Production électrique et régulation du réseau français

2011

S2I

PSI

4 heures Calculatrices autorisées

Production électrique et régulation du réseau français

I Organisation du réseau électrique européen

I.A – Introduction

Depuis la première ligne électrique construite en 1883 dans la Creuse, l’énergie électrique s’est considérablement répandue au cours du 20^esiècle jusqu’à devenir indispensable dans notre société moderne. Le tiers de l’énergie mondiale consommée est aujourd’hui électrique. La qualité et la disponibilité de l’énergie électrique sont devenues un enjeu social et économique majeur.

La difficulté essentielle dans la distribution électrique provient de l’incapacité à stocker cette énergie en grande quantité. Il faut ajuster en permanence la production à la consommation, elle-même relativement aléatoire.

Figure 1 Illustration du réseau électrique français

En France, trois entreprises majeures participent à la chaîne de production et de distribution électrique :

− Alstom, qui conçoit et réalise des unités de production électrique, notamment la turbine à vapeur étudiée ci-après ;

− EDF, qui exploite les unités de production et distribue l’énergie aux clients français ;

− RTE, qui exploite le réseau haute tension, gère les échanges aux frontières et régule la production électrique.

Ces entreprises sont garantes de la qualité du réseau électrique, c’est-à-dire :

− de la stabilité de la fréquence et de la tension sur le réseau (de forts écarts de fréquence peuvent conduire à des dysfonctionnements des appareillages, chez les particuliers comme les industriels) ;

− de la sûreté du réseau (un trop grand écart entre consommation et production électrique conduit à un délestage : le courant est coupé sur des zones géographiques entières).

Produire et distribuer de l’énergie électrique A-0

Énergie électrique Énergie primaire

Consigne de puissance

Système de production électrique

Figure 2 Diagramme SADT A-0 du système de production électrique

La stabilité du courant étant d’autant meilleure que le réseau est grand, les pays européens ont élaboré un seul et unique réseau synchrone européen, facilitant l’échange d’énergie entre pays. En moyenne, 450 GW sont produits et consommés en Europe, dont 60 GW pour la France.

I.B – Régulation du réseau

Le réseau électrique européen est constitué de sites producteurs et de sites consommateurs, reliés par un maillage de lignes électriques. La France compte chaque jour une centaine de sites de production en activité, exploitant différentes sources d’énergie primaire : le thermique nucléaire (76%), le thermique à flamme (le charbon, le gaz, le pétrole, soit 10,5%) et les énergies renouvelables (l’hydraulique, l’éolien et le solaire, soit 13,5%).

Pour la majeure partie de la production, l’énergie primaire est d’abord convertie en énergie mécanique de rotation, puis convertie en énergie électrique par unalternateur. La synchronisation de l’ensemble des éléments producteurs à la fréquence du réseau permet de les considérer commecinématiquement liés: l’ensemble des alternateurs de tous les sites de production ont exactement la même vitesse de rotation, qui correspond à la fréquence du réseau. Le réseau peut donc être modélisé par un seul arbre en rotation à la fréquencef, supportant tous les alternateurs.

L’Europe est découpée en zones géographiques (correspondant approximativement aux pays) pouvant fonc- tionner de façon autonome en cas de défaillance grave du réseau européen. Des règles d’échange entre zones permettent un fonctionnement global cohérent. Le sujet se limite au fonctionnement d’une seule zone géogra- phique : la France.

Pour assurer une adéquation permanente et instantanée entre la production et la consommation, une régulation élaborée est nécessaire, localement sur les sites de production et globalement au niveau national (figure F).

La régulation primairepermet d’adapter instantanément la production à la consommation, moyennant une petite variation de la fréquence. Une partie seulement des sites de production participe à la régulation primaire, correspondant à 10% de la production totale. Il n’y a pas de moyen direct de mesurer la consommation.

Lorsqu’une augmentation de la charge se produit, la fréquence sur le réseau va diminuer. Chaque site «réglant» mesure cette variation de fréquence et ajuste sa production en quelques dizaines de secondes.

Après stabilisation de la fréquence, il restera néanmoins un écart avec la fréquence nominale, proportionnel à l’écart entre la consigne de production nationale et la consommation nationale. Il s’agit dustatismedu réseau.

Pour que l’ensemble des régulations primaires assure une régulation cohérente du réseau, toutes les machines participant à la régulation doiventse comporter de façon quasi-identiquepour éviter des transferts de puissance transitoires entre sites de production, qui pourraient déstabiliser le réseau.

La régulation secondairevise à rétablir la fréquence nominale de 50 Hz en ajustant la consigne de production nationale. Uncentre de conduitenational assure cette régulation, qui s’opère sur une échelle de temps de quelques centaines de secondes. Il définit les consignes de puissance à produire pour chaque site, à partir de la mesure de la fréquence du réseau, des prévisions de consommation et des contrats d’exportation.

Les régulations primaire et secondaire sont utilisées quotidiennement pour s’adapter aux petites variations de consommation permanentes, mais sont dimensionnées pour pouvoir faire face à un incident majeur comme la perte brutale d’un site de production, soit 1,5 GW au maximum. Ce type d’incident ne doit pas conduire à un délestage.

