X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2004 Corrigé

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/24

X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2004 Corrigé

Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).

Le sujet porte sur l’étude de réacteurs à plasma, qui sont utilisés dans les pro- cédés de dépôt et de gravure qui servent à la fabrication des composants micro- électroniques.

• La première partie porte sur l’interaction entre le champ électromagnétique et le gaz ionisé. Le but est de calculer les longueurs caractéristiques d’influence du champ dans le plasma. Deux modèles sont présentés : un modèle sans collision dit « basse pression » et son pendant « haute pression », dont la relation caractéristique est la loi d’Ohm.

• La deuxième partie est consacrée à l’étude de l’émission ionique. Mélange de mécanique et d’électromagnétisme, elle est plutôt calculatoire. On veut établir la relation caractéristique courant-tension en fonction de l’épaisseur de la gaine d’émission des ions.

• La troisième partie s’attache à construire la modélisation électrique d’un ré- acteur capacitif à partir de considérations mécaniques, dans le but d’obtenir l’impédance équivalente du système.

• La quatrième partie s’intéresse à l’optimisation du transfert de puissance entre un générateur et un réacteur capacitif. Elle débute par de l’électrocinétique pour établir des modèles de fonctionnement qui serviront à une étude d’asservissement. La fin est ainsi axée sur le dimensionnement de correcteurs.

• L’étude de l’asservissement du système se poursuit dans la cinquième partie, qui est l’occasion de calculs mécaniques pour définir les tenants de l’asservissement électromécanique et dresser une sorte de bilan du dispositif, en termes d’asservissement.

Ce problème est plutôt calculatoire et aisé au début, traitant d’électromagnétisme et d’électrocinétique. Il se corse à l’attaque des parties traitant du programme d’au- tomatique. Les calculs de mécanique du solide (questions 53 à 58) ne sont pas trop compliqués.

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Indications

I. Interactions champs− gaz ionisé

2 Éliminer deux dépendances spatiales puis appliquer le théorème d’Ampère.

3 Deux équations proviennent des équations de Maxwell et la dernière est l’équation du mouvement.

4 Existe-t-il des distributions surfaciques de charges et de courants dans le plasma ? 6 Le champ−→E peut-il diverger ?

11 Le champ−→B peut-il diverger ? Utiliserj= (1 +j)/√ 2²

. II. Émission ionique

15 L’énergie mécanique d’un ion se conserve (il n’y a pas de collision dans cette partie).

16 Retrouver l’équation de Poisson en combinant l’équation de Maxwell-Gauss et la relation−→

E =−−−→

gradφ.

17 Multiplier les deux membres de l’équation obtenue à la question 16 par φ^′ et penser à −→E =−−−→gradφpour trouver la deuxième condition initiale.

20 La masse d’un ion¹²CvautM = 12u.

21 Écrire l’équation de Poisson.

III. Modélisation d’un réacteur 32 Faire le rapport des impédances inductive et résistive.

IV. Optimisation du transfert de puissance

42 Linéariser la relation et utiliser le graphe pour déterminer la valeur du gain.

45 Faire en sorte que la phase reste entreπet−πet soit continue.

46 Choisir un gain de correcteurK0 négatif. La marge de gain est la valeur du gain pour une phase de−π. La marge de phase est l’écart entreπet la phase pour un gain unité.

47 Utiliser le théorème de la valeur finale.

49 ChoisirK1 négatif.

V. Asservissement du système électromécanique 52 Essayer un modèle du premier ordre.

53 Le paspv de la vis est tel que, pour une rotation de la vis de θ, on obtient une translation depvθ.

55 Projeter l’égalité−→

CB =−→

CA +−→

ABsur−→y. 56 Dériver l’expression obtenue à la question 55.

57 Utiliser la relation établie à la question 55 pour éliminertanβ.

65 Repérer les sauts de phase sur le diagramme de Bode et déterminer lesquels sont dus au correcteur. Une fonction du type 1 +τ p provoque un saut de phase de π/2centré sur la pulsation1/τ.

