Langues de Arnold de la famille standard double Explosion de cycle dans la famille quadratique

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Langues de Arnold de la famille standard double Explosion de cycle dans la famille quadratique

Alexandre Dezotti

To cite this version:

Alexandre Dezotti. Langues de Arnold de la famille standard double Explosion de cycle dans la famille quadratique. Systèmes dynamiques [math.DS]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2011.

Français. �tel-00666001�

Université Toulouse 3 Paul Sabatier

Institut de mathématiques de Toulouse

ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES, INFORMATIQUE ET

TÉLÉCOMMUNICATIONS (MITT)

THÈSE

présentée en vue d'obtenir le grade de

Doteur de l'université de Toulouse

Spéialité : Mathématiques

par

Alexandre DEZOTTI

sous la diretion de Xavier Bu

Titre :

Les langues de Arnold de la famille standard double

Explosion des yles dans la famille

z

+ λ

soutenue publiquement le mardi 7 juin 2011, 16h00

Rapporteurs

Adam Epstein

John Hubbard

Autres membres du jury

François Berteloot

Kevin Pilgrim

Pasale Roesh

Explosion des yles dans la famille

z ² + λ

Alexandre Dezotti

2011

1 Quelques préliminaires 13

1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Sur l'appliationde Bötther, lesrayons externeset la fontionde Green . . 14

1.2.1 Prolongement de l'inverse de l'appliationde Bötther . . . . . . . . 14

1.2.2 Courbe des yles périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Uneinégalité sur lafontion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Les langues de Arnold de la famille des appliations standard doubles 17 2.1 introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 La familledes appliations standard doubleset leslangues de Arnold 17 2.1.2 Classiationdes languesde Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Propriétés générales des appliationsg_a,b ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21}

2.3 Déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Ladéformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Retourdans la familledes appliations standard doubles . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Type du yle déformé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Analytiité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.2 Aboutissementdu hemin lorsque lemultipliateuronverge vers 0^{. . 31}

3 Vitesse de roissane des oeients de la série de Laurent de l'inversede l'appliation de Bötther 35 3.1 Introdution eténonés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Expressionde ψ ^etdémonstrationdu lemme3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Unéquivalent des oeients de la série entière raine arrée . . . . . . . . . 38

3.4 Preuvede lapremière identité du théorème 3.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Calulde h(η) ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42}

4 Ensembles de Julia inniment renormalisables non loalement onnexes 45 4.1 Composantes hyperboliques, sillages, membres de l'ensemble de Mandelbrot etrenormalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Inégalitéde Pommerenke-Lévine-Yooz pour lesbords du sillage . . . . . . 48

4.3 Ensembles de Julianon loalementonnexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Inégalité de Lévine sur la position des valeurs ritiques de la fontion

multipliateur 55

5.1 Préliminairessur lesformes et diérentielles quadratiques . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 Résidu d'une 1^{-formeméromorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56}

5.1.2 Images diretesde 1^{-formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56}

5.1.3 Diérentielles quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1.4 Diérentielles quadratiques ave parties polairespresrites . . . . . . 60

5.1.5 Images diretes de diérentielles quadratiques . . . . . . . . . . . . . 62

5.1.6 Parties polaires invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Dénition de la diérentielle quadratique assoiée à une fration rationnelle età un yle périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2.1 Diérene entre la diérentielle quadratique etson imagedirete . . . 68

5.3 L'inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 Unemajoration sur lediamètrede membres de l'ensemblede Mandelbrot . . 77

6 Critère de non loale onnexité d'ensembles de Julia quadratiques inni- ment renormalisables d'après Guénadi Lévine 79 6.1 Inverse de lafontion multipliateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2 Suite de renormalisationssatellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2.1 Fontionsd'explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2.2 Rayonde ontrle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2.3 Convergene de la suite des raines des bifurationssatellites . . . . . 90

6.2.4 Nonloale onnexitéde l'ensemblede Julia du paramètre limite . . . 92

7 Modèle hypothétique d'explosion de yles 101 7.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2 Dénitionet expliationdu modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.3 Quelquespropriétés du ompat K_∞ ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106}

7.3.1 Adressed'un pointdans le ompat limite . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3.2 Lemmes de aluls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.3.3 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4 Lien entre le modèle etson origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Les languesde Arnold de la famille des appliations standard doubles

La famille des appliations standard doubles est la famille des appliations du erle

T¹ =R/Z ^{dénie par}

f_a,b(x) = 2x+a− b

π sin(2πx) mod 1,

ave x∈T^{1 et paramétrée par} a∈T^{1 et}b ∈[0,1]^.

Il s'agitd'unefamilleréellede dimension2^de perturbationsdelafamillede revêtements doubles du erle

x7→2x+a mod 1

paramétrée par a∈T^1.

