Approche <span class="mathjax-formula">$p$</span>-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

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BLAISE PASCAL

Georges Gras

Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

Volume 24, n^o2 (2017), p. 235-291.

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Clermont-Ferrand — France

cedram

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Approche p-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

Georges Gras

Résumé

Soit k un corps de nombres totalement réel et soit k∞ sa Z^p-extension cyclotomique pour un premier p >2. Nous donnons (Théorème 3.4) une condition suffisante de nullité des invariants d’Iwasawaλ, µ, lorsquepest totalement décom- posé dans k, et nous obtenons d’importantes tables de corps quadratiques et p pour lesquels on peut conclure queλ=µ = 0. Nous montrons que le nombre de p-classes ambiges dekn(n-ième étage dansk∞) est égal à l’ordre du groupe de tor- sionTkdu groupe de Galois de la pro-p-extension Abéliennep-ramifiée maximale dek (Théorème 4.7), pour toutn≥e, oùp^e est l’exposant deU_k^∗/Ek(en termes d’unités locales et globales). Puis nous établissons des analogues de la formule de Chevalley en utilisant une famille (Λⁿi)0≤i≤m_n de sous-groupes dek^× contenant Ek, dans lesquels tout xest norme d’un idéal de kn. Cette famille est attachée à la filtration classique du p-groupe des classes de kn définissant l’algorithme de calcul de son ordre enmnpas. À partir de cela, nous montrons (Théorème 6.3) que mn≥(λ·n+µ·pⁿ+ν)/vp(^#Tk) et que la conditionmn=O(1) (i.e.,λ=µ= 0) dépend essentiellement des valuations p-adiques des ^x^p−1_p⁻¹,x∈Λⁿi, pour p|p, de sorte que la conjecture de Greenberg est fortement dépendante de « quotients de Fermat » dansk^×. Des heuristiques et statistiques sur ces quotients de Fermat (Sections 6, 7, 8) montrent qu’ils suivent des lois de probabilités naturelles, liées à Tkquel que soitn, suggérant queλ=µ= 0 (Heuristiques 7.5, 7.6, 7.10).

Ceci impliquerait que, pour une preuve de la conjecture de Greenberg, certains résultatsp-adiques profonds (probablement inaccessibles actuellement), ayant une certaine analogie avec la conjecture de Leopoldt, sont nécessaires avant toute ré- férence à la seule théorie d’Iwasawa algébrique.

Je remercie J-F. Jaulent, T. Nguyen Quang Do et C. Maire pour plusieurs échanges, commentaires et indications (techniques et bibliographiques). Je remercie vivement le rapporteur pour ses suggestions et son analyse approfondie de l’article sur ses différents aspects.

Mots-clés :Greenberg’s conjecture, Iwasawa’s theory,p-class groups, class field theory, Fermat quotients,p-adic regulators, Leopoldt’s conjecture.

Classification Mathématique (2010) :11R23, 11R29, 11R37, 11Y40.

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p-adic approach of Greenberg’s conjecture for totally real fields

Abstract

Letkbe a totally real number field ant letk∞be its cyclotomicZ^p-extension for a prime p >2. We give (Theorem 3.4) a sufficient condition of nullity of the Iwasawa invariantsλ, µ, whenptotally splits ink, and we obtain important tables of quadratic fields andpfor which we can conclude thatλ=µ= 0. We show that the number of ambiguousp-classes ofkn(nth stage ink∞) is equal to the order of the torsion groupTk, of the Galois group of the maximal Abelianp-ramified pro-p- extension ofk(Theorem 4.7), for alln≥e, wherep^e is the exponent ofU_k^∗/Ek(in terms of local and global units). Then we establish analogs of Chevalley’s formula using a family (Λⁿ_i)0≤i≤m_n of subgroups ofk^×containingEk, in which any xis norm of an ideal of kn. This family is attached to the classical filtration of the p-class group ofkndefining the algorithm of computation of its order inmnsteps.

From this, we prove (Theorem 6.3) thatmn≥(λ·n+µ·pⁿ+ν)/vp(^#Tk) and that the conditionmn=O(1) (i.e.,λ=µ= 0) essentially depends on thep-adic valuations of the ^x^p−1_p⁻¹,x∈Λⁿ_i, forp|p, so that Greenberg’s conjecture is strongly related to “Fermat quotients” in k^×. Heuristics and statistical analysis of these Fermat quotients (Sections 6, 7, 8) show that they follow natural probabilities, linked to Tkwhatevern, suggesting thatλ=µ= 0 (Heuristics 7.5, 7.6, 7.10).

