i e eAES je  i2005

Les Polynmes de Thebyhev

Isabelle Camanes

Delphine Jean

Sous la diretion de : Jean-Paul Calvi

LaboratoireEmile Piard

Bureau 219, Bâtiment1R2

Université PaulSabatier

31062 Toulouse Cedex 04

alvipiard.ups-tlse.fr

05.61.55.62.23.

1 Dénition et premiers résultats 7

1.1 Dénitiondes polynmes de Thebyhev . . . 7

1.2 Propriétés élémentaires de es polynmes . . . 8

1.2.1 Relationde réurrene . . . 8

1.2.2 Raineset extrema de

T n

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . 11}

2 Interpolation de fontions 15 2.1 Interpolationde Lagrange-Hermite . . . 15

2.2 Interpolationde Lagrange . . . 16

2.2.1 Etude de l'erreur . . . 18

2.2.2 Majorationde l'erreur . . . 21

2.3 Constantede Lebesgue . . . 21

2.3.1 Rappel sur la ontinuité des appliations linéaires sur un espae vetorielnormé . . . 21

2.3.2 Dénitionde laonstante . . . 21

2.3.3 Inégalité remarquable. . . 24

2.4 Interpolationde Fejer-Hermite . . . 25

3 Appliation à l'interpolation de Lagrange 29 3.1 Minimisationde l'erreurpar lespolynmes de Thebyhev . . 29

3.2 Estimationde la onstantede Lebesgue . . . 33

4 Appliation à l'interpolation de Fejer-Hermite 41 4.1 Expressiondupolynmede Fejer-Hermiteen fontiondeeux de Thebyhev. . . 41

4.2 Convergene du polynme de Fejer-Hermite . . . 42

[1℄PafnutyThebyhev estné en Russie le16mai1821 auseind'unefamille

aisée.

Samère luiapprendlesprinipesde base de letureetd'éritureet son ou-

sinl'initie aufrançais et àl'arithmétique.

En 1832, il est pris en harge par le meilleur professeur de mathématiques

de Mosou, e qui lui permet inq ans plus tard d'entrer à l'Université de

Mosou.

En1840, Thebyhev partiipeà un ouours de mathématiques en soumet-

tantun travail(quisera publiéseulementvers 1950)sur lealuldes raines

des équations dans lequel il résout l'équation

y = f (x)

^{en utilisant le déve-}

loppement en série de l'inverse de lafontion

f

^.

En1842,ilérit, enfrançais, sonpremiertravailsigniatifsur lesintégrales

multiples.

En 1844, il publie un seond artile ette fois sur la onvergene des séries

de Taylor.

Deux ans plus tard, Thebyhev est enore étudiant et hoisit omme sujet

de thèse "la théorie des probabilités" en se penhant plus partiulièrement

sur la loi faible des grands nombres de Poisson. Après son entrée à l'Uni-

versité de Saint Petersbourg en 1847, il rédige un seond sujet de thèse sur

"l'intégration aumoyen des logarithmes".

En1853, Thebyhev érit un livreimportantsur la théoriedes ongruenes

qui reçoitle prixde l'Aadémie des Sienes.

Tout au long de sa arrière, et notamment dans les années 1850, il voyage

beauoup, e qui lui permet de renontrer de nombreux mathématiiens,

essentiellement européens, omme Bienaymé, Lebesgue, Cayley, Sylvester,

En 1854, il introduit, dans une de ses publiations, les polynmes unitaires

de degré inférieur ou égal à

n

^{qui ont la norme la plus petite sur}

[ − 1, 1]

^,

polynmesaujourd'huionnussous lenomde polynmes de Thebyhev (f.

le théorème (3.1)). A l'origine, il a donné es polynmes sous l'expression

1 2

(x + √

x ² − 1) ⁿ + (x − √

x ² − 1) ⁿ

,

^{et e n'est qu'en 1873 qu'ilreonnaît}

la "forme trigonométrique" qui est aujourd'hui la dénition ourante (f.

(1.1.1)). Plus tard, il développe une théorie générale sur les polynmes or-

thogonaux, onept dont ilest probablementle préurseur.

En1867,ilgénéralise laloides grandsnombres àl'aidede l'inégalitéde Bie-

naymé,puis en 1887, il publie deux théorèmes sur les probabilités : l'un sur

lathéoriedes données statistiquesetl'autregénéralisantlethéorèmeentral

limitede De Moivreet Laplae.

Thebyhev a ainsi ontribué à l'évolution des mathématiques grâe à ses

nombreux travaux dont ertains n'ont été publiés qu'après sa mort le 8 dé-

embre 1894.

Dans e mémoire, nous nous limiterons à étudier des appliations des

polynmesde Thebyhev àl'interpolationpolynmialeetàl'approximation

des fontions ontinues.

Dénition et premiers résultats

1.1 Dénition des polynmes de Thebyhev

Notons

P ⁿ

^{l'espae vetoriel des polynmes à oeients réels de degré}

inférieur ouégal à

n

^.

Théorème 1.1.1 (Dénition). Pour tout

n ≥ 0

^{, il existe un unique poly-}

nme

T n ∈ P ⁿ

^{tel que}

T _n (x) = cos(n arccos(x)), ∀ x ∈ [ − 1, 1].

^(1.1)

Le polynme

T n

^{s'appelle le n-ième polynme de Thebyhev.}

Démonstration. [3℄ Montrer l'existene d'un polynme vériant la formule

préédenterevientàherher

T n

^telque

T n (cos θ) = cos(nθ)

^,pourtout

θ ∈ R .

Soit

θ ∈ R .

On remarque que

cos(nθ) = ℜ

cos(nθ) + i sin(nθ) .

Laformulede Moivre donne

cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos θ + i sin θ) ⁿ .

D'où,

cos nθ = ℜ

(cos θ + i sin θ) ⁿ

= ℜ X ⁿ

k=0

C ^k _n (cos θ) ^n−k (i sin θ) ^k

Si

k

^{est impair,letermeest un imaginairepur.On ne onsidère donqueles}

k

^pairs.

On obtient, en posant

k = 2p

^{eten notant}

[n/2]

^{la partie entière de}

n/2 cos nθ =

[n/2]

X

p=0

( − 1) ^p C ^2p _n (cos θ) ^n−2p (1 − (cos θ) ² ) ^p .

Don, en posant

x = cos θ

^{, onpeut prendre}

T _n (x) =

[n/2]

X

p=0

( − 1) ^p C ^2p _n x ^n−2p (1 − x ² ) ^p ∀ x ∈ [ − 1, 1].

Montrons maintenantl'uniité de

T _n

^.

Supposons que

Q n

^{soitun autre polynme telque}

Q n (cos θ) = cos nθ

^{, pour}

tout

θ

^.

Alors,pour tout

θ

^,

(T _n − Q _n )(cos θ) = 0

^{. Or,}

cos θ

^{dérit l'intervalle}

[ − 1, 1]

^,

e dernierontenant une innité de valeurs. Cei implique que le polynme

T n − Q n

^{admetune innité de raines etpar onséquent,}

T n − Q n

^{est le po-}

lynme nul.

Finalement,

T n = Q n

^{d'où l'uniitéde}

T n

^.