Sa dénition et son introdution dans le hamps de l'étude de la dynamique est due à

Mihaª Misiurewiz etAna Rodrigues dans lesartiles [25℄ et[26℄.

Un des buts anonés dans es artiles est la ompréhension des phénomènes liés à pré-

sene de points de ramiations dans un système dynamique. Dans e as partiulier, les

appliations fa,b ^{sont de degré} 2^{, de plus, pour tout} a ∈ T^1, l'appliation fa,1 ^{a un point}

ritique.

Similairement à e qui passe pour l'appliation standard de Vladimir Arnold,

x7→x+a+bsin(2πx)^{, oùertaines portionsde l'espae des paramètres} (a, b)∈T¹×[0,1]^,

appeléeslanguesde Arnold,orrespondentàdes systèmesseomportantdefaçonorganisée,

aratérisés par une phase asservie, il existe des regions de l'espae des paramètres de la

famille standard double dont les paramètres orrespondant possèdent un attrateur disret

indépendantdes onditions initiales.

On peut assoier à e yle attratif une donnée ombinatoire liée à la dynamique de

l'appliation de doublement x 7→ 2x mod 1^{. Ces zones, lassiées} ombinatoirement, sont aussi appelées langues de Arnold. Le hapitre 2 a pour but de montrer que les langues de

Arnold de la familledes appliations standard doubles sontonnexes.

La setion 2.1dénitle problème plus en détail.

Vitesse de roissane des oeients de la série de Laurent de l'in-

verse de l'appliation de Bötther

Soit λ ∈C^{tel quele polynme} quadratiquez²+λ ^{a un ensemblede Julianon onnexe,}

'est-à-dire λ /∈ M ^oùM ^{est l'ensemble de} Mandelbrot. Cela entraîne que les oordonnées de Bötther B ^{à l'inni} (normalisée de façon unique en hoisissant 1 ^{omme valeur de la}

dérivée en ∞^{) ne se prolongent pas sur tout son bassin.}

Ilexiste alorsunrayonminimalR >1^{avelequel onpeutdénirun inverse} ψ =B^−1sur

le omplémentaire du disque fermé D(0, R)^{. Ce rayon est} R =p

|B(λ)|^{. On en déduit une}

de Laurentde lafontion ψ(z) =z X∞

k=0

βk

z^{2k :} lim sup

k→∞

2k+1p

|βk| = p

|B(λ)|.

Lebut duhapitre3estd'expliiterun équivalentpréispour lesβk^{.Pour elaonhoisit}

une raine arrée u 7→ √

1 +u^{, dénie holomorphe sur le disque} D(0,1)^{, positive sur} ]0,1[^.

Ceietl'imparitédelafontionψ ^{permettentdedénirdefaçonuniquelenombreomplexe} pB^′(λ) = lim

z²→η

zp 1−_z^η2 ψ(z) .

Le théorème est alors le suivant.

Théorème 3.1.3 Soit α <1^{. Soit} λ ∈C ^{tel que}λ /∈ M ^{et soit} ψ(z) = z

X∞

k=0

β_k z^2k

l'inverse des oordonnées de Bötther B_λ ^{du polynme} quadratique f(z) =z²+λ^.

Alors pour tout n∈N^,

βn = − (B(λ))ⁿ 2√

πn^3/2p B^′(λ)

1 +O

1 n^α

.

Inégalité de Lévine sur la position des valeurs ritiques de la fontion

multipliateur

On sait que sur haque omposante hyperbolique H ^{de l'ensemble de} Mandelbrot, la fontionquiàunparamètreλ^assoielemultipliateurduyleattratifestunisomorphisme entre H ^{et le disque unité. En outre ette fontion se prolonge} holomorphiquement sur un voisinagedu sillagede H ^{et, dans lesillage,n'est demoduleinférieurouégal à}1^quesur H^.

Lespositionsdes pointsritiquesde ettefontionrestent àdéterminerde façonglobale.

L'inégalitésuivantepermetd'exlure une zone préise auvoisinagede laomposanteH^.

Théorème 5.3.1 Soit d ∈ N ^{tel que} d ≥ 2^{. Soit} C ≥ 2^{, il existe des onstantes} M > 1^, K₀ >0^etK₁ >0^{quinedépendentquede}C ^{tellesque, pourtout}λ∈C^{tel que}|λ| ≤C ^ettel

quelepolynme z^d+λ ^{possèdeun yle répulsif de période}m ^de multipliateur ρ^(dépendant

de λ^{), on a}

m|ρ−1| ≤K0M^m

log|ρ|+K1

˙ ρ ρ

, ⁽¹⁾

où ρ˙ ^{désigne la dérivée de la fontion} multipliateur ρ ^{par rapport au paramètre} λ^.

