème Jaune Laitentier Jauned'oeuf Siropdesure Eau

d'oeuf enpoudre surgeléet suré deanne

Matièregrasse 40 50 12 30

Sure 14 70

Oeuf 40 40

Eau 60 10 88 16 30 100

Coûtaukg(enF) 3 4 1 2 0,80 0,00

Le fabriquant désire déterminer la omposition du mélange de oût minimal. Erire le programme

linéaireorrespondantàeproblème.

3 Exerie 3

Uneraneriepeuttraitertrois pétrolesbrutsn

o

1,n

o

2etn

o

3.

Pardistillationfrationnéedans les"toppings"es brutsdonnentdesoupesquisontdes ensembles

d'hydroarburesayantdestempératuresd'ébullitionomprisesentreleslimitesxées.

Onobtientparexemple:

desgaz

unegazoline0-80

o

C

unebenzine80-130

o

C

unnaphtaléger130-160

o

C

unnaphtalourd160-190

o

C

unkérosène190-230

o

C

ungasoilléger230-310

o

C

ungasoillourd310-400

o

C

unfuel-oil>400

o

C

Ces oupes subissent ensuite des traitements omplémentaires (épuration, désulfuration, raking,

reformingatalytique)pourdevenirdesbasesqui,onvenablementmélangées,permettrontd'obtenirles

produitsommeriauxdésirés.

C'estainsiquelaranerieonsidéréefabriqueinqatégoriesdeproduitsnis:

desgazet desgazliquéés

desessenes

dupétrole

dugasoil

dufuel-oil

Lesrendementsdepétrolesbrutstraitéssontpréisésdansletableaui-après(quiexpliitelesquan-

titésproduitesàpartird'unetonnedebrut):

Matièrepremière

Produtionent. Brutn

o

1Afrique Brutn

o

2Moyen-Orient Brutn

o

3Amérique

Gazetgazliquéés 0,02 - 0,06

Essenes 0,20 0,25 0,30

Pétrole 0,08 - 0,04

Gasoil 0,40 0,25 0,30

Fuel-oil 0,30 0,50 0,30

Total 1 1 1

180000t.depétrole

1350000t.degasoil

1800000t.defuel-oil

(Sa prodution est limitée par laapaité de ertaines unités de traitement, par les possibilités de

ventesetparlesstokagesdisponibles).

Laranerieréaliseunbénéede4unitésmonétairespartonnesdebrutn

o

1,de5unitésmonétaires

partonnedebrutn

o

2et de5unitésmonétairespartonnedebrutn

o

3.

Formulerdeproblèmeparunprogrammelinéaire.

4 Exerie 4

On désire déterminer la omposition, à oût minimal, d'un aliment pour bétail qui est obtenu en

mélangeantauplustroisproduits brut:

Orge,

arahide,

sésame.

L'aliment ainsi onditionné devra omporter (pour se onformer aux exigenes de la lientèle) au

moins

22%

^{deprotéines,}

3.6%

^degraisses,

Onaindiquéi-dessouslespourentagesdeprotéineset degraissesontenues,respetivement,dans

l'orge,lesarahideset lesésame,ainsiqueleoûtpartonnedehaundesproduitsbruts:

produitbrut orge arahides sésame pourentagerequis

pourentagesdeprotéines

12% 52% 42% 22%

pourentagesdegraisses

2% 2% 10% 3.6%

oûtpartonne 25 41 39

Questions:

1. Onnotera

x j = (j = 1, 2, 3)

^{lafrationdetonnedeproduitbrut}

j

^{ontenudansunetonned'aliment.}

Formulerleproblèmealgébriquement.

2. Montrerqu'ilestpossiblederéduireladimensionduproblème.Lerésoudregéométriquement.

5 Exerie 5

Un atelierpeutfabriquertroistypesd'artiles:

l'artile

A ¹

^{àlaadenede35objetsàl'heure.}

l'artile

A 2

^{àlaadenede45objetsàl'heure.}

l'artile

A 3

^{àlaadenede20objetsàl'heure.}

Cettefabriationutiliseunemahine-outil unique,disponible200heuresparmois.