This would imply that, for a proof of Greenberg’s conjecture, some deep p- adic results (probably out of reach now), having some analogy with Leopoldt’s conjecture, are necessary before referring to the sole algebraic Iwasawa theory.

1. Introduction

Nous appelonsConjecture de Greenberg pour les corps de nombres totale- ment réels k, le fait que les invariants d’Iwasawaλ_p(k) etµ_p(k), associés à la limite projective desp-groupes de classes d’idéaux dans lap-tour cyclotomique k∞, sont nuls (quel que soit le nombre premier p). Comme la nullité de λp(k) etµp(k) implique celle relative aux sous-corps dek, nous supposerons k/Q Galoisienne réelle.

Le corpsket le nombre premierpétant fixés, on désigne parλ,µ,ν les invariants d’Iwasawa pour ketp.

Dans l’approche classique, la décomposition depdansk/Qjoue un rôle important. En effet, soientd:= [k:Q] ett|dle nombre d’idéaux premiers au-dessus de p dans k; par exemple, si dans un premier temps on ne s’intéresse qu’à la trivialité du p-groupe des classes C`kn du n-ième étage

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kn de k∞, celle-ci est, en supposant implicitement p totalement ramifié dans k∞/k, équivalente à la trivialité de chacun des deux facteurs de la formule des classes ambiges de Chevalley qui s’écrit dans ce cas :

#C`^G_kⁿ

n =^#C`_k· p^n·(t−1)

(Ek:Ek∩N_k_n_/k(k^×n)), (1.1) où Gn= Gal(kn/k),C`k est lep-groupe des classes dek, etEk son groupe des unités. Chaque facteur joue alors un rôle spécifique pour la conjecture ; en ce qui concerne le facteur normique, on a les faits suivants :

(i) Le cas t = 1 implique Ek ⊂ N_k_n_/k(k^×_n) (formule du produit des symboles de restes normiques) et les invariants λet µ dépendent essentiellement du comportement dup-groupe des classes dekpar extension des idéaux dans la tour [21, Thm. 1, §4].

(ii) Le cas t = d montrera que, sous la conjecture de Leopoldt, le facteur ^p^n·(d−1)

(Ek:Ek∩N_kn/k(k^×n)) a, pour tout n 0, même valuation p-adique que le régulateur p-adique normalisé Rk de k (Théo- rème 4.7).

(iii) Si 1 < t < d, l’étude se ramène grosso modo aux cas précédents, ce que l’on peut illustrer au moyen du cas Abélien réel de degré d étranger à p, par découpage semi-simple (selon les caractères p-adiques de Gal(k/Q), comme dans [14, 24, 25, 51]). Si k⁰ est le corps de décomposition dep dans k, alors ^#C`_k· ^p^n·(t−1)

(Ek:Ek∩N_kn/k(k^×n))

s’écrit comme produit de

#C`_k⁰· p^n·(t−1) (E_k⁰ :E_k⁰∩N_k0

n/k⁰(kn^0×))

par ^#C`^∗_k· 1

(E_k^∗ :E_k^∗∩N_k_n_/k(k^×n)) =^#C`^∗_k, où l’on a posé E_k = E_k⁰ ⊕E_k^∗ (à un indice près étranger à p), où E_k^∗ est le sous-groupe des unités de norme 1 sur k⁰. Autrement dit, pour tout n on a E_k^∗ ⊂ N_k_n_/k(k_n^×) et on est ramené au cas totalement décomposé pourk⁰. Cependant, s’il existe unp-groupe de classes relatives C`^∗_k dans k/k⁰, la question est analogue, en relatif, au cas non décomposé t= 1.

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2. Conjecture de Greenberg (cas p totalement décomposé) Soit k un corps de nombres Galoisien réel de degré d et soit p > 2 un nombre premier totalement décomposé dans k. Soit Q∞ la Zp-extension cyclotomique de Q et k∞ := kQ∞ celle de k; puisque p est non ramifié dans k/Q, on ak∩Q∞=Qet totale ramification de pdans k∞/k.

On désigne par K = k_n ⊂ k∞ l’extension de degré pⁿ de k et par G = Gn son groupe de Galois. Soient C`_k et C`K (resp. C`^S_k^k et C`^S_K^K) les p-groupes des classes de k et K (resp. les S_k et S_K-groupes des classes de k etK) oùSk etSK sont les ensembles des p-places de k et K (on a

#S_k =^#S_K =d).