1.2 Propriétés élémentaires de es polynmes

1.2.1 Relation de réurrene

Théorème 1.2.1. Les polynmes de Thebyhev vérient la relation de ré-

urrene suivante

T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x), ∀ x ∈ R , ∀ n ∈ { 1, 2, . . . }

^(1.2)

Démonstration. [3℄Il sutde vérier l'égalitépour

x ∈ [ − 1, 1]

^{ave lemême}

argument que dans la démonstration de l'uniité de

T n

^{du théorème pré-}

édent. En eet, si deux polynmes

P

^et

Q

^{de degré quelonque sont tels}

que :

P (x) = Q(x) ∀ x ∈ [ − 1, 1]

^{, alors le polynme}

P − Q

^{admet une in-}

nité de raines sur

[ − 1, 1]

^{. C'est don le polynme nul et par onséquent,}

P (x) = Q(x) ∀ x ∈ R

.

Pour tout

x ∈ [ − 1, 1]

^{, il existe}

θ ∈ R

tel que

x = cos θ

^{. Don, montrer que}

T n+1 (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x)

^{revient à montrer que}

T n+1 (cos θ) = 2 cos θT n (cos θ) − T n−1 (cos θ).

Or, omme

T n (cos θ) = cos nθ

^{, ela revient àprouver :}

cos(n + 1)θ = 2 cos θ cos nθ − cos(n − 1)θ.

Sahant que

cos(n + 1)θ = cos nθ cos θ − sin nθ sin θ

et que

cos(n − 1)θ = cos nθ cos θ + sin nθ sin θ,

^{on obtient en} additionnant membre àmembre es égalités:

cos(n + 1)θ + cos(n − 1)θ = 2 cos nθ cos θ.

^{D'où la formule de réurrene}

reherhée.

Quelques exemplesde ourbesde représentation des premierspolynmes

de Thebyhev :

0 0.5 1 1.5 2

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Fig.1.1:

T 0 (x) = 1

–1 –0.5 0.5 1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Fig.1.2:

T 1 (x) = x

–1 –0.5 0.5 1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Fig.1.3:

T 2 (x) = 2x ² − 1

–1 –0.5 0.5 1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Fig.1.4:

T ₃ (x) = 4x ³ − 3x

–1 –0.5 0.5 1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Fig.1.5:

T 4 (x) = 8x ⁴ − 8x ² + 1

–1 –0.5 0.5 1

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Fig.1.6:

T 5 (x) = 16x ⁵ − 20x ³ + 5x

Corollaire 1.2.2. Si

n

^{est pair, alors}

T n

^{est une fontion paire.}

Si

n

^{est impair, alors}

T _n

^{est une fontion impaire.}

Démonstration. Dénissons lapropriété

( R ⁿ )

^:

T n ( − x) = ( − 1) ⁿ T n (x).

Leorollairedéoule immédiatementde ettepropriété. En eet,

si

n

^{est pair, on a}

T n ( − x) = ( − 1) ⁿ T n (x) = T n (x)

^{et don}

T n

^{est paire,}

si

n

^{est impair, on a}

T n ( − x) = ( − 1) ⁿ T n (x) = − T n (x)

^{et don}

T n

^est

impaire.

Montrons ette propriété par réurrene sur

n

^.

∗

Initialisation:

D'après lagure (1.1),

T ₀ ( − x) = 1 = ( − 1) ⁰ T ₀ (x)

^d'où

( R 0 )

^{est vraie.}

De même, d'après la gure (1.2),

T 1 ( − x) = − x = ( − 1) ¹ T 1 (x)

^d'où

( R ¹ )

^est

vraie.

∗

^{Hérédité :}

Supposons la propriété vraie jusqu'au rang

k

^{et montrons que}

( R ^k+1 )

^est

vraie.

D'après (1.2), pour tout

x ∈ [ − 1, 1],

T _k+1 ( − x) = − 2xT _k ( − x) − T _k−1 ( − x)

= − 2x( − 1) ^k T k (x) − ( − 1) ^k−1 T k−1 (x)

= ( − 1) ^k+1 (2xT k (x) − T k−1 (x))

= ( − 1) ^k+1 T k+1 (x).

∗

^{Conlusion :}

Lapropriété est vraieaux rangs0 et1 etest héréditaire :elleest don vraie

pour tout

n ∈ N

.

Corollaire 1.2.3 (Valeur du oeient dominant 1

). Pour tout

x ∈ R

,

T _n (x) = 2 ⁿ⁻¹ x ⁿ + t _n−1 (x) ∀ n ≥ 1

où

t n−1 (x)

^{est un polynme de degré inférieur ou égalà}

n − 1

^.

Démonstration. [3℄Raisonnons par réurrenesur

n

^.

∗

Initialisation:

Pour

n = 1

^{, ona par dénition}

T 1 (x) = cos(arccos(x)) = x

^ar

x ∈ [ − 1, 1].

T 1

^{vérie bien larelationde réurrene.}

∗

^{Hérédité :}

1

Nousappelonsoeientdominantleoeientdumonmedeplushautdegré,i.e.si

P(x) = a 0 +a 1 x+ . . . + a n x ⁿ

^ave

a n 6 = 0

^leoeient

a n

^de

x ⁿ

^{estleoeientdominant}

de

P

^.

Supposons quel'égalité du orollairesoitvraie jusqu'au rang

k

^{et montrons}

qu'elle est vraie aurang

k + 1

^.

D'après (1.2), ona

T k+1 (x) = 2xT k (x) − T k−1 (x)

^.

D'autre part, d'après l'hypothèse de réurrene, ona

T _k+1 (x) = 2x(2 ^k−1 x ^k + t _k−1 (x)) − (2 ^k−2 x ^k−1 + t _k−2 (x))

= 2 ^k x ^k+1 + (2xt k−1 (x) − 2 ^k−2 x ^k−1 − t k−2 (x))

= 2 ^k x ^k+1 +

^{[ poly.de degré}

≤ k

^℄

.

∗

^{Conlusion :}

La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire : elleest don vraie pour

tout

n ∈ { 1, 2, . . . }

^.

Remarque 1 (Coeient dominant). D'après le théorème-dénition (1.1.1)

(f.preuve)ona

T n (x) =

[n/2] X

p=0

( − 1) ^p C ^2p _n x ^n−2p (1 − x ² ) ^p

^,pourtout

x ∈ [ − 1, 1].

Le oeientde

x ⁿ

^{est don}

[n/2]

X

p=0

( − 1) ^p C ^2p _n ( − 1) ^p =

[n/2]

X

p=0

C ^2p _n .

Or, d'aprèsle orollairepréédent, leoeient de plus haut degréest

2 ⁿ⁻¹

^.

Enpartiulier, on retrouve l'égalitésuivante :

[n/2]

X

p=0

C ^2p _n = 2 ⁿ⁻¹ .

1.2.2 Raines et extrema de

T n

Théorème 1.2.4.

T n

^admet

n

^{raines simples déniespar :}

x k = cos 2k + 1

2n π k = 0, 1, . . . , n − 1 .

Démonstration. [3℄Cherher les rainesde

T n

^{revient àrésoudre l'équation}

T n (x) = 0

^.

∗

^{Reherhe des rainesdans}

[ − 1, 1]

^.

Soit

r

^{une raine de}

T _n

appartenant à

[ − 1, 1].

^{Il existe}

θ ∈ [0, π]

^{tel que}

r = cos θ

^.

Par dénition,

T n (r) = 0

^{, 'est àdire}

T n (cos θ) = 0

^.

D'où,

cos(nθ) = 0

^{, e qui revient à:}

nθ = ^π ₂ + kπ, k ∈ Z .

Finalement,

θ = _2n ^π + ^kπ _n = ^2k+1 _2n π, k ∈ Z

. On en déduit que les

x k

^dénis

par

x k = cos 2k + 1

2n π, k = 0, 1, . . . , n − 1

sontbien raines de

T n

^.

