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l’introduction de l’algorithmique au niveau de la classe de seconde du lycée français
Nathalie Briant
To cite this version:
Nathalie Briant. Étude didactique de la reprise de l’algèbre par l’introduction de l’algorithmique au niveau de la classe de seconde du lycée français. Histoire et perspectives sur les mathématiques [math.HO]. Université Montpellier II - Sciences et Techniques du Languedoc, 2013. Français. �tel- 00920506�
D
élivré par UNIVERSITE MONTPELLIER 2
Préparée au sein de l’école doctorale Information, structures et systèmes
et de l’unité de recherche LIRDEF Spécialité : Didactique des mathématiques
Présentée par Nathalie BRIANT
Soutenue le 10/12/2013 devant le jury composé de
Mme Marianna BOSCH, Professeur
Université Ramon Llull Rapporteur
M. Alain BRONNER, Professeur
Université Montpellier 2, FDE Directeur
M. Yves CHEVALLARD, Professeur émérite
Université Aix-Marseille Examinateur
Mme Gisèle CIRADE, Maître de conférences
ESPE de l’académie de Toulouse Examinateur
Mme Brigitte GRUGEON-ALLYS, Professeur
ESPE de l’académie de Créteil, UPEC Rapporteur M. Yves MATHERON, Professeur
Institut français de l’Éducation, ENS de Lyon Examinateur
Étude didactique de la reprise de l’algèbre par l’introduction de l’algorithmique au niveau de la
classe de seconde du lycée français
À mon père, qui m’a transmis le plaisir d’apprendre, le goût des sciences, la persévérance et la recherche de la rigueur.
Au lieu de ce grand nombre de préceptes dont la logique est composée, je crus que j'aurois assez des quatre suivants, pourvu que je prisse une ferme et constante résolution de ne manquer pas une seule fois à les observer.
Le premier étoit de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle ; c’est-à-dire, d'éviter soigneusement la précipitation et la prévention, et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenteroit si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute.
Le second, de diviser chacune des difficultés que j'examinerois, en autant de parcelles qu'il se pourroit, et qu'il seroit requis pour les mieux résoudre.
Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connoître, pour monter peu à peu comme par degrés jusque à la connaissance des plus composés, et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.
Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre.
Descartes, Discours de la Méthode (1637) Ces quatre préceptes, que Descartes présente comme une sorte de méthode algorithmique, résument bien le cheminement de ma pensée durant ce travail de thèse : ne rien recevoir pour vrai sans l’avoir clairement compris et assimilé, diviser les difficultés et les traiter une à une, établir un ordre des pensées – des objets (de la didactique) les plus simples aux plus complexes – et tout passer en revue afin de ne rien omettre… Telle a été ma tâche lors de ces quatre années !
Ce travail n’aurait pas été possible sans mon directeur de thèse, Alain Bronner, que je remercie vivement pour ses conseils, ses régulations et la qualité scientifique de son encadrement.
J’adresse mes remerciements à Madame Marianna Bosch, Madame Brigitte Grugeon-Allys, Monsieur Yves Chevallard, Madame Gisèle Cirade et Monsieur Yves Matheron pour avoir accepté de faire partie du jury de ma thèse.
J’aimerais également remercier particulièrement les trois professeurs expérimentateurs Anne, Alain et Marc pour le temps qu’ils m’ont accordé et pour nos échanges fructueux, sans oublier Éric qui a également participé à la phase expérimentale de ce projet.
Je tiens à remercier sincèrement les membres du LIRDEF pour m’avoir accompagnée et la direction de l’IUFM qui a aménagé mon temps de travail, me permettant ainsi de réaliser cette thèse dans des conditions optimales.
Je remercie mes collègues et mes amis qui m’ont apporté leur soutien.
Je remercie mes enfants, Camille, Jeanne et Victor, pour leurs encouragements, leur compréhension et leurs pensées, surtout au cours des six derniers mois où j’ai vécu comme une recluse.
Et pour terminer, merci à François, mon mari, qui ne sait que trop ce que signifie l’expression
« l’absence en présence »… et qui est resté un soutien infaillible dans cette aventure, aussi bien durant mes moments d’exaltation que mes moments de doute, toujours patient, toujours confiant et toujours à mon écoute.
1
TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES ... 1
INTRODUCTION ... 7
CHAPITRE 1 - CADRE DIDACTIQUE THÉORIQUE ... 11
Introduction ... 11
Éléments de la théorie anthropologique du didactique de Chevallard ... 12
1.2.1 La transposition didactique ... 12
1.2.2 Le concept de praxéologie ... 13
1.2.3 L’échelle de niveaux de codétermination didactique ... 15
D’autres éléments théoriques sur les pratiques enseignantes ... 18
1.3.1 Justifications ... 18
1.3.2 Les gestes professionnels de l’enseignant ... 19
1.3.3 Événements prévisibles et problématiques ... 22
1.3.4 La méthodologie « des quatre composantes » ... 22
1.4 Résumé du cadrage théorique utilisé ... 25
1.5 Remarque sur les choix des cadres théoriques utilisés ... 26
CHAPITRE 2 - CADRE DIDACTIQUE DE L’ALGÈBRE ... 29
Le passage de l’arithmétique à l’algèbre : rupture ou continuité ? ... 29
Les objets de l’algèbre élémentaire ... 33
2.2.1 Le statut des lettres et leur introduction dans l’enseignement ... 33
2.2.2 Le signe d’égalité, sens et usages ... 39
2.2.3 Les expressions algébriques et la dualité procédurale/structurale ... 42
2.2.4 Les premières équations et leurs obstacles ... 46
2.3 Approche linguistique des expressions algébriques ... 48
2.3.1 Approche logico-linguistique de Frege ... 48
2.3.2 Les travaux de Drouhard ... 49
2.3.3 Les registres de représentation sémiotique de Duval ... 49
2.3.4 Ostensifs et non-ostensifs de Bosch et Chevallard ... 50
2.4 La compétence algébrique selon Grugeon ... 52
2.5 Articulation numérique-algèbre : typologie des rapports personnels des élèves aux nombres réels ... 54
2.6 Le paradoxe de la compétence algébrique ... 56
CHAPITRE 3 - CADRE DIDACTIQUE DES TICE ... 61
2
3.1 L’introduction des TIC dans l’enseignement des mathématiques : une évolution
sociétale ... 61
3.2 Les travaux de Rabardel : artefact et instrument ... 63
3.3 Les travaux de Balacheff : la transposition informatique ... 64