On a C`^S_k^k :=C`k/c`k(Sk) où c`k(Sk) est le sous-groupe deC`k engendré par les p-classes des éléments deS_k (idem pourC`^S_K^K).

Théorème 2.1 ([21, Thm. 2, §4]). Sous les hypothèses et notations pré- cédentes, et sous la conjecture de Leopoldt pour p dans k, les invariants λ_p(k)etµ_p(k) d’Iwasawa sont nuls si et seulement si pour toutn0, on a C`^G_K =c`_K(S_K) (i.e., le sous-groupe de C`_K formé des p-classes ambiges est égal au sous-groupe engendré par les p-classes des idéaux premiers de K au-dessus de p).

Dans cet énoncé interviennent lep-groupe des classes ambiges C`^G_K et le groupec`_K(S_K) qui est un sous-groupe du p-groupe des classes du groupe des idéaux invariants I_K^G; on a l’isomorphisme classique :

C`^G_Kc`K(I_K^G)'Ek∩N_K/k(K^×)/N_K/k(EK), (2.1) oùEketEKsont les groupes des unités deketK. Or seulEk∩N_K/k(K^×), donné par le corps de classes local, est accessible en pratique, N_K/k(EK) étant un invariant arithmétique non trivial associé à l’extension K/k, en relation avec les problèmes de capitulation de classes d’idéaux, ce qui explique la difficulté du calcul de λ et µ en termes d’unités globales (éventuellement comparées aux unités cyclotomiques du cadre Abé- lien comme dans [33] pour le cas non décomposé). On a par ailleurs c`_K(I_K^G) = c`_K(S_K)·j_K/k(C`_k), où j_K/k est l’extension des classes de k à K, et la relationC`^G_K=c`_K(S_K) implique de plus j_K/k(C`_k)⊆c`_K(S_K).

Remarque 2.2. SiC`^G_kⁿ

n = 1∀n0, la conjecture de Greenberg est vraie sous la forme λ = µ = ν = 0 et réciproquement ; or C`^G_kⁿ

n = 1 ∀ n 0 équivaut à^#C`_k= 1 & (E_k :E_k∩N_k_n_/k(k_n^×)) =p^n·(d−1) ∀n0 (cf. (1.1)).

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La Proposition 4.6 montrera que (E_k:E_k∩N_k_n_/k(k^×_n)) =p^n·(d−1) pour unn≥1 équivaut à (E_k:E_k∩N_k₁_/k(k^×₁)) =p^d−1, et ainsiC`^G_kⁿ

n = 1∀n 0 équivaut àC`^G_k₁¹ = 1 qui est effectif en pratique. Or la condition normique sur les unités a lieu si et seulement si le régulateurp-adique normaliséR_k de k(au sens de [19, §5]) est une unitép-adique (Théorème 4.7 (ii)). Il en résulte que la conditionλ=µ=ν = 0 équivaut (sous la conjecture de Leo- poldt pour p dansk) à la nullité du groupe de torsion T_k de Gal(H_k^pr/k), où H_k^pr est la pro-p-extension Abélienne p-ramifiée maximale dek (en effet, dans ce cas, ^#T_k = ^#C`_k·R_k), ce qui équivaut à la p-rationalité de k (notion définie dans [16, §IV.3], [20], [32], [35]).

3. Condition suffisante de nullité de λ et µ

Nous avons démontré dans [13], [15], et repris récemment dans [18, Thm. 3.6], le résultat suivant valable en toute généralité, ici énoncé dans le cas «T =∅» qui correspond aux groupes de classes au sens classique (l’énoncé n’utilisant que la ramification des places finies et l’éventuelle complexification des places à l’infini on doit utiliser le sens restreint) ; on désigne par I_K et P_K le groupe des idéaux de K et son sous-groupe des idéaux principaux (au sens restreint) :

Théorème 3.1. Soit K/k une extension cyclique de corps de nombres, de groupe de Galois G. Soient C`_K et C`_k les groupes des classes au sens restreint de K et k respectivement. Soit eq l’indice de ramification dans K/k d’un idéal premier q.

Alors pour tout sous-G-module H de C`K et tout sous-groupe I de IK

tel que I ·P_K/P_K=H, on a :

# C`K/H^G=

#C`_k·^Q_qe_q

[K:k]·^#N_K/k(H)·(Λ : Λ∩N_K/k(K^×)), où N_K/k est la norme arithmétique et Λ :={x∈k^×, (x)∈N_K/k(I)}.