∗

^{Il n'y apas d'autres raines.}

Eneet, lafontion

cos

^{étantinjetivesur}

[0, π]

^{etomme les}

2k + 1

2n π

^sont

des valeurs distintes dans

[0, π]

^{, on a trouvé}

n

^{raines distintes dans l'in-}

tervalle

[ − 1, 1]

^{. Or, le polynme}

T n

^{est de degré}

n

^{. Comme tout polynme}

réel de degré

n

^{admet au plus}

n

^{raines, les}

x k

^trouvés préédemment sont lesseuls zéros distints de

T n

^{etsont don simples.}

Théorème1.2.5. Surl'intervalle

[ − 1, 1], T n

^admet

n + 1

^{extrema2 atteints}

en les points :

x ^′ _k = cos k

n π, k = 0, 1, . . . , n.

Démonstration. [3℄Pour tout

x ∈ [ − 1, 1]

^{, ilexiste}

θ ∈ R

telque

x = cos θ

^.

On aalors

T n (x) = T n (cos θ) = cos nθ

^{donles extremasur}

[ − 1, 1]

^{sont -1et}

+1.Siontrouvedes points

y

^telsque

T n (y) = ± 1

^{, onest sûr quee sontdes}

extrema.

Cherher leur expression revientà résoudre

T n (y) = ± 1

^ave

y = cos θ,

^'est

àdire

cos nθ = ± 1

^.

cos nθ = ± 1 ⇐⇒ nθ = kπ, k ∈ Z

⇐⇒ θ = k

n π, k ∈ Z

= ⇒ y = cos k

n π, k ∈ Z .

On obtient ainsi

n + 1

^{extrema sur}

[ − 1, 1]

^{dénis par 3}

x ^′ _k = cos k

n π, k = 0, 1, . . . , n.

2

Dansequisuit,onnoteratoujours

x k

^{lesrainesdupolynmedeThebyhevet}

x ^′ _k

sesextrema.

3

Prenonsunentier

k

^dans

{ n, . . . , 2n }

^{,ilexisteunentier}

p ∈ { 0, . . . , n }

^telque

k = n+p

^,

alors,

cos( ^p+n _n π) = cos( ^p _n π+π) = − cos( ^p _n π) = cos(π − ^p _n π) = cos( ^n−p _n π).

^{Onpeutmontrer}

parréurrenequeeiestvraipourtoutentier

k

^{dansl'ensemble}

{ in, . . . , (i + 1)n }

^,don

onpeuttoujoursserameneràhoisir

k

^{dansl'ensemble}

{ 0, . . . , n }

^.

Il y a au plus

n − 1

^{extrema dans}

] − 1, 1[

^{ar si}

x

^{est extremum dans et}

intervalle,alors

T _n ^′ (x)

^s'annuleet

T _n ^′

^aauplus

n − 1

^{rainesarson degréest}

n − 1

^.

Don, on a

n + 1

^{extrema sur [-1,1℄ et e sont lesseuls.}

Corollaire 1.2.6. On a

T n (x ^′ _k ) = ( − 1) ^k ∀ k = 0, . . . , n.

Démonstration. Pour tout

k = 0, . . . , n

^{,on aeetivement}

T n (x ^′ _k ) = cos(n arccos( ^k _n π)) = cos(n ^k _n π)) = cos(kπ) = ( − 1) ^k .

Interpolation de fontions

2.1 Interpolation de Lagrange-Hermite

Théorème 2.1.1. Soient

a 0 , . . . , a k

^,

k + 1

^{points deux à deux distints,}

n 0 , . . . , n k

^{des entiers et}

y ^j _i

^{des réels ave}

0 ≤ i ≤ k

^et

0 ≤ j ≤ n i

^.

Alors, il existe un unique polynme

P

^{de degré}

n = X k

i=0

(n i + 1) − 1

^{tel que}

P ^(j) (a _i ) = y _i ^j ∀ j = 0, . . . , n _i et ∀ i = 0, . . . , k.

Démonstration. Considérons l'appliation

ϕ : P ⁿ −→ R ⁿ⁺¹

P 7−→ (P (a 0 ), . . . , P ^{(n 0 )} (a 0 ), P (a 1 ), . . . , P ^{(n 1 )} (a 1 ), . . . , P (a k ), . . . , P ^{(n k )} (a k )).

ϕ

^{est bien dénie ar il y a}

(n 0 + 1) + (n 1 + 1) + . . . + (n k + 1) = n + 1

oordonnées.

Démontrerlethéorèmerevientàmontrer que

ϕ

^{est bijetive.Or,}

ϕ

^étantune

appliation linéaire et les espaes de départ et d'arrivée étant de dimension

nie égale, il sut de montrer qu'elle est injetive. Montrons pour ela que

ker(ϕ) = { 0 } .

Soit

P ∈ P n

^{tel que}

ϕ(P ) = (0, . . . , 0)

^.

On a en partiulier

P ⁽ⁱ⁾ (a 0 ) = 0

^{pour tout}

i = 0, . . . , n 0 . a 0

^{est don ra-}

ine d'ordre

n 0 + 1

^de

P

^{et par onséquent, il existe}

Q 0 ∈ P ^{n−n 0 −1}

^{tel que}

P (x) = (x − a ₀ ) ^{n 0 +1} Q ₀ (x).

De même, il existe

Q 1 ∈ P ^{n−n 1 −1}

^{tel que}

P (x) = (x − a 1 ) ^{n 1 +1} Q 1 (x),

^{e qui}

donne

(x − a 0 ) ^{n 0 +1} Q 0 (x) = (x − a 1 ) ^{n 1 +1} Q 1 (x).

Cei implique que

(x − a 1 ) ^{n 1 +1}

^divise

(x − a 0 ) ^{n 0 +1} Q 0 (x).

Mais

(x − a 1 ) ^{n 1 +1}

^{est premier ave}

(x − a 0 ) ^{n 0 +1}

^ar

a 0 6 = a 1 .

^{En eet, s'ils}

n'étaient pas premiers entre eux, ils auraient un diviseur ommun irrédu-

tible. Or, le seul polynme unitaire irrédutible qui divise

(x − a 1 ) ^{n 1 +1}

^est

(x − a 1 )

^{et leseul polynme} irrédutiblequi divise

(x − a 0 ) ^{n 0 +1}

^est

(x − a 0 ).

Comme

a ₁

^estdistintde

a ₀

^{,onnepeuttrouverauunpolynme}irrédutible divisantà lafois

(x − a 1 ) ^{n 1 +1}

^et

(x − a 0 ) ^{n 0 +1} .

Don

(x − a 1 ) ^{n 1 +1}

^divise

Q 0 (x).

Onobtientalors

P (x) = (x − a ₀ ) ^{n 0 +1} (x − a ₁ ) ^{n 1 +1} Q ₂ (x)

^où

Q ₂ ∈ P n−n 0 −1−n 1 −1 .

Enontinuant selon lemême prinipe,on arrive à:

P (x) = (x − a 0 ) ^{n 0 +1} . . . (x − a k ) ^{n k +1} R(x)

= Y k j=0

(x − a j ) ^{n j +1} R(x).