3.4 Le concept de pseudo-transparence ... 64
3.5 La notion de distance instrumentale ... 67
3.6 Les travaux de recherche sur les CAS pour l’enseignement de l’algèbre ... 69
3.7 Retour sur le thème d’étude ... 72
CHAPITRE 4 - CADRE DIDACTIQUE DE L’ALGORITHMIQUE ... 75
4.1 Un premier algorithme ... 75
4.2 Définitions d’un algorithme ... 77
4.3 Définition de l’algorithmique ... 79
4.4 Structure d’un algorithme/ d’un programme ... 81
4.5 Algorithmique dans les programmes actuels du lycée ... 88
4.5.1 Pourquoi étudier l’algorithmique et la programmation au lycée ? ... 88
4.5.2 Historique de l’introduction de l’algorithmique dans la discipline des mathématiques ... 90
4.5.3 Algorithmique dans les programmes de mathématiques actuels ... 94
4.5.4 Conclusion en rapport avec le thème d’étude ... 95
CHAPITRE 5 - PROBLEMATIQUE ... 103
5.1 Une étude de l’algèbre dans le cadre des programmes officiels de la classe de seconde ... 103
5.2 La reprise de l’algèbre dans le cadre de la classe de seconde ... 107
5.3 Reprendre de l’algèbre par l’algorithmique dans le cadre de la classe de seconde . 109 5.4 Étude des conditions et des contraintes de cette reprise ... 112
5.5 Problématique et résumé des hypothèses de recherche ... 113
CHAPITRE 6 - MÉTHODOLOGIE DE RECHERCHE ... 115
6.1 Les différents éléments du recueil de données ... 115
6.1.1 Analyse institutionnelle de quelques concepts algébriques ... 115
6.1.2 Étude des connaissances d’élèves français en algèbre élémentaire, au niveau du début du lycée ... 117
6.1.3 Expérimentation didactique spécifique ... 118
6.1.4 Entretiens avec les professeurs expérimentateurs ... 127
6.2 Organisation des analyses ... 129
6.2.1 Synthèse du recueil de données ... 129
6.2.2 Méthodologie des analyses de l’expérimentation didactique spécifique ... 130
6.3 Établissement et professeurs ayant participé à la recherche ... 132
6.3.1 Caractéristiques de l’établissement ... 132
3
6.3.2 Choix des enseignants expérimentateurs ... 133
CHAPITRE 7 – UNE ANALYSE INSTITUTIONNELLE ... 135
7.1 Objectif de l’étude de manuels de troisième et de seconde ... 135
7.2 Deux catégories pour le second degré ... 139
7.3 Fréquence de l’utilisation des nombres déterminés dans les équations proposées par les manuels ... 146
7.4 Conclusion ... 147
CHAPITRE 8 – UNE ÉTUDE DES CONNAISSANCES DES ÉLÈVES ... 149
8.1 Exploration du programme PISA ... 149
8.2 Exploration des enquêtes nationales ... 157
8.3 Test diagnostique de fin de seconde ... 159
8.3.1 Présentation ... 159
8.3.2 Analyse a priori du test diagnostique ... 161
8.3.3 Analyse des résultats du test diagnostique ... 180
8.3.4 Bilan et premières réponses à l’hypothèse H2 ... 196
CHAPITRE 9 – PRÉSENTATION DE LA TRAME D’INGÉNIERIE DIDACTIQUE ... 199
9.1 Introduction ... 199
9.2 Situation n°1 ... 200
9.2.1 Présentation de la situation n°1 ... 200
9.2.2 Analyse a priori de la situation n°1 ... 203
9.2.3 Les éléments imposés et modulables de la situation n°1 ... 208
9.3 Situation n°2 ... 211
9.3.1 Présentation de la situation n°2 ... 211
9.3.2 Analyse a priori de la situation n°2 ... 214
9.3.3 Tâches alternatives de la situation n°2 et objectifs complémentaires ... 220
9.3.4 Les éléments imposés et modulables de la situation n°2 ... 223
9.4 Situation n°3 ... 226
9.4.1 Préambule : modélisation des équations ... 226
9.4.2 Présentation de la situation n°3 ... 227
9.4.3 Analyse a priori de la situation n°3 ... 229
9.4.4 Les éléments imposés et modulables de la situation n°3 ... 237
CHAPITRE 10 - ÉLABORATION DES TRAMES PROJETÉES ... 241
10.1 Entretien générique pré-expérimentation ... 241
10.1.1 Présentation de l’entretien ... 241
10.1.2 Analyse a priori de l’entretien ... 242
10.1.3 Analyse a posteriori des entretiens ... 243
10.1.4 Bilan des entretiens génériques pré-expérimentation ... 250
4
10.2 Situation de l’expérimentation dans la progression annuelle des professeurs ... 251
10.3 Retour sur la méthodologie de constitution des trames projetées ... 253
10.4 Analyse a priori des trames projetées d’Annabelle et de Maurice (TP1 et TP2) ... 254
10.4.1 Situation n°1 ... 254
10.4.2 Situation n°2 ... 263
10.4.3 Situation n°3 ... 266
10.5 Analyse a priori de la trame projetée d’Alex (TP3) ... 268
10.5.1 Situation n°1 ... 268
10.5.2 Situation n°2 ... 274
10.5.3 Situation n°3 ... 278
10.6 Bilan : comparaison des trames projetées... 282
10.6.1 Situation n°1 ... 282
10.6.2 Situation n°2 ... 289
10.6.3 Situation n°3 ... 291
CHAPITRE 11 - ANALYSE DES SÉQUENCES RÉALISÉES... 293
11.1 Situation n°1 ... 294
11.1.1 Classe d’Annabelle : séance 1 ... 294
11.1.2 Classe de Maurice : séance 1 ... 322
11.1.3 Classe d’Alex : séance 1.1 ... 338
11.1.4 Classe d’Alex : séance 1.2 ... 360
11.2 Situation n°2 ... 380
11.2.1 Classe d’Annabelle : Séance 2 ... 380
11.2.2 Classe de Maurice : Séance 2 ... 405
11.2.3 Classe d’Alex : Séance 2.1 ... 421
11.2.4 Classe d’Alex : Séance 2.2 ... 444
11.2.5 Classe d’Alex : Fin de la situation n°2 en travail maison ... 465
11.3 Situation n°3 ... 470
11.3.1 Classe d’Alex : Séance 3.1 ... 470
11.3.2 Classe d’Alex : Séance 3.2 ... 487
11.4 Entretien spécifique post-expérimentation ... 506
11.4.1 Présentation de l’entretien ... 506
11.4.2 Analyse a priori de l’entretien ... 508
11.4.3 Analyse a posteriori des entretiens ... 509
11.4.4 Bilan des entretiens spécifiques post-expérimentation ... 515
CHAPITRE 12 - BILAN ... 517
12.1 Situation n°1 : La catégorisation des équations ... 517
5
12.2 Situations n°2 et 3 : L’algorithmique et la programmation pour la résolution
d’équations... 521
12.3 Sur l’introduction de l’algorithmique et de la programmation ... 524
12.4 Pour une reprise de l’expérimentation ... 527
12.5 Sur les professeurs expérimentateurs ... 529
12.6 Retour sur les hypothèses ... 531
12.6.1 Hypothèse H1 : sur la reprise par l’enseignant de l’algèbre comme objet ... 531
12.6.2 Hypothèse H2 : sur la capacité des élèves à considérer l’algèbre comme objet .. 533
12.6.3 Hypothèse H3 : sur l’introduction de l’algorithmique pour l’apprentissage de l’algèbre ... 534
12.6.4 Hypothèse H4 : sur les différences et les invariants des OM et OD des enseignants pour l’enseignement de l’algèbre ... 537
CONCLUSION ... 541
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES ... 549
TABLE DES ILLUSTRATIONS ... 561 Les annexes sont présentées dans le volume des annexes.