Le théorème i-dessus est une généralisation du théorème 3 de [19℄ qui est valable pour

la famillez²+λ^{. Guénadi Lévine démontre elui-i en utilisant des tehniques} analytiques, notamment de déformations quasionformes. À l'origine il sert d'outil pour ontrler les

explosions de yles le long d'une suite de bifurations satellites suessives et parvenir au

ritère de non loaleonnexité de l'ensemble de Juliadont onparle plus loin.

Il s'est avéré que l'on peut se passer de se théorème pour la famillez² +λ^.

L'idée générale de la démonstration est la relation profonde qu'il y a entre diéren-

tielles quadratiques et leotangent de l'espae des déformationd'une familledéterminéede

fontions rationnelles (voir [10℄). Par e biais on peut expliiter la relationalgébrique liant

variation du multipliateur d'un yle et elle de la valeur ritique. C'est, entre autres, de

ette relationque provient l'inégalitéi-dessus.

Poure faireilafallu,étantdonnésunefrationrationnellef ^{etun ylepériodique}b^de f ^dontle multipliateurest distintde 1 ^et0^{,expliiterlesparties polairesde} diérentielles quadratiques, invariantes lelong du yle b ^(f proposition 5.1.16).

Une telle diérentielle quadratique peut être hoisie de façon unique modulo le hoix

d'unensemblereeptalede trois plesomptés ave multipliités.Pour lespolynmesilest

ommode demettreunpletripleen∞^,ladiérentiellequadratiqueobtenue s'érit,lorsque l'on a xéle résidu en les pointsde b= (b0, . . . , bm−1) ^à 1^,

q(z)dz² =

mX−1

j=0

1

(z−bj)² + αj

z−bj

dz²,

ave α_j = ^(f_ρ(ρ^◦m)₋^′′₁₎^{(bj), où} ρ^{est le} multipliateurdu yle b^.

L'invarianedes parties polaires met à jour la relationentre variation du multipliateur

et déplaement de lavaleur ritiquesdans la formule(théorème 5.2.5) :

q−f_∗q = −1 λ˙

˙ ρ ρ

1 z−λdz²,

où les points représentent les dérivées par rapport au paramètre λ^{, qui est aussi la valeur}

ritique de f(z) =z^d+λ^.

Lasuitedeladémonstrationmetenjeudesestimationssur lapertedemasseparpoussée

en avant de la diérentielle quadratique q ^{par la fration}rationnelle f ^{(voir [11℄).}

Ensembles de Julia quadratique inniment satellite renormalisables

Lespolynmesinnimentsatelliterenormalisablessontlespolynmesquadratiquesz²+λ

dont les paramètes λ ^{se trouvent à} l'intersetion d'une suite innie de opies de l'ensemble de Mandelbrot suessivement attahées lesunes auxautres (voir [7℄, [22℄).

La dynamiquede es polynmes etlatopologie de l'espae des paramètres en es points

sont malonnues et leur étude est liée à laquestion de laloale onnexitéde l'ensemblede

Mandelbrot.

diqueen unyle depériode multiplede lapréedente. Cetteexplosionest enfaitlaollision

d'un premier yle ave un seond yle en un paramètre ou le multipliateur du premier

yle est une raine de l'unité et elui du seond est 1^{. Ce phénomène est formalisé par la}

dénition de fontions d'explosions, f. proposition6.2.2 qui s'appliqueau as d'une famille

de germes générale.

Un polynme quadratique z² + λ ^{inniment satellite} renormalisable orrespond don à une suite de yles qui sont issus des yles qui les préèdent par une explosion. À de

tels polynmes on peut assoier une donnée ombinatoire qui est une suite de nombres

rationnels

pn

qn

n∈N

appelés nombres de rotation. Il s'agit de l'angle interne en lequel la

opie de Mandelbrot suivanteest rattahée à lapréédente dans lasuite de opies ajaentes

auxquelles appartientle paramètre λ^.

Non loale onnexité de l'ensemble de Julia

Lespolynmesquadratiquesinnimentrenormalisablesfontpartiedeeux pouvantavoir

un ensemble de Julia non loalement onnexe (voir [14℄). Le théorème de Guénadi Lévine

(f.[19℄)donneune onditionexpliitesur lasuitedes nombres de rotationquiimpliqueque

l'ensemblede Juliadu polynmeorrespondant n'est pas loalement onnexe.

La ondition est la suivante. Si la suite de nombres entiers (qn)n ^{tend vers} ∞ ^{et que la}

suite de nombres rationnels

pn

qn

n

vérie :

lim sup

n→∞

p_n+1 qn+1

1/qn

< 1, ⁽²⁾

alors lepolynmez²+λ ^{inniment satellite}renormalisablede suite de nombres de rotation

pn

qn

n

a un ensemblede Juliaquin'est pas loalement onnexe.