Or,

P

^{étantauplusde degré}

n

^et

Y k j=0

(x − a j ) ^{n j +1}

^dedegré

X k

j=0

(n j +1) = n +1

^,

ona

R ≡ 0

^{. Par onséquent,}

P ≡ 0

^,don

ker(ϕ) = { 0 }

^et

ϕ

^{est injetive.}

On a ainsi montré que

ϕ

^{est bijetive, d'où lethéorème.}

On va s'intéresser à deux as partiuliersde e théorème : l'interpolationde

Lagrange,obtenue en prenant

n _i = 0

^{etelle de F}ejer-Hermite,danslaquelle

n i = 1

^,

y _i ¹ = 0

^{etoù les}

a i

^{sont les pointsde Thebyhev.}

Etudionsmaintenant es deux méthodes d'interpolation.

2.2 Interpolation de Lagrange

Etant donnés

n + 1

^{pointsdistints}

(a 0 , b 0 ), (a 1 , b 1 ), . . . , (a n , b n )

^{où les}

b i

sont les valeurs d'une fontion

f

^{aux points}

a i

^{, on sait, d'aprés le théorème}

(2.1.1),qu'il existe un unique polynme

p ∈ P n

^vériant

p(a _i ) = b _i = f (a _i ),

pour

i = 0, 1, . . . , n.

On l'appellele polynme d'interpolationde Lagrangeaux points

a i

^{eton le}

note

L A n (f )

^ave

A n = { a 0 , a 1 , . . . , a n } .

Théorème 2.2.1. La formule d'interpolation de Lagrange est donnée par

l'expression suivante pour tout réel

x

^:

L A n (f )(x) =

X n i=0

f(a i )l i (x) avec l i (x) = Y n

j=0

j6=i

x − a j

a _i − a _j .

^(2.1)

Démonstration. Vérions que pour tout

k = 0, . . . , n, L A n (f)(a k ) = f(a k )

etque

deg L _{A n} (f ) ≤ n.

On a

L A n (f)(a k ) = X n

i=0

f (a i )l i (a k ).

^Or,

l i (a k ) = Y n

j=0

j6 =i

a _k − a _j a i − a j

,

^d'où

l i (a k ) =

1

^si

k = i 0

^sinon

don,

L A n (f )(a k ) = f (a k ).

Deplus,pardénitiondes

l i

^,

deg l i = n

^et

L A n

^{étantunesommedepolynmes}

de degré

n

^,

deg L A n (f) ≤ n.

L A n (f)

^{est don bien le polynme} d'interpolation de Lagrangede

f

^.

Théorème 2.2.2. Soit

w(x) = (x − a 0 )(x − a 1 ) . . . (x − a n ) ∈ P ⁿ⁺¹ ,

^{on a}

l i (x) = w(x)

x − a i

1

w ^′ (a i ) ∀ i = 0, . . . , n.

Démonstration. On a par hypothèse,

w(x) = (x − a 0 )(x − a 1 ) . . . (x − a n ) = Y n j=0

(x − a j ),

don

l i (x) = Y n

j=0

j6=i

(x − a j ) Y n

j=0

j6=i

1

a _i − a _j = w(x) x − a _i

Y n

j=0

j6=i

1 a _i − a _j .

De plus,

w ^′ (x) = (x − a ₁ ) . . . (x − a _n ) + . . . + (x − a ₀ ) . . . (x − a _i−1 )(x − a _i+1 ) . . . (x − a _n ) + . . . + (x − a 0 ) . . . (x − a n−1 )

=

X n j=0

Y n k=0 k6 =j

(x − a k ),

don, pour tout

i = 0, . . . , n

^,

w ^′ (a i ) = (a i − a 0 ) . . . (a i − a i−1 )(a i − a i+1 ) . . . (a i − a n )

= Y n

j=0

j6 =i

(a i − a j ).

D'où,pour tout

i = 0, . . . , n

^,

l i (x) = w(x) x − a i

1

w ^′ (a i ) .

Lorsque la fontion interpolée

f

^{est susamment de fois dérivable, on}

peutdonneruneestimationdeladiéreneentre

f (x)

^et

L A n (f )(x).

^Lorsque

x

^{est un point}d'interpolation,la diéreneest nulle.

Théorème 2.2.3 (Formule de l'erreur). Soient

f ∈ C ⁿ⁺¹ ([a, b])

^et

A n = { a 0 , a 1 , . . . , a n } ⊂ [a, b]

^{. On suppose que}

a 0 < a 1 < . . . < a n

^{. Pour tout}

x ∈ [a, b]

^{, il existe}

ξ ∈ ]a, b[

^{tel que}

f(x) − L A n (f)(x) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (ξ)

(n + 1)! (x − a 0 )(x − a 1 ) . . . (x − a n ).

^(2.2)

Démonstration. [2℄Soit

x ∈ [a, b]

^.

Si

x ∈ A _n

^{n'importe quel}

ξ

^{onvient puisqu'onobtient}

0 = 0

^.

Supposons don que

x / ∈ A n .

On a alors trois possibilités:

∗ x ∈ [a, a 0 ]

∗

^{ilexiste un indie}

i 0 ∈ 0, . . . , n − 1

^telque

x ∈ ]a i 0 , a i 0 +1 [

∗ x ∈ [a n , b].

On peut alors représenter les pointsomme suit :

a

[

a ₀

x

a ₁

x

a ₂

x

. . . a _i 0

x

x

x

6

a _i 0 +1

x

. . . a _n

x

b

℄

•

Penhons-nous tout d'abord sur le deuxièmeas.

Posons

w(t) = (t − a 0 ) . . . (t − a n )

^etprenons

K(x)

^telque

f(x) − L A n (f)(x) = K(x)w(x).

On remarqueque

K(x)

^{est bien déni ar}

x / ∈ A _n ⇒ w(x) 6 = 0

^.

Considéronsmaintenant la fontion

u(t) = f (t) − L _{A n} (f )(t) − K(x)w(t)

déniepour tout

t ∈ [a, b]

^.

Entant quesomme de fontionsde

C ⁿ⁺¹ ([a, b])

^,

u ∈ C ⁿ⁺¹ ([a, b])

^.

De plus, pour

0 ≤ i ≤ n

^,

u(a _i ) = f (a _i ) − L _{A n} (f)(a _i ) − K (x) × 0 = f (a _i ) − f(a _i ) = 0

^{.Et,pardénition}

de

K

^,

u(x) = f (x) − L A n (f)(x) − K(x)w(x) = 0.

Lafontion

u

^{s'annuledonen}

n + 2

^points:

x

^et

a _i

^pourtout

i ∈ { 0, . . . , n }

^.

∗

^{Etape1 :}

Appliquons lethéorème de Rolleàla fontion

u

^sur l'intervalle

[a 0 , a 1 ]

^.

u(a 0 ) = 0

u(a 1 ) = 0

⇒ ∃ c ¹ ₁ ∈ ]a 0 , a 1 [

^telque

u ^′ (c ¹ ₁ ) = 0.

Parun raisonnementanalogue,ontrouvera un zéro de

u ^′

^{dans lesintervalles}

]a 1 , a 2 [ , ]a 2 , a 3 [ , . . . , ]a i 0 , x[, ]x, a i 0 +1 [, . . . , ]a n−1 , a n [

^{. On a ainsi}

n + 1

intervalles qui donnent

n + 1

^{zéros de}

u ^′

^.

Il existe ainsi

n + 1

^réels

c ¹ ₁ < c ¹ ₂ < . . . < c ¹ _n+1

^dans

]a, b[

^{tels que}

u ^′ (c ¹ _i ) = 0

pour tout

i = 1, . . . , n + 1

^.