II Analyse système et validation des performances sur mesures ex- périmentales

Un graphe partiel des interacteurs du système de production électrique est proposéfigure 3, en phase d’incident sur une source de production. Un extrait du cahier des charges est proposétableau 1.

Client Énergie primaire

Système de pro- duction électrique

RTE (exploitant) EDF (producteur)

FC1 FC2

FP1

Figure 3 Diagramme des interacteurs

Q 1.À partir de la figure 2, compléter le diagramme SADT niveau A0figure Den précisant les flux (vous indiquerez la signification de chaque flux), les moyens et en faisant apparaître les boucles de régulation (on utilisera le rouge pour les flux d’énergie, le vert pour les flux d’information).

La figure E montre l’évolution de la fréquence, mesurée expérimentalement, suite à l’îlotage d’une unité de production (découplage du réseau pour l’arrêt de la production), soit un déséquilibre d’environ 900 MW entre production et consommation.

N^◦ Expression Critère Niveau FP1 Transformer l’énergie primaire et

distribuer l’énergie électrique de qualité aux clients

Puissance produite Puissance moyenne : 60 GW, Puissance maximale : 90 GW Stabilité de la régulation de

fréquence du réseau

49,82 Hz< f <50,18 Hz,

Marges de stabilitéM G >33 dB, M ϕ >60^◦

Précision de la régulation de fréquence du réseau

Système précis (50 Hz) et insensible à une perturbation de charge constante

Temps maximal de retour à moins de 20 mHz de la fréquence

nominale de 50 Hz

900 s

FC1 Limiter les coûts de production Rendement de l’outil de production

>30%

FC2 Assurer une disponibilité

maximale de l’outil de production

Durée de vie des installations 40 ans Tableau 1 Cahier des charges partiel

Q 2. Indiquer quels critères du cahier des charges peuvent être évalués à l’aide de cette courbe et s’ils sont satisfaits.

III Validation des performances associées à la FP1 : Qualité de l’énergie électrique

Objectif

Élaborer un modèle du comportement dynamique du réseau afin de valider les performances associées à la FP1 (partie III.C). Ce modèle nécessite au préalable d’étudier les asservissements de fréquence et de puissance de chaque site de production (partie III.B), en s’appuyant sur une modélisation de l’outil de production : la turbine vapeur (partie III.A).

Le comportement dynamique global du réseau dépend d’une part du comportement des sites de production, et d’autre part des régulations mises en œuvre (figure F). Les sites de production sont de natures très diverses et il n’est pas question dans le cadre de cette étude d’en proposer une modélisation exhaustive. Aussi, un seul site représentatif sera étudié et servira de base au modèle global.

La majeure partie de l’énergie électrique produite étant d’origine thermique, le site de production envisagé dans cette étude est une centrale thermique à flamme (figure 4) produisant en régime nominal 260 MW. Une chaudière à charbon dégage la chaleur utilisée pour produire de la vapeur. Des turbines à vapeur assurent la détente du cycle thermodynamique, et produisent l’énergie mécanique. Un alternateur lié à l’arbre des turbines convertit l’énergie mécanique en énergie électrique.

Soupape

(p0, T0)

Turbine HP Turbine MP Turbine BP Turbine BP Alternateur

(p_chau, T_chau) Chaudière

Pompe

Condenseur Rivière Réseau

électrique Figure 4 Principe de fonctionnement d’une centrale thermique à flamme

Une partie commande régule la production électrique par l’intermédiaire de la soupape. Un modèle de régulation est indiqué sur le schéma blocfigure C.

La partie suivante vise à proposer un modèle de l’outil de production avant d’envisager la régulation du site.

III.A – Modélisation de l’association soupape – turbine

Objectif

Déterminer les points de fonctionnement de l’association{soupape – turbine}, puis proposer un modèle de ces deux composants par linéarisation autour du point de fonctionnement nominal.

Le débit massiqueqde vapeur en entrée de turbine est déterminé par l’ouverturexde la soupape et les conditions (considérées constantes) de pression et température de la vapeur en sortie de chaudière.

La soupape, soumise à une différence de pressionp₀−pchau(pchauest la pression en sortie de chaudière,p₀ en entrée de turbine HP) peut être modélisée par un étranglement réglable.

Un abaque de fonctionnement, liant la pression d’entrée p0 et le débit massique q, pour différentes ouvertures de soupapexest donné figure A. Cette figure indique de plus la courbe caractéristique du fonctionnement de la turbine.

Q 3.Par construction graphique, déterminer les points de fonctionnement de l’association{soupape – turbine}

correspondant aux ouvertures de soupapexi données. Reporter ces points de fonctionnement sur le graphique du document réponsefigure B(débitqfonction de l’ouverturexde la soupape).

En régime nominal, le débit d’alimentation de la turbine est de q_n = 191 kg·s⁻¹. On s’intéressera à un fonctionnement autour de ce régime nominal (p_n= 165 bar ;q_n= 191 kg·s⁻¹).

Q 4.Dans ces conditions, proposer un modèle simple de comportement de la soupape. Déterminer l’expression littérale de la fonction de transfert associée à la soupape, puis effectuer l’application numérique.

