Modélisation dynamique de systèmes complexes pour le calcul de grandeurs fiabilistes et l'optimisation de la maintenance

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calcul de grandeurs fiabilistes et l’optimisation de la maintenance

William Lair

To cite this version:

William Lair. Modélisation dynamique de systèmes complexes pour le calcul de grandeurs fiabilistes et

l’optimisation de la maintenance. Probabilités [math.PR]. Université de Pau et des Pays de l’Adour,

2011. Français. �tel-00643981v2�

UNIVERSIT´ E DE PAU ET DES PAYS DE L’ADOUR

ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES EXACTES ET LEURS APPLICATIONS E.D. 211 ´

TH` ESE

pr´ esent´ ee pour obtenir le grade de

Docteur de l’Universit´ e de Pau et des Pays de l’Adour Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques

par

William LAIR

Titre :

MOD´ ELISATION DYNAMIQUE DE SYST` EMES COMPLEXES POUR LE CALCUL DE GRANDEURS FIABILISTES ET

L’OPTIMISATION DE LA MAINTENANCE

soutenue publiquement le 18 novembre 2011

JURY

Anne GEGOUT-PETIT Maˆıtre de Conf´ erences, UVSB Examinatrice Antoine GRALL Professeur des Universit´ es, UTT Rapporteur Ivan KOJADINOVIC Professeur des Universit´ es, UPPA Examinateur Pierre-Etienne LABEAU Chercheur Qualifi´ e FNRS, ULB Rapporteur

Sophie MERCIER Professeur des Universit´ es, UPPA Directrice de th` ese Michel ROUSSIGNOL Professeur des Universit´ es, UPE Co-Directeur de th` ese Rachid ZIANI Chef de projet statistique, SNCF Encadrant industriel

Version publique

Remerciements

Apr` es avoir r´ edig´ e un rapport de th` ese, je pensais qu’´ ecrire la page des remerciements serait le plus simple. En fait, il n’en est rien... Il faut choisir les bons mots et n’oublier personne ! Mais les mots sont difficiles ` a trouver, surtout lorsqu’il s’agit de remercier les personnes sans qui cette th` ese n’aurait pas pu ˆ etre possible. Je tiens donc

`

a remercier Rachid Ziani, mon encadrant industriel SNCF. Rachid, tu as su m’aider et me soutenir tous les jours pendant trois ans. Travailler avec toi a ´ et´ e un plaisir et une tr` es bonne exp´ erience. Je remercie ´ egalement ma directrice de th` ese, Sophie Mercier. Malgr´ e la distance qui s´ epare Pau de Paris, Sophie, tu as toujours

´

et´ e disponible pour r´ epondre ` a mes - bonnes et mauvaises - questions. Tes qualit´ es p´ edagogiques et tes grandes connaissances scientifiques m’ont aid´ e ` a surmonter les diff´ erents obstacles rencontr´ es pendant ces trois ann´ ees.

Enfin je remercie mon co-directeur, Michel Roussignol. Michel, tes conseils sur le plan scientifique et humain m’ont beaucoup aid´ e. A vous trois, je vous remercie encore tr` es chaleureusement, votre encadrement et votre sympathie m’ont permis d’avancer sereinement et d’apprendre ´ enorm´ ement.

Je tiens ` a remercier sinc´ erement Pierre-Etienne Labeau et Antoine Grall d’avoir accept´ e de rapporter ma th` ese. Merci de l’attention que vous avez port´ e ` a mon travail. Je remercie ´ egalement Anne G´ egout-Petit et Ivan Kojadinovic d’avoir accept´ e de faire partie de mon jury de th` ese en tant qu’examinateurs.

Ma gratitude va ´ egalement ` a Fabien Santos et Jean-Marc Dayma, agents SNCF de la direction de l’Infra- structure, pour m’avoir accord´ e du temps - et de l’argent ! - dans le cadre de l’´ etude d’un syst` eme ferroviaire.

Leurs connaissances expertes ont permis d’appr´ ehender au mieux les probl´ ematiques auxquelles cette th` ese de- vait r´ epondre. J’esp` ere donc que les r´ esultats de ce travail correspondent ` a leurs attentes.

J’ai une pens´ ee nostalgique pour mes deux anciens stagiaires de l’ENSAI, Maxime Debricon et Floran Gi- rard, dont le travail, notamment sur les ´ enormes bases de donn´ ees de la SNCF, m’a bien aid´ e. Je vous remercie.

Je tiens ` a remercier l’ensemble des agents de la Direction de l’Innovation et de la Recherche de la SNCF. J’ai une pens´ ee particuli` ere pour Julien Pouget, Yann Riffonneau, Hassan Ghannoum, Benjamin L’Henoret, Marina Thioun, Oriane Gatin, Fabrice Ganansia, David Sanz, Philippe David, Philippe Galtier et Jeanne Feill´ ee qui m’ont accompagn´ e au quotidien. Je remercie particuli` erement Vincent Delcourt, chef du groupe Energ´ etique et Techniques de Maintenance, et Philippe Berthier, chef du d´ epartement Service, R´ eseaux, Optimisation ; ils m’ont toujours accord´ e mes cong´ es ! Travailler avec vous restera un tr` es bon souve- nir. J’ai pass´ e de tr` es bons moments avec vous tous, vous allez me manquer.

Merci ` a ma famille et ` a ma belle-famille ! Pendant toutes mes ´ etudes, vous m’avez encourag´ e et soutenu. Merci fr` ere Olive, Papa et Cidalia. Merci ` a mes grands-parents Huguette, Pierre et Fernande. Merci Fran¸ coise, Vincent, Charlotte et Anne-Sophie ` a qui je dois ´ enorm´ ement.

Enfin, je termine par remercier la personne qui compte le plus pour moi, il s’agit de mon ´ epouse Pauline

Giacobbi. Tout au long de ma th` ese, tu m’as toujours soutenu mˆ eme quand je te parlais de Markov pendant

nos vacances. Tu m’as toujours bien conseill´ e et je ne te remercierai jamais assez.