∗

^{Etape2 :}

De la même façon que pour l'étape 1, utilisons le théorème de Rollesur les

intervalles

]c ¹ _i , c ¹ _i+1 [.

u ^′ (c ¹ ₁ ) = 0 u ^′ (c ¹ ₂ ) = 0

⇒ ∃ c ² ₁ ∈ ]c ¹ ₁ , c ¹ ₂ [

^telque

u ^′′ (c ² ₁ ) = 0, . . . . . .

u ^′ (c ¹ _n ) = 0 u ^′ (c ¹ _n+1 ) = 0

⇒ ∃ c ² _n ∈ ]c ¹ _n , c ¹ _n+1 [

^telque

u ^′′ (c ² _n ) = 0.

Ilexiste alors

n

^réels

c ² ₁ < c ² ₂ < . . . < c ² _n+1

^dans

]a, b[

^{tels que}

u ^′′ (c ² _i ) = 0

^pour

tout

i = 1, . . . , n

^.

En itérant e raisonnement pendant

n − 1

^{étapes (pour}

u ^′′

^,

u ^′′′ , . . . , u ⁽ⁿ⁾

^),

onobtient:

il existe

c ⁿ⁺¹ ₁

^dans

]a, b[

^{tel que}

u ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c ⁿ⁺¹ ₁ ) = 0.

Revenons maintenant à l'expression de la fontion

u

^:

u(t) = f (t) − L _{A n} (f )(t) − K (x)w(t).

Puisque

L A n (f )(t)

^{est un polynmede degré}

n

^{,quand onledérive}

n + 1

^fois,

onobtient0.

Quant à

w(t)

^{,on a:}

w(t) = (t − a 0 )(t − a 1 ) . . . (t − a n )

= t ⁿ⁺¹ +

^{[poly. de degré}

≤ n

^℄

.

Endérivant e polynme

n + 1

^{fois,on obtient}

(n + 1)!

^don

u ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t) − (n + 1)!K(x).

Enprenant

t = c ⁿ⁺¹ ₁

^{, il vient}

0 = f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c ⁿ⁺¹ ₁ ) − (n + 1)!K (x)

^etdon

K(x) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c ⁿ⁺¹ ₁ )

(n + 1)! .

Revenant àla dénition de

K(x)

^{, onobtient nalement}

f(x) − L A n (f)(x) = K(x)w(x)

= f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c ⁿ⁺¹ ₁ )

(n + 1)! (x − a 0 ) . . . (x − a n ).

On obtient ainsi la formuleannonée en prenant

ξ = c ⁿ⁺¹ ₁

^.

•

Penhons-nous maintenant sur le as où

x ∈ [a, a 0 ]

^{(elui où}

x ∈ [a n , b]

est analogue).

Commepréédemment, ononsidère l'appliation

u(t) = f(t) − L A n (f)(t) − K(x)w(t)

^{dénie pour tout}

t ∈ [a, b]

^{telle que}

u(x) = 0

^et

u(a i ) = 0

^{pour tout}

i ∈ { 0, . . . , n }

^.

Appliquonsle théorème de Rolleàette fontion :

u(x) = 0 u(a 0 ) = 0

⇒ ∃ c ¹ ₁ ∈ ]x, a ₀ [

^telque

u ^′ (c ¹ ₁ ) = 0, u(a 0 ) = 0

u(a 1 ) = 0

⇒ ∃ c ¹ ₂ ∈ ]a 0 , a 1 [

^telque

u ^′ (c ¹ ₂ ) = 0, . . . . . .

u(a n−1 ) = 0 u(a n ) = 0

⇒ ∃ c ¹ _n+1 ∈ ]a n−1 , a n [

^telque

u ^′ (c ¹ _n+1 ) = 0.

Il existe alors

n + 1

^réels

c ¹ ₁ < c ¹ ₂ < . . . < c ¹ _n+1

^dans

]a, b[

^{tels que}

u ^′ (c ¹ _i ) = 0

pour tout

i = 1, . . . , n + 1

^.

Enitérante raisonnement (ommedans leas préédent) pendant

n

^étapes

(pour

u ^′ , u ^′′ , . . . , u ⁽ⁿ⁾

^{), onobtientqu'il existe}

c ⁿ⁺¹ ₁

^dans

]a, b[

^{tel que}

u ⁽ⁿ⁺¹⁾ (c ⁿ⁺¹ ₁ ) = 0.

Enproédantmaintenantommedansleas préédent, onobientlaformule

de l'erreur herhée.

Corollaire 2.2.4.

k f − L A n (f ) k ^∞ ≤ k f ⁽ⁿ⁺¹⁾ k ^∞

(n + 1)! k w k ^∞

où

w(x) = (x − a 0 ) . . . (x − a n )

^et

k h k ^∞ = sup

x∈[a,b] | h(x) |

^.

2.3 Constante de Lebesgue

2.3.1 Rappel sur la ontinuité des appliations linéaires

sur un espae vetoriel normé

Soit

u : E → E

^linéaire,

u

^{ontinue sur}

E ⇔ u

^{ontinue en}

0

⇔ u

lipshitzienne, i.e.

∃ M

^telque

∀ x ∈ E, k u(x) k ≤ M k x k

⇔ k u(x) k

^{est bornée sur la boule unité.}

Laplus petite onstante

M

^{vériant laondition de Lipshitz est}

M = sup _x∈E {k u(x) k , k x k = 1 } = sup

x∈E\{0}

k u(x) k

k x k ; M

^{est notée}

||| u |||

^et

dénitune normesur

L (E, E).

2.3.2 Dénition de la onstante

On seplae dans l'espae vetoriel

C ([ − 1, 1])

^{des fontions ontinues sur}

l'intervalle

[ − 1, 1]

^{, muni de la norme}

k f k = max

x∈[−1,1] | f (x) |

^{. Rappelons la}

dénition de l'appliation suivante:

L A n : C ([ − 1, 1]) −→ C ([ − 1, 1]) f 7−→ L _{A n} (f) =

X n i=0

f(a _i )l _i

ave

l i (x) = Y n

j=0

j6=i

x − a j

a _i − a _j ,

^{pour tout}

i = 0, . . . , n.

Théorème 2.3.1.

L A n

^{est une appliation linéaire ontinue dont la norme}

est égale à :

Λ A n = max

x∈[−1,1]

X n i=0

| l i (x) | .

^(2.3)

Cettequantité

Λ A n

^{s'appellelaonstantedeLebesguede}

A n

^où

A n = { a 0 , a 1 , . . . , a n } .

Démonstration. [4℄

∗

^Linéarité

L _{A n}

^{est linéaire puisque, grâe aux propriétés de la somme, si}

f

^et

g

^appar-

tiennent à

C ([ − 1, 1])

^et

λ

^à

R

, onobtientfailement:

L A n (λf + g) = λL A n (f) + L A n (g ).

∗

^Continuité

Utilisonspour ela le ritèrede Lipshitz.

k L A n (f ) k = max

x∈[−1,1] | L A n (f )(x) |

= max

x∈[−1,1]

X n i=0

f(a i )l i (x)

≤ max

x∈[−1,1]

X n i=0

| f(a _i ) | | l _i (x) |

≤ max

x∈[−1,1]

X n i=0

k f k | l i (x) | .

On a obtenu ladernière inégalité en utilisantlamajoration

| f (a i ) |≤k f k ,

^{la norme innie étant bien dénie puisque f est bornée en}

tantque fontion ontinue sur un ompat, d'où

k L A n (f) k ≤ max

x∈[−1,1] k f k X n

i=0

| l i (x) |

≤ k f k max

x∈[−1,1]

X n i=0

| l i (x) | .