Le bénée unitairepourl'artile

A 1

^{est de 60 frans parobjet, pour}

A 2

^{de40 frans, pour}

A 3

^de

80frans.Cesobjetssontvendusentotalitéàdesgrossistes;onaobservéqu'onnepouvait éouler,par

mois,plusde4900objetsdutype

A 1

^{, niplusde5400objetsdutype}

A 2

^{,niplusde2000objetsdutype}

A 3

^.

D'autre part, haque objet doit être vérié avant sa ommerialisation; une équipe de trois

tehniiens est hargée de ette mission; haque tehniien travaille 170 heures par mois. La véri-

ationd'unobjetdutype

A 1

^{prendquatreminutes,dutype}

A 2

^{,troisminutes,dutype}

A 3

^{,deuxminutes.}

Question : Montrer qu'une ontrainte est redondante ('est-à-direqu'elle est impliquée par une ou

plusieursautres).Interprétergéométriquementetteredondane.

Question : Classer alors les produits par bénée horaire déroissants et faire une résolution

éonomiquedeeproblème.

1. Une usine fabrique deux produits P1et P2. Chaun dees produits demande, pourson usinage,

desheuresde fabriationunitairessur lesmahines(oudans lesateliers)A, B,C,D et Eomme

indiquédansletableau suivant:

A B C D E

P1 0 1,5 2 3 3

P2 3 4 3 2 0

Disponibilitétotale dehaquemahine 39h 60h 57h 70h 57h

Lesmargesbrutesdehaqueproduit sontrespetivement:

M1=1700F

M2=3200F

Erireleprogrammelinéaireorrespondant.

Donnerunesolutiongraphique.

2. LesproduitsutilisenttroisfournituresF1, F2etF3 danslesonditionsindiquéesi-dessous:

F1 F2 F3

P1 0 12 8

P2 5 36 0

Unités Kg M

3

M

2

Stokdisponible 55 432 136

Réérirelenouveauprogrammelinéaireainsiréé.

Eliminerlesontraintesredondantes.Résoudreleproblèmegraphiquement.

7 Exerie 7

UneP.M.Espéialiséedanslafabriationdejouetsetdemaquettes,réalise,entreautre,lapréparation

detroismodèlesréduits:

robots

avionsàréation

navettesspatiales

Cettepréparations'eetueentroisétapessuessives.Letableausuivantindiqueletempsnéessaire,

enminutes,pourhaquemodèle,àhaqueétape.

Étape Robot Avion Navette

1:Assemblage 3 2 7

2:Emballage 6 3 8

3:Vériation 2 1 5

L'entreprisepeutonsarer,auplus,parjour:

315minutesàl'assembalge.

450minutesàl'emballage.

200minutesàlavériation.

Leprotréaliséestde:

40Frspourunrobot

30Frspourunavion

100Frspourunenavette

Questions:

1. Formuler le programme linéaire qui détermine le programme de préparation prourantun prot

maximal.

Soitleprogrammelinéaire:(P

1

⁾

 

 

 



 

 

 



max 2x 1 + x 2

s.c.

x 1 − x 2 ≤ 3 x ¹ + 2x ² ≤ 6

−x ¹ + 2x ² ≤ 2 x ¹ , x ² ≥ 0

1. Faire unerésolutiongraphique

9 Exerie 9

Soitleprogramme linéaire:

(P

4

⁾



 

 

 



 

 

 



max x 1 + 2x ² s.c.

x 1 ≤ 1

x 1 + x 2 ≥ 6

−x 1 + x 2 = 3 x 1 , x 2 , ≥ 0

1. Faire unerésolutiongraphique.

10 Exerie 10

Soitleprogramme linéaire:

(P

5

⁾



 

 

 



 

 

 



max x 1 + 2x ² s.c.

−2x ¹ + x 2 ≤ 2

−x 1 + 2x ² ≤ 5 x 1 − 4x ² ≤ 4 x 1 , x 2 , ≥ 0

1. Faire unerésolutiongraphique.