Absence de “m´ emoire”

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ELEN0040 - Electronique num´ erique

Patricia ROUSSEAUX

Ann´ee acad´emique 2014 - 2015

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CHAPITRE 2

Conception de circuits combinatoires

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1 Circuits combinatoires 1.1 D´efinitions

1.2 Design d’un circuit

2 Simplification de fonctions

2.1 Simplification par table de Karnaugh

Tables de Karnaugh, 2 `a 4 variables Impliquants premiers

Fonction non complètement spécifiée - Don’t care Simplification sous forme d’un produit de sommes Circuits à 2 niveaux

2.2 Circuits `a plus de deux niveaux

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Circuit combinatoire

Une circuit combinatoire :

I est activé parnsignaux d’entrée numériques =nvariables booléennes e1,· · · ,en

I fournitmsignaux de sortie num´eriques =mvariables bool´eennes s₁,· · ·,s_m

I est constitu´e demcircuits logiques, chacun r´ealisant une fonction logique sj =F(e1,· · ·,en),j = 1,· · · ,m

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Absence de “m´ emoire”

I Dans un circuit combinatoire, il n’existe jamais deboucle de retour des sorties vers l’entr´ee du circuit

I Cela nécessiterait des éléments “tampon” capables demémoriser l’état de certaines variables

I Les opérations de mémorisation d’état sont à la base des circuits séquentiels

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D´ elai de traitement

I Les signaux de sortie ne sont pas obtenus instantan´ement

I Chaque porte du circuit impose un d´elai

I Le délai totaltp résulte de l’addition des délais associés aux portes rencontrées successivement sur un chemin partant de l’entrée vers la sortie

I Délai du circuit = délai maximum rencontré

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Proc´ edure de design d’un circuit

1. Sp´ecification:

I d´ecrire ce que le circuit doit r´ealiser 2. Formulation:

I d´efinir les variables d’entr´ee et de sortie

I établir la table de vérité et les fonctions logiques définissant les sorties

I recours aux formes canoniques SOM et POM 3. Optimisation :

I simplification des fonctions

I satisfaire un compromis entre différents critères : nombre de composants, délai, ...

I tracer le diagramme logique au moyen des portes primitives AND, OR et NOT

4. Adaptation `a la technologie choisie:

I choisir une technologie pour la r´ealisation du circuit : exemple CMOS et portes NAND, portes NOR, logique programmable, ...

I tracer le diagramme du circuit avec les composants correspondants 5. V´erification :

I v´erifier le bon fonctionnement du circuit : souvent via un outil de simulation (voir labos et projet)

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Sp´ ecification

Exemple : afficheur LED 7 segments

LEDS allum´ees selon le chiffre `a afficher :

I 0 : a, b, c, e, f

I 1 : b, c

I 2 : a, b, g, e, d

I ...

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Formulation

Entrées : chiffre à afficher, code BCD (Binary Coded Decimal = decimal codé binaire) : 4 variables binaire A,B,C, D Sorties : une variables binaire pour chaque LED (0=éteint,

1=allumé) :a,b,c,d,e,f,g Table de vérité :

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Optimisation

I But: obtenir l’impl´ementation la plussimplepossible d’une fonction

I simple ?: différents critères, ne pouvant être satisfaits simultanément⇒compromis

I Critères :définition d’un coût

I nombre d’entr´ees totales des portes du circuit,gate input cost G

I G tient `a la fois compte du nombre de portes et du nombre d’entr´ees pour chaque porte

I le d´elai introduit par le circuit : li´e au nombre de niveaux de portes

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Optimisation - Exemple

Considérons la réalisation de la variablea de l’afficheur 7-segments D’après la table de vérité :

a= ¯AB¯C¯D¯+ ¯ABC¯ D¯+ ¯ABCD¯ + ¯ABC D+¯ + ¯ABCD¯+ ¯ABCD+AB¯C¯D¯+AB¯C D¯

=X

m(0,2,3,5,6,7,8,9)

On peut par exemple regrouper les mintermes 8 et 9 AB¯C¯D¯+AB¯C D¯ =AB¯C¯.( ¯D+D) =AB¯C¯ De mˆeme pour les mintermes 5 et 7

AB¯ C D¯ + ¯ABCD= ¯ABD.( ¯C+C) = ¯ABD

Nous verrons plus loin comment poursuivre (Karnough) pour obtenir a= ¯AC+ ¯ABD+ ¯BC¯D¯+AB¯C¯

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R´ ealisation du circuit

Gate input cost :G = 15 + 4 inverseurs

Si l’on avait impl´ementer directement la forme SOM, on aurait G= 8×4 + 1×8 = 40 + 4 inverseurs

Au niveau du d´elai, dans les deux cas, circuits `a 2 niveaux de portes (+

inverseurs).