De ette inégalité,ondéduit que

L A n

^{est une appliationlinéaire ontinue.}

∗

^{Reherhe de la norme}

On doit montrer que

Λ A n = sup

f ∈ C([−1,1])

f 6=0

k L A n (f ) k

k f k = |k L A n |k .

Comme

f 6 = 0

^{, en utilisant les aluls eetués pour la ontinuité, on}

obtient :

k L A n (f ) k

k f k ≤ Λ A n , ∀ f ∈ C ([ − 1, 1]), f 6 = 0.

D'où,

sup

f∈ C([−1,1])

f6=0

k L A n (f) k

k f k ≤ Λ _{A n} .

^(2.4)

Il nous reste à démontrer que

Λ A n ≤ sup

f ∈ C([−1,1])

f 6 =0

k L A n (f) k k f k .

Pour ela, onstruisons une fontion

f p

^{telle que}

Λ A n ≤ k L A n (f p ) k k f _p k .

Prenons

x 0 ∈ [ − 1, 1]

^telque

X n

i=0

| l i (x 0 ) | = Λ A n

^.

Un tel

x 0

^{existe ar la fontion}

X n i=0

| l i |

^{étant ontinue sur l'espaeompat}

[ − 1, 1]

^{, elleest bornéeet y atteintses bornes.}

Dénissons

f p

^{omme une fontion ane par moreauxtelle que :}

f p (a i ) =

1

^si

l i (x 0 ) ≥ 0

− 1

^si

l i (x 0 ) < 0

etqui prend toutes ses valeurs dans

[ − 1, 1],

^{de sorte que}

k f p k = 1.

Par exemple, lafontion

f p

^{peut être de la formesuivante:}

x x x x x x

a a a a a

a +1

−1

0 1 2 d−2 d−1 d

Calulons

L _{A n} (f _p )(x ₀ )

^:

L A n (f p )(x 0 ) =

X n i=0

f p (a i )l i (x 0 )

= X n

i=0

| l i (x 0 ) | ,

^{par dénition de}

f p

^.

k L A n (f p ) k ≥ | L A n (f p )(x 0 ) |

≥ X n

i=0

| l i (x 0 ) | = Λ A n .

Comme

k f p k = 1

^{, ona}

k L A n (f p ) k

k f _p k ≥ Λ A n

^{et don}

sup

f∈ C([−1,1])

f6 =0

k L A n (f ) k

k f k ≥ Λ A n .

^(2.5)

Ainsi,(2.4) et(2.5) nous donnent

Λ _{A n} = sup

f ∈ C([−1,1])

f 6=0

k L A n (f) k k f k .

2.3.3 Inégalité remarquable

Théorème 2.3.2. Soit

A n = { a 0 , . . . , a n } .

Pour tout

P

^{polynme de degré}

n

^{et pour tout}

f

^dans

C ([ − 1, 1])

^{, on a}

k f − L A n (f ) k≤ (1 + Λ A n ) k f − P k .

Démonstration. [4℄

L A n

^{étantlinéaire, onremarqueque}

L A n (f − P ) = L A n (f) − L A n (P )

^.

Deplus,onsaitquelepolynmed'interpolationde Lagranged'unpolynme

de degré

n

^{est e polynme lui-même1 don}

L A n (f − P ) = L A n (f ) − P.

f − L A n (f ) = f − P − (L A n (f ) − P )

= f − P − L _{A n} (f − P ).

D'où,

k f − L A n (f ) k = k f − P − L A n (f − P ) k

≤ k f − P k + k L A n (f − P ) k

≤ k f − P k + k f − P k Λ A n

≤ k f − P k (1 + Λ A n ).

1

Si

deg(P ) ≤ n

^,alors

L A n (P ) = P

^.

En eet,pardénition de

L A n

^,

L A n (P ) − P

^{s'annuleaux points}

a 0 , a 1 , . . . , a n

^{et admet}

don

n + 1

^raines.

Or,sondegréestinférieurouégalà

n

^don

L A n (P ) − P ≡ 0

^et

L A n (P ) = P.

ploi de l'interpolant de Lagrange plutt que par le polynme de meilleure

approximation.

Par exemple, si

Λ A n ≤ 9, k f − L A n (f ) k≤ 10 k f − P k .

En utilisant le polynme d'interpolation de Lagrange, on perd la préision

d'une déimale par rapport à l'approximation obtenue en utilisant le po-

lynme de meilleure approximation. Don, on a intérêt à hoisir les points

a 0 , . . . , a n

^{de telle sorte que}

Λ A n

^{soitle plus petit possible.}

Enpratique,lemeilleurhoixpossibleest donnéparlesrainesdu polynme

de Thebyhev.

2.4 Interpolation de Fejer-Hermite

Etantdonnés

n

^{tripletsdistints}

(x 1 , y 1 , y ^′ ₁ ), . . . , (x n , y n , y _n ^′ )

^,onvatrouver

un unique polynme

P ∈ P ²ⁿ⁻¹

^{tel que}

P (x k ) = y k

^et

P ^′ (x k ) = y ^′ _k

^{. Ce}

polynme est appeléle polynme d'interpolation de Fejer-Hermite.

Théorème 2.4.1. L'unique polynme

P ∈ P ²ⁿ⁻¹

^{vériant les onditions}

 



P (x k ) = y k

∀ k ∈ { 1, . . . , n } P ^′ (x _k ) = y ^′ _k

est donné par :

P (x) = X n

k=1

y k A k (x) + X n k=1

y _k ^′ B k (x)

ave

2

A k (x) = h

1 − w ^′′ (x k )

w ^′ (x k ) (x − x k ) i

l ² _k (x)

^et

B k (x) = (x − x k )l ² _k (x).

2

Onrappelleque

l k (x) = w(x) w ^′ (x k )

1 x − x k

= Y n

i=1 i6 = k

x − x i

x k − x i

,

ave

w(x) = (x − x 1 ) . . . (x − x n )

^telque

l k (x j ) =

1

^si

k = j

0

^sinon

Démonstration. Vérions lesonditions imposées sur

P

^.

∗

^{Calul du degré.}

deg(l k ) = n − 1,

^don

deg(l _k ² ) = 2(n − 1)

^.

De plus, ona

deg

1 − w ^′′ (x k )

w ^′ (x k ) (x − x k )

= 1

^{. D'où,}

deg(A k (x)) = 2n − 1

^.

D'autre part,

deg(B k ) = deg(x − x k ) + deg(l ² _k (x)) = 2n − 1

^{.Don, onabien}

deg(P ) ≤ max n

{ deg(A k ), deg(B k ) } , k = 0, . . . , n o

≤ 2n − 1.

∗

^Soit

k 0 ∈ { 1, . . . , n }

^{quelonque. Vérions que}

P (x k 0 ) = y k 0

^.

On a

P (x k 0 ) = X n

k=1

y k A k (x k 0 ) + X n k=1

y ^′ _k B k (x k 0 ).

Si

k = k 0

^{, ona}

A k (x k 0 ) = A k 0 (x k 0 ) = l ² _{k 0} (x k 0 ) = 1

^,

etsi

k 6 = k ₀

^{, alors}

A _k (x _k 0 ) = 0

^ar

l _k (x _k 0 ) = 0.

De plus, quelque soit

k

^,

B k (x k 0 ) = 0

^{don, ona bien}

P (x k 0 ) = y k 0

∀ k 0 ∈ { 1, . . . , n }

^.