Table des mati` eres

Introduction g´ en´ erale et contexte de l’´ etude 9

1 Etat de l’art : m´ ethodes de fiabilit´ e syst` eme 13

1.1 Introduction . . . . 13

1.2 Mod´ elisation et quantification en fiabilit´ e classique . . . . 14

1.2.1 Mod` eles stochastiques classiques . . . . 14

1.2.1.1 Les chaˆınes de Markov . . . . 14

1.2.1.2 Les processus markoviens de sauts . . . . 16

1.2.1.3 Les processus semi-markoviens . . . . 17

1.2.2 Outils pour la quantification . . . . 18

1.2.2.1 Calculs analytiques . . . . 18

1.2.2.2 Les simulations de Monte-Carlo . . . . 18

1.2.2.3 Les m´ ethodes de discr´ etisation . . . . 19

1.2.3 Outils d’aide ` a la mod´ elisation . . . . 19

1.2.3.1 Les r´ eseaux de P´ etri stochastiques . . . . 19

1.2.3.2 Les BDMP (Boolean logic Driven Markov Processes) . . . . 20

1.2.3.3 Les r´ eseaux bay´ esiens dynamiques . . . . 21

1.3 Introduction aux processus markoviens d´ eterministes par morceaux . . . . 22

1.3.1 Le mod` ele . . . . 22

1.3.2 Outils pour leur quantification . . . . 26

1.3.2.1 Les simulations de Monte-Carlo . . . . 26

1.3.2.2 Les m´ ethodes de discr´ etisation . . . . 27

1.3.2.3 Les arbres dynamiques discrets . . . . 28

1.3.3 Outils pour leur mod´ elisation . . . . 28

1.3.3.1 Les r´ eseaux de P´ etri color´ es . . . . 28

1.3.3.2 Les automates stochastiques hybrides . . . . 28

1.4 M´ ethodologie retenue pour les cas d’application SNCF . . . . 29

2 M´ ethode d´ eterministe de traitement num´ erique 33 2.1 Introduction . . . . 33

2.2 Construction th´ eorique des processus markoviens d´ eterministes par morceaux . . . . 34

2.2.1 Hypoth` eses . . . . 34

2.2.2 Construction probabiliste du processus . . . . 35

2.2.3 Equation de renouvellement markovien . . . . ´ 35

2.2.4 Probabilit´ es de transition . . . . 36

2.2.5 Le g´ en´ erateur ´ etendu et ´ equations de Chapman-Kolmogorov . . . . 36

2.2.6 Cas d’un PDMP non-homog` ene . . . . 38

2.3 Traitement num´ erique par un sch´ ema de volumes finis . . . . 38

2.3.1 Pr´ esentation du sch´ ema . . . . 38

2.3.2 Etude de la convergence . . . . ´ 45

2.4 Quantit´ es d’int´ erˆ et estim´ ees par le sch´ ema de volumes finis . . . . 55

2.4.1 Fiabilit´ e . . . . 56

2.4.2 Disponibilit´ e . . . . 56

2.4.3 Nombre d’occurrences d’un ´ ev´ enement . . . . 57

2.5 M´ ethodes de simplification et d’approximation . . . . 58

2.5.1 Introduction . . . . 58

2.5.2 R´ eduction de l’espace par la mod´ elisation . . . . 59

2.5.2.1 R´ eduction de l’espace en tenant compte des ind´ ependances entre composants . . 59

2.5.2.2 R´ eduction du nombre de variables physiques . . . . 60

2.5.3 La m´ ethode d’approximation . . . . 61

2.5.3.1 Pourquoi approximer ? . . . . 61

2.5.3.2 Description de la m´ ethode . . . . 61

2.5.3.3 Application de la m´ ethode . . . . 64

2.5.3.4 Bilan des tests . . . . 74

2.5.4 Changement de mod´ elisation . . . . 76

2.5.4.1 Introduction . . . . 76

2.5.4.2 Le changement de processus . . . . 77

2.5.4.3 Sch´ ema de volumes finis adapt´ e au PDMP non-homog` ene . . . . 80

2.5.4.4 Nouvelle repr´ esentation et approximation . . . . 80

2.5.4.5 Bilan . . . . 82

2.6 Conclusion . . . . 82

3 Etude d’un benchmark de fiabilit´ e dynamique 85 3.1 Introduction et contexte . . . . 85

3.2 Pr´ esentation du cas d’´ etude . . . . 85

3.3 Mod´ elisation du syst` eme par un PDMP . . . . 88

3.4 R´ esultats num´ eriques . . . . 89

3.5 Conclusion . . . . 91

4 M´ ethodes de mod´ elisation probabiliste de la dur´ ee de vie 93 4.1 Introduction . . . . 93

4.2 M´ ethodes probabilistes de mod´ elisation de la dur´ ee de vie . . . . 93

4.2.1 La loi de Weibull . . . . 93

4.2.2 La loi de Bertholon . . . . 95

4.2.3 Une g´ en´ eralisation de la loi de Weibull : mod` ele ’New Modified Weibull Distribution’ . . . 96

4.3 Mod´ elisation de l’effet de la maintenance . . . . 97

4.3.1 Mod` ele d’ˆ age virtuel . . . . 97

4.3.2 Le mod` ele ARA

. . . . 98

4.3.2.1 Pr´ esentation th´ eorique du mod` ele . . . . 98

4.3.2.2 Loi intrins` eque de type Weibull . . . . 99

4.3.2.3 Loi intrins` eque de type Bertholon . . . 100

5 Optimisation de la maintenance d’un syst` eme de climatisation de TER 101 5.1 Contexte de l’´ etude . . . 101

5.2 Description du syst` eme climatisation . . . 102

5.3 Etude de la dur´ ´ ee de vie des composants . . . 102

5.4 Mod´ elisation du syst` eme par PDMP . . . 102

5.5 Quantification avec le sch´ ema de volumes finis . . . 104

5.6 Les strat´ egies de maintenance pr´ eventive pour le syst` eme de climatisation . . . 105

5.6.1 Deux strat´ egies de maintenance pr´ eventive . . . 105

5.6.1.1 La r´ evision g´ en´ erale . . . 105

5.6.1.2 La strat´ egie de maintenance opportuniste . . . 105

5.6.2 Mod´ elisation des strat´ egies de maintenance pr´ eventive . . . 105

5.6.2.1 La r´ evision g´ en´ erale . . . 106

5.6.2.2 La strat´ egie de maintenance opportuniste . . . 106

5.7 Optimisation de la maintenance . . . 106

5.7.1 Crit` eres d’optimisation . . . 106

5.7.2 Fonction de coˆ ut . . . 106

5.7.3 Strat´ egies optimales selon le crit` ere de coˆ ut . . . 107

5.8 Conclusion . . . 110

TABLE DES MATI ` ERES 7 6 Maintenance effect modelling and optimization of a two-components system 111

6.1 Introduction . . . 111

6.2 The two-components system . . . 112

6.2.1 System presentation . . . 112

6.2.2 Preventive maintenance strategy . . . 112

6.3 Components life-time and maintenance effect modelling . . . 112

6.3.1 Model presentation . . . 112

6.3.2 Results . . . 114

6.4 System modelling . . . 116

6.4.1 Piecewise Deterministic Markov Processes . . . 116

6.4.2 PDMP quantification with a finite volume algorithm . . . 117

6.5 Maintenance optimization . . . 118

6.5.1 A new maintenance strategy with preventive renewal of components . . . 118

6.5.2 Cost function . . . 119

6.5.3 Results . . . 120

6.6 Conclusions . . . 120

Conclusions g´ en´ erales et perspectives 123

Publications et communications 125

A Notations 127

B Minimisation d’une fonction de coˆ ut avec un algorithme de Recuit Simul´ e 131

Introduction g´ en´ erale et contexte de l’´ etude

Pr´ eambule

Ce document est une version publique du rapport de th` ese et ne correspond pas au m´ emoire qui a ´ et´ e ´ evalu´ e par le jury. Les etudes men´ ees ` a la SNCF sont confidentielles, ainsi une grande partie des travaux men´ es pendant la th` ese n’est d´ etaill´ ee dans ce document.

Contexte

Pour une compagnie de chemins de fer telle que la SNCF, la maintenance des installations de signalisation et de son mat´ eriel roulant est une tˆ ache primordiale car elle impacte directement la ponctualit´ e des trains et la s´ ecurit´ e.

La SNCF effectue des investissements importants en entretien afin de garantir un service sˆ ur et de qualit´ e. Ces investissements ne sont pas toujours suffisants pour enrayer le vieillissement des installations de signalisation et du mat´ eriel roulant. Par exemple, un audit r´ ecent sur l’´ etat du r´ eseau ferr´ e national fran¸ cais, voir [Rivier and Putallaz, 2005], a mis en ´ evidence que celui-ci vieillit malgr´ e la maintenance pr´ eventive en vigueur entraˆınant une perte de capital. Une conclusion de cet audit est que

la seule mani` ere de garantir la p´ erennit´ e du r´ eseau consiste ` a investir pour rajeunir le patrimoine

` a travers du renouvellement pr´ eventif. La SNCF entreprend des

´

etudes, dont cette th` ese fait partie, afin de justifier la mise en place de nouveaux plans de maintenance pouvant inclure du renouvellement pr´ eventif.

La d´ efaillance d’une installation de signalisation entraˆıne g´ en´ eralement des perturbations sur le r´ eseau. Une maintenance corrective a pour objectif de r´ etablir la fonction le plus rapidement possible afin de limiter ces per- turbations. Les agents de maintenance remettent le syst` eme en fonctionnement, en r´ eparant ou en rempla¸ cant le ou les composants d´ efaillants, sans effectuer d’actions suppl´ ementaires. Une installation de signalisation est r´ eguli` erement entretenue selon un cycle de maintenance court allant de six ` a vingt quatre mois, afin de limiter les effets de la d´ egradation engendr´ es par le passage des trains ou par les conditions m´ et´ eorologiques.

La d´ efaillance d’un mat´ eriel roulant peut avoir pour cons´ equence d’annuler la circulation d’un train, d´ egradant ainsi l’image de marque de la SNCF. La maintenance corrective de ce type de syst` eme peut n´ ecessiter son trans- port jusqu’` a un centre de maintenance ce qui entraˆıne des coˆ uts importants en logistique et en indisponibilit´ e.

Un mat´ eriel roulant est g´ en´ eralement soumis ` a des maintenances pr´ eventives group´ ees selon diff´ erents niveaux allant de un ` a cinq. Les niveaux un ` a trois repr´ esentent des maintenances courantes alors que les niveaux quatre et cinq repr´ esentent de gros travaux.

Le plan de maintenance pr´ eventive d’un syst` eme ferroviaire est d´ efini par des experts SNCF, pouvant avoir ` a leur disposition des indications de fiabilit´ e fournies par le constructeur. Ces indications ne prennent pas conve- nablement en compte le stress engendr´ e par les sollicitations en conditions r´ eelles, qui a pour effet d’acc´ el´ erer la d´ egradation. Ces informations ne sont donc pas suffisantes. L’´ etude du retour d’exp´ erience par des m´ ethodes statistiques et probabilistes est donc n´ ecessaire. Cette ´ etude peut permettre d’´ evaluer des quantit´ es pouvant servir d’aide ` a la d´ ecision aux experts.