Je présente une version simpliéede la démonstrationde Guénadi Lévine.

Unepartiedu problèmeest demontrerqueladonnée delasuitedes nombresde rotation

etd'uneomposantehyperboliqueinitialesut,dansleasquinousonerne,àaratériser

le polynmequadratique z²+λ ^{de façonunique (voirsetion 6.2.3).}

La démonstration repose sur un ontrle des explosions de yles. Pour ela on doit

onsidérer des domaines où e ontrle est possible grâe notamment aux inégalités de

Pommrenke-Lévine-Yoozquel'on applique,en plusdesas habituels,auxbordsdusillage,

làoùlenombrederotationestnul(f.setion4.2).Onpeut onstruireunesuitede domaine

oùl'on suit lesyles, via des fontionsimpliiteset des fontions d'explosions (proposition

6.2.6) et utiliser la ompaité et des inégalités de distortion pour avoir le ontrle voulu

(orollaire 6.2.18). Ainsi on voit que le ritère de Douady-Sullivan s'applique (voir setion

4.4).

J'expose un modèle de la situationen question dans le dernier hapitre 7. Je réfère aux

setions 7.1et7.2 pour plus de détailssur leproblème.

Plan-résumé

Leontenusedéoupe delafaçonsuivante. Lespremièreetdeuxième partiesonernent

mes travaux autourde lamise en pratique de tehniques de la dynamiqueholomorphe à un

problème de ladynamique du erle etd'une étudeanalytique des oordonnées de Bötther

et. La suite est onsarée aux polynmes quadratiques inniment satellite renormalisables

en lien ave les ensembles de Julianon loalement onnexe.

Pour la famille des appliations standard doubles du erle, Mihaª Misiurewiz et Ana

Rodriguesontintroduitune nouvelleaeptiondelanotiondelanguedeArnold.Jeprouve

que le type d'une langue (f. dénition 2.1.1) est un bon lassiateur pour les langues de

Arnold de la famille standard double, plus préisément que les domaines d'un type donné

sont onnexes. Cei permet de onlure dénitivement que les langues de Arnold pour la

famille des appliations standard double ont vraiment la forme de langues de Arnold. La

démonstration de la onnexité onsiste en l'utilisation du prolongement du système dyna-

mique analytique réel sur le erle en un système dynamique itératif holomorphe sur un

ouvert du plan omplexe. Sur e dernier, l'utilisationde tehniques de déformations quasi-

onformes permet de onstruire un hemin ontinuà l'intérieur du domainede l'espae des

paramètres onsidéré.

Je donneun équivalent préispour lesoeients du développementen série de Laurent

de l'appliationinverse des oordonnées de Bötther pour les polynmes quadratiques dont

le pointritique s'éhappe à l'inni.

Lapartieonsaréeàl'étudedesensemblesdeJuliadepolynmesquadratiquesinniment

satellite renormalisablesnon loalementonnexes est divisée en plusieurssous parties.

Je démontre une généralisation d'une inégalitéqui sert à déterminer un domaine à l'in-

térieur duquel iln'y a pas de valeurritique de lafontion multipliateur.

Je reprends d'abords les travaux de Guénadi Lévine sur la question. Le but est une

bonneompréhensionduméanismedesbifurationssatellitessuessivesainsiquedesoutils

(parfois impliites)etapprohes que GuénadiLévine utilisepour ontrler e qui s'y passe.

Enn,jeommenel'étuded'unmodèleproposéparXavierBu.Ils'agitd'unmodèledes

renormalisationsrééde façongéométriqueetgénérantunmodèle topologiquehypothétique

d'un ompat invariant dans l'ensemble de Julia de es polynmes. Les deux aspets de la

justesse etde ladesription préisede e modèle restent àétudier. Sie modèle est orret,

ildonneunenouvelleonditionde nonloaleonnexitédes ensembles deJuliade polynmes

quadratiques inniment satelliterenormalisables.

Jeremerie touteslespersonnes quim'ontaidépourmes travauxmathématiquesdurant

lespresque quatre annéesqu'auront durée mathèse.

Je remerie tout partiulièrementXavier Bu, maisaussi Adam Epstein, ArnaudChéri-

tat, PasaleRoesh, ShishikuraMitsuhiro,John Hubbardainsiquetous lesautresontribu-

teurs plus oumoins importantsà l'aboutissement de e travail.

Je remerie aussi les personnes qui m'ontaidé à résoudre mes problèmes ave l'adminis-

tration,en partiulier André Legrand,XavierBu etÉriLombardi.