Corollaire 3.2. Si H=c`_K(S_K), oùS_K est un ensemble fini quelconque d’idéaux premiers de K, on obtient :

#C`^S_K^K^G=

#C`k·^Q_qeq

[K :k]·^#c`_k(NS_K)·(E_k^NS^K :E_k^NS^K ∩N_K/k(K^×)),

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où N = N_K/k et E_k^NS^K ={x∈E_k^S^k, vq(x)≡0 (mod fq) ∀q∈S_k}, où S_k est l’ensemble des idéaux premiers de k au-dessous de ceux de S_K, v_q la valuation q-adique, et fq le degré résiduel de qdans K/k.

Jaulent a obtenu dans [28, p. 177] l’autre écriture :

#C`^S_K^K^G =

#C`^S_k^k ·^Q_q/_∈S

keq·^Q_q∈S

keqfq

[K :k]·(E_k^S^k :E_k^S^k ∩N_K/k(K^×)).

Utiliser la relation E_k^S^k ∩N_K/k(K^×) = E_k^NS^K ∩N_K/k(K^×) et la suite exacte 1→E_k^S^k/E_k^NS^K −→ hS_ki_Z/hN_K/kSKi_Z−→c`k(Sk)/c`k(N_K/kSK)→ 1 pour comparer les deux expressions.

Remarques 3.3.

(i) La relation du Théorème 3.1 (et ses analogues) se met sous la forme du produit de deux entiers :

# C`_K/H^G= [H_k:K∩H_k]

#N_K/k(H) ·[K:K∩Hk]⁻¹·^Q_qeq

(Λ : Λ∩N_K/k(K^×)) ,

oùH_kest le corps de classes de Hilbert dek; siK∩H_k=k, alors le premier facteur est égal à _#_N^#^C^`^k

K/k(H) et le second à ^[K:k]

−1·Q

qeq

(Λ:Λ∩N_K/k(K^×)). (ii) PourK =kn⊂k∞,G=Gn= Gal(kn/k), on obtient les formules :

# C`_K/H^G= ^#C`_k

#N_K/k(H) · p^n·(d−1)

(Λ : Λ∩N_K/k(K^×)),

#C`^S_K^K^G=^#C`^S_k^k· p^n·(d−1)

(E_k^S^k :E_k^S^k ∩N_K/k(K^×)).

On peut énoncer, en désignant maintenant par C` les p-groupes de classes, la condition seulement suffisante suivante, en rapport avec les résultats évoqués dans la Remarque 2.2 :

Théorème 3.4. Soit kGaloisien réel et soit p >2totalement décomposé dansk; on suppose quep vérifie la conjecture de Leopoldt dansk. Soit k₁, de degré p sur k, le premier étage de laZp-extension cyclotomique de k.

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Alors une condition suffisante pour que λ = µ = 0 est que les deux conditions suivantes soient réalisées, où S_k est l’ensemble des idéaux pre- miers de k au-dessus de p et E_k^S^k le groupe des S_k-unités de k :

(i) C`^S_k^k = 1 (i.e., S_k engendre le p-groupe des classes de k), (ii) (E_k^S^k :E_k^S^k∩N_k

1/k(k^×₁)) =p^d−1, où d= [k:Q].

Démonstration. Soit n ≥ 1 et considérons K := kn, G := Gn. On a la suite exacte de G-modules 1−→ c`_K(S_K) −−−→ C`_K −−−→ C`^S_K^K −→ 1, qui conduit à :

1−→c`_K(S_K)^G−−−→ C`^G_K −−−→ C`^S_K^K^G−−−→H¹(G, c`_K(S_K)).

Comme p est totalement ramifié dans k∞/k, c`_K(S_K)^G = c`_K(S_K) et finalement on obtient :

1→ C`^G_K/c`_K(S_K)→ C`^S_K^K^G= (C`_K/c`_K(S_K))^G→H¹(G, c`_K(S_K)), qui fait que la condition C`^S_K^K^G = 1 pour toutn 0 implique la conjecture de Greenberg (Théorème 2.1) ; cette condition est équivalente (cf.

Remarque 3.3 (ii)) à la réunion de la condition (i) et de la condition (E_k^S^k :E_k^S^k ∩N_K/k(K^×)) =p^n·(d−1). D’après la Proposition 4.6, il suffira qu’elle soit satisfaite pourK =k1pour qu’elle le soit pour toutn≥1.

Remarques 3.5.