0 50 100 150 200

0 100 200 300

Débit (kg·s⁻¹) Puissance produite (MW)

0,1 1 10

Amortissement ε 1

10

100 t_r5%·ω0

Figure 5 Caractéristique de fonctionnement (puissance - debit) de la turbine

Figure 6 Abaque : produitt_r5%·ω0oùt_r5% est le temps de réponse à 5% d’un second ordre de pulsation propre ω0, en fonction de son amortissementε Au cours de la régulation, la turbine est soumise à de petites variations de débit massique d’alimentation autour du point de fonctionnement nominal, pour lequel le rendement est optimal. La courbe de comportement stationnaire est présentéefigure 5.

Chaque échelon de débit massique en consigne conduit, sans dépassement, à l’établissement de l’équilibre ciné- matique et thermodynamique après un régime transitoire non oscillant d’une durée d’environt_r5%= 18 s.

Q 5.Proposer un modèle de comportement simple de la turbine autour du régime nominal. Préciser les valeurs numériques des paramètres introduits.

III.B – Régulation d’une machine de production

Objectif

Analyser et valider la régulation primaire d’une centrale thermique. Après avoir établi un modèle linéaire de la régulation de la turbine (III.B.1), les correcteurs des deux boucles de régulation de puissance (III.B.2) et de fréquence (III.B.3) seront successivement dimensionnés pour respecter le cahier des charges.

On s’intéresse désormais à la régulation de la turbine à vapeur connectée au réseau électrique, dont un modèle de régulation est indiqué sur le schéma blocfigure 7,page 6.

L’abaquefigure 6pourra être utilisé par les candidats pour argumenter les réponses aux questions.

Les notations suivantes sont utilisées dans le schéma bloc, le symbole ∆ représentant la variation de la variable après linéarisation au voisinage du point de fonctionnement :

− P_c : consigne de puissance ;

− f_c : consigne de fréquence ;

− x: ouverture de la soupape ;

− q : débit massique de vapeur ;

− Pm: puissance effectivement produite par la machine ;

− Pcht : puissance consommée par la charge, c’est-à-dire par les clients sur le réseau ;

− f : fréquence effective sur le réseau.

La consigne de puissanceP_c est supposée établie à une valeur nominale P_0t= 260 MW, mais peut subir des petites variations ∆P_c autour deP_0tde la part de la centrale de commande lorsque la consommation diffère des prévisions.

De même, la puissance effectivement produite par la turbine et la puissance consommée par la charge (par les clients) seront voisines deP0tmais fluctuent en permanence.

La fréquence effective sur le réseau est voisine def0= 50 Hz, mais évolue au gré des petites différences entre production et consommation.

Le cahier des charges de la régulation du réseau (tableau 1) permet de décliner un cahier des charges pour la régulation de chaque machine, dont un extrait est donnétableau 2.

Fonction de service Critère Niveau

Réguler la puissance produite Stabilité Stable

Précision Erreur nulle en réponse à un

échelon de puissance Participer à la régulation de

fréquence

Stabilité M G >10 dB etM ϕ >20^◦

Précision Erreur nulle en réponse à un

échelon de fréquence

Rapidité Temps de réponse à un échelon :

t_r5%= 40 s Sensibilité aux perturbations de

charge

Sensible aux perturbations

constantes, de façon à respecter un statisme de 4%

Tableau 2 Cahier des charges partiel pour un site de production III.B.1) Modèle linéaire du fonctionnement au voisinage d’une situation nominale

La soupape, la turbine et le réseau ont des comportements non linéaires. L’utilisation d’outils théoriques linéaires pour l’étude du système nécessite au préalable une linéarisation du problème au voisinage de la position nominale stationnaire.

Q 6. Compléter en rouge les pointillés de la figure C en indiquant les valeurs numériques des grandeurs physiques dans la situation nominale.

III.B.2) Régulation en puissance de la turbine

On considère le schéma bloc de la figure 7. La turbine est régulée d’une part en puissance (boucle interne) et d’autre part en fréquence (boucle externe). On s’intéresse dans cette partie à la régulation de puissance uniquement.

Données :KS= 2,5×10² kg·s⁻¹·m⁻¹,KT = 1,34×10⁶W·s·kg⁻¹,f0= 50 Hz,P0t= 260 MW etτ= 6 s.

On adopte dans un premier temps un correcteur intégral pur, dont la fonction de transfert s’écrit :C(p) =KI

p . Précision Rapidité Stabilité Boucle ouverte

Correction P Correction I Correction PI

Tableau 3 Exemple de tableau de synthèse Q 7.Déterminer la fonction de transfert HP(p) = ∆Pm(p)

∆Pcs(p) sous forme canonique et déterminer, en justifiant votre ré- ponse, si cette boucle de régulation est stable et précise. Dé- terminer l’expression littérale et numérique deK_Iminimisant le temps de réponse à 5% de la boucle interne de régulation de puissance. En déduire ce temps de réponse à 5%. En com- parant à la rapidité de la turbine seule, la boucle interne de régulation améliore-t-elle la rapidité ?

On choisit désormais un correcteur proportionnel-intégral dont la fonction de transfert s’écrit sous la formeC(p) =KP

1 + 1

TIp

. Q 8.Déterminer la fonction de transfertHP(p) = ∆Pm(p)

∆P_cs(p) sous forme canonique et déterminer, en justifiant votre réponse, si cette boucle de régulation est stable et précise.