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Choix de la technologie

Exemple : portes NAND

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Choix de la technologie

Exemple : portes NOR

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V´ erification

I Une fois le schéma logique correspondant à la technologie obtenu, il faut vérifier que le circuit satisfait les spécifications de départ.

I Cette op´eration se r´ealise le plus souvent via un simulateur de circuits (voir labos VHDL)

I Exemple : simuler une séquence d’entrées générant toutes les combinaisons intéressantes

I Ici, délais non représentés

I Eviter deux changements simultan´es dans les entr´ees !

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1 Circuits combinatoires 1.1 D´efinitions

1.2 Design d’un circuit

2 Simplification de fonctions

2.1 Simplification par table de Karnaugh

Tables de Karnaugh, 2 `a 4 variables Impliquants premiers

Fonction non complètement spécifiée - Don’t care Simplification sous forme d’un produit de sommes Circuits à 2 niveaux

2.2 Circuits `a plus de deux niveaux

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Table de Karnaugh

I Unetable de Karnaughest unerepr´esentationd’une expression logique dans une table qui met en ´evidence des termes“adjacents”

pouvant ˆetre simplifi´es

I Elle est form´ee d’un nombre de cases ´egal aunombre maximal de mintermescorrespondant au nombre de variables apparaissant dans l’expression

I Deux cases sont adjacentessi les deux mintermes correspondantsne diffèrent que d’un littéral : il apparaˆıt sous formecomplémentéedans l’un et non complémentéedans l’autre

I Utile pour la simplification de fonctions de 2 `a 6 variables

I Au-delà, représentation “géométrique” difficile

I Recours `a des m´ethodes algorithmiques : algorithme de

Quine–McCluskey, m´ethode de Petrick, heuristique de minimisation

“Espressso”

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Table de Karnaugh ` a 2 variables

Les quatre mintermes sont plac´es comme suit :

On place également la valeur “0” en regard des variables complémentées et la valeur “1” en regard des variables non complémentées

I Les mintermesm₀ etm₁ sont adjacents, ils diff´erent par la variable Y

I De mˆeme,

I m0etm2sont adjacents, ils diff`erent par la variableX

I m1etm3sont adjacents, ils diff`erent par la variableX

I m2etm3sont adjacents, ils diff`erent par la variableY

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Table de Karnaugh et table de v´ erit´ e

SoitF =m₁+m₂+m₃= ¯X Y+XY¯+XY =X+Y

X Y F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

I Les valeurs de l’expression bool´eenne sont plac´ees dans la table aux emplacements des mintermes correspondants

I Les“1” correspondent aux mintermes pr´esentsdans la forme SOM de l’expression

I Les“0” correspondent aux mintermes absentsdans la forme SOM de l’expression

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Simplification de la fonction

F=m₁+m₂+m₃

1. La somme des deux mintermes adjacentsm₂etm₃donne :

XY¯ +XY =X.( ¯Y +Y) =X 2. La somme des deux mintermes

adjacantsm1etm3donne : X Y¯ +XY = ( ¯X+X).Y =Y 3. Etant donn´e que l’on peut ´ecrire :

F=m1+m2+m3+m3

4. La forme simplifi´ee deF est : F =X+Y

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Table ` a 3 variables

I Remarquez l’emplacement des mintermes !

I Les indices deYZ sont ordonnés selon un code de Gray cyclique : un seul changement lorsque l’on passe d’un élément au suivant

I Les mintermes de la premi`ere colonne sont adjacents aux mintermes de la quatri`eme colonne :

I m0adjacent `am2 I m4adjacent `am6

I Des groupement de 4 mintermes adjacents sont possibles

I m1+m3+m5+m7 donneZ

I m0+m2+m4+m6 donne ¯Z

I m0+m1+m3+m2 donne ¯X, ...