(i) On a H¹(G, c`_K(S_K)) = _νc`_K(S_K) où ν := νn est la norme algé- brique pourG; par conséquent, si N_K/k est la norme arithmétique (ici surjective) etj_K/kl’extension des classes, on aν =j_K/k◦N_K/k. On a H¹(G, c`_K(S_K)) = 0 si et seulement si ν est injective sur c`K(SK), donc (comme ν(C`K(SK)) = j_K/k(c`_k(S_k)) car N_K/k(SK) = S_k) si et seulement si on a l’isomorphisme ν : c`_K(S_K) −→^' j_K/k(c`_k(S_k)) ⊆ c`_K(S_K) qui indique que c`K(SK) = j_K/k(c`_k(S_k)) ; or j_K/k(c`_k(S_k)) = c`K(SK)^pⁿ puisque si p ∈ Sk, on a j_K/k(p) = P^pⁿ, P | p dans K, d’où c`K(SK) = c`_K(S_K)^pⁿ etc`_K(S_K) = 1.

On a donc H¹(G, c`_K(S_K)) = 0 si et seulement sic`_K(S_K) = 1.

(ii) Siλ=µ= 0,c`_K(S_K) est borné dans la tour et on aj_K/k(c`_k(S_k)) = c`_K(S_K)^pⁿ = 1 pour n0 (capitulation dec`_k(S_k) dansk∞). De même il y a, pour toutn, capitulation de c`K(SK) dansk∞.

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4. Symboles de restes normiques

Par commodité, rappelons (cf. [16, §II.4.4.3]) une méthode de calcul des symboles de restes normiques de Hasse ^{x , k}_pⁿ^/k∈G_n:= Gal(k_n/k), dans le cas particulier d’un corps de nombres Galoisien k avec k_n ⊂ k∞ de degré pⁿ sur k, et relativement à un idéal premierp |p de k pour p > 2 totalement décomposé dans k/Q.

Dans ce cas, le conducteur de k_n/kdivise (pⁿ⁺¹) car on a, localement, 1 +pⁿ⁺¹α₀ = (1 +p α⁰₀)^pⁿ = N_k_n_/k(1 +p α⁰₀), où α₀,α⁰₀ sont desp-entiers du produit des p-complétés de k. Le conducteur de Qn est pⁿ⁺¹ (n≥1).

Les calculs en question sont liés à la théorie des genres dont nous rappelons d’abord l’essentiel.

4.1. Suite exacte des genres pour les sous-corps de k∞/k On désigne parH_ketH_K lesp-corps de classes de Hilbert deketK:=k_n. Les groupes d’inertie Ip(K/k) desp|pdans K/ksont égaux à G:=Gn.

On considère l’application ω :=ω_n qui associe à x ∈E_k la famille des symboles de Hasse ^{x , K/k}_p ∈G,p|p.

On obtient alors la suite exacte des genres interprètant la formule du produit des symboles de Hasse d’une unité (voir, e.g., [16, Prop. IV.4.5.1]

pour T =S=∅) :

1→Ek/Ek∩N_K/k(K^×) −−−→^ω Ω(K/k)⊆^M

p|p

Ip(K/k)

−−−→π Gal(H_K/k/KH_k)→1, (4.1)

où Ω(K/k) :=(s_p)_p ∈ ^L_p|pI_p(K/k), ^Q_p|ps_p = 1 ' (Z/pⁿZ)^d−1 et où H_K/k estlep-corps des genresdeK défini comme la sous-extension maximale deHK, Abélienne surk, selon le schéma suivant,H_K/kétant fixé par l’image, par l’application d’Artin, de C`^1−σ_K , où σ :=σ_n est un générateur de G(en effet, le groupe des commutateurs [Γ,Γ] de Γ = Gal(HK/k) est

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Gal(H_K/K)^1−σ, Γ/Gal(H_K/K) étant cyclique) : Q

p|ps⁰_p ' C`^1−σ_K

' C`k

H_K/k HK

KHk

K=kn

H_k k

G=Gn

hIp(HK/k/k)ip|p

L’image de ω est contenue dans Ω(K/k) et l’application π := π_n est ainsi définie : à (sp)_p ∈ ^L_p|pIp(K/k), π associe le produit ^Q_p|ps⁰_p des relèvementss⁰_pdess_pdans les groupes d’inertieI_p(H_K/k/k) qui engendrent Gal(H_K/k/H_k) ; il résulte de la formule du produit que si (s_p)_p est dans Ω(K/k),^Q_p|ps⁰_p fixe à la fois H_k et K, doncKH_k.