Ainsi, la SNCF m` ene des ´ etudes fiabilistes bas´ ees sur le retour d’exp´ erience en exploitation dont l’objectif

est de d´ eterminer, pour chaque syst` eme, une strat´ egie de maintenance pr´ eventive optimale afin de r´ eduire sa

d´ egradation. Le choix d’un plan de maintenance ´ etant fortement contraint par son coˆ ut, il est important d’´ evaluer l’investissement qu’il engendre ainsi que son effet sur les d´ efaillances. L’effet d’une strat´ egie de maintenance pr´ eventive sur le fonctionnement du syst` eme est d´ etermin´ e ` a travers l’´ evaluation de quantit´ es fiabilistes telles que la fiabilit´ e, la disponibilit´ e ou encore la dur´ ee moyenne de fonctionnement (Mean Up Time ou MUT). Le calcul de ces quantit´ es va permettre de comparer diff´ erentes strat´ egies de maintenance et ainsi de d´ eterminer celle qui est la mieux adapt´ ee. Dans le cas d’une optimisation selon un crit` ere ´ economique, il s’agit d’´ evaluer le plan de maintenance dont le coˆ ut associ´ e (comprenant l’investissement en maintenance pr´ eventive et les coˆ uts de d´ efaillance) est le plus bas possible. L’objectif est de trouver un ´ equilibre entre l’effort en maintenance pr´ eventive et un nombre de d´ efaillances ’acceptable’. Deux situations sont ` a ´ eviter :

• Maintenance excessive : les investissements sont excessifs par rapport ` a l’efficacit´ e des maintenances,

• Maintenance insuffisante : la maintenance pr´ eventive ne parvient pas ` a r´ eduire suffisamment la d´ egradation.

Selon [Rivier and Putallaz, 2005], la maintenance du r´ eseau se trouve actuellement dans ce cas de figure.

M´ ethodologie

Le vieillissement des composants et la complexit´ e des strat´ egies de maintenance ´ etudi´ ees nous obligent ` a avoir recours ` a de nouveaux mod` eles probabilistes afin de r´ epondre ` a la probl´ ematique. Les mod` eles probabilistes que l’on peut trouver dans la litt´ erature et qui sont classiquement utilis´ es obligent en effet ` a effectuer des hy- poth` eses simplificatrices fortes ce qui diminue la pertinence des r´ esultats. Nous proposons d’utiliser un processus stochastique issu de la fiabilit´ e dynamique nomm´ e processus markovien d´ eterministe par morceaux (Piecewise Deterministic Markov Process ou PDMP). Un des enjeux scientifiques de cette th` ese est de montrer qu’un PDMP est bien adapt´ e dans le cadre de l’´ etude fiabiliste d’un syst` eme multi-composants maintenu. Ce processus n’est pas, ` a notre connaissance, utilis´ e ` a ce jour pour r´ epondre ` a ce type de probl´ ematique dans le milieu industriel.

L’´ evaluation des quantit´ es d’int´ erˆ et associ´ ees ` a un PDMP peut ˆ etre r´ ealis´ ee par diff´ erentes m´ ethodes. Cependant elles pr´ esentent chacune une limite qui nous empˆ eche de les appliquer directement. Un objectif de cette ´ etude est d’am´ eliorer une m´ ethode de quantification, en l’occurrence un sch´ ema de volumes finis, afin de l’adapter ` a l’´ etude d’un syst` eme multi-composants vieillissants en vue de l’optimisation de sa maintenance.

Les difficult´ es d’ordre num´ erique, associ´ ees ` a un sch´ ema de volumes finis, peuvent ˆ etre de trois natures diff´ erentes :

• Un temps de calcul important : les nombreux calculs n´ ecessaires pour utiliser le sch´ ema de volumes finis peuvent entraˆıner de longs temps de calcul ; cette limitation est une contrainte lorsqu’il s’agit d’optimiser une strat´ egie de maintenance,

• Une place m´ emoire insuffisante : la quantification d’un PDMP mod´ elisant un syst` eme complexe peut n´ ecessiter une place m´ emoire importante du fait du nombre de composants vieillissants et de leurs d´ ependances,

• La difficult´ e d’impl´ ementation du sch´ ema num´ erique : cette limite peut rendre l’utilisation de ce type d’algo- rithme peu accessible, voire impossible.

D’un point de vue num´ erique, l’enjeu scientifique de cette ´ etude est d’une part, de proposer des pistes d’am´ elioration du sch´ ema num´ erique en repoussant les trois limites cit´ ees pr´ ec´ edemment et d’autre part, d’effectuer une ´ etude th´ eorique de cet algorithme afin d’apporter une certaine confiance dans les r´ esultats.

Nous proposons de d´ ecomposer l’´ etude fiabiliste d’un syst` eme pour l’optimisation de sa maintenance en plusieurs

´ etapes :

1. Etude fonctionnelle du syst` eme : cette ´ etape consiste ` a comprendre le fonctionnement du syst` eme, ` a d´ efinir les modes de d´ efaillance de chacun de ses composants et leur impact sur le fonctionnement du syst` eme,

`

a comprendre la strat´ egie de maintenance effectu´ ee jusqu’` a pr´ esent et les strat´ egies envisag´ ees par la SNCF,

2. Exploitation du retour d’exp´ erience et des connaissances des experts : les donn´ ees mises ` a notre disposition

sont nombreuses, il s’agit d’exploiter au mieux ces donn´ ees et de proposer des mod` eles probabilistes adapt´ es,

3. Etude statistique et probabiliste des composants du syst` eme : ` a partir des donn´ ees issues du retour

d’exp´ erience, des m´ ethodes statistiques non-param´ etriques et param´ etriques sont utilis´ ees pour mod´ eliser

la dur´ ee de vie des composants ´ eventuellement soumis ` a de la maintenance pr´ eventive,

Introduction g´ en´ erale et contexte de l’´ etude 11 4. Mod´ elisation du syst` eme par un PDMP : les r´ esultats des estimations statistiques de l’´ etape pr´ ec´ edente servent de donn´ ees d’entr´ ee ` a un mod` ele probabiliste de type PDMP qui prend en compte l’architecture du syst` eme et la maintenance actuelle et envisag´ ee,

5. Elaboration d’un mod` ele ´ economique : d´ efinition d’une fonction de coˆ ut prenant en compte le coˆ ut des d´ efaillances, des maintenances et du remplacement des composants,

6. Evaluation de la strat´ egie de maintenance actuelle : ` a l’aide d’un sch´ ema num´ erique de type volumes finis, diff´ erentes quantit´ es fiabilistes (fiabilit´ e, nombre moyen de pannes sur les X prochaines ann´ ees, coˆ ut de maintenance du syst` eme sur les X prochaines ann´ ees) sont ´ evalu´ ees en consid´ erant que la strat´ egie de maintenance n’est pas chang´ ee. Ces quantit´ es serviront de base de comparaison pour ´ evaluer l’efficacit´ e d’une nouvelle strat´ egie de maintenance,

7. Evaluation et optimisation des strat´ egies de maintenance pr´ eventive propos´ ees : ` a l’aide d’un algorithme de type ’recuit simul´ e’, une strat´ egie de maintenance optimale est identifi´ ee.

Plan de la th` ese

Le document est structur´ e en six chapitres :

1. Le chapitre 1 est un ´ etat de l’art des m´ ethodes de mod´ elisation syst` eme. L’objectif de ce chapitre est de pr´ esenter les diff´ erents processus stochastiques utilis´ es en fiabilit´ e pour mod´ eliser des syst` emes ainsi que les outils de quantification associ´ es. Les processus sont introduits les uns ` a la suite les autres, du plus simple au plus complexe. Chaque processus poss` ede une contrainte de mod´ elisation justifiant l’utilisation d’un processus plus g´ en´ eral : le processus markovien d´ eterministe par morceaux (PDMP pour Piecewise Deterministic Markov Process).

2. Le chapitre 2 pr´ esente l’algorithme num´ erique d´ eterministe de type ’volumes finis’ retenu pour l’´ etude.

Une d´ emonstration de la convergence de cet algorithme est pr´ esent´ ee. Ce sch´ ema num´ erique pr´ esente des difficult´ es dans le cadre de l’´ etude de syst` emes multi-composants. Nous proposons dans ce chapitre trois types de m´ ethodes pour surmonter ces difficult´ es.

3. Le chapitre 3 pr´ esente un cas-test classique issu de la litt´ erature fiabiliste, sur lequel nous testons les m´ ethodes propos´ ees dans cette th` ese.

4. Le chapitre 4 pr´ esente diff´ erents outils de mod´ elisation de la dur´ ee de vie d’un composant. Ces outils permettent d’exploiter le retour d’exp´ erience ; les r´ esultats sont les donn´ ees d’entr´ ee du PDMP.

5. La m´ ethodologie d´ evelopp´ ee dans les chapitres pr´ ec´ edents est appliqu´ ee ` a un syst` eme ferroviaire : un syst` eme de climatisation ´ equipant les TER 72500X. Ces syst` emes sont maintenus dans un ´ etablissement de maintenance situ´ e dans le P´ erigord. Ces syst` emes sont r´ ecents, les plus anciens ont ´ et´ e mis en service depuis moins de dix ans. Cependant, il a ´ et´ e observ´ e que le nombre de d´ efaillances augmentait au fil des ann´ ees provoquant une augmentation des coˆ uts de maintenance. L’´ etablissement de maintenance s’est donc interrog´ e sur un investissement ´ eventuel en maintenance pr´ eventive. Dans ce cadre, un projet a ´ et´ e confi´ e

`

a la Direction de l’Innovation et de la Recherche de la SNCF dont l’objectif est de proposer un plan de maintenance pr´ eventif adapt´ e au syst` eme de climatisation afin d’endiguer cette augmentation.