Conclure par une synthèse, sous la forme dutableau 3 à recopier sur la copie, des avantages et inconvénients d’un fonctionnement en boucle ouverte, en boucle fermée avec correction proportionnelle, en boucle fermée avec

correction intégrale et en boucle fermée avec correction proportionnelle intégrale, sur les critères de précision, rapidité et stabilité de la régulation en puissance.

Le coefficient de correction proportionnelleKP doit satisfaire la condition KPKSKT = 1 pour ne pas dégrader la durée de vie des turbines. De même, nous verrons par la suite queTI doit rester voisin deτ.

Q 9.Montrer que dans ces conditions, la fonction de transfertHP(p) peut être approchée par une fonction de transfert simplifiée dont on précisera les paramètres.

III.B.3) Régulation complète de la turbine

On s’intéresse dans cette partie à la régulation complète (figure 7).

∆f_c

+− εf

K_ri Correcteur 1

++ ∆Pcs

+− εp

C(p) Correcteur 2

∆x K_S Soupape

∆q KT

1 +τ p Turbine

∆Pm −

+ f0

P_0tT_ap Inertie réseau

∆f

∆P_c ∆Pcht

Figure 7 Schéma bloc de la régulation en puissance et fréquence d’une turbine à vapeur On admet que la fonction de transfertHP(p) =∆Pm(p)

∆Pcs(p) s’écrit sous la formeHP(p) = TIp+ 1

T_Iτ p²+ 2T_Ip+ 1. On donne les constantes T_a = 10 s etK_ri= 10⁸ W·s.

Q 10.En appliquant le critère de Routh, déterminer une condition surTI (littérale et numérique) pour que la régulation de fréquence soit stable.

Lafigure 8montre les deux diagrammes de Bode asymptotiques de la fonction de transfert en boucle ouverte

∆f

ε_f dans les deux cas où TI < τ et TI > τ. Justifier à partir du graphique s’il vaut mieux choisir TI < τ ou TI > τ.

ω G(dB)

−20 dB·dec⁻¹

−40 dB·dec⁻¹

−60 dB·dec⁻¹

1 TI

√1 T_Iτ

1 τ

√1 T_Iτ

1 TI

ϕ ω -90^◦ -180^◦ -270^◦

Figure 8 Diagrammes de Bode asymptotiques de la fonction de transfert en boucle ouverte dans les deux cas oùTI < τ (traits pointillés) etTI > τ (trait continu)

Q 11. En assimilant le tracé de Bode réel du gain à son asymptote, calculer la marge de phase. Conclure sur les critères de stabilité et de précision du cahier des charges (on considéreraT_I = 20 s).

Pour permettre aux multiples centrales de production d’accorder leurs régulations, on impose à chaque unité un statisme de 4%, c’est-à-dire qu’à convergence, pour des perturbations et consignes constantes, la fréquence doit diminuer proportionnellement à l’écart entre la charge et la consigne de production : ∆f

f0

=λ∆Pc−∆Pcht

P0t

où λ= 0,04.

Q 12.Déterminer l’expression littérale et numérique de K_ri permettant de vérifier le critère de sensibilité aux perturbations du cahier des charges.

On admet que cette nouvelle valeur deKri, que nous utiliserons par la suite, conserve la stabilité.

Q 13.En utilisant l’expression approchée :HP(p)' 1

6p+ 1, vérifier le critère de rapidité du cahier des charges.

III.C – Régulation du réseau français

Objectif

Proposer un modèle simplifié pertinent (III.C.1), puis dimensionner le correcteur permettant de satisfaire les exigences du cahier des charges (III.C.2).

Le parc de production français présente en moyenne une centaine de sites en fonctionnement chaque jour, pour une puissance moyenne deP0 = 60 GW. Pour des raisons de rendement, on préfère faire fonctionner 90% des centrales de production à leur régime nominal, sans les faire participer à la régulation primaire et secondaire.

Une partie des centrales seulement réalise ces régulations, correspondant à 10% de la puissance totale, soit PR0= 6 GW.

Le schéma bloc de lafigure F(document réponse) décrit le principe des deux régulations primaire et secondaire :

− la régulation primaire est pilotée sur chaque site de production, en mesurant la fréquence du réseau et en corrigeant la consigne de puissance (reçue du centre de conduite) de la valeur du statisme. Le temps de réponse à 5% est de l’ordre de quelques dizaines de secondes ;

− la régulation secondaire est pilotée depuis le centre de conduite national, qui détermine les consignes de puissance pour chaque site de production en fonction de la fréquence mesurée sur le réseau, des échanges aux frontières et des contrats d’exportation. Le temps de réponse est de l’ordre de quelques centaines de secondes.

On considèrera par la suite que les échanges aux frontières et les contrats d’exportation sont nuls, pour limiter le cadre de l’étude.

Lors de la régulation, le centre de conduite ne modifie pas les consignes des machines non régulées qui restent à leurs valeurs nominales de rendement maximal.

La régulation du réseau doit satisfaire au cahier des charges fourni sur letableau 1.