6
7
INTRODUCTION
Les origines de la recherche
Les origines de cette recherche sont multiples. Elles reposent sur une combinaison de diverses rencontres que nous avons pu faire tout au long de notre carrière, rencontres conjuguant à la fois des institutions, des personnes appartenant à ses institutions, des concepts mathématiques, didactiques et informatiques, sans oublier notre cursus initial d’études et notre parcours professionnel. Alliant un début de carrière comme ingénieur dans la recherche industrielle avec une poursuite dans l’Éducation Nationale en tant qu’enseignante de lycée, puis dans l’Enseignement Supérieur et de la Recherche comme formatrice à l’IUFM de Montpellier, devenu Faculté d’Éducation à la rentrée 2013-2014, les multiples facettes de ce parcours nous ont conduite à tisser des liens entre différents domaines et à effectuer des rapprochements entre eux. Aussi ce travail de recherche reflète-t-il notre parcours personnel : il se trouve au carrefour de différentes spécialités, qui se complètent et s’enrichissent mutuellement, comme nous tentons de le justifier ci-après.
L’objet de ce travail de recherche constitue une articulation entre divers éléments. Tout d’abord, une première articulation fondamentale a émergé entre un large domaine mathématique, lui-même constitué de deux sous-domaines, le numérique – algébrique, tel que l’a défini Bronner (2007), et un concept didactique, la notion de reprise développée dans la thèse de Larguier (2009). Ces deux premiers objets constituent l’un des substrats de recherche du laboratoire ERES du LIRDEF1 de l’Université de Montpellier II ; ils nous ont permis de nous appuyer sur des thématiques répondant à des besoins propres de formation des professionnels des métiers de la formation et de l'enseignement, et ce, dans un souci de continuité et de cohérence avec des travaux déjà entrepris dans ce laboratoire.
D’autre part, toute préoccupation d’enseignement et d’apprentissage ne peut se faire sans tenir compte du niveau institutionnel, et en particulier des programmes propres à chaque niveau de l’École. Depuis la rentrée scolaire 2009 s’effectue en France la réforme des lycées, débutée en classe de Seconde et poursuivie en classes de Première et de Terminale en 2011 et 2012. Cette réforme s’accompagne de changements de programmes qui concernent, entre autres, en mathématiques, le domaine numérique - algébrique2 : la question de la reprise des premiers concepts de ce domaine vus au collège se pose aux professeurs de lycée d’une façon nouvelle, d’autant plus que des changements de programmes au niveau du collège ont également été opérés. Un autre changement institutionnel concerne l’introduction, dans toutes les classes de la voie générale du lycée, de l’algorithmique dans les programmes de mathématiques. Sans doute influencée par notre formation initiale d’ingénieur informaticien, notre intérêt s’est porté sur l’intégration des TIC dans l’enseignement des mathématiques. L’introduction de cette nouvelle branche de l’informatique nous a semblé porteuse de sens mais aussi sujette à de nombreuses questions : comment les enseignants l’intègreront-ils dans leur enseignement ?
1 Etudes et Recherches sur l'Enseignement des Sciences (ERES), composante du Laboratoire Interdisciplinaire de Recherche en Didactique, Education et Formation (LIRDEF)
2 Ce point sera développé dans le cadre de ce travail au chapitre 5.
8
Comment les élèves recevront-ils ce nouvel enseignement : comme une aide à la compréhension des concepts mathématiques ou comme un greffon extérieur venant se surajouter à des notions mathématiques qu’ils ont parfois des difficultés à comprendre ? Un dernier point est à soulever : le lien entre algèbre et algorithmique. En effet, d’un point de vue historique et épistémologique, les deux mots ont une origine commune, le nom du philosophe, mathématicien et astronome Al-Khawarizmi d’origine perse (vers 780 - 850) : le mot algorithme est la traduction française de son propre nom et le terme algèbre vient de l’expression al jabr qu’Al-Khawarizmi utilisait pour signifier la transposition3 d’un terme négatif d’un membre à l’autre dans une équation donnée. Ce travail de recherche tente de montrer que les origines communes des termes algèbre et algorithme ne se limitent pas à une question de vocabulaire, mais permettent une réelle articulation entre les concepts qu’ils véhiculent.
Pour résumer, ce travail s’articule entre les thématiques de recherche précitées, présenté ci- dessous sous forme synoptique. C’est l’étude de cette articulation, matérialisée par les flèches du schéma ci-dessous et qui relient les différents éléments les uns aux autres qui vont faire l’objet de cette recherche.
Figure 1: Articulation entre les différents domaines en jeu dans la recherche menée
Les premières questions de la recherche
À partir de ces différents éléments et de leurs articulations, et forte de notre expérience d’enseignante en lycée, nous nous sommes intéressée à l’enseignement/apprentissage de l’algèbre en classe de seconde. Ce niveau de classe a retenu notre attention à plusieurs titres.
Il représente pour chaque élève suivant une filière générale un passage, une classe charnière
3 La traduction mot à mot est reboutement, c’est-à-dire remise en place, réparation.
Articulation Numérique -
Algébrique
Nouveaux programmes de
lycée Algorithmique
Continuité des travaux LIRDEF - ERES
Analyse des changements et des
continuités
- Expérience d’ingénieur en programmation - Expérience d’enseignant en
TICE Origine commune des mots
algorithme et algèbre Al-Khawarizmi
Concept de reprise
9
entre le collège et la série du cycle terminal du lycée qui sera choisie. De plus, de nombreux travaux de recherche sur l’enseignement de l’algèbre élémentaire ont montré les difficultés épistémologiques et didactiques de l’introduction de ce domaine, et nombre de lycéens éprouvent des difficultés avec les premiers concepts algébriques introduits au collège.
L’algèbre se trouve alors avoir un rôle spécifique, particulièrement en classe de seconde, puisqu’elle fonctionne comme un verrou d’accès aux études mathématiques et scientifiques.
Nous nous interrogeons sur la reprise de l’algèbre élémentaire vue au collège. Étant donné l’étendue de ce domaine, nous avons choisi de nous intéresser essentiellement aux objets gravitant autour du concept d’équation, que nous cherchons à approfondir par le détour de l’algorithmique. Ce choix est guidé par les éléments donnés au paragraphe précédent, mais aussi parce que ce concept permet d’atteindre de nombreux objets du savoir algébrique. Nous nous attachons à la fois à l’enseignement et à l’apprentissage de ces objets, et les premières questions de recherche peuvent être envisagées sous différents axes. En nous basant sur le triangle didactique, nous amorçons les questions suivantes :
- Relativement au savoir : quelle place occupe ces objets de l’algèbre en classe de seconde, relativement aux programmes institutionnels ? Quelle évolution par rapport aux anciens programmes ?
- Relativement à l’enseignant : quelles sont les conditions et les contraintes de l’enseignant vis-à-vis de l’enseignement de ces objets ? Comment l’enseignant considère-il leur reprise, considérant l’enseignement déjà dispensé au collège ? Envisage-t-il un détour par l’algorithmique pour l’enseignement de ces objets et de quelles manières ?
- Relativement à l’élève : reprendre le concept d’équation en seconde, est-ce bien utile ? Quel est l’état des savoirs de l’élève à ce niveau ? Un détour par l’algorithmique peut-il faciliter l’apprentissage de concepts algébriques ?
Le présent travail a pour ambition de tenter de répondre, au moins partiellement, à ces questions.