6. D’autres syst` emes ferroviaires, notamment une installation de signalisation, ont ´ et´ e ´ etudi´ es. Ces travaux sont confidentiels et ne sont pas pr´ esent´ es dans ce document. Afin d’illustrer une partie du travail r´ ealis´ e, le sixi` eme chapitre repr´ esente un article pr´ esent´ e au congr` es ESREL en septembre 2011.

Le document se termine par deux annexes. La premi` ere d´ efinit les diff´ erents sigles utilis´ es dans le document

ainsi que quelques notations. La deuxi` eme pr´ esente un algorithme de recuit simul´ e que nous avons utilis´ e dans

l’objectif de minimiser une fonction de coˆ ut.

Chapitre 1

Etat de l’art : m´ ethodes de fiabilit´ e syst` eme

1.1 Introduction

Un syst` eme est un ensemble de composants en interaction. L’´ etude fiabiliste d’un syst` eme consiste ` a ´ evaluer diverses quantit´ es permettant de d´ ecrire son fonctionnent dans le temps. L’une des ces quantit´ es est notamment la fiabilit´ e d´ efinie dans [Pages and Gondran, 1980] comme

l’aptitude d’un dispositif ` a accomplir une fonction requise, dans des conditions donn´ ees, pendant une dur´ ee donn´ ee

. Les m´ ethodes de fiabilit´ e syst` eme permettent de prendre en compte les d´ ependances entre les composants dues ` a l’architecture du syst` eme et ` a la strat´ egie de maintenance.

Des processus stochastiques tels que les processus markoviens [Cocozza-Thivent, 1997], sont utilis´ es en fiabilit´ e pour mod´ eliser l’´ evolution d’un syst` eme au cours du temps. La quantification de ces processus est r´ ealis´ ee soit par des calculs analytiques quand cela est possible, soit ` a l’aide de simulations de Monte-Carlo, ou encore avec des algorithmes num´ eriques d´ eterministes. Ces outils de quantification peuvent ˆ etre difficiles ` a utiliser pour des personnes non initi´ ees ` a ces m´ ethodes. Des outils d’aide ` a la mod´ elisation tels que les r´ eseaux bay´ esiens dyna- miques [Donat, 2009] et [Donat et al., 2010], les Boolean logic Driven Markov Processes (BDMP) [Bouissou and Bon, 2003] et les R´ eseaux de Petri stochastiques (RdP) [Marsan et al., 1995] et [Zille, 2009] ont ´ et´ e d´ evelopp´ es.

Ces outils sont g´ en´ eralement coupl´ es avec des algorithmes de calcul permettant la quantification des syst` emes mod´ elis´ es dans l’outil. Ils ont pour principe d’utiliser une repr´ esentation graphique intuitive d’un syst` eme.

Les processus al´ eatoires habituellement utilis´ es en fiabilit´ e, tels que les processus markoviens de sauts et les pro- cessus semi-markoviens [Cocozza-Thivent and Roussignol, 1997], ne sont pas suffisamment souples pour mod´ eliser les cas d’application industrielle ´ etudi´ es lors de cette th` ese. En effet, les syst` emes ´ etudi´ es poss` edent des compo- sants vieillissants et sont soumis ` a des strat´ egies de maintenance rendant leur mod´ elisation compliqu´ ee. Ainsi, nous utilisons une classe de processus hybrides appel´ es les processus markoviens d´ eterministes par morceaux (Pie- cewise Deterministic Markov Processes ou PDMP en anglais) introduite par [Davis, 1984]. L’utilisation de ces processus en fiabilit´ e forme ce qu’on appelle la fiabilit´ e dynamique. Les PDMP sont form´ es de deux variables : une discr` ete d´ ecrivant l’´ etat du syst` eme et l’autre continue d´ ecrivant l’´ evolution des variables environnemen- tales qui influent et qui sont influenc´ ees par le syst` eme (la temp´ erature, la pression, l’ˆ age des composants du syst` eme...). L’´ evolution de ces variables, que l’on nomme aussi variables physiques, est d´ eterministe entre les sauts al´ eatoires du processus discret et est d´ efinie par un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles. [Devooght, 1997]

a ´ et´ e le pionnier pour l’introduction de processus hybrides dans des probl` emes de sˆ uret´ e de fonctionnement.

[Labeau, 1996] d´ efinit cette discipline comme

la partie de la sˆ uret´ e de fonctionnement qui ´ etudie de mani` ere int´ egr´ ee le comportement des syst` emes industriels complexes affect´ es par une ´ evolution dynamique continue sous-jacente

. Dans nos cas d’application, les variables physiques du PDMP repr´ esentent g´ en´ eralement l’ˆ age de chacun des composants des syst` emes mod´ elis´ es.

Dans un premier temps, nous pr´ esentons les principaux processus stochastiques utilis´ es usuellement en fiabilit´ e,

tels que les chaines de Markov, les processus markoviens de sauts et les processus semi-markoviens. Les m´ ethodes

permettant de quantifier ces processus, comme les simulations de monte-Carlo et les m´ ethodes analytiques, sont

ensuite d´ etaill´ ees. Pour finir ce paragraphe, nous pr´ esentons certains outils d’aide ` a la mod´ elisation comme les R´ eseaux de Petri stochastiques, les BDMP et les r´ eseaux bay´ esiens dynamiques. Dans une deuxi` eme partie, les processus markoviens d´ eterministes par morceaux sont d´ etaill´ es. De la mˆ eme mani` ere que pour les processus markoviens pr´ esent´ es dans le paragraphe pr´ ec´ edent, nous pr´ esentons les m´ ethodes de quantification des PDMP telles que les simulations de Monte-Carlo et les m´ ethodes num´ eriques d´ eterministes (algorithme de volumes finis [Cocozza-Thivent et al., 2006a] [Eymard et al., 2008], le cell to cell mapping [Hsu, 1980] [Belhadj and Aldemir, 1995]). Ce chapitre se termine par la pr´ esentation des diff´ erents outils capables d’utiliser la mod´ elisation par PDMP et de la traiter num´ eriquement tels que certains types de R´ eseaux de Petri [Medjoudj, 2006] [Khalfaoui, 2003] et les automates stochastiques hybrides [Castaneda, 2009].

1.2 Mod´ elisation et quantification en fiabilit´ e classique

1.2.1 Mod` eles stochastiques classiques

Les processus classiquement utilis´ es en fiabilit´ e sont ` a valeur dans un espace d’´ etat fini, ainsi ils sont pr´ esent´ es dans ce cadre.

1.2.1.1 Les chaˆ ınes de Markov

Une chaˆıne de Markov ` a valeurs dans un espace fini E est un processus stochastique ` a temps discret qui b´ en´ eficie de la propri´ et´ e de Markov. Cette propri´ et´ e se traduit par le fait que la pr´ ediction du futur ` a partir du pr´ esent n’est pas rendue plus pr´ ecise par des ´ el´ ements d’information suppl´ ementaires concernant le pass´ e, car toute l’information utile pour la pr´ ediction du futur est contenue dans l’´ etat pr´ esent du processus.

D´ efinition 1. La chaˆıne (X

)

est une chaˆıne de Markov ` a valeurs dans E si, pour tout entier strictement positif n et tous i

, · · · , i

dans E avec P (X

= i

, X

= i

, · · · , X

= i

, X

= i

) 6= 0, nous avons

P (X

= i

|X

= i

, X

= i

, ..., X

= i

) = P (X

= i

|X

= i

) (1.2.1) Cette propri´ et´ e se nomme la propri´ et´ e de Markov faible.

On note µ la loi initiale de la chaˆıne de Markov, c’est-` a-dire la loi de X

.

Une chaˆıne de Markov est d´ ecrite par une famille de matrice de transition (Q

)

telle que Q

(i, j) = P (X

= j|X

= i). La chaˆıne de Markov est dite homog` ene si la matrice Q

ne d´ epend pas de n. Dans ce cas la matrice de transition est not´ ee Q. Par la suite, nous ´ etudions les chaˆınes de Markov homog` enes qui sont le plus souvent utilis´ es en fiabilit´ e.

Si l’´ evolution d’un syst` eme est mod´ elis´ ee par une chaˆıne de Markov, les quantit´ es fiabilistes, par exemple la fiabilit´ e et la disponibilit´ e, s’expriment en fonction de la matrice de transition Q. Nous rappelons les d´ efinitions de la fiabilit´ e et de la disponibilit´ e dans le cadre g´ en´ eral.

D´ efinition 2. La disponibilit´ e ` a l’instant t est la probabilit´ e que le syst` eme soit en marche ` a l’instant t. Elle s’exprime de la fa¸ con suivante, avec X

l’´ etat du syst` eme ` a l’instant t et M l’ensemble des ´ etats de marche :

D(t) = P (X

∈ M ) (1.2.2)

La disponibilit´ e d’un syst` eme ` a l’instant n mod´ elis´ e par une chaˆıne de Markov s’obtient de la fa¸ con suivante :

D(n) = X

(i,j)∈M²

µ (i) Q

(i, j) (1.2.3)

D´ efinition 3. La fiabilit´ e ` a l’instant t correspond ` a la probabilit´ e que le syst` eme n’ait pas subi de d´ efaillance avant l’instant t. Soit T l’instant de la premi` ere d´ efaillance, la fiabilit´ e s’exprime de la fa¸ con suivante :

R(t) = P (T > t) (1.2.4)

Afin d’´ evaluer la fiabilit´ e, nous d´ efinissons une autre chaˆıne de Markov dont les ´ etats de panne sont absorbants.