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Exemple ` a 3 variables

Simplifiez la fonction :F=Pm(0,1,2,3,4,5)

1. Placer les 1 correspondants aux mintermes dans la table

2. Grouper m₀+m₁+m₄+m₅(rouge) :

X¯Y¯Z¯+ ¯XY Z¯ +XY¯Z¯+XY Z¯ = ¯Y 3. Grouper m0+m1+m3+m2(bleu)

X¯Y¯Z¯+ ¯XY Z¯ + ¯X YZ+ ¯X YZ¯= ¯X 4.

F = ¯X+ ¯Y

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Table ` a 4 variables

I Ordonnancement des mintermes selon le code de Gray

I Les mintermes de la premi`ere colonne sont adjacents aux mintermes de la quatri`eme colonne

I Les mintermes de la premi`ere ligne sont adjacents aux mintermes de la quatri`eme ligne

I Des groupement de 2, 4 et 8 mintermes adjacents sont possibles

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Exemple ` a 4 variables

Simplifiez la fonction :F=Pm(0,1,2,4,5,6,8,9,10,12,13)

2. Grouper les 8 mintermes des deux premi`eres colonnes, on obtient : ¯Y 3. Grouper les 4 mintermes des 4 coins, on obtient : ¯XZ¯

4. Grouper 4 mintermes permettant d’incorporer le dernier minterme non couvert : ¯WZ¯

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Exemple ` a 4 variables

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Exemple ` a 4 variables

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Exemple ` a 4 variables

F = ¯Y + ¯XZ¯+ ¯WZ¯

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Remarques

I Pour une fonction de nvariables, un groupement de 2^k,(k <n) mintermes permet de remplacer ces mintermes par un seul produit de n−k variables

I Pour simplifier au maximum la fonction, int´erˆet de rechercher les groupements les plus grands possibles = impliquants premiers

I Chaque minterme de la fonction doit ˆetre inclus si possible dans au moins un groupement

I Stopper la recherche de groupements lorsque tous les mintermes sont “couverts”

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Impliquants

Pour une fonction bool´eenne donn´ee et sa table de Karnaugh : Impliquant premier

Unimpliquant premierest un produit obtenu en combinant le plus grand nombre 2^k possible de mintermes adjacents de sorte que ce produit ne peut plus ˆetre simplifi´e.

Impliquant premier essentiel

Un impliquant premier est unimpliquant premier essentielsi il contient un minterme qui n’est inclus dans aucun autre impliquant premier.

La suppression de cet impliquant ne permet plus de couvrir tous les mintermes de la fonction : impliquantessentiel.

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Impliquants premiers

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Tentative de simplification syst´ ematique

1. Identifier tous les impliquants premiers 2. S´electionner :

2.1 tous les impliquants premiers essentiels

2.2 un ensemble minimal d’impliquants premiers qui permettent de couvrir tous les mintermes restants de la fonction

I Cette procédure peut donner plusieurs solutions selon les choix opérés au point 2.2

I Possibilité d’obtenir des solutions équivalentes en terme de coût

I La solution optimale n’est pas n´ecessairement trouv´ee

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Exemple 1

F =X

m(1,3,4,5,6,7,12,14)

I Les impliquants (1,3,5,7) et (4,6,12,14) sont des impliquants essentiels

I L’impliquant (4,5,7,6) n’estpas essentiel

I Les deux premiers suffisent `a couvrir tous les mintermes de la fonction

F= ¯W Z+XZ¯

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Exemple 2

F =X

m(0,5,10,11,12,13,15)

I Les impliquants (0), (5,13), (12,13) et (10,11) sont des impliquantsessentiels

I Les impliquants (13,15) et (11,15) ne sont paspas essentiels

I Il faut s´electionner un de ces deux impliquants pour inclure le mintermem15

I Il existe deux solutions ´equivalentes

F = ¯WX¯Y¯Z¯+XY Z¯ +WXY¯+





 WYZ ou WXZ

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Fonction non compl` etement sp´ ecifi´ ee - Don’t care

I Dans certaines situations, la fonction booléenne de sortie n’est pas définie ou n’a pas de sens pour certaines combinaisons des entrées

I Situation relativement fr´equente en pratique

I Exemple : des signaux d’entr´ee fournis par des capteurs qui ne sont jamais actifs simultan´ement

I La valeur affectée à la sortie peut être indifféremment 0 ou 1 = indifférents ou don’t care