Les différents chapitres du mémoire et les différentes études de la recherche
Notre exposé se présente en trois grandes parties que nous avons choisi de décliner en 12 chapitres, de la façon suivante :
Les quatre premiers chapitres du mémoire de thèse constituent la présentation du cadre didactique dans lequel nous nous inscrivons (chapitre 1), puis est réalisé un état des lieux de la recherche en didactique de l’algèbre élémentaire (chapitre 2) et de la recherche sur l’intégration des TIC et de l’algorithmique dans l’enseignement des mathématiques (chapitres 3 et 4). Ces premiers chapitres permettent de clarifier les concepts et la terminologie utilisée dans la suite de l’exposé. Le cadre didactique principal est emprunté à Chevallard (1985, 1992, 1999) pour la théorie anthropologique du didactique, et nous développons dans le premier chapitre certains aspects de ses recherches particulièrement utiles dans ce travail.
Nous y développons également quelques outils théoriques complémentaires sur lesquels nous avons appuyé nos analyses. Le chapitre suivant, sur les recherches en enseignement et apprentissage de l’algèbre élémentaire, n’a pas vocation à présenter un bilan exhaustif des travaux fort nombreux en ce domaine, mais propose un état des lieux des principales recherches sur les objets de l’algèbre auxquels nous nous intéressons. Les travaux de Grugeon (1995) sur la compétence algébrique nous servent pour une grande part de référence. Le
10
chapitre suivant expose des résultats de travaux autour des TIC liées à l’enseignement/apprentissage des mathématiques, ainsi que les questions d’instrumentation qui en découlent dans une perspective didactique, avec les apports de l’approche instrumentale développée en ergonomie cognitive (Rabardel, 1995), et également des travaux de Balacheff (1994) sur la transposition informatique. Cette première partie se termine par un chapitre sur l’algorithmique, où peu de travaux de recherche en didactique sont dénombrés.
Nous sous sommes principalement appuyée sur les travaux de thèse de Nguyen (2005) et de Modeste (2012).
La deuxième partie de la thèse est constituée des chapitres 5 et 6 qui explicitent notre méthodologie de recherche et notre problématique dont l’intitulé est le suivant :
Quelles sont les conditions et des contraintes, côté enseignant et côté apprenant, pour une reprise de l’algèbre par l’introduction de l’algorithmique dans le cadre de la classe de seconde du lycée ?
Quatre hypothèses de recherche sont dégagées en lien avec cette problématique, portant sur différents pôles : le savoir à enseigner et le savoir enseigné, le professeur, l’élève. Le chapitre 6 présente alors la méthodologie générale de notre travail ainsi que les diverses procédures qui composent ce cadre méthodologique.
La troisième partie de notre mémoire constitue le questionnement de nos hypothèses de recherche (chapitres 7 à 12). Nous pourrions qualifier les chapitres 7 et 8 de recherches in vitro et les chapitres 9 à 11 de recherches in vivo. En effet, les premières recherches portent sur une étude comparative de manuels scolaires de troisième et de seconde au sujet des praxéologies développées sur de mêmes concepts algébriques (chapitre 7) et sur l’étude d’un test diagnostique réalisé en fin de seconde sur 160 élèves d’un même lycée, portant sur des concepts algébriques utilisés comme objet ou comme outil (chapitre 8). Les recherches suivantes sont constituées de la conception d’une ingénierie didactique, située au cœur de notre problématique, conjuguant algèbre et algorithmique, que nous analysons a priori au chapitre 9. Cette ingénierie est ensuite proposée à trois enseignants expérimentateurs qui la projettent en trois séquences (chapitre 10), puis les trois séquences réalisées en classe de seconde sont analysées a posteriori (chapitre 11).
Le chapitre 12 consiste en la discussion des résultats obtenus et en des éléments de réponse aux hypothèses de recherche.
En conclusion, sont évoquées les limites de cette recherche, les retombées que cette étude peut susciter sur le plan de la formation des enseignants, ainsi que les pistes que cette recherche nous a permis de dégager.
11
CHAPITRE 1 - CADRE DIDACTIQUE THÉORIQUE
Introduction
Le titre de la thèse « Étude didactique de la reprise de l’algèbre par l’introduction de l’algorithmique au niveau de la classe de seconde du lycée français » annonce que les travaux entrepris se situent à la frontière de différents champs, de différents domaines qui s’articulent entre eux. Il s’ensuit que le travail d’analyse et de synthèse de cette recherche nécessite des outils théoriques issus de plusieurs origines et avec différentes approches.
Afin de préciser le cadre théorique utilisé dans ce travail, il nous semble opportun de repartir d’une définition de la didactique des mathématiques et nous avons choisi celle-ci de Chevallard (2005) :
Au sens large, la didactique des mathématiques se voue à étudier les conditions et contraintes sous lesquelles des mathématiques se mettent à vivre, à migrer, à changer, à opérer, à dépérir, à disparaître, à renaître, etc., au sein des groupes humains.
Les travaux entrepris dans cette thèse vont étudier comment vivent des mathématiques, en prenant en compte les points de vue de divers groupes humains : celui de l’élève, celui du professeur, celui de l’institution scolaire, celui de la société dans laquelle évoluent ces différents acteurs ou composantes. Chacun de ces acteurs ou chacune de ces composantes interagissent selon des conditions et des contraintes liées à l’institution dans laquelle ils évoluent. Pour préciser, les conditions relèvent davantage des facteurs sur lesquels il est possible d’agir, alors que le vocable contraintes renvoie plutôt aux caractéristiques qui ne peuvent être modifiées et avec lesquelles il faudra composer, et ce, à tous les niveaux : au niveau de l’élève face à son apprentissage, au niveau du professeur face à sa classe et à son enseignement, au niveau de l’institution Éducation Nationale (EN) et de ses préconisations.
Nous tentons de mettre en évidence des conditions et de ces contraintes dans le cadre de cette recherche, relativement aux différents acteurs ou composantes précités.
D’autre part, bien que ce travail s’appuie sur des observations de trois pratiques enseignantes, des interactions des professeurs avec leurs élèves et des apprentissages de ces derniers, nous cherchons à dégager quelques invariants, ou du moins des régularités dans les expérimentations menées afin de proposer des conclusions relativement fiables et transposables. Aussi, afin de modéliser le travail de l’enseignant et celui de ses élèves, en tenant compte des conditions et contraintes qui s’exercent sur eux, nous avons choisi un cadre théorique permettant des analyses autant de niveau macro-didactique que de niveau micro- didactique telle la théorie anthropologique du didactique (TAD) de Chevallard (1992b, 1997, 1999). Néanmoins, nous avons éprouvé le besoin de compléter ce cadre par d’autres travaux, notamment pour l’analyse singulière des pratiques enseignantes. Ces travaux sont, entre
12
autres, issus de la théorie des situations de Brousseau (1998), de celles de champ conceptuel de Vergnaud (1990), de la dialectique outil et objet de Douady (1986).
Définissons maintenant plus précisément les choix du cadre didactique, afin d’expliciter la méthodologie de la recherche entreprise.
Éléments de la théorie anthropologique du didactique de Chevallard
Plusieurs concepts de la TAD présentés dans cette section se prêtent à l’explicitation de la mise en œuvre et des résultats de nos travaux. Ces concepts sont présentés relativement à ce travail de recherche, c’est-à-dire en évoquant l’utilisation qui en est faite dans les analyses.