Soit P l’ensemble des ´ etats de panne et M l’ensemble des ´ etats de marche du syst` eme. Soit Q e la matrice de

1.2 Mod´ elisation et quantification en fiabilit´ e classique 15

0,1 1,0

0,0 1,1

Figure 1.1 – Le graphe de Markov associ´ e ` a l’exemple 4

transition associ´ ee ` a la chaˆıne de Markov pour laquelle on consid` ere que les ´ etats de panne sont absorbants. Q e est telle que :

Q(i, j) = e



 

 

Q(i, j) si i ∈ M et j ∈ E 0 si i ∈ P et j ∈ E \ {i}

1 si i ∈ P et j = i

(1.2.5)

La fiabilit´ e d’un syst` eme mod´ elis´ e par une chaˆıne de Markov s’obtient de la fa¸ con suivante :

R(n) = X

i∈E,j∈M

µ (i) Q e

(i, j) (1.2.6)

Exemple 4. Pour illustrer l’utilisation d’une chaˆıne de Markov en fiabilit´ e, prenons l’exemple d’un syst` eme de deux composants ind´ ependants en parall` ele. Le syst` eme tombe en panne lorsque les deux composants sont en panne. Aucune r´ eparation n’a lieu tant que le syst` eme fonctionne. Ces deux composants subissent une sollicitation chaque heure et ne peuvent tomber en panne que lors de leur sollicitation. Lorsque les deux composants sont en panne, ils sont r´ epar´ es l’heure suivante. L’´ etat du syst` eme est d´ eduit de l’´ etat des composants et nous notons 1 pour un composant en marche et 0 pour un composant en panne. Soit (X

)

la chaˆıne de Markov d´ ecrivant l’´ etat du syst` eme heure par heure. Notons p

la probabilit´ e que le composant 1 tombe en panne lors d’une sollicitation et p

la probabilit´ e que le composant 2 tombe en panne lors d’une sollicitation. Soit Q la matrice de transition la chaˆıne de Markov et E l’espace d’´ etat. E = {(1, 1) , (1, 0) , (0, 1) , (0, 0)}.

Q =









(1 − p

) (1 − p

) (1 − p

) p

(1 − p

) p

p

p

0 1 − p

0 p

0 0 1 − p

p

1 0 0 0









Le graphe de Markov associ´ e ` a cette chaˆıne est donn´ e dans la figure 1.1. Chaque fl` eche correspond ` a une transi- tion possible de l’´ etat d’o` u part la fl` eche vers l’´ etat o` u elle arrive. Une fl` eche qui part et qui pointe sur le mˆ eme

´

etat signifie que partant de cet ´ etat, le syst` eme peut ne pas changer d’´ etat. A chacune d’entre elles est associ´ ee une probabilit´ e qui correspond ` a la probabilit´ e que la transition d´ ecrite par la fl` eche se produise. Ces probabilit´ es sont les ´ el´ ements de la matrice Q.

Cette classe de processus ne permet pas la mod´ elisation d’un processus ` a temps continu, ce qui en fiabilit´ e, est

souvent n´ ecessaire. De ce fait, les processus markoviens de sauts et semi-markovien sont souvent utilis´ es pour

mod´ eliser des syst` emes en fiabilit´ e. Une description d´ etaill´ ee de ces processus peut ˆ etre trouv´ ee dans [Cocozza-

Thivent, 1997].

1.2.1.2 Les processus markoviens de sauts

Soit E un ensemble fini et (X

)

un processus ` a trajectoires continues ` a droite avec limites ` a gauche, ` a valeurs dans E.

D´ efinition 5. Le processus (X

)

est un Processus Markovien de Sauts (PMS) (homog` ene) si pour tout n, tous 0 ≤ t

< t

· · · < t

< t

, et tous i

, i

, · · · , i

dans E tels que P (X

= i

, X

= i

, · · · , X

= i

) 6= 0, nous avons :

P X

= i

|X

= i

, X

= i

, · · · , X

= i

= P X

= i

|X

= i

= P

(i

, i

) (1.2.7) (P

(i, j))

est le noyau (ou semi-groupe) de transition du PMS au temps t. La loi initiale d’un PMS, c’est-

`

a-dire la loi de X

, est not´ ee µ.

Un PMS est aussi appel´ e une chaˆıne de Markov temporis´ ee. Comme une chaˆıne de Markov, un PMS saute d’´ etat en ´ etat au cours du temps, la diff´ erence r´ eside dans le fait que la dur´ ee entre deux sauts successifs d’un PMS suit une loi exponentielle alors que, pour les chaˆınes de Markov, cette dur´ ee suit une loi discr` ete de type g´ eom´ etrique.

Chaque transition d’un PMS est associ´ ee ` a un taux de hasard constant, en fiabilit´ e cela correspond souvent ` a un taux de panne ou un taux de r´ eparation. Le taux de transition de l’´ etat i vers l’´ etat j est not´ e A(i, j). Si l’on pose A(i, i) = − P

j∈E\{i}

A(i, j), la matrice A correspond alors ` a la matrice g´ en´ eratrice du PMS et la loi de la dur´ ee avant le saut du PMS lorsqu’il se trouve dans l’´ etat i est une loi exponentielle de param` etre −A(i, i). La matrice g´ en´ eratrice permet de calculer le noyau de transition d’un PMS de la fa¸ con suivante :

P

= e

(1.2.8)

Les quantit´ es fiabilistes peuvent donc s’exprimer en fonction de la matrice g´ en´ eratrice. La disponibilit´ e d’un syst` eme mod´ elis´ e par un processus markovien de sauts s’obtient de la fa¸ con suivante :

D (t) = X

(i,j)∈M²

µ (i) e

(i, j) (1.2.9)

Pour calculer la fiabilit´ e d’un syst` eme mod´ elis´ e par un PMS, on d´ efinit A e correspondant ` a la matrice g´ en´ eratrice du processus pour lequel les ´ etats de panne sont absorbants. A e s’´ ecrit de la fa¸ con suivante, pour i 6= j :

A(i, j) = e

( A(i, j) si i ∈ M et j ∈ E

0 si i ∈ P et j ∈ E (1.2.10)

La fiabilit´ e d’un syst` eme mod´ elis´ e par un processus markovien de sauts s’obtient de la fa¸ con suivante : R (t) = X

i∈E,j∈M

µ (i) e

(i, j) (1.2.11)

Une chaˆıne de Markov peut ˆ etre utilis´ ee pour mod´ eliser l’´ evolution d’un syst` eme dans le temps si l’on ne l’observe qu’` a certains instants (par exemple toutes les heures). En revanche, un PMS permet de mod´ eliser le processus de fa¸ con continue. Un graphe de Markov correspondant ` a un PMS ressemble fortement au graphe de Markov associ´ e

`

a une chaˆıne de Markov, la diff´ erence r´ eside dans le fait que les fl` eches ne sont plus associ´ ees ` a des probabilit´ es mais ` a des taux de transition.

Exemple 6. Reprenons l’exemple d’un syst` eme de deux composants ind´ ependants en parall` ele. Lorsque les deux composants sont en panne, le syst` eme est en panne et les composants sont tous les deux remplac´ es par des composants identiques. Les composants ne sont pas remplac´ es si le syst` eme n’est pas en panne. La dur´ ee de vie du composant 1 suit une loi exponentielle de coefficient λ

et celle du composant 2 suit une loi exponentielle de param` etre λ

. La dur´ ee de r´ eparation suit une loi exponentielle de param` etre µ. Soit (X

)

un PMS mod´ elisant l’´ etat du syst` eme ` a l’instant t. Soit A la matrice g´ en´ eratrice du processus :

A =









−λ

− λ

λ

λ

0

0 −λ

0 λ

0 0 −λ

λ

µ 0 0 −µ









Le graphe de Markov associ´ e ` a cet exemple est donn´ e par la figure 1.2.

1.2 Mod´ elisation et quantification en fiabilit´ e classique 17

0,1 1,0

0,0 1,1

λ₂ λ₁

λ₁ λ₂

μ

Figure 1.2 – Le graphe de Markov associ´ e ` a l’exemple 6

L’utilisation de ce type de processus pour mod´ eliser des syst` emes implique g´ en´ eralement de supposer que les composants de ce syst` eme ne vieillissent pas. Il existe des m´ ethodes permettant d’utiliser un PMS pour mod´ eliser des composants qui vieillissent comme par exemple d’introduire des ´ etats de marche d´ egrad´ ee. Cette m´ ethode revient ` a utiliser des lois de type phases pour mod´ eliser la dur´ ee de vie d’un composant. Cependant l’augmentation du nombre d’´ etats du PMS peut entraˆıner des difficult´ es pour la quantification du processus. Une autre mani` ere de prendre en compte le vieillissement d’un composant est de mod´ eliser son comportement al´ eatoire par un processus semi-markovien. L’utilisation de ces processus n’implique plus d’avoir des taux de transition constants.