On a ainsi π Ω(K/k)= Gal(H_K/k/KH_k) et Ker(π) =ω(E_k).

On a, comme attendu, [H_K/k :K] = _#^#^C^`^K

C`^1−σ_K =^#C`^G_K. On montrera que ce degré [H_K/k :K] (et donc ^#C`^G_K) est constant à partir du rang n= e (i.e., [K : Q] ≥ p^e) donné par l’exposant p^e du groupe de torsion de Gal(H_k^pr/Hk), où H_k^pr est la pro-p-extension Abélienne p-ramifiée maxi- male de k, et que ce degré est égal à ^#T_k, où T_k est le groupe de torsion de Gal(H_k^pr/k) (cf. Théorèmes 4.7 et 4.8).

4.2. Calcul effectif des symboles ^{x , k}_pⁿ^/k, n≥1

Soit x∈k^× et soit p|pun idéal premier dek au-dessus dep (x n’est pas supposé étranger àp). Soitx⁰_p∈k^×(appelé unp-associé dexrelativement à k_n/k; on ne fait provisoirement aucune hypothèse sur la décomposition de p et sip|pest unique,xest son propre associé) tel que (théorème des restes chinois) :

(i) x⁰_px⁻¹ ≡1 (mod pⁿ⁺¹),

(ii) x⁰_p ≡1 (mod p⁰ⁿ⁺¹), pour toutp⁰ |p, p⁰ 6=p.

Par la formule du produit, on a ^x

0 p, kn/k

p

= ^Q_q_,q₆₌_p^x

0 p, kn/k

q

−1

, et comme ^{x , k}_pⁿ^/k=^x

0 p, kn/k

p

d’après (i) et la définition du p-conducteur de k_n/k, ^{x , k}_pⁿ^/k = ^Q_q_,q₆₌_p^x

0 p, kn/k

q

⁻¹

. Calculons les symboles de ce produit :

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• siq=p⁰ |p,p⁰6=p,x⁰_p ≡1 (modp⁰ⁿ⁺¹) et on a^x

0p, kn/k p⁰

= 1,

• siq-p,q est non ramifié et dans ce cas,^x

0 p, kn/k

q

=^kⁿ_q^/k^v^q^(x

0 p)

(où ^kⁿ_q^/k est le symbole de Frobenius de q et vq la valuation q-adique).

Finalement, ^{x , k}_pⁿ^/k=^Q_q-p^kⁿ_q^/k^−v^q^(x

0p)

. Posonsa_p(x) =^Q_q-pq^v^q^(x⁰^p⁾ (a_p(x) est étranger à p), alors on a (x⁰_p) =: p^v^p^(x⁰^p⁾a_p(x) = p^v^p^(x)a_p(x), et on a obtenu ^{x , k}_pⁿ^/k=_a^kⁿ^/k

p(x)

⁻¹

(inverse du symbole d’Artin de a_p(x)).

On vérifie que _a^kⁿ^/k

p(x)

ne dépend pas du choix de x⁰_p. Si vp(x) = 0, alors a_p(x) = (x⁰_p). En dépit des notations, (x⁰_p) et a_p(x) dépendent de n≥1.

D’après le théorème de relèvement normique dans k/Q, l’image cano- nique de _a^kⁿ^/k

p(x)

∈ Gn dans Gal(Qn/Q) ' {a ∈ (Z/pⁿ⁺¹Z)^×, a ≡ 1 (mod p)}, isomorphe àZ/pⁿZ, est le symbole d’Artin_N ^Qⁿ^/^Q

k/Q(ap(x))

quica- ractérise _a^kⁿ^/k

p(x)

par relèvement, et où N_k/_Q(a_p(x))>0 (norme absolue).

Définition 4.1.

(i) Si x ∈k^× est étranger à p, on définit les coefficients δ_p(x), p| p, par la relation : (x^p−1−1) =p·^Q_p|pp^δ^p^(x)·b_p,b_p étranger à p.

(ii) Si x ∈ k^× n’est pas étranger à p, on définit les coefficients δ_p(x) par les relations : (x·p^−v^p^(x))^p−1−1=p·p^δ^p^(x)·b_p,b_p étranger à p,p|p.