1.2.1 La transposition didactique
Chevallard a développé le concept de transposition didactique (Chevallard, 1982, 1991, 1992b, 1994a, 1994b, 2005) et l’a ensuite maintes fois repris et enrichi :
Le concept de transposition didactique, par cela seulement qu’il renvoie au passage du savoir savant au savoir enseigné, donc à l’éventuelle, à l’obligatoire distance qui les sépare, témoigne de ce questionnement nécessaire, en même temps qu’il en est l’outil premier. Pour le didacticien, c’est un outil qui permet de prendre du recul, d’interroger les évidences, d’éroder les idées simples, de se déprendre de la familiarité trompeuse de son objet d’étude, bref, d’exercer sa vigilance épistémologique. (Chevallard, 1982, p.3)
Cette citation de Chevallard (1982) questionne les distances, non seulement entre le savoir savant et le savoir à enseigner mais aussi entre le savoir à enseigner et le savoir enseigné.
Une seconde citation de Chevallard (Ibid.) vient compléter la précédente en ce sens :
C’est [la noosphère], dès lors, qui va procéder à la sélection des éléments du savoir savant qui, désignés par là comme « savoir à enseigner », seront alors soumis au travail de transposition ; c’est elle, encore, qui va assumer la partie visible de ce travail, ce qu’on peut appeler le travail externe de la transposition didactique, par opposition au travail interne, qui se poursuit, à l’intérieur même du système d’enseignement, bien après l’introduction officielle des éléments nouveaux dans le savoir enseigné.
(p.12)
Pour le travail de cette thèse et pour le domaine algébrique, l’étude de ces distances, des phénomènes de transposition didactique externe et interne, peut aider à l’étude des ruptures épistémologiques observées dans le cas du passage du savoir algébrique savant au savoir algébrique à enseigner, avec, entre autres, l’analyse de l’évolution du contenu des programmes scolaires. Également, cette étude des distances peut permettre de mesurer l’impact de l’introduction de l’algorithmique dans l’apprentissage de l’algèbre ainsi que les marges de manœuvre des enseignants pour le passage du savoir à enseigner au savoir enseigné dans ces deux domaines conjoints.
Plus particulièrement, nous utilisons le concept de transposition didactique dans ce travail pour étudier les pôles suivants et leurs différentes interactions :
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- pôle savoir savant, c’est-à-dire le savoir lié à l’algèbre et à l’algorithmique et les liens existant entre les objets algébriques et les objets algorithmiques ;
- pôles institution EN/savoir à enseigner, soit les programmes préconisés pour l’enseignement secondaire en ce qui concerne la nature et le statut des notions algébriques à enseigner et la place accordée à l’algorithmique ;
- pôles enseignant/savoir enseigné, c’est-à-dire les choix que le professeur peut effectuer sur les organisations mathématique et didactique pour enseigner le domaine algébrique en tenant compte des possibilités que lui laisse l’institution (les programmes, le temps d’enseignement des mathématiques attribué à un niveau donné, etc.) mais aussi sur la façon d’un enseignant de se représenter son métier et d’adhérer à l’institution EN ;
- pôles élève/enseignant/savoir enseigné, soit les capacités de l’élève à comprendre et à apprendre les concepts algébriques qui sont véhiculés dans la classe, ceux qui sont acquis et ceux qui restent incompris, mais aussi les possibilités de l’élève à entrer dans le jeu didactique du professeur et à adhérer aux situations d’apprentissages mises en place. Nous pourrions ajouter ici une dimension de savoir appris par l’élève.
Ce court développement permet de situer une première approche des analyses entreprises.
1.2.2 Le concept de praxéologie
Un des concepts essentiels de la TAD est celui d’organisation praxéologique (Chevallard, 1992b, 1997, 1998, 1999). Ce dernier mot se décompose en deux parties, praxis et logos. Le choix du mot rappelle que toute activité humaine, au sein d’une institution donnée, n’est jamais isolée, c’est-à-dire qu’elle est formée d’une part d’un bloc pratico-technique, la praxis et qu’elle va toujours s’accompagner d’un discours technologico-théorique, d’un logos qui la justifie et tente d’en rendre raison.
Citons Chevallard (1998) qui en donne cette définition :
Minimalement, une praxéologie O est constituée, d’une part, d’un type de tâches T et d’une technique d’accomplissement des tâches du type T, qui forment ensemble la partie praxis de O, notée [T/] ; d’autre part d’une technologie , discours justifiant et éclairant la technique , ainsi que d’une théorie qui, à son tour, justifie et éclaire le discours technologique , et qui forment ensemble la partie logos de O, notée [ /]. (On note le tout O = [T///].) (p.1)
Dans ce travail, nous utilisons de deux manières ce concept de praxéologie selon l’observation et l’analyse du couple élève/savoir appris ou celles du couple professeur/savoir enseigné. Ce que nous nommons couple ici constitue les entités nommées mais aussi les interactions que l’un entretient avec l’autre au sein de l’institution donnée. En effet, Chevallard (2005) précise qu’une praxéologie ne se limite pas à la description de tâches, techniques et théories, au sens mathématique des termes mais que le concept s’utilise aussi dans un sens plus large, c’est-à-dire qu’il peut être regardé, à l’échelle d’une institution ou d’une personne, comme la science de telle pratique, qui conçoit et contrôle cette dernière et en permet la mise en œuvre, et que l’institution ou la personne porte en elle. En effet, pour Chevallard (Ibid.), les notions de technologie et de théorie [ne sont pas] nécessairement celles de telle science ou de telle discipline établie. Dans ce travail, selon les couples observés, la fonction technologique pourra donc être tout ce qui permet d’éclairer la
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technique relative à un type de tâches et la théorie pourra être tout ce qui dans une institution donnée ou pour une personne donnée assume cette fonction.
Le concept de praxéologie dans l’analyse du couple élève/savoir appris
Pour mieux comprendre comment sont étudiées et analysées les expérimentations réalisées dans le cadre de ce travail de thèse, donnons, dans le cas des analyses élève/savoir appris, un exemple de praxis : le type de tâches pourra être un travail algébrique et les techniques utilisées par l’élève pour les réaliser et le logos reposera sur le bloc technologico-théorique issu des concepts algébriques que l’élève est capable ou non de mettre en œuvre.
Pour un élève en classe de seconde, par exemple, pour le type de tâches « Résoudre dans ℝ une équation du type ax + b = c » (où a, b et c sont trois nombres réels donnés, avec a non nul), une des techniques utilisables est de transposer le terme b du côté droit de l’égalité pour obtenir l’équation ax = c – b puis de diviser chaque membre de cette nouvelle équation par a pour obtenir x = 𝑐−𝑏
𝑎 . La technologie, discours justificatif de la technique, correspond ici à des règles comme : « en ajoutant un même nombre aux deux membres d’une équation, ou en multipliant par un même nombre non nul les deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente à la première » et « deux équations équivalentes ont les mêmes solutions ». La théorie est rarement présente à ce niveau d’enseignement, notamment celle issue de l’anneau des polynômes ℝ[X].