III.C.1) Modèle du parc de production en une seule machine équivalente

Lafigure Fdistingue lesmachines non réguléesen fréquence, au nombre demenviron égal à 90, et lesmachines régulées en fréquence, au nombre de n environ égal à 10. Toutes ces machines s’associent pour produire la puissanceP0= 60 GW dans la situation nominale.

On note :

− P_{cN R} la puissance consigne totale des machines non régulées (NR) ;

− P_cR la puissance consigne totale des machines régulées (R) ;

− P_ch la puissance consommée, égale àP₀= 60 GW dans la situation nominale ;

− P_{f ront}etP_exples puissances aux frontières et à l’exportation, considérées toujours nulles dans toute l’épreuve.

La perte d’un site de production peut être assimilée à une surcharge brutale de la puissance consommée, de 1,5 GW au maximum.

Après linéarisation du comportement de chaque composant autour de la situation nominale, on adopte le comportement suivant pour chaque bloc :

− correcteur secondaire : α p;

− statisme réseau : P0

λf0

oùλ= 0,04 ;

− statisme machine : PR0i

λf0

oùPR0i est la puissance nominale fournie par la machine régulée (i) ;

− machine régulée (i) :H_Ri(p) =H_R(p) ;

− machine non régulée (i) :H_{N Ri}(p) ;

− inertie du réseau : f₀

P0Tap, oùT_a = 10 s.

Les machines assurant la régulation ayant des comportements similaires vis-à-vis du réseau (condition nécessaire à la bonne cohérence des régulations), on supposera que leurs fonctions de transferts sont identiques :H_Ri(p) = H_R(p).

Q 14.Simplifier le schéma bloc global du réseau (figure F), en considérant uniquement les variations autour de la situation nominale, en complétant les grandeurs physiques et les blocs de lafigure Gdu document réponse.

III.C.2) Validation des performances

Le schéma bloc modélisant le réseau (trouvé à la question précédente) est adapté sous la forme du schéma bloc de lafigure 9qui sera désormais utilisé.

On adopte pour la machine équivalente régulée en puissance la fonction de transfert : HP(p) = 1 1 +TPp où TP = 6 s.

Q 15.Déterminer si la régulation assure une fréquence à convergence de 50 Hz malgré une variation de charge d’amplitude constante.

∆Pexp= 0

+− α

p +− H_P(p) −

+ f₀

P0Tap

∆f

∆Pch

P_R0 f0λ P₀

f0λ

Figure 9 Modélisation de la régulation du réseau français

Q 16. Calculer la valeur de αpermettant à la régulation secondaire de satisfaire la marge de gain du cahier des charges du réseau donnétableau 1.

On admet qu’après calculs, la fonction de transfert complète en boucle fermée s’écrit

∆f

∆P_exp = 3,3×10⁻¹¹

6 400p³+ 1 100p²+ 270p+ 1 (SI)

Les pôles du dénominateur peuvent être calculés numériquement et valent : p₁ =−3,8×10⁻³ rad·s⁻¹, p₂ = (−8,1×10⁻²+ 0,18i) rad·s⁻¹ et p₃= (−8,1×10⁻²−0,18i) rad·s⁻¹.

Q 17. Déterminer la rapidité de l’asservissement (pour l’entrée ∆Pexp) et conclure quant au respect de ce critère du cahier des charges.

Temps (s) Fréquence (Hz)

0 20 40 60 80 100

49,92 49,94 49,96 49,98 50,00 50,02

Temps (s) Fréquence (Hz)

0 200 400 600 800 1000

49,92 49,94 49,96 49,98 50,00 50,02

Figure 10 Simulation numérique, sur 100 et 1000 secondes, d’une perte de 1,5 GW

Le modèle obtenu est implanté dans un simulateur. La figure 10 montre l’évolution de la variation de fré- quence suite à un incident sur une unité de production, soit un déséquilibre de 1,5 GW entre production et consommation.

Q 18. Indiquer quels critères du cahier des charges peuvent être évalués à l’aide de ces courbes et s’ils sont satisfaits.

IV Validation des performances de la fonction de service FC1 : Optimisation du rendement

Objectif

Caractériser la géométrie de la ligne de détente assurant un rendement optimal. Après avoir tracé la veine de vapeur et justifié la nécessité d’une association de plusieurs corps de détente (IV.A), la géométrie des aubes sera étudiée pour les étages de détente 3 et 11 (IV.BetIV.C).

Une turbine à vapeur est une machine tournante destinée à convertir l’énergie de la vapeur, caractérisée par sa vitesse et son enthalpie, en énergie mécanique afin d’entraîner un alternateur (figure 11).

Une turbine à vapeur comprend plusieurs étages constitués chacun d’un aubage fixe et d’un aubage mobile assurant deux fonctions :

− la détente de la vapeur dans l’aubage fixe qui correspond à la conversion de l’enthalpie en énergie cinétique ;

− la conversion de l’énergie cinétique en énergie mécanique de rotation de la machine dans l’aubage mobile.

Le rendement de la turbine dépend directement de la géométrie des aubes. L’aubage fixe (fixé au stator) doit imposer la vitesse optimale à l’entrée des aubes mobiles (fixées au rotor). Ces dernières doivent imposer une vitesse axiale en sortie d’étage.