Ces définitions peuvent s’exprimer en termes de valuations logarithmiques conduisant aux groupes de classes logarithmiques introduits par Jaulent (cf. [30] ainsi que [3] pour les aspects numériques, et [16, §III.5]

pour des généralités logarithmiques et cyclotomiques liées à la conjecture de Gross). Jaulent ([31, Thm. 7]) montre que la conjecture de Greenberg équivaut à la capitulation du p-groupe des classes logarithmiques de k dans k∞.

On suppose désormais p totalement décomposé dans k.

(12)

Lemme 4.2. Soitx∈k^× étranger àpet soitp|pfixé. Soit a_p(x) = (x⁰_p), où x⁰_p est un p-associé de x relativement à k_n/k. Alors N_k/Q(a_p(x)) ≡x (mod pⁿ⁺¹) et, pour tout n ≥δ_p(x), ¹_p ·log(N_k/_Q(a_p(x)))≡ α_p(x)·p^δ^p^(x) (mod pⁿ), αp(x)∈Z^×_p.

Démonstration. On peut écrire (i) et (ii) définissant x⁰_p, sous la forme : (i⁰) x⁰_px⁻¹ ≡1 (mod pⁿ⁺¹),

(ii⁰) x⁰_p ≡1 (mod τ⁻¹pⁿ⁺¹), pour tout τ ∈Gal(k/Q),τ 6= 1.

On a N_k/_Q(x⁰_p) =^Q_τ∈Gal(k/

Q)(τ x⁰_p) =x⁰_p·^Q_τ6=1(τ x⁰_p) qui conduit à : N_k/_Q(x⁰_p)≡x (modpⁿ⁺¹).

Donc, pour n > δ_p(x), il vient en élevant la congruence ci-dessus à la puissance p−1 :

v_p(N_k/Q(x⁰_p)^p−1−1) =v_p(x^p−1−1) =δ_p(x) + 1 ;

mais comme N_k/_Q(x⁰_p) est rationnel, on avp(N_k/_Q(x⁰_p)^p−1−1) =δp(x) + 1, d’où le lemme en prenant le « logarithme normalisé » ¹_p·log (ce qui donne

0 modulo pⁿ sin≤δp(x)).

Le cas v_p(x)6= 0 se traite comme suit et couvre tous les cas :

Lemme 4.3. Soientp|pfixé etx⁰_p unp-associé dexrelativement àkn/k; soita_p(x) = (x⁰_p)·p^−v^p^(x). Alors on aN_k/Q(a_p(x))≡x·p^−v^p^(x) (modpⁿ⁺¹), et on a, pour toutn≥δ_p(x), ¹_p·log(N_k/_Q(a_p(x)))≡α_p(x)·p^δ^p^(x) (modpⁿ), αp(x)∈Z^×_p.

Démonstration. On a N_k/_Q(a_p(x)) = N_k/_Q(x⁰_p)·p^−v^p^(x); on est ramené au calcul précédent via (i⁰), (ii⁰), où l’on aura N_k/_Q(x⁰_p)x⁻¹ ≡1 (mod pⁿ⁺¹).

D’où N_k/_Q(a_p(x))≡x·p^−v^p^(x)(modpⁿ⁺¹) qui conduit, pourn > δp(x), à : v_p(N_k/

Q a_p(x))^p−1−1=v_p (x·p^−v^p^(x))^p−1−1=δ_p(x) + 1, et à une conclusion analogue pour l’expression du logarithme.

Vu comme élément de {a ∈ (Z/pⁿ⁺¹Z)^×, a ≡ 1 (modp)}, l’automorphisme _N ^Qⁿ^/^Q

k/Q(ap(x))

est représenté sous forme additive par le logarithme

(13)

normalisé ¹_p ·log de N_k/_Q(a_p(x))>0. On identifie cet automorphisme à : 1

p ·log(N_k/_Q(a_p(x))) =:αp(x)·p^δ^p^(x) (mod pⁿ), αp(x)∈Z^×_p . On peut énoncer en résumé :

Théorème 4.4. Soit k Galoisien réel et soit p > 2 un nombre premier totalement décomposé dans k. Soit k∞ laZp-extension cyclotomique dek et, pour tout n≥0, soit k_n le sous-corps dek∞ de degré pⁿ sur k.

Soit x∈k^× et soient δp(x) ≥0, pour tout p|p, les entiers définis par δp(x) + 1 :=vp((x p^−v^p^(x))^p−1−1)(cf. Définition 4.1) :

(i) Alors x est norme locale en p | p dans k_n/k si et seulement si δp(x)≥n.