1.2.1.3 Les processus semi-markoviens

La structure d’un processus semi-markovien est identique ` a celle d’un PMS, les transitions sont r´ ealis´ ees suivant une chaˆıne de Markov. La diff´ erence entre ces deux processus al´ eatoires r´ eside dans les dur´ ees inter-sauts : ces dur´ ees suivent des lois de type exponentielle pour le PMS alors que pour le processus semi-markovien elles suivent des lois g´ en´ erales. Afin d’introduire les processus semi-markoviens, nous commen¸ cons par d´ efinir un processus de renouvellement markovien. Reprenons la d´ efinition de [Cocozza-Thivent, 1997].

D´ efinition 7. [Cocozza-Thivent, 1997] Soit E un ensemble fini, soit (Y

)

un processus ` a valeurs dans E et (T

)

une suite croissante de variables positives :

0 = T

≤ T

≤ T

≤ · · · ≤ T

≤ · · ·

Le processus (Y, T ) = (Y

, T

)

est un processus de renouvellement markovien (homog` ene en temps) ` a valeurs dans E si, pour tous n ≥ 0, i, j, i

, . . . , i

dans E et t, t

, . . . , t

dans R

:

P (Y

= j, T

− T

≤ t|Y

= i

, Y

= i

, . . . , Y

= i, T

= t

) = P (Y

= j, T

− T

≤ t|Y

= i)

= Q (i, j, t)

= Z

0

Q(i, j, du) (1.2.12)

Le noyau Q = (Q (i, j, dt))

est le noyau semi-markovien du processus (Y, T ).

La suite (Y

)

est en fait une chaˆıne de Markov ` a valeurs dans E dont les temps entre les sauts suivent une loi

`

a valeurs dans R

de type g´ en´ eral. Y

mod´ elise l’´ etat dans lequel se trouve la chaˆıne de Markov apr` es k sauts et non au temps k. Les instants de saut de la chaˆıne sont repr´ esent´ es par la suite de variables al´ eatoires (T

)

. Dans ce cadre, il est possible de sauter sur place. Nous pouvons maintenant d´ efinir un processus semi-markovien.

D´ efinition 8. [Cocozza-Thivent, 1997] Soit (Y, T ) un processus de renouvellement markovien ` a valeurs dans E tel que sup

T

= ∞, posons :

X

= Y

pour T

≤ t < T

(1.2.13)

Le processus (X

)

est le processus semi-markovien associ´ e ` a (Y, T ) et la chaˆıne de Markov Y est la chaˆıne de Markov immerg´ ee.

Remarque 9. Un PMS est un cas particulier de processus semi-markovien. Comme dit pr´ ec´ edemment, il s’agit simplement du cas pour lequel la dur´ ee entre les sauts du processus suit une loi exponentielle et tel que le processus ne saute pas sur place. Un PMS de matrice g´ en´ eratrice A peut donc se d´ efinir lui aussi par un processus de renouvellement markovien dont le noyau Q s’´ ecrit de la fa¸ con suivante :

Q(i, j, dt) =

( A(i, j)e

dt si j 6= i

0 si j = i (1.2.14)

Exemple 10. Reprenons l’exemple 6 d’un syst` eme de deux composants en parall` ele. Le syst` eme subit une mainte- nance corrective lorsque les deux composants sont d´ efaillants. Contrairement au cas pr´ ec´ edent, nous consid´ erons ici que les lois de dur´ ee de vie des composants ne sont plus de type exponentiel mais de type g´ en´ eral ce qui peut mod´ eliser un ph´ enom` ene de vieillissement des composants. Soit T

la dur´ ee de fonctionnement du composant 1 et T

la dur´ ee de fonctionnement du composant 2. La d´ efaillance du syst` eme survient ` a l’instant T

= max(T

, T

).

Ce syst` eme peut ˆ etre mod´ elis´ e par un processus semi-markovien. L’espace E est compos´ e de deux ´ etats : l’´ etat de marche parfaite et l’´ etat de d´ efaillance, E = {(1, 1), (0, 0)}. Le noyau de transition de l’´ etat (1, 1) vers l’´ etat (0, 0) correspond ` a la loi de la variable al´ eatoire T

.

Cependant, une l´ eg` ere modification de la strat´ egie de maintenance du syst` eme peut rendre la mod´ elisation par un processus semi-markovien impossible. Par exemple, si la d´ efaillance d’un composant entraˆıne son rempla- cement sans tenir compte de l’´ etat de l’autre composant, le syst` eme n’est plus mod´ elisable par un processus semi-markovien. La difficult´ e vient du fait, qu’apr` es la premi` ere d´ efaillance de l’un des deux composants ` a l’ins- tant min(T

, T

), le processus ’perd la m´ emoire’ de son pass´ e et oublie la dur´ ee de fonctionnement de l’autre composant. Ce ph´ enom` ene s’explique par le fait que le couple de deux processus semi-markoviens ne forme pas un processus semi-markovien [Cocozza-Thivent, 1997].

La mod´ elisation d’une action de maintenance pr´ eventive ` a un instant d´ eterministe T consistant ` a remplacer les composants d´ efaillants, engendre la mˆ eme difficult´ e. Or la mod´ elisation de ce type de maintenance pr´ eventive est un enjeu important dans cette th` ese. Ainsi, nous utilisons un processus markovien plus souple capable de mod´ eliser le vieillissement des composants, leurs d´ ependances et de nombreux types de strat´ egie de maintenance. Il s’agit du processus markovien d´ eterministe par morceaux (PDMP pour Piecewise Deterministic Markov Process) que nous pr´ esentons dans la deuxi` eme partie de ce chapitre.

Le prochain paragraphe pr´ esente les diff´ erentes m´ ethodes permettant de quantifier les processus al´ eatoires pr´ esent´ es pr´ ec´ edemment.

1.2.2 Outils pour la quantification

1.2.2.1 Calculs analytiques

Pour une mod´ elisation markovienne ou semi-markovienne, certaines quantit´ es recherch´ ees, telles que la fiabilit´ e et la disponibilit´ e, peuvent ˆ etre ´ evalu´ ees ` a l’aide de formules analytiques du type (1.2.9) et (1.2.11). Cependant, l’impl´ ementation informatique de ces formules peut n´ ecessiter une quantit´ e de place m´ emoire importante et poser des probl` emes. En effet, dans le cas des PMS, le calcul de la fiabilit´ e et de la disponibilit´ e n´ ecessite le calcul de l’exponentielle d’une matrice ce qui engendre des difficult´ es d’ordre num´ erique. Dans le cas d’un syst` eme multi- composants, la quantit´ e de place m´ emoire, pour effectuer ce calcul, peut ˆ etre sup´ erieure ` a ce que l’ordinateur fournit. De nombreuses m´ ethodes ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees notamment dans [Moler and Van Loan, 1978] et [Moler and Van Loan, 2003] pour le calcul de l’exponentielle de matrices.

1.2.2.2 Les simulations de Monte-Carlo

La m´ ethode des simulations de Monte-Carlo a pour but d’estimer des valeurs moyennes (le nombre moyen

de pannes d’un syst` eme sur une p´ eriode) ou des probabilit´ es (la fiabilit´ e, la disponibilit´ e...) en simulant de

nombreuses fois et de fa¸ con ind´ ependante la vie du syst` eme ou en simulant son ´ evolution sur une longue tra-

jectoire. Son utilisation repose sur la Loi Forte des Grands Nombres et l’´ evaluation de la pr´ ecision obtenue

repose sur le Th´ eor` eme de la Limite Centrale. Cette m´ ethode permet g´ en´ eralement d’´ eviter de gros calculs li´ es

1.2 Mod´ elisation et quantification en fiabilit´ e classique 19

`

a la mod´ elisation markovienne, ce qui permet de ne plus ˆ etre confront´ e au probl` eme li´ e ` a la place m´ emoire.

Par exemple dans le cas des PMS, il n’est plus n´ ecessaire de calculer l’exponentielle d’une matrice si l’on uti- lise les simulations de Monte-Carlo. Cette m´ ethode permet donc de traiter des syst` emes ayant de nombreux composants, ce que les m´ ethodes analytiques ne peuvent pas toujours accomplir. Le nombre de composants d’un syst` eme n’est pas le seul facteur rendant difficile l’utilisation des m´ ethodes analytiques. L’architecture du syst` eme et la strat´ egie de maintenance sont deux facteurs pouvant compliquer la mod´ elisation en augmentant significativement le nombre d’´ etats dans lesquels peut se trouver le syst` eme et par cons´ equent rendre les calculs li´ es ` a ces m´ ethodes tr` es longs ou mˆ eme impossibles ` a r´ ealiser.