O

~ z

~eθ

~ y

~ er

θ

~ x

O Dt

2

Db

2

Aubage fixe

Aubage mobile S0

S₁ S2

~er

~eθ

Figure 11 Paramétrage de l’étage étudié

Figure 12 La turbine étudiée (on ne visualise ici que le rotor comportant les étages mobiles des différents corps)

On étudie ici la turbine de lafigure 12. On se propose d’évaluer les caractéristiques géométriques assurant les critères de rendement et de durée de vie du cahier des charges donné dans letableau 1.

IV.A – Profil de la veine de vapeur

Objectif

Justifier l’allure de la veine et mettre en évidence la nécessité de plusieurs corps Basse Pression (BP).

Dans la turbine, la vapeur s’écoule quasiment axialement.

Par conservation de la matière, le débit massiqueq se conserve.

On note V la norme de la vitesse, par rapport au référentiel terrestre, de la vapeur dans une section S de la turbine. On fait l’hypothèse (vérifiée expérimentalement) qu’au passage d’un étage à un autre, la vitesse de la vapeurV est axiale et vautV0 (constante).

On notevle volume massique de la vapeur dans cette sectionS. Au cours de l’écoulement, le volume massique augmente : une même quantité de matière occupe plus de place. Dans la turbine étudiée, le volume massique de vapeur passe deve= 0,0245 m³·kg⁻¹en entrée du corps Haute Pression (HP) àvs= 36 m³·kg⁻¹en sortie du corps BP. La section d’entrée vautSe= 0,1 m².

Q 19.Donner l’expression du débit massiqueq. Dessiner l’allure de la section au cours de l’écoulement. Calculer la section de sortieS_s. Dans quelle mesure ce résultat justifie-t-il l’architecture de la turbine présentéefigure 4? IV.B – Profils des aubes fixes et mobiles - Étage 3 - Aubes courtes

Objectif

Déterminer la géométrie des aubes de façon à optimiser le rendement, dans le cas d’une aube courte de tête de corps.

La vapeur issue de la chaudière entre dans la turbine dans un corps Haute Pression (HP) constitué de 12 étages.

Elle est ensuite réchauffée avant de passer dans un premier corps Moyenne Pression (MP) constitué de 2×14 étages, puis est véhiculée dans deux corps Basse Pression (BP) de 2×6 étages chacun (voirfigure 4).

On étudie ici le 3^ièmeétage du corps HP de la turbine à vapeur.

On rappelle que l’aubage fixe précède l’aubage mobile. On noteS₀ la section d’entrée de l’aubage fixe, S₁ la section de sortie de l’aubage fixe et d’entrée de l’aubage mobile, et S₂ la section de sortie d’aubage mobile (figures 11et H).

Hypothèses :

− Les aubes étant peu élancées, on néglige l’évolution radiale de la vitesse de la vapeur.

− On considère qu’il y a conservation du débit massique entre l’entrée et la sortie des aubages fixe et mobile.

− On admettra que la vitesse absolue d’entrée d’aubage mobile est la même que la vitesse absolue de sortie d’aubage fixe.

Notations utilisées (figure 11) :

− R_gle référentiel terrestre supposé galiléen, auquel on associe le repère (O, ~x, ~y, ~z) avec~xorienté suivant l’axe de rotation de la turbine ;

− R_m= (O, ~x, ~e_r, ~e_θ) le repère local, attaché au rotor de la turbine ;

− V~₀ la vitesse absolue d’entrée de la vapeur dans l’aubage fixeV~₀=V~(vapeur enS₀/R_g) ;

− V~₁ la vitesse absolue de sortie de la vapeur de l’aubage fixe :V~₁=V~(vapeur enS₁/R_g) ;

− V~₂ la vitesse absolue de sortie de la vapeur de l’aubage mobile :V~₂=V~(vapeur enS₂/R_g) ;

− V_i=||V~_i||;

− α₁= (V~₁, ~e_θ), l’angle entreV~₁ et le vecteur orthoradial ;

− α₂= (V~₂, ~e_θ), l’angle entreV~₂ et le vecteur orthoradial ;

− D_moy= 0,8 m le diamètre moyen des aubes de l’étage 3 ;

− U~ =V~(P_moy, R_m/R_g) =U_moy. ~e_θ la vitesse d’entraînement de la turbine, prise en un pointP_moy au niveau du diamètre moyenD_moy;

− ξmoy=^U_V^moy

1 le rapport d’efficacité (ξmoy= 0,5 dans la partieIV.B) ;

− W~₁la vitesse relative de la vapeur par rapport à l’aube mobile, en entrée d’aubage mobileW~₁=V~(vapeur enS₁/R_m), prise au niveau du diamètre moyenD_moy;

− W~2la vitesse relative de la vapeur par rapport à l’aube mobile, en sortie d’aubage mobileW~2=V~(vapeur enS2/Rm), prise au niveau du diamètre moyenDmoy;

− Wi=||W~i||;

− N le nombre d’aubes de l’aubage mobile ;

− ω = 50 tr·s⁻¹la vitesse de rotation de l’arbre du rotor de la turbine, pour assurer une fréquence de 50 Hz à l’alternateur.