I Repr´esent´es par un “X” dans la table de Karnaugh

I Lors de la simplification de la fonction, le “Don’t care” peut ˆetre trait´e comme “0” ou “1” selon la situation la plus avantageuse

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Don’care - Exemple 1

I Les “Don’t care” sont trait´es comme des 0

I Nombre d’impliquants plus élévé si traités comme des 1

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Don’t care - Exemple 2

I Il est plus int´eressant ici de traiter les “Don’t care” comme des 1

I Impliquants de plus grande taille ⇒simplification plus importante de la fonction

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Int´ erˆ et des “Don’t care”

I Fonctiona de l’afficheur 7-segments a=X

m(0,2,3,5,6,7,8,9)

I Il existe 6 “Dont’t care” pour les combinaisons des entr´ees correspondants `a 10, 11, 12, 13 ,14 et 15

I On obtient :

a=C+A+ ¯ABD+ ¯BC¯D¯

I Gate input cost :G = 10 + 4 au lieu de 15+4 !

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Simplification sous forme d’un produit de sommes

I Il peut être plus intéressant (ou plus aisé) de simplifier la fonction sous la forme d’un produit de Maxtermes (POM)

I Exemple : minorit´e de 0 dans la table de Karnaugh

I On applique la même procédure sur la fonction complémentée

I L’application de la loi de De Morgan fournit la solution

F¯= ¯W XY Z¯ +WXYZ¯

F= (W+ ¯X+Y+ ¯Z).( ¯W+ ¯X+ ¯Y+Z)

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R´ ealisation sous forme de circuits ` a 2 niveaux

I Les formes simplifiées POS et SOP découlant de la technique des tables de Karnaugh donnent toutes deux lieu à des réalisations sous forme de circuits à deux niveaux de portes logiques

I Il peut ˆetre avantageux de consid´erer d’autres transformations de la fonction

I Cela conduit `a des circuits `a plus de deux niveaux

I La complexité peut être réduite mais le délai introduit par le circuit est augmenté

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Circuits ` a plus de deux niveaux

1. Factorisation

I On factorise l’expression :

G =AC E¯ +AC F¯ +ADE¯ +ADF¯ +BCDE¯F¯

=A( ¯C E + ¯C F+ ¯DE+ ¯DF) +BCDE¯F¯

=A( ¯C+ ¯D)(E+F) +BCDE¯F¯

I R´eduction du gate input cost : de 22+4 `a 14+4

I Augmentation du nombre de niveaux de portes : 3 au lieu de 2 2. D´ecomposition

I D´efinition de variables interm´ediaires

G =AX¯₁X₂+BX₁X¯₂ X1=CD

X₂=E+F

I R´eduction du gate input cost : de 14+4 `a 12+2

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3. Extraction

I Si plusieurs fonctions sont `a r´ealiser, exploiter les termes communs

I Seconde fonction `a r´ealiser

H= ¯ABCD+ABE+ABF+BCE +BCF

=B( ¯ACD+ (A+C)(E+F))

I Si l’on consid`ereG etH simultan´ement : G =AX¯1X2+BX1X¯2

H=B( ¯AX₁+X₃X₂) X1=CD

X2=E+F X3=A+C

I gate input cost :

I G seul, forme non factoris´ee : 22+4

I H seul, forme non factoris´ee : 21+1

I G et H, formenon factoris´ee: 43+5

I G et Hfactoris´es avec termes communs: 22+3

I Circuit `a4 niveaux de portes

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Extraction - circuit

Pour r´eduire le nombre de niveaux, soit :

I ´eliminer une factorisation

I ´eliminer une variable interm´ediaire

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Elimination

Le plus int´eressant ici est d’´eliminer la factorisation deB qui est en fait inutile :

G =AX¯1X2+BX1X¯2

H=BAX¯ 1+BX3X2

X₁=CD X2=E+F X3=A+C

I gate input cost : 22+ 3, inchang´e

I 3 niveaux

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R´ ef´ erences

I Logic and Computer Design Fundamentals, 4/E, M. Morris Mano Charles Kime , Course material

http ://writphotec.com/mano4/

I Cours d’électronique numérique, Aurélie Gensbittel, Bertrand Granado, Université Pierre et Marie Curie

http ://bertrand.granado.free.fr/Licence/ue201/

coursbeameranime.pdf

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