∗

^{Vérions que}

P ^′ (x k 0 ) = y ^′ _{k 0} .

Par dérivation, onobtient

B ^′ _k (x k 0 ) = l _k ² (x k 0 ) + 2(x k 0 − x k )l k (x k 0 )l ^′ _k (x k 0 )

^.

Si

k = k ₀

^,

B _k ^′ ₀ (x _k 0 ) = l _k ² ₀ (x _k 0 ) = 1

^,

etsi

k 6 = k 0 , B _k ^′ (x k 0 ) = 0

^ar

x k 0

^{est raine de}

l k .

Cei montre que

X ⁿ

k=1

y ^′ _k B k (x) ′

| ^x=x k 0 = y _k ^′ ₀ .

Il nous reste alors à montrer que

X ⁿ

k=1

y _k A _k (x) ′

| x=x k 0 = 0.

^{Montrons pour}

ela que

A ^′ _k (x k 0 ) = 0.

Si

k 6 = k 0

^,

x k 0

^{est raine de}

l k

^{don raine doublede}

l ² _k

^don,

A ^′ _k (x k 0 ) = 0.

Si

k = k 0

^,

A ^′ _k (x k 0 ) = A ^′ _{k 0} (x k 0 ) = − w ^′′ (x k 0 )

w ^′ (x _k 0 ) l ² _{k 0} (x k 0 )+2 h

1 − w ^′′ (x k 0 )

w ^′ (x _k 0 ) (x k 0 − x k 0 ) i

l ^′ _{k 0} (x k 0 )l k 0 (x k 0 ).

Or,

l k 0 (x k 0 ) = 1

^don

A ^′ _{k 0} (x k 0 ) = − w ^′′ (x k 0 )

w ^′ (x _k 0 ) + 2l ^′ _{k 0} (x k 0 ).

Calulons

l ^′ _{k 0} (x)

^:

l k 0 (x) = w(x)

w ^′ (x _k 0 )(x − x _k 0 )

^don

l ^′ _{k 0} (x) = 1 w ^′ (x _k 0 )

w ^′ (x)(x − x k 0 ) − w(x) (x − x _k 0 ) ² .

Pour que

A ^′ _k (x k 0 ) = A ^′ _{k 0} (x k 0 ) = 0,

^{ilfaut que}

l ^′ _{k 0} (x k 0 ) = 1 2

w ^′′ (x k 0 ) w ^′ (x k 0 ) .

Pour que

l _k ^′ ₀ (x k 0 )

^{soitbien déni,ilfautque}

x k 0

^{soitrainedoubledu numé-}

rateur

N (x) = w ^′ (x)(x − x k 0 ) − w(x).

Il est lair que

N (x k 0 ) = 0

^{, et de plus, omme}

N ^′ (x) = w ^′′ (x)(x − x k 0 )

^,

N ^′ (x _k 0 ) = 0

^.Don,

x = x _k 0

^{est raine doublede}

N

^.

Par onséquent, ilexiste un polynme

T ∈ P ⁿ⁻²

^{tel que}

N (x) = (x − x k 0 ) ² T (x).

Endérivant

N

^{,on obtient}

N ^′ (x) = w ^′′ (x)(x − x k 0 )

= 2(x − x k 0 )T (x) + (x − x k 0 ) ² T ^′ (x).

D'où,

w ^′′ (x) = 2T (x) + (x − x k 0 )T ^′ (x)

^.

Enpartiulier, pour

x = x k 0

^{, ona}

w ^′′ (x k 0 ) = 2T (x k 0 )

^,'est-à-dire

T (x k 0 ) = w ^′′ (x k 0 )

2

^{. Etdon,}

l ^′ _k (x k 0 ) = 1

w ^′ (x _k 0 )

N (x k 0 )

(x − x _k 0 ) ² = 1

w ^′ (x _k 0 ) T (x k 0 )

= 1 2

w ^′′ (x _k 0 ) w ^′ (x k 0 ) .

On a bien

A ^′ _{k 0} (x k 0 ) = 0

^.

Au nal, ona montré que

P ^′ (x k 0 ) = X ⁿ

k=1

y _k ^′ B k (x k 0 ) ′

+ X ⁿ

k=1

y k A k (x k 0 ) ′

= y ^′ _{k 0} + 0

= y ^′ _{k 0} .

Don, le polynme vérie toutesles onditions demandées.

Appliation à l'interpolation de

Lagrange

3.1 Minimisation de l'erreur par les polynmes

de Thebyhev

An de minimiserl'erreurd'interpolationde Lagrange(dontl'expression

a été vue au (2.2)), on herhe pour quels points

a i

^{la norme}

k w k ^∞

^est

la plus petite possible. On va montrer que es valeurs orrespondent aux

raines des polynmes de Thebyhev. Dans un premier temps, on restreint

notre étude à l'intervalle

[ − 1, 1]

^{. Nous verrons par la suite que e n'est pas}

une perte de généralité.

Dénition 1. Pour tout

n ∈ N

, onpose

T e n = 1 2 ⁿ⁻¹ T n .

Notons que le polynme

T e n

^{est unitaire; 'est une sorte de} "normalisa- tion" de

T n .

Théorème 3.1.1. Notons

P e ⁿ

^{l'ensemble des polynmes unitaires de degré}

inférieur ou égal à

n

^.

Pour tout

p ∈ P e ⁿ

^{, on a}

k T e n k ^∞ ≤k p k ^∞ ,

^(3.1)

où

k f k ^∞ = max

−1≤x≤1 | f(x) | .

Démonstration. [3℄On va raisonner par l'absurde.

Supposons qu'ilexiste

p ∈ P e ⁿ

^telque

k p k ^∞ < k T e n k ^∞

k p k ^∞ < 1

2 ⁿ⁻¹ k T n k ^∞ .

Or,

| T n (x) |≤ 1

^{. Don,}

k p k ^∞ < 1 2 ⁿ⁻¹ .

Posons

Q(x) = T e n (x) − p(x).

Q ∈ P ⁿ⁻¹

^{puisque les deux polynmes}

T e n

^et

p

^{sont unitaires (les monmes}

x ⁿ

s'éliminentdans la soustration).Etudions e polynme aux points

x ^′ _k

^.

Q(x ^′ _k ) = T e _n (x ^′ _k ) − p(x ^′ _k ) = ( − 1) ^k

2 ⁿ⁻¹ − p(x ^′ _k ), k = 0, 1, . . . , n.

∗

^{Lorsque k est pair :}

Q(x ^′ _k ) = 1

2 ⁿ⁻¹ − p(x ^′ _k )

^.

Or,

| p(x ^′ _k ) | < 1

2 ⁿ⁻¹

^implique

p(x ^′ _k ) < 1 2 ⁿ⁻¹ .

D'où

− p(x ^′ _k ) > − 1

2 ⁿ⁻¹

^etdon

Q(x ^′ _k ) > 0.

∗

^{Lorsque k est impair:}

Q(x ^′ _k ) = − 1

2 ⁿ⁻¹ − p(x ^′ _k )

^.

Or,

| p(x ^′ _k ) | < 1

2 ⁿ⁻¹

^implique

p(x ^′ _k ) > − 1 2 ⁿ⁻¹ .

D'où

− p(x ^′ _k ) < 1

2 ⁿ⁻¹

^{et don}

Q(x ^′ _k ) < 0.