On trouvera sur le document réponse (figure H) le profil de l’étage 3 (HP).

L’optimisation du rendement se traduit dans cet étage par un rapport d’efficacitéξmoy= 0,5.

Q 20. DéterminerU_moy en fonction deω et D_moy. Effectuer l’application numérique et reporter le vecteurU~ sur le document réponse (figure H). CalculerV₁.

IV.B.1) Aubage fixe

On considère que l’écoulement de vapeur correspond à une transformation réversible. Le premier principe de la thermodynamique appliqué à un volume de vapeur, entre deux sections A et B, s’écrit alors

W_A→B+ ∆Q= ∆

h+V² 2

où W_A→B est le travail massique fourni par les aubes à la vapeur et ∆Q l’apport massique de chaleur. La transformation est supposée adiabatique car la constante de temps des échanges thermiques est très grande devant le temps d’évolution des quantités thermodynamiques de la vapeur.

Dans le cas de l’étage 3, toute la variation d’enthalpie a lieu dans l’aubage fixe.

La soupape impose la vitesse de vapeur en entrée d’aubage fixeV₀= 50 m·s⁻¹.

Lors de la conception de la turbine, la chute enthalpique totale dans le corps HP est imposée à ∆h_HP =

−360 kJ·kg⁻¹.

Q 21. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au volume de vapeur contenu entre les sections S₀ et S₁, déterminer littéralement puis numériquement la variation d’enthalpie massique au passage de l’aubage fixe ∆h_0→1. En déduire le nombre d’étages du corps HP, en considérant une équirépartition de la chute enthalpique entre les étages.

Q 22.Exprimer le débit massiqueq₁ à la sortie de l’aubage fixe en fonction deα₁,v₁,S₁ etV₁. En considérant S₁ ' S₀, déterminer littéralement α₁ en fonction de v₀, v₁, V₀ et V₁. Effectuer l’application numérique avec les volumes massiques v₀ = 0,0264 m³·kg⁻¹ et v₁ = 0,0285 m³·kg⁻¹. Reporter le vecteur vitesse V~₁ sur le document réponse (figure H).

IV.B.2) Aubage mobile

On admettra que la norme de la vitesse relative de la vapeur par rapport à l’aubage mobile est constante (par application directe du premier principe de la thermodynamique) :W1=W2.

On suppose en outre que la vitesse relative de la vapeur par rapport à l’aube tangente le profil en entrée et sortie d’aube mobile.

Q 23. Sur le document réponse (figure H), tracer les vecteurs vitesses W~₁ etW~₂ et déterminer la vitesseV~₂. Justifier les constructions. Évaluer l’angle α₂ entreV~₂ et~e_θ. Conclure quant à la vitesse absolue de la vapeur en entrée des étages suivants.

Les résultats obtenus dans cette partie ont permis de valider la géométrie de l’aube de tête de l’étage 3 du corps HP proposée enfigure H.

IV.C – Profils des aubes mobiles - Étage 11 - Aubes longues

Objectif

Déterminer le profil d’une aube mobile d’un étage quelconque de façon à optimiser le rendement, dans le cas d’une aube longue de fin de corps.

On s’intéresse dans cette partie au 11^ièmeétage de la veine HP de la turbine à vapeur. Pour l’étude de cet étage, il est nécessaire de tenir compte de l’influence de l’élancement de l’aube. Les paramètres définis précédemment deviennent donc des fonctions de la position radialer.

Db Dt

V₁(^D₂ⁱ) [m·s⁻¹] α1(^D₂ⁱ) [deg]

W1(^D₂ⁱ) [m·s⁻¹]

Tableau 4 Exemple de tableau de synthèse On conserve les notations de la partie précédente.

On donne :

− Db= 0,894 m le diamètre de base des aubes de l’étage 11 ;

− Dt= 1,024 m le diamètre de tête des aubes de l’étage 11.

On note :

− U(^D₂^b) la norme de la vitesse d’entraînement de la turbine de l’étage 11 au niveau de la base de l’aube mobile ;

− U(^D₂^t) la norme de la vitesse d’entraînement de la turbine de l’étage 11 au niveau de la tête de l’aube mobile ;

− v_i le volume massique de la vapeur dans la sectionS_i;

− ξ(r) =_V^U(r)

1(r) le rapport d’efficacité.

On trouvera sur le document réponse (figure I) la ligne moyenne du profil des aubes fixe et mobile.

On admet que les vitesses de vapeur en entrée de l’aubage fixe et en sortie de l’aubage mobile sont axiales et valentV0= 50 m·s⁻¹ (voirfigure I).

Q 24. Tracer sur le document réponse (figure I) les vecteurs vitessesV~2 et W~2 enB pour chaque niveau de l’aube. Justifier les constructions.

Une optimisation du rendement global de l’étage impose l’évolution du coefficient d’efficacité selon la loi ξ(r) = 2,1(r−0,894

2 ) + 0,48 On donne :v0= 0,0565 m³·kg⁻¹ et v1= 0,0638 m³·kg⁻¹

Q 25.Par un raisonnement analogue à celui mené dans les questions20,22et23, déterminerV₁(^D₂^b),V₁(^D₂^t) puisα₁(^D₂^b) etα₁(^D₂^t) (présenter les résultats numériques sous la forme dutableau 4). Représenter les vecteurs vitessesV~₁(^D₂^b) etV~₁(^D₂^t) sur le document réponse (figure I) en A, puis déterminer graphiquementW~₁(^D₂^b) et W~1(^D₂^t).