D’autre part, afin d’affiner l’analyse des difficultés récurrentes des élèves concernant l’apprentissage de l’algèbre, nous ferons référence à une éventuelle incomplétude des praxéologies, concept développé en particulier par Bosch et al. (2004). En effet, ces chercheurs exposent la difficulté de l’apprentissage des mathématiques lors du passage du statut d’élève du secondaire à celui d’étudiant à l’entrée à l’université et relient cette difficulté à la différence d’enseignement des professeurs du secondaire par rapport aux universitaires.
Cette différence s’exprime selon leur étude en termes de contradictions et de discontinuités ou de changements brusques entre les contrats didactiques institutionnels des deux institutions. Bien que notre étude se situe au niveau de la classe de seconde, un parallèle peut être réalisé, puisqu’il y a à ce niveau également une transition, un passage du collège au lycée.
Bosch et al. (Ibid.) décrivent comment ce qui était considéré comme un type de tâches au niveau du secondaire n’est plus considéré comme tel au niveau de l’université : l’exemple de la décomposition en facteurs premiers des « petits » nombres est donné, dont une technique est à connaître par les élèves au niveau de l’enseignement secondaire espagnol et qui n’est plus usitée dans le supérieur. En France, pour le passage du collège au lycée, nous pourrions prendre l’exemple du type de tâches « calcul sur les fractions numériques » qui se pratique au collège mais qui n’intervient que ponctuellement au lycée, au cours d’une tâche ayant un autre objectif et la plupart du temps mêlé à du calcul algébrique. Le passage du secondaire au supérieur est analysé par Bosch et al. d’un point de vue cognitif d’une part et à partir de l'analyse des pratiques mathématiques effectuées dans les différentes institutions d’autre part.
Dans leur analyse du point de vue cognitif, ces chercheurs reviennent sur les concepts d’EMT (Elementary Mathematical Thinking) et AMT (Advanced Mathematical Thinking) développés
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par Tall4, concepts caractérisés par deux niveaux de pensée mathématique que l’on peut faire coïncider avec la transition secondaire/supérieur et où s’opère dans le même temps une transition from describing to defining, from convincing to proving. Bosch et al. étudient comment la limitation des organisations mathématiques locales, au niveau de l’enseignement secondaire, peut engendrer des manques de capacités des élèves à résoudre certains types de tâches, lorsque celles-ci ne sont pas suffisamment diversifiées, et où un apprentissage de techniques stéréotypées ne peut permettre qu’un apprentissage partiel et stéréotypé de notions mathématiques. Nous utilisons dans ce travail de recherche les résultats établis par Bosch et al. que nous tentons de transposer au niveau de la transition collège-lycée. Une étude conjointe de manuels scolaires de la classe de troisième du collège et d’un comparatif des attentes respectives des programmes officiels des classe de troisième et de seconde dans le domaine algébrique tend à montrer que les paradigmes des deux institutions sont différents et que des malentendus et des disfonctionnements peuvent en résulter.
Le concept de praxéologie dans l’analyse du couple professeur/savoir enseigné
Chercher à analyser le couple professeur/savoir enseigné revient, en d’autres termes, à se questionner sur les pratiques enseignantes. La TAD propose un outil pour examiner ces pratiques. En partant d’un thème mathématique que l’on cherche à étudier, Chevallard (1999) considère d’une part, la réalité mathématique qui peut se construire dans une classe de mathématiques où l’on étudie le thème et qu’il nomme l’organisation mathématique OM et d’autre part, la manière dont peut se construire cette réalité mathématique et qu’il nomme l’organisation didactique OD. En d’autres termes, l’analyse de l’organisation mathématique consiste à établir et décomposer les praxéologies qu’utilise le professeur, où les deux blocs praxis et logos sont ici à caractère mathématique. Quant à l’analyse de l’organisation didactique, elle renvoie à la façon dont l’enseignant organise les tâches de son OM, c’est-à-dire comment il construit et gère les différents de moments de l’étude du thème
. Notons de plus que ces deux composantes sont solidaires l’une de l’autre et que le découpage en OM et OD ne donnent pas deux unités indépendantes. Bien au contraire, nous pouvons dire que l’OD « dérive » de l’OM et d’ailleurs Chevallard (1999) utilise le symbole
𝜕 sous la forme OD = 𝜕OM pour signifier cette dépendance. Ainsi, l’analyse des OM et des OD ne sera-t-elle pas étudiée séparément, lorsqu’il s’agira d’analyser les pratiques des enseignants. Conjointement, nous utilisons le concept d’échelle de codétermination du mathématique et du didactique (Chevallard, 2002) développé dans la section suivante.
1.2.3 L’échelle de niveaux de codétermination didactique
Le concept d’échelle de niveaux de codétermination didactique développé par Chevallard (2002) repose sur le concept d’écologie qu’Artaud (1997) résume par le questionnement suivant :
4 Auteur cité par Bosch et al (2004) : Tall, D. (1991), The Psychology of Advanced Mathematical Thinking.
Dans Tall D. (dir.), Advanced Mathematical Thinking. (p.3-21). Dordrecht: Kluwer.
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Qu’est-ce qui existe et qu’est-ce qui n’existe pas ? Que devrait-il exister ? Que pourrait-il exister ? Quelles sont les conditions qui favorisent, permettent ou au contraire gênent, empêchent l’existence de tel objet ?(Artaud, 1997).
Ce concept d’écologie permet de mettre en lumière les conditions et les contraintes de l’existence de certains concepts mathématiques à enseigner dans une institution donnée.
Chevallard (2002) a ainsi défini une structuration en différents niveaux de détermination mathématique et de détermination didactique, qui permettent de mettre au jour les conditions et les contraintes pesant sur les différents systèmes didactiques.
Pour les niveaux de détermination mathématique, ce chercheur distingue, pour l’étude d’un thème donné, les différentes organisations suivantes, allant de la plus particulière à la plus générale : ponctuelle, locale, régionale et globale. Pour expliciter ces concepts, choisissons un thème d’étude, comme « la résolution des équations polynômiales de degré 2 ».
L’organisation praxéologique ponctuelle ne prend en compte qu’un seul type de tâches qui s’étudie par une ou des techniques, prenant elles-mêmes appui sur une technologie et une théorie relative à ce type de tâches. Par exemple, il pourrait s’agir avec le choix du thème ci- dessus de « résoudre des équations polynômiales de degré 2 de la forme ax² + b = 0, où a et b sont des réels fixés ». Ce type de tâches est alors un sujet d’études pour le professeur, que celui-ci plonge ensuite dans une organisation locale, amalgamant plusieurs types de tâches que l’on peut étudier utilisant des techniques différentes. En découle que la justification de l’agglomération de ces différents types de tâches ne se fait plus par des techniques comme pour le cas précédent mais par une technologie. Dans ce cas, on passe au niveau supérieur du thème d’études, regroupant divers sujets d’études. Le professeur doit ensuite gérer une organisation plus vaste, à un niveau supérieur, que Chevallard nomme régionale, et qu’on peut regarder formellement comme le fruit de l’amalgamation d’organisations locales admettant la même théorie. (Ibid.) L’organisation régionale correspond alors à tout un secteur mathématique dépendant d’une même théorie. Une dernière étape pour terminer cette échelle est celle de l’organisation globale qui est constituée par l’amalgamation de ces organisations régionales et identifiable à un domaine d’études ; et l’ensemble de ces domaines est amalgamé en une commune discipline – pour nous, « les mathématiques » (Ibid.).