(ii) Soitx⁰_punp-associé dexrelativement au calcul du symbole ^{x, k}_pⁿ^/k. Si δp(x)≤n, l’ordre et l’image de ^{x, k}_pⁿ^/k dansGal(Qn/Q) sont p^n−δ^p^(x) et ¹_p ·log(N_k/Q((x⁰_p)·p^−v^p^(x))) =:α_p(x)·p^δ^p^(x) (modpⁿ), αp(x)∈Z^×p.

(iii) On a δp(τ x) =δ_τ⁻¹_p(x) pour tout p|p et τ ∈Gal(k/Q).

SoitN_kⁿle sous-groupe desx∈k^×partout normes locales dansk_n/ken dehors dep. D’après l’étude et le calcul effectif des symboles de Hasse vus précédemment, on peut identifier ω_n (cf. §4.1), qui à x ∈ N_kⁿ associe la famille des symboles de Hasse ^{x , k}_pⁿ^/k_p|p dans Ω(k_n/k), à l’application :

ω_n⁰ : N_kⁿ−→^Y

p|p

Z/pⁿZ

x7−→ α_p(x)·p^δ^p^(x) (modpⁿ)_p|p

dont l’image est dans l’ensemble des (α_p·p^δ^p)_p|p ∈^Q_p|pZ/pⁿZvérifiant la relation ^P_p|pαp·p^δ^p ≡0 (mod pⁿ) (formule du produit sur lesp-places).

Corollaire 4.5. Si x ∈k^× est partout norme locale en dehors de p dans kn/k (i.e., (x) norme d’un idéal de kn), il est alors partout norme locale (donc norme globale dans k_n/k) si et seulement si δ_p(x) ≥ n pour tout p|p (sauf un en raison de la formule du produit).

(14)

D’un point de vue heuristique on a, a priori, δp(x) ≥ r avec la proba- bilité _p¹r, de sorte qu’en général ^{x , k}_pⁿ^/k = _a^kⁿ^/k

p(x)

−1

est un générateur de Gn, ce qui est très favorable pour la conjecture de Greenberg comme le montre, par exemple, le Théorème 3.4 où le point (ii) est satisfait dès que l’on a suffisamment de Sk-unités dont les symboles engendrent G1. Cependant, le cas de x ∈ k^× partout norme locale en dehors de p dans k_n/k montre que les δ_p(x) ne sont pas indépendants en raison de la formule du produit (considérée comme unique) ; pour x étranger à p, ceci implique N_k/Q(x)^p−1 ≡1 (mod pⁿ⁺¹), car le symbole d’Artin de N_k/Q(x) dans Qn/Qest égal à 1.

Proposition 4.6.

(i) SoitΛ un sous-groupe dek^× tel que tout x∈Λsoit partout norme locale en dehors depdansk_n/k, pourn≥1donné (i.e.,(x)norme d’un idéal de k_n). On suppose que (Λ : Λ∩N_k₁_/k(k^×₁)) = p^d−1; alors on a (Λ : Λ∩N_k_n_/k(k_n^×)) =p^n·(d−1).

(ii) SiΛest un sous-groupe deE_k^S^k, on a(Λ : Λ∩N_k_n_/k(k^×_n)) =p^n·(d−1) pour tout n≥1 dès que ceci est vrai pour n= 1.

Démonstration. L’hypothèse signifie ω1(Λ) = Ω(k1/k) (cf. §4.1). Il existe donc des éléments x_j ∈Λ, 1≤j≤d−1, tels que :

Ω(k₁/k) =

d−1

M

j=1

hω₁(x_j)i;

les ω₁(x_j) sont les images canoniques des ω∞(x_j) := ^x^j^{, k}_p^∞^/k_p|p (par restriction des symboles de Hasse) qui constituent uneZp-base topologique d’un sous-Zp-module (de dimension d−1) de Gal(k∞/k)^d'Z^dp car toute relation ^Q^d−1_j=1ω∞(xj)^a^j = 1, aj ∈ Zp non tous divisibles par p, conduit par restriction à une relation non triviale au niveau n= 1.

Au niveaun,ωn(Λ) =^L^d−1_j=1hω_n(xj)id’ordrep^n·(d−1). Mais pourm > n, les x∈Λ ne sont plus nécessairement normes locales en dehors de p dans k_m/k et doncω_m(x) n’est plus nécessairement dans Ω(k_m/k).

Pour Λ ⊆ E_k^S^k, la condition de normes locales en dehors de p dans k_n/k est satisfaite pour tout n et dans ce cas, les ω∞(x_j) engendrent

Ω(k∞/k).