Dans sa th` ese [Labeau, 1996], Labeau a beaucoup travaill´ e sur les simulations de Monte-Carlo. L’un de ses propos r´ esume bien un inconv´ enient de cette m´ ethode :

S’il est possible de tout calculer, il n’est pas improbable d’obtenir n’importe quoi comme r´ esultat

. En simulant ind´ ependamment un certain nombre de trajectoires al´ eatoires, il est possible d’obtenir des estimations des quantit´ es recherch´ ees ainsi qu’un intervalle de confiance.

Cependant, rien ne garantit pas que la valeur recherch´ ee est r´ eellement dans cet intervalle. Il est donc possible

d’obtenir n’importe quoi comme r´ esultat

. 1.2.2.3 Les m´ ethodes de discr´ etisation

Une alternative aux simulations de Monte-Carlo est d’utiliser une m´ ethode de discr´ etisation. Par exemple, dans [Cocozza-Thivent and Eymard, 2004], un sch´ ema de volumes finis est utilis´ e pour quantifier un processus semi-markovien. Les quantit´ es fiabilistes peuvent s’exprimer ` a l’aide des distributions marginales du proces- sus, c’est-` a-dire la loi du processus au temps t. Le sch´ ema a pour principe d’´ evaluer une approximation de ces quantit´ es. Cependant, jusqu’` a pr´ esent ces m´ ethodes ont ´ et´ e appliqu´ ees sur des syst` emes simples avec peu de com- posants. Les cas d’´ etude sont mod´ elis´ es dans cette th` ese par un type de processus markovien plus g´ en´ eral (PDMP pour Piecewise Deterministic Markov Process) que le processus semi-markovien. Sa quantification est r´ ealis´ ee

`

a l’aide d’un sch´ ema de volumes finis du mˆ eme type que celui pr´ esent´ e dans [Cocozza-Thivent and Eymard, 2004].

D’autres m´ ethodes de discr´ etisation sont aussi propos´ ees dans [Mercier, 2008b] et [Mercier, 2008a] dans un cadre markovien et semi-markovien.

La mod´ elisation d’un syst` eme par processus markovien ou semi-markovien n’est pas toujours simple ` a r´ ealiser.

Pour faciliter ce travail, des outils d’aide ` a la mod´ elisation ont ´ et´ e d´ evelopp´ es. Ces outils ont pour principe de repr´ esenter graphiquement le fonctionnement d’un syst` eme et sont g´ en´ eralement coupl´ es avec un algorithme de quantification. Nous pr´ esentons ces outils dans le paragraphe suivant.

1.2.3 Outils d’aide ` a la mod´ elisation

1.2.3.1 Les r´ eseaux de P´ etri stochastiques

C’est dans sa th` ese de doctorat en 1962 que Carl Adam P´ etri introduit pour la premi` ere fois les r´ eseaux qui portent son nom. Les R´ eseaux de P´ etri (RdP) constituent un formalisme graphique r´ epandu qui permet de mod´ eliser par un graphe le comportement d’un syst` eme. A l’origine les RdP sont d´ eterministes et ne permettent pas de repr´ esenter les processus markoviens pr´ esent´ es pr´ ec´ edemment. Pour cela, une extension des RdP a ´ et´ e d´ evelopp´ ee : les RdP stochastiques [Marsan et al., 1995]. L’avantage de cette m´ ethode est sa souplesse et sa sim- plicit´ e de mise en œuvre si l’on connait exactement le fonctionnement du syst` eme que l’on cherche ` a mod´ eliser.

Depuis leur cr´ eation, plusieurs versions de RdP ont vu le jour, chacune apportant une nouvelle fonctionnalit´ e, permettant ainsi de repr´ esenter des syst` emes dont l’´ evolution est de plus en plus complexe. Nous pouvons citer la th` ese de Medjoudj [Medjoudj, 2006] dans laquelle plusieurs RdP diff´ erents sont pr´ esent´ es (RdP temporis´ es, RdP temporels et RdP hybrides). Les RdP ont ´ et´ e utilis´ es par Zille dans sa th` ese [Zille, 2009] afin de mod´ eliser des syst` emes multi-composants.

Un RdP est constitu´ e d’un ensemble de places (repr´ esent´ es par des ronds), d’un ensemble de jetons (repr´ esent´ es

par des points), d’un ensemble de transitions (repr´ esent´ es par des rectangles) et de fl` eches qui relient les places

aux transitions. Chaque place contient un nombre fini de jetons. A chaque transition est associ´ ee une variable

(g´ en´ eralement une dur´ ee) d´ eterministe ou al´ eatoire provoquant le saut d’un jeton vers une place, la cr´ eation ou

la disparition d’un jeton. Une place peut repr´ esenter un ´ etat d’un composant (marche ou panne) et dans ce cas,

Marche Panne

Figure 1.3 – Exemple d’un composant r´ eparable mod´ elis´ e ` a l’aide d’un R´ eseau de P´ etri la transition permet de repr´ esenter le saut al´ eatoire de l’´ etat de marche vers l’´ etat de panne.

Exemple 11. Pour mod´ eliser un composant r´ eparable avec un RdP, il suffit de cr´ eer deux places, l’une mod´ elisant l’´ etat de marche du composant et l’autre mod´ elisant l’´ etat de panne du composant. Un jeton est plac´ e initialement dans l’´ etat de marche traduisant le fait que le composant est en marche lorsque l’on commence la mod´ elisation.

Les deux places sont reli´ ees par deux transitions, la premi` ere mod´ elisant la panne du composant et la deuxi` eme mod´ elisant la r´ eparation du composant. Ces deux transitions sont al´ eatoires et peuvent par exemple suivre des lois exponentielles. Cet exemple est visible sur la figure 1.3.

Il est possible de convertir un graphe de Markov associ´ e ` a un PMS en un RdP. Cela permet souvent d’all´ eger le graphe et donc de le rendre plus clair et plus compr´ ehensible pour l’utilisateur. En revanche, il n’est pas toujours possible de convertir un RdP en un graphe de Markov. En effet, les dur´ ees d’attente entre les sauts d’un jeton d’une place ` a une autre ne suivent pas forc´ ement une loi exponentielle. Dans ce cas, la quantification d’un RdP se fait en utilisant des simulations de Monte-Carlo, comme dans [Zille et al., 2009]. Dans le cas contraire, le RdP peut ˆ etre trait´ e ` a l’aide des m´ ethodes analytiques markoviennes associ´ ees au PMS.

1.2.3.2 Les BDMP (Boolean logic Driven Markov Processes)

Les BDMP, d´ evelopp´ es par Bouissou [Bouissou and Bon, 2003], sont une extension des arbres de d´ efaillances qui permet de repr´ esenter des graphes de Markov de tr` es grande taille. Ils font d’ailleurs partie des mod` eles mar- koviens. Les BDMP permettent de mod´ eliser des syst` emes avec des interactions tr` es vari´ ees entre composants : les redondances passives, les s´ equences de d´ emarrage avec conditionnement de chaque ´ etape par la r´ eussite des

´

etapes pr´ ec´ edentes, les d´ efaillances de cause commune, les fonctionnements en plusieurs phases...

Commen¸ cons par d´ ecrire les arbres de d´ efaillances. Cette technique s’int´ eresse ` a la r´ ealisation d’un ´ ev´ enement redout´ e, le but ´ etant de calculer la probabilit´ e que cet ´ ev´ enement se produise. L’arbre de d´ efaillance permet de repr´ esenter graphiquement les combinaisons d’´ ev´ enements qui am` enent ` a l’´ ev´ enement redout´ e. Ce type d’analyse se fait niveau par niveau, c’est-` a-dire qu’on identifie des causes qui peuvent amener ` a l’´ ev´ enement redout´ e, par exemple la panne de plusieurs sous syst` emes, puis on identifie les causes des causes et ainsi de suite pour finir au niveau des composants du syst` eme. Les causes sont reli´ ees entre elles par des portes logiques (et, ou, k/n ...). Ces arbres deviennent rapidement volumineux au fur et ` a mesure que la complexit´ e du syst` eme croit ce qui induit l’explosion combinatoire des ´ etats.

Un arbre de d´ efaillance statique peut repr´ esenter l’´ evolution de processus stochastiques ind´ ependants en fonction du temps. En revanche, ils ne permettent pas de repr´ esenter des d´ ependances entre ces processus. Afin d’incor- porer cette notion de d´ ependance, M. Bouissou a introduit les BDMP.

