Preuves, types et sous-types

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Submitted on 9 Sep 2009

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Frédéric Ruyer

To cite this version:

Frédéric Ruyer. Preuves, types et sous-types. Mathématiques [math]. Université de Savoie, 2006.

Français. �tel-00414653�

pour obtenir le grade de doteur de l'Université de Savoie

Spéialité : Logique mathématique

présentée par Frédéri RUYER

Titre :

Preuves, Types et Sous-Types

soutenue le 30 Novembre 2006 devant le jury omposé de

Emmanuel CHAILLOUX Rapporteur

René DAVID Direteur de thèse

Gilles DOWEK Rapporteur

Pasal MANOURY Rapporteur

Mihel PARIGOT

Christophe RAFFALLI Direteur de thèse

Laurent REGNIER

REMERCIEMENTS...

A mes maîtres : tout d'abord mes direteurs de thèse, René David et Christophe Raalli,

ainsi que mes professeurs de D.E.A., spéialement Paul Rozière et Chantal Berline pour

leurs intuitions, leur exigene et leur aueil, ainsi qu'aux rapporteurs de ette thèse pour

leur leture attentive.

A ma famille : mes parents et grands-parents pour tout e que le leurs dois, mes beaux-

parentsspéialement pour nous avoir aueillis lors de notre arrivée en Savoie, ma femme

et mes enfant, de m'avoirsoutenu et supporté pendant quatre longues années trop souvent

perdu dans mespensées!

Aux amis : Thomas et Yasmina pour m'avoir poussé vers ette aventure, à Laurent et

Yoyo pour leurs enouragements, aux dotorants et amarades Thomas, Patrik, Serge,

1 Introdution 1

1.1 Introdution informelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Preuves etpreuves formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Théoriede ladémonstration,

λ

1.2 État de l'art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Systèmes de types primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Polymorphisme, typesdépendants et PTS . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Omissionde ontenu non-algorithmique, etsous-typage . . . . . . . 8

1.2.4 Types indutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.5 Modules, typesnommés ettypes abstraits . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Contribution etplan de lathèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Préliminaires sémantiques 13 2.1 Approhes sémantiques de l'algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Sémantiques des langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2 Sémantiquedes énonés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Treillisompletspremiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Rappelssur les ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Éléments premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Shéma de ompréhension dans les treillisomplets . . . . . . . . . 20

2.2.4 Axiomedu hoixdans lestreillis omplets . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5 Indutiondans les treillis omplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.6 Co-indutiondans les treillisomplets . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Parties saturées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Dénitionet premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Isomorphismes ave les treillisomplets premiersouompats . . . 26

2.3.3 Un résultatde ompaitépour leslasses de

λ

2.4 Treillisappliatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Treillis

λ

2.5.1 Dénitionset premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Le système ST 37

3.1 Présentation informelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Sortes,termes etontextes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Sortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2 Termes etontextes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Règles etaxiomes purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Règles logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.2 Règles de typage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.3

β

3.3.4 Règles mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.5 Axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Opérateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.2 Opérateurs de types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.3 Prédiats de types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Règles etAxiomesave opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1 Règles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.2 Axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5.3 Choix des axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6 Sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6.1 Dénitionde lasémantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6.2 Lemmed'adéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.6.3 Lemmes tehniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7 Propriétés des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7.1 Opérateurs déjà dénis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7.2 Nouveaux opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.8 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Préservation du type 61 4.1 Typage et sous-typage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.1

λ

4.1.2 Équivalene entre typage etsous-typage . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Transformations de ontextes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1 Preuve du théorème du type prinipal. . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Singletoniitédes

λ

4.3.1 Autres dénitions de singleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.2 Preuve du théorème de singletoniité . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4 Préservation du type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Expressivité de ST 73 5.1 Modèles non triviaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.1 Système

ST

5.2 Existene d'énonés indéidables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3 Logique lassique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4 Normalisabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4.1 Rappelssur les partiesadéquates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4.2 Preuve du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.4.3 Un résultatsur lestypesà

∀

5.5 Résolubilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5.1

η

5.5.2 Normalisabilitéde tête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.6 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Types de données dans le système ST 87 6.1 Types de données strits etentiers (de Churh) . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.1.1 Types de données strits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.1.2 Zéro, suesseur etprédiat être entier . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.1.3 Arithmétiquede Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1.4 Égalité sur lesentiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2 Produits etPaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.1 Typage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.2 Sous-typage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3 Sommeset ases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4 Enregistrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4.1 Typage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4.2 Sous-typage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.5 Types abstraitset desription dénie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.5.1

ST

6.5.2 Syntaxe etrègles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5.3 Adéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.6 Antisymétrie etshéma de ompréhension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.7 Conlusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7 Langage de programmation 107 7.1 Sortes ettermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.1.1 Sortes ettermes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.1.2 Termes paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2 Lenoyau fontionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.2.1 Dérivations pures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.2.2 Interations entre lesdérivations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.2.4 A propos de l'absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.3 Paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.4 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121