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I. Interaction champs − gaz ionisé

1 Le vecteur axial−→

B en un pointMest perpendiculaire au plan de symétrie(xMy) de la distribution de courant −→

JS = J⁰(t)−→ey. Le champ magnétique en M est donc dirigé selon−→ez.

Citons le principe de Curie : « Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. »

2 La source à l’origine du champ magnétique est invariante par translation selon

−

→ey et−→ez, pourvu que soient parcourues des distances faibles devant les dimensions de la plaque. Le champ magnétique ne dépend donc ni dey, ni dez.

C

x₂ x₁

ℓ

−

→ B

−

→e

z

−

→e_x

−

→e_y

−

→ J_S

Ceci permet d’appliquer le théorème d’Ampère au contourC ci-dessus, qui n’enlace pas de courant :

I −→B· d−→ℓ =ℓB(x1) + 0 + 0−ℓB(x2) = 0

On a alorsB(x¹) = B(x²)pourx¹etx²quelconques mais situés du même côté de la plaque. Le champ magnétique est donc uniforme de chaque côté de la plaque, à des distances faibles devant ses dimensions.

Il n’a cependant pas la même valeur de chaque côté ; on a en effet la relation de passage, du côté1au côté 2,B1−B2=µ0JS.

3 De la même manière que pour la question 2, l’invariance par translation selon−→ey

et−→ez permet d’affirmer que les grandeurs importantes ne dépendent que dexet de t. Par ailleurs, les ions étant immobiles, on utilisera−→(x, t) =−n e−→v(x, t) dans les égalités à venir. On a alors, en reprenant tout d’abord l’équation de Maxwell-Faraday,

∂E

∂x−→ez =−∂B

∂t−→ez (1)

Exprimons à présent−→rot−→B en coordonnées cartésiennes :

−→rot−→B =−→

∇ ∧−→B =





∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z



∧



 0 0 B(x, t)



=−∂B

∂x−→ey

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L’équation de Maxwell-Ampère est alors écrite dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires comme le précise l’énoncé :

−∂B

∂x−→ey=−µ⁰n e−→v (2) Exprimons l’équation du mouvement d’un électron sur lequel s’exercent les forces de Coulomb et de Lorentz :

m∂−→v

∂t =−e−→E −e−→v∧−→B (3) On a ici un champ de vitesse eulérien mais le terme d’accélération convec- tive est nul. En effet, comme−→v =v−→ey,

−

→v ·−−→

grad =v ∂

∂y En outre,v ne dépend que dexet det, d’où

(−→v ·−−→

grad )−→v =−→0

Il ne faut pas chercher de cohérence dans ces équations car les direc- tions de −→E et −→B ont été artificiellement imposées. En effet,−→v est selon −→ey, sa dérivée∂−→v /∂taussi mais un terme en−→exapparaît dans la troisième équa- tion, terme qui sera négligé dans la suite du problème...

Les deux équations de Maxwell non utilisées, div−→B = 0 et div−→E = 0, sont quant à elles bien vérifiées.

4 Rien n’empêchant les électrons de passer la paroi fictive qui limite le plasma, ils ne s’y accumulent pas, et il n’y a donc pas de courant surfacique ni de charges surfaciques à l’interface plasma/vide. On a alors continuité de −→

E et de −→ B et en particulier

−

→B (0, t) = B0(t)−→ez

5 La force d’origine magnétique sur les électrons est désormais négligée. Dérivons d’abord l’équation(1)obtenue à la question 3 :

∂²E

∂x² =−∂²B

∂x ∂t =−∂²B

∂t ∂x=−∂

∂t ∂B

∂x

Combinons avec l’équation(2), ∂²E

∂x² =−µ⁰n e∂v

∂t puis l’équation(3), ∂²E

∂x² = µ⁰n e²

m E = n e² m ε0c²E En posantωp=

s n e²

m ε⁰ (pulsation de plasma), on a ∂²E

∂x² = ωp 2

c² Eet dès lors

∂²E(x, t)

∂x² = 1

λ²E(x, t) avec λ= c ωp

Le sujet utilise le terme « fréquence de plasma » mais on préférera parler de

« pulsation de plasma » pour ωp.