Ainsi,

Q(x ^′ _k )

^prend

n + 1

^valeurs suessivement positivesetnégativeset admetdon

n

^{zérosdistints(d'aprèslethéorèmedesvaleurs}intermédiaires).

Or,

Q(x) ∈ P n−1

^{don il admet au plus}

n − 1

^{zéros. Don}

Q ≡ 0

^{, e qui}

impliqueque

p ≡ T e n

^et

k p k ∞ = k T e _n k ∞ .

On obtient alors une ontradition, e qui montre que notre hypothèse de

départest fausse.

Finalement,

k T e n k ^∞ ≤k p k ^∞ .

On vient de montrer que pour tout

p

^dans

P e ⁿ

^{, on a}

k T e n k ^∞ ≤k p k ^∞ ,

elamontreque

T e n

^{estunpolynmeunitairedontlanormesupestminimale}

sur

[ − 1, 1]

^{parmi les polynmes de degré auplus n.En modiant un peu la}

démonstration, onva établirque

T e n

^{est l'unique polynmeayant ettepro-}

priété dans

P e ⁿ .

Théorème 3.1.2. On a

k p k ^∞ ≤ k T e n k ^∞

= ⇒ p = T e n

.

Démonstration. [2℄Supposons qu'ilexiste

p ∈ P e ⁿ

^{tel que}

k p k ^∞ ≤k T e n k ^∞ .

Notons

x ^′ _k

^{les points où}

k T e n k ^∞ = | T e n (x ^′ _k ) | , ∀ k = 0, . . . , n.

On a alors

| p(x ^′ _k ) | ≤ k p k ^∞ ≤ | T e n (x ^′ _k ) | ,

^{et puisque}

2 ⁿ⁻¹ T e n (x ^′ _k ) = ( − 1) ^k , ( − 1) ^k (p − T e n )(x ^′ _k ) = ( − 1) ^k p(x ^′ _k ) − ( − 1) ^k T e n (x ^′ _k )

= ( − 1) ^k p(x ^′ _k ) − 2 ⁻ⁿ⁺¹ .

Or,

p(x ^′ _k ) ≤ | p(x ^′ _k ) | ≤ | T e n (x ^′ _k ) | = 2 ⁻ⁿ⁺¹ ,

^don,

( − 1) ^k (p − T e n )(x ^′ _k ) ≤ (( − 1) ^k − 1)2 ⁻ⁿ⁺¹ ≤ 0.

^(3.2)

Cei implique que

( − 1) ^k Z x ^′ _k+1

x ^′ _k

(p − T e _n ) ^′ (s)ds = ( − 1) ^k (p − T e _n )(x ^′ _k+1 ) − ( − 1) ^k (p − T e _n )(x ^′ _k )

= − h

( − 1) ^k+1 (p − T e n )(x ^′ _k+1 ) + ( − 1) ^k (p − T e n )(x ^′ _k ) i

≥ 0,

ar

∀ k = 0, . . . , n

^,

( − 1) ^k (p − T e _n )(x ^′ _k ) ≤ 0

^{d'après(3.2).}

On a alors deux as :

∗

^Si

(p − T e n ) ^′ = 0

^,

il existe une onstante

c ∈ R

telle que

p − T e n = c.

^{D'après (3.2),}

c = 0

^ar

( − 1) ^k c ≤ 0

^{pour tout}

k = 0, . . . , n.

∗

^Si

(p − T e n ) ^′ 6 = 0

^,

( − 1) ^k

Z x ^′ _k+1 x ^′ _k

(p − T e _n ) ^′ (s)ds ≥ 0,

^donilexiste

ξ _k ∈ ]x ^′ _k , x ^′ _k+1 [,

^pour

k = 0, . . . , n,

tels que

( − 1) ^k (p − T e n ) ^′ (ξ k ) > 0.

Montrons-le par ontraposée.

Supposons que

∀ ξ k ∈ ]x ^′ _k , x ^′ _k+1 [, ( − 1) ^k (p − T e n ) ^′ (ξ k ) ≤ 0

^{. On aurait alors}

Z x ^′ _k+1 x ^′ _k

( − 1) ^k (p − T e n ) ^′ (ξ k )ds ≤ 0.

Or,

( − 1) ^k Z x ^′ _k+1

x ^′ _k

(p − T e _n ) ^′ (s)ds ≥ 0,

^don

Z x ^′ _k+1 x ^′ _k

( − 1) ^k (p − T e _n ) ^′ (ξ _k )ds ≥ 0,

e qui impliquerait que

( − 1) ^k Z x ^′ _k+1

x ^′ _k

(p − T e n ) ^′ (ξ k )ds = 0.

^{Sahant que l'in-}

tégrale d'une fontion ontinue de signe onstant est nulle si et seulement

si ette fontion est nulle 1

,

( − 1) ^k (p − T e n ) ^′ (ξ k ) = 0 ∀ ξ k ∈ ]x ^′ _k , x ^′ _k+1 [.

^D'où,

(p − T e n ) ^′ = 0

^{, e quiest ontraire à} l'hypothèse de départ.

Ainsi,pour tout

k = 0, . . . , n, ( − 1) ^k (p − T e n ) ^′ (ξ k ) > 0,

^{'est à dire :}

si

k

^{est pair,}

(p − T e n ) ^′ (ξ k ) > 0,

si

k

^{est impair,}

(p − T e n ) ^′ (ξ k ) < 0.

Don,d'aprèslethéorèmedes valeursintermédiairesappliquéauxintervalles

]ξ k , ξ k+1 [

^{, onobtientqu'il existe}

c 0 , . . . , c n−1 ∈ R

tels que

(p − T e n ) ^′ (c k ) = 0

^.

Or, omme

p − T e _n

^{est de degré}

n − 1

^{(ar e sont des polynmes}unitaires),

(p − T e n ) ^′

^{est de degré}

n − 2

^{. Ayant trouvé}

n

^{raines pour e polynme,}

(p − T e n ) ^′ = 0

^{, e quinous ramène aupremier as. D'où}

p − T e n ≡ 0.

Finalement,

p = T e n .

Corollaire 3.1.3. Quels que soient les réels

a 0 , . . . , a n

^ave

a 0 6 = 0

^{, on a}

a≤x≤b max | a ₀ x ⁿ + a ₁ x ⁿ⁻¹ + . . . + a _n | ≥ | a ₀ | (b − a) ⁿ 2 ²ⁿ⁻¹ .

Démonstration. [3℄ Pour passer de l'intervalle

[a, b]

^à

[ − 1, 1]

^{, eetuons la}

transformationsuivante :

x = b + a

2 + b − a 2 t.

Soit

p ∈ P n

^{, on a}

p(x) = a _n + a _n−1 x + . . . + a ₀ x ⁿ ,

1

Sifestontinuedesigneonstantsur

[a, b]

^,alors

R b

a f (x)dx = 0 ⇒ f ≡ 0

.

Eneet,parontraposéesupposonsque

f 6 = 0

^{,'estàdireque}

∃ x ∈ [a, b]

^telque

f (x) > 0

^(ladémonstrationseraitanaloguepour

f (x)

^{négatif).Enappliquantladénition}

delaontinuitéde

f

^en

x

^ave

ε = ^|f(x)| ₂

^,

∃ η

^telquesi

| y − x |≤ η, | f (y) |≥ ^|f(x)| ₂

^etdon

R b

a f (t)dt ≥ R x+η

x−η f (t)dt

^ar

f ≥ 0

^et

[x − η, x + η] ⊂ [a, b]

^.Don

R b

a f (t)dt ≥ η | f (x) | > 0.