Pour les niveaux de détermination didactique, il distingue donc pour une discipline donnée (niveau 1), les niveaux de domaine (niveau 2), secteur (niveau 3), thème (niveau 4) et sujet (niveau 5). Chevallard précise (2008a) :
L’analytique didactique d’une matière à étudier est souvent précisée et imposée par l’école au sein de laquelle le système didactique correspondant doit fonctionner. Pour nombre de matières scolaires, notamment, le découpage distingue dans la « discipline » une suite emboîtée constituée d’abord de domaines d’étude, eux-mêmes découpés en secteurs d’étude, à leur tour analysés en thèmes d’étude, ceux-ci étant déclinés enfin en sujets d’étude. [...] Un point que l’on doit noter dès maintenant, c’est que le « découpage » n’est pas « inscrit dans » [la matière], autrement dit ne lui est pas consubstantiel. Il est produit et diffusé par une institution, par exemple [...] dans le cas de la France, par le ministère de l’Éducation nationale, c’est-à-dire par « l’école ». (p.9)
Regardons où se place notre objet d’étude dans le programme de la classe de seconde de 2009 (MEN, 2009a). Ce dernier apparaît scindé en trois domaines d’étude que les rédacteurs du programme ont appelés « parties » et intitulés respectivement Fonctions, Géométrie et
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Statistiques et probabilités. Le domaine des Fonctions est lui-même scindé en plusieurs secteurs d’études, que l’on peut nommer Généralités sur les fonctions, Expressions algébriques, Équations, Inéquations, Fonctions de référence et Trigonométrie. Le secteur Expressions algébriques se divise à son tour en trois thèmes d’études :
- associer à un problème une expression algébrique ;
- identifier la forme la plus adéquate d’une expression en vue de la résolution du problème donné ;
- transformer des expressions polynomiales ou rationnelles.
Selon Chevallard (2002), un des intérêts de l’identification de ces niveaux et de leur hiérarchisation est de permettre un premier tri dans les différentes contraintes auxquelles est soumis le professeur. En particulier, il précise que le professeur n’opère – en général – qu’aux niveaux 4 et 5 pour construire les OM et OD de « ses cours ».
Il évoque également des niveaux supérieurs de détermination didactique, les niveaux de la civilisation, de la société, de l’école, de la pédagogie et de la discipline étudiée, pour lesquels le pouvoir de décision appartient soit aux communautés savantes des disciplines, soit aux politiciens.
Par exemple, le niveau de la société (-2) réfère à ce que celle-ci considère légitime d’enseigner ou non. La loi Ferry de 1882 donnait la liste des enseignements de l’école primaire, concernant les enfants des deux sexes âgés de six ans à treize ans et prévoyait en particulier pour les garçons, les exercices militaires ; pour les filles, les travaux à l'aiguille.5 De même, en 1950, un texte de l’UNESCO, écrit par un rapporteur français6, faisait l’apologie des travaux manuels dans l’enseignement secondaire :
On s’accorde à reconnaître que les travaux manuels ont une valeur éducative générale et qu’ils peuvent contribuer à la formation et au développement de l’être tout entier. Par conséquent, les raisons de les faire figurer dans l’enseignement secondaire ne tiennent pas seulement aux qualités manuelles et pratiques qu’ils peuvent développer, ou à l’avantage qu’ils présentent de mettre l’individu en mesure d’assurer par lui-même les menus travaux de la vie quotidienne et de meubler utilement ses loisirs d’adulte. Elles ne résident pas davantage dans une initiation à une activité professionnelle. Mais elles se fondent essentiellement sur des valeurs générales de la personnalité humaine qu’elles permettent d’épanouir. (p.2)
Comparons ces propos aux préconisations des programmes officiels quant à l’utilisation des technologies de l’information et de la communication appliquées à l’enseignement (TICE) pour constater à quel point l’impact des préoccupations de la société est prégnant dans l’enseignement. Nous lisons en effet dans l’introduction des programmes de mathématiques du collège de 2008 (MEN, 2008a) :
Les technologies de l’information et de la communication sont présentes dans tous les aspects de la vie quotidienne : une maîtrise suffisante des techniques usuelles est nécessaire à l’insertion sociale et professionnelle. Les mathématiques, les sciences expérimentales et la technologie contribuent, comme les autres disciplines, à l’acquisition de cette compétence. […] Les règles d’identification et de
5 Consulté sur le site : http://www.tlfq.ulaval.ca/axl/francophonie/France-loi-Ferry-1882.htm
613ème conférence internationale de l’instruction publique. Consulté sur le site : http://unesdoc.unesco.org/images/0014/001424/142433fb.pdf
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protection, de respect des droits sont systématiquement appliquées, de façon à faire acquérir des comportements responsables. (p.5)
Ce point de comparaison entre les enseignements des travaux manuels prodigués en 1950 et les TICE aujourd’hui montrent bien l’influence du niveau sociétal dans l’École et son évolution selon les époques.
Pour conclure, le découpage des contraintes et des conditions repérées dans l’enseignement d’une discipline selon les niveaux de l’échelle de codétermination didactique nous semble ici un outil pertinent pour ce travail de recherche. En effet, cet élargissement de point de vue peut permettre d’analyser des pratiques enseignantes non seulement au niveau de leurs classes, mais aussi de prendre en compte d’autres déterminants. L’interprétation des marges de manœuvre des enseignants est ainsi affinée.
D’autres éléments théoriques sur les pratiques enseignantes
1.3.1 Justifications
Comme l’écrit Chevallard (1997) lui-même, lorsqu’il prend pour postulat que toute action humaine procède d’une praxéologie, il n’est pas toujours possible d’avoir accès au bloc logos et plus particulièrement à la théorie, qu’il qualifie de généralement évanouissante. En effet, pour analyser le couple élève/savoir présenté ci-dessus lors d’un apprentissage en mathématiques, le bloc logos est parfaitement défini, puisque les mathématiques reposent sur des théories précisément déterminées, du moins celles qui fondent l’enseignement des mathématiques du secondaire. En revanche, pour analyser des types de tâches relevant de la fonction du professeur, l’accès au bloc logos sera la plupart du temps incomplet, hypothétique, voire inaccessible.
Chevallard (Ibid.) relève la possibilité de cette incomplétude en indiquant :
[On admet] bien sûr que cette praxéologie puisse être en cours d’élaboration, ou, aussi bien, que sa construction se soit arrêtée - peut-être définitivement, à l’échelle d’une vie humaine ou institutionnelle - en la figeant dans un état d’incomplétude ou de sous-développement, avec, par exemple, un type de tâches mal identifié, une technique à peine ébauchée, une technologie incertaine, une théorie inexistante.