Les BDMP s’appuient sur le formalisme graphique des arbres de d´ efaillances en y rajoutant ce qu’on appelle des

’gˆ achettes’. Cet outil permet d’introduire une notion de d´ ependance dans les arbres de d´ efaillance. Un BDMP

sans gˆ achette ´ equivaut ` a un arbre de d´ efaillances classique. Dans un BDMP (avec gˆ achette), les d´ efaillances des

composants ne sont pas toutes possibles dans l’´ etat initial : seules celles des ´ ev´ enements sollicit´ es le sont. Dans

1.2 Mod´ elisation et quantification en fiabilit´ e classique 21

Figure 1.4 – Exemple de BDMP repris de [Bouissou, 2005]

un BDMP, les portes sans parent sont sollicit´ ees par d´ efaut. Ces sollicitations se propagent de ’p` ere’ en ’fils’

tout au long des branches du BDMP jusqu’` a ce qu’elles rencontrent une gˆ achette. La pr´ esence d’une telle arriv´ ee conditionne le passage du signal de sollicitation ; ainsi la porte cible transmet la sollicitation ` a ses descendants seulement si l’´ ev´ enement qui est ` a l’origine de la gˆ achette est VRAI. Si c’est le cas, la sollicitation est ensuite transmise aux portes et feuilles en dessous suivant le mˆ eme principe. Ainsi, il apparait une dynamique qui va permettre d’utiliser les BDMP pour mod´ eliser des syst` emes ´ evoluant dans le temps. Plusieurs exemples d’utili- sation des BDMP sont donn´ es dans [Bouissou, 2005].

Exemple 12. D´ etaillons un des exemples fournis dans [Bouissou, 2005]. Soit un syst` eme S compos´ e de trois sous-syst` emes A, B, C en redondance totale, c’est ` a dire tels que le fonctionnement d’au moins un des trois suffit

`

a assurer la mission de S. A et B sont en fonctionnement continu, et d` es que l’un des deux tombe en panne, on met en oeuvre le secours C, mais cela n´ ecessite un certain temps, pendant lequel le syst` eme est fragilis´ e, puisqu’il reste un seul sous-syst` eme en fonctionnement. Un tel syst` eme peut ˆ etre repr´ esent´ e par un BDMP obtenu ` a partir de la F igure 1.4 en d´ eveloppant les sous-arbres dont les sommets sont repr´ esent´ es par les portes k/n appel´ ees A defaillant, B defaillant, C defaillant. La fl` eche rouge repr´ esente la gˆ achette qui lorsque la feuille ”A ou B ` a suppl´ eer” est sur VRAI, active le sous arbre C indisponible dont les feuilles passent de ”non-sollicit´ e” ` a ”solli- cit´ e”. A ce moment, la feuille Basc en cours passe ` a VRAI ce qui a pour effet de passer la porte C indisponible

`

a VRAI mod´ elisant le temps de mise en route du composant C. Apr` es ce temps, C indisponible revient ` a FAUX et garde cette valeur tant que C d´ efaillant ne passe pas ` a VRAI (` a la suite de d´ efaillances dans le sous-syst` eme C).

1.2.3.3 Les r´ eseaux bay´ esiens dynamiques

Un r´ eseau bay´ esien [Naim and Becker, 2004] est repr´ esent´ e par un graphe orient´ e sans circuit o` u chaque nœud (repr´ esent´ e par un rond) est associ´ e ` a une variable al´ eatoire et o` u chaque arc (repr´ esent´ e par une fl` eche) orient´ e d’un nœud vers un autre indique une relation de d´ ependance entre les variables al´ eatoires repr´ esent´ ees par les nœuds de d´ epart et d’arriv´ ee. A chaque variable al´ eatoire est associ´ ee une table de probabilit´ e correspondant ` a la loi conditionnelle de cette variable connaissant l’´ etat dans lequel se trouvent les variables dont elle d´ epend.

Ces tables sont g´ en´ eralement calibr´ ees ` a l’aide du retour d’exp´ erience ou/et avec des avis d’expert.

Un r´ eseau bay´ esien dynamique est un r´ eseau bay´ esien pour lequel la loi d’une variable al´ eatoire ` a un instant n peut d´ ependre de son ´ etat ` a l’instant pr´ ec´ edent n − 1. Notons (X

)

une suite de variables al´ eatoires.

Graphiquement, la d´ ependance entre X

et X

est mod´ elis´ ee par un arc orient´ e du noeud repr´ esentant la

variable X

vers le nœud repr´ esentant la variable X

. Ce type de m´ ethode peut ainsi repr´ esenter une chaˆıne de Markov. Il est possible de repr´ esenter un processus continu de type PMS, en discr´ etisant le temps.

Des travaux ont r´ ecemment ´ et´ e men´ es sur l’utilisation des r´ eseaux bay´ esiens dynamiques dans le domaine ferro- viaire. R. Donat a ainsi effectu´ e une th` ese au sein de l’INRETS (actuellement IFSTTAR) en collaboration avec la RATP, voir [Donat, 2009] et [Donat et al., 2010]. L’auteur propose de garder en m´ emoire le temps pass´ e dans l’´ etat courant afin de ne pas ˆ etre limit´ e ` a l’utilisation de lois exponentielles. Un r´ eseau bay´ esien dynamique peut ainsi repr´ esenter un processus semi-markovien. Une m´ ethodologie bas´ ee sur les r´ eseaux bay´ esiens dynamiques a

´

et´ e d´ evelopp´ ee et nomm´ ee VIRMALAB (Atelier Virtuel de Maintenance).

Le prochain paragraphe pr´ esente un processus stochastique, le processus markovien d´ eterministe par morceaux (PDMP), plus souple permettant de mod´ eliser un plus large spectre de ph´ enom` enes. Ce type de mod´ elisation s’accompagne de m´ ethodes de quantification num´ eriques et d’outils d’aide ` a la d´ ecision que nous pr´ esentons.

1.3 Introduction aux processus markoviens d´ eterministes par mor- ceaux

1.3.1 Le mod` ele

Les PDMP ont ´ et´ e con¸ cus et ´ etudi´ es par Davis, voir [Davis, 1984] et [Davis, 1993]. C’est J. Devooght qui fut le premier ` a utiliser ce type de processus en fiabilit´ e afin de r´ esoudre des probl` emes issus du domaine de la suret´ e nucl´ eaire, voir [Devooght, 1997]. Un peu plus tard un ´ el` eve de J. Devooght, P.E. Labeau a travaill´ e sur ces processus et surtout sur leur quantification, voir [Labeau, 1996].

Un PDMP est un processus hybride (I

, X

)

dont la loi initiale est not´ ee π

. La premi` ere composante est discr` ete et prend ses valeurs dans un espace fini E, elle d´ ecrit par exemple l’´ etat de tous les composants du syst` eme. La deuxi` eme composante est continue entre les sauts de la composante I et prend ses valeurs dans R

, elle repr´ esente les conditions environnementales (temp´ erature, pression, ˆ age des composants...). Dans nos cas d’ap- plication, nous ne mod´ eliserons pas de conditions environnementales et la variable X repr´ esentera g´ en´ eralement l’ˆ age des composants du syst` eme. En fait, nous utilisons un cas particulier des PDMP qui correspond ` a une g´ en´ eralisation des processus semi-markoviens que C. Cocozza-Thivent nomme les processus semi-markoviens compl´ et´ es (CSMP) [Cocozza-Thivent, 2011]. Le processus (I

, X

)

saute ` a des instants isol´ es et les deux com- posantes interagissent mutuellement l’une sur l’autre : le taux de transition entre deux ´ etats i, j ∈ E d´ epend de la composante environnementale X

et est une fonction a (i, j, X

) ; lors d’un saut de I

= i vers I

= j ` a l’instant t, la composante continue peut sauter simultan´ ement et est distribu´ ee selon une loi µ (

) ( dy), qui d´ epend de la valeur de la deuxi` eme composante juste avant le saut (X

), mais aussi des ´ etats discrets i et j.

La transition de (i, x) vers (j, y) est donc r´ egie par le noyau de transition :

τ (i, x; j, dy) = a (i, j, x) µ

(dy) (1.3.1) Entre deux sauts, la composante discr` ete I

est constante, et l’´ evolution de X

est d´ eterministe, solution d’une

´

equation diff´ erentielle qui d´ epend de cet ´ etat discret : sachant que I

= i, la composante X

est solution de : dy

dt = v (i, y) (1.3.2)

o` u v est une fonction donn´ ee, v : E × R

→ R

. Sous des conditions techniques assurant l’existence et l’unicit´ e de la solution de cette ´ equation diff´ erentielle, on note g (i, x, t) l’unique solution telle que :

g (i, x, 0) = x pour tout (i, x) ∈ E × R

. (1.3.3) La figure 1.5 illustre l’´ evolution d’un PDMP dans le temps.

Dans les cas d’application ´ etudi´ es dans cette th` ese, nous devons mod´ eliser des syst` emes soumis ` a des actions

de maintenance pr´ eventive ` a des instants d´ eterministes et ind´ ependants de l’´ etat du syst` eme. Ces actions de

maintenance peuvent entraˆıner la r´ eparation du syst` eme et donc un changement d’´ etat. Le PDMP introduit

pr´ ec´ edemment ne permet pas de prendre en compte des sauts ` a des instants d´ eterministes. Davis introduit dans

1.3 Introduction aux processus markoviens d´ eterministes par morceaux 23

Premier instant de saut

ai , j , gi , x , S₁

gi , x , t

i , j , gi , x , S₁dy

gj , y , t−S₁

S₁ t

0 X_t

x

I_t

j

i y

0 t

Figure 1.5 – Sch´ ema d’´ evolution d’un PDMP