Q 26. En analysant l’évolution radiale de la section, caractériser en un mot la géométrie spatiale de l’aube mobile.

V Validation des performances associées à la fonction de service FC2 : Durée de vie de l’outil de production

V.A – Vérification de la tenue des aubes

Objectif

Déterminer l’action mécanique globale exercée par la vapeur sur une aube mobile et déterminer le nombre d’aubes afin de préserver la durée de vie.

On s’intéresse dans cette partie à l’étage 11(HP). Comme cela a été vu précédemment (partie IV.C), pour des raisons de rendement, la géométrie de l’aube mobile évolue radialement.

On rappelle que l’évolution radiale du rapportξ(r) = _V^U(r)

1(r) suit la loi suivante : ξ(r) = 2,1(r−0,894

2 ) + 0,48

et que la vitesse axiale de la vapeur est constante à l’entrée et à la sortie de l’étage, soitV~₂(r) =V~₀(r) =V₀~x.

On étudie ici une section d’aube à un rayon rquelconque. Le critère de durée de vie du cahier des charges se décline en un critère de tenue des aubes, et se traduit par la quantification :

− du couple maximal à la base de chaque aube mobile :C^max612,5 N·m,

− de l’effort maximal orthoradial exercé sur chaque aube : F^max6280 N.

Ainsi, dans un premier temps, on cherche à exprimer l’effort linéique F(r) exercé par la vapeur sur l’aube mobile :F(r) =F~_{f luide→1}aube mobile(r). ~e_θ.

Σ(r)

S₁ S₂

Figure 13 Vue d’une coupe du volume isolé Σ(r) On note R₁aube la résultante globale orthoradiale exercée par la vapeur sur une aube

mobile :

R1aube =R~f luide→1aube mobile. ~eθ

On définit le couple exercé par la vapeur sur une aube mobile de l’étage 11(HP) : C_1aube=M~(C, f luide→1aube mobile).~x

oùC est à la base de l’aube, tel que−−→

OC =^D₂^be~r.

On considère le régime permanent de l’écoulement de vapeur, et que l’écoulement se fait à débit constant, soitq₁=q₂=q.

Un bilan de quantité de mouvement appliqué au volume de fluide Σ(r) (figure 13) situé entre deux aubes mobiles à la hauteurr et d’épaisseurdrpermet d’obtenir l’équation suivante :

XF~_ext. ~e_θ= q N

2dr Dt−Db

(V~₂−V~₁). ~e_θ

oùPF~ext. ~eθ est la projection sure~θ de la résultante des actions mécaniques extérieures à Σ(r).

Q 27.Après avoir effectué le bilan des actions mécaniques exercées sur Σ(r), exprimerPF~ext. ~eθet appliquer la relation issue du bilan de quantité de mouvement pour obtenir l’expression littérale de F(r) en fonction de q,V1(r) etα1(r).

Q 28. Donner, sans développer les calculs, l’expression de l’effort global R_1aube et du couple C_1aube, exercé par la vapeur sur une aube mobile de l’étage 11(HP), en fonction deF(r),D_b etD_t.

Une évaluation numérique des expressions précédentes aboutit à N R1aube = 25 kN etN C1aube = 1,6 kN·m où l’on rappelle queN est le nombre d’aubes mobiles de l’étage 11 étudié.

Q 29. DéterminerN afin de vérifier le cahier des charges en terme de durée de vie. On tiendra compte d’un coefficient de sécurité dek_s= 1,1 et l’on choisira un nombre d’aubes pair.

V.B – Validation du critère d’équilibrage

Objectif

Vérifier le critère d’équilibrage du rotor afin de préserver la durée de vie

Malgré le soin apporté à la fabrication des aubes, la position du centre de gravité de chacune présente une certaine dispersion par rapport à la position théorique. À 50 tr·s⁻¹, le défaut d’équilibrage statique résultant du montage des pales génère des vibrations.

Pour simplifier le problème, on se limite au seul défaut de variation du rayonri du centre de gravité de chaque pale, dont la valeur théorique vaut ^D₂^m = 0,4795 m et l’écart par rapport à la valeur théorique est compris entre

−1 mm et 1 mm. On considère un rotor de turbine supportant 150 pales par étage pour 12 étages.

Le moyeu, de massem_m= 13 tonnes, est équilibré. On suppose que les pales ont toutes la même massem_i= 1 kg et qu’elles sont parfaitement orientées angulairement.

Q 30.Proposer un protocole d’assemblage permettant de limiter le défaut d’équilibrage statique.

Estimer l’ordre de grandeur du défaut d’équilibrage statique attendu après montage, ainsi que l’effort du balourd résultant. Conclure en appréciant l’importance de la valeur obtenue.

L’optimisation réelle du montage compense les défauts d’équilibrages statique et dynamique de l’arbre complet.

• • •FIN • • •