Pour illustrer ce qui précède, donnons un exemple de type de tâches que peut donner un professeur dans sa classe. Il s’agit d’un exemple développé par Bronner (2009) où le type de tâches considéré est le démarrage d’une séance dans le cas où la tâche a déjà été rencontrée lors d’une séance précédente. Les techniques utilisées sont décrites comme l’appel à la mémoire didactique des élèves, leur remise en condition par la présentation d’un matériel identique et la constitution d’une communauté discursive avec leur coopération. Ces deux premiers axes constituent le praxis. Le logos décrit ensuite ne considère que des éléments technologiques, présentés comme hypothétiques qui reposeraient sur un principe de volonté de faire participer les élèves, de les rendre actifs, de leur donner un maximum de place pour s’exprimer, en espérant qu’un élève fournira le lien, la réponse attendue pour faire avancer le projet didactique. Cette praxéologie a été nommée la technique du passeur par Bronner et
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Larguier (2004). Nous émettons l’hypothèse que celle-ci se rapproche d’une théorie socioconstructiviste, mais contrairement aux théories auxquelles nous pouvons accéder pour les « sciences dures » comme les mathématiques, dès que nous cherchons à expliciter le rôle du professeur de mathématiques exerçant dans sa classe, le logos de l’analyse praxéologique visant à comprendre les agissements de l’enseignant est d’une grande complexité. Ce logos peut être constitué aussi bien d’habitus du professeur, ou de théories issues des sciences humaines - théories que l’enseignant utilise soit parce qu’il en possède quelques notions, soit de façon instinctive -, que de recommandations des programmes institutionnels données par la noosphère.
Aussi, partant du constat de l’incomplétude de la praxéologie visant à expliciter le rôle du professeur dans sa classe dans toutes ses dimensions (interactions du professeur avec le savoir, avec les élèves, organisations mathématique et didactique des séances de classe, etc.), des chercheurs en didactique se sont penchés vers d’autres approches théoriques dont nous exposons dans la section suivante quelques éléments. Ces éléments sont utilisés dans l’analyse a posteriori du rôle du professeur, relativement à l’expérimentation mise en place pour ce travail de recherche.
1.3.2 Les gestes professionnels de l’enseignant
Comme vu plus haut (Cf. 1.2.1), le terme savoir ne recouvre pas les mêmes concepts selon que l’objet d’étude est l’élève ou le professeur. Le couple élève/savoir le situe entre le savoir enseigné et le savoir appris alors que dans la relation professeur/savoir, le terme savoir regroupe plusieurs dimensions : il y a le propre savoir mathématique savant du professeur, issu de ses connaissances, le savoir à enseigner que l’institution EN a sélectionné à partir des éléments du savoir savant et que le professeur va devoir à son tour transposer en savoir enseigné. Lorsque nous nous intéressons aux pratiques enseignantes, pour compléter ce que recouvre le terme savoir, il faut également ajouter le concept de savoir enseigner, ce qui correspond aux gestes professionnels d’un enseignant. Afin de définir ce concept, nous partirons de cette citation de Bucheton (2004) qui distingue geste de métier et gestes professionnels de la façon suivante :
Le geste de métier (Jorro, 2002)7, renvoie à un savoir-faire partagé et reconnu par la profession, rattaché à un genre scolaire bien identifié par le maître et les élèves (ex : le geste de correction de copie, la lecture magistrale du texte par le maître avant de commencer l’étude d’un texte). Il s’est construit dans l’histoire de l’école, il est généralement la mise en œuvre d’un genre de l’activité professionnelle.
Nous appelons gestes professionnels les arts de faire et de dire qui permettent la conduite spécifique de la classe. Le geste professionnel est situé. Il ne se confond pas avec le genre mais le met en œuvre, l’actualise, l’ajuste. Le genre est statique, le geste dynamique. (p.2)
Une autre définition des gestes professionnels, qui rejoint la précédente est donnée par Chevallard (1995), quand il cherche à qualifier le répertoire des gestes qu’un professeur en position d’enseigner dans le cadre de l’EN se doit de mettre en œuvre :
7 Jorro A. (2002), Professionnaliser le métier d’enseignant, ESF éditeur, collection pratiques & enjeux pédagogiques.
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Le mot de geste, employé ici génériquement, mérite un bref commentaire. Le latin gestus signifie, au figuré, « prendre sur soi, se charger volontairement de », et donc « exécuter, faire ». C’est en ce sens large, et non dans le sens restreint plus courant (« mouvement du corps »), que le mot est pris ici : on doit le rapprocher du verbe gérer et du substantif gestion, de même origine, et de quelques autres encore. (p.2)
Le savoir enseigner est donc constitué de gestes professionnels qui sont la caractéristique de l’agir de l’enseignant au sein de sa classe. Bronner (2004, 2009) explique, au travers du concept de praxéologie, que ces gestes professionnels peuvent être considérés comme des praxéologies professorales. Par exemple, « construire une séance » ou encore « construire une progression » sont des types de tâches associés à des praxéologies professorales globales, et « donner une consigne » ou « gérer des réponses d’élèves après un exercice » sont alors vues comme des praxéologies plus ponctuelles. La citation suivante de Bronner (ibid.) explicite ce concept de gestes professionnels :
Nous concevons les gestes professionnels comme des pratiques de réalisation de tâches au sens de l’approche anthropologique. Cette théorie amène un autre regard sur le geste professionnel comme étant une praxéologie liée à un type de tâches d’enseignement ou à un agrégat de tels types. L’approche anthropologique invite à regarder un geste professionnel comme une pratique qui peut s’analyser et se décomposer selon les quatre dimensions proposées par Chevallard : type de tâches, technique (manière de réaliser les tâches), technologie (justification de la technique) et théorie (niveau supérieur de justification).
Notons, pour résumer sur les différents savoirs en action dans le couple professeur/savoir que Chevallard et Cirade (2010) les ont intégrés sous l’appellation de praxéologies pour la profession, qu’ils définissent comme l’ensemble des praxéologies dont la profession peut avoir avantage à s’équiper. Nous revenons dans nos analyses sur ce concept (Cf. §11). Mais comme dit plus haut (cf. 2.2.2.2), les théories permettant de comprendre les pratiques enseignantes et les outils permettant de les expliciter sont encore dans la jeunesse de leur histoire. Margolinas (2004) explique que les recherches en didactique, et notamment les ingénieries, concernent toujours le professeur, en tant qu’il participe ou est destinataire des travaux. Mais le rôle du professeur en tant qu’objet modélisable a été long et difficile à construire. L’une des raisons avancées par ce chercheur de la lenteur de la prise en compte du rôle du professeur dans les théories didactiques est d’ordre historique et épistémologique : en effet, dans les années 1980, Brousseau pose les premiers jalons de la théorie des situations didactiques et cherche à « épurer » en quelque sorte la situation d’enseignement pour en
« extraire » le « noyau dur ». Dans la lignée de la psychologie piagétienne et de la théorie des jeux, Brousseau va considérer l’interaction sujet-milieu comme étant la plus petite unité d’interaction cognitive. (Margolinas, ibid.). Le professeur est exclu de cette unité, il n’intervient qu’en tant qu’agent de la situation, et Margolinas explique qu’il faudra une dizaine d’années pour que le rôle du professeur dans le processus d’apprentissage soit reconnu comme incontournable mais également comme extrêmement complexe. La citation qui suit montre qu’elle insiste également sur la difficulté à développer des théories sur le rôle du professeur :
Par ailleurs, le travail sur le rôle du professeur, qui a occupé mes recherches pendant une dizaine d'années, conduit inévitablement à la prise en compte d'autres dimensions que les dimensions
