Magnitude (dB)

1

Identification de système en mécanique

2

3

Pourquoi tester dynamiquement une

structure?

• Performance en fatigue (accéléré)

• Identification de système (paramètres modaux)

• Vérification de la conception (placement en fréquences) • Détéction d’endommagement (// CND)

• Détection de Flutter

4

Vibration des structures

• Analyse Modale Expérimentale (AME)

• Utilisation de la Transformée de Fourier pour estimer 3 paramètres: Fi, Ai, Di

• Intérêt de la déformée Di qui est un paramètre local 1.000 0.802 0.445 1.000 − 0.555 − 1.247

5

Définition

1. Le système est linéaire dans la gamme des amplitudes étudiées 2. L’amortissement est supposé proportionnel 3. Le principe de superposition modale 4. Réciprocité

6 Système H(jw)

Identification de système

E(t) S(t) Force Accélération= X’’(t) Avec X(t) Déplacement H(w)=S(w)/E(w)

7

La base en mécanique est l’Amortisseur à 1DDL

Ressort k Amortisseur Masse m ext F r

≡

x(t) 0 x(t) SLI Equation différentielle: ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 t F t kx dt t dx c dt t x d m + + =

( )

t f

dt

dy

c

F

_frott

=

−

⋅

→

r

_. En posant position d'équilibre ² 2 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( _{2 2} n np p M M K p M C p M p F p X p H

ω

ξω

+ + = + + = = ω j p = ² 2 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( _{2 2} n n j M M K j M C M j F j X j H ω ω ξω ω ω ω ω ω ω + + − = + + − = =

8

Resonance ?

• L’amplitude de la FRF atteind un maximum (déphasage de 180r).

• La partie réelle de la FRF passe par 0.

• La partie imaginaire de la FRF atteind un minima (or maxima) local. La transformée de Fourier permet d ’avoir

une vision « système » des équations différentielles,

9

10

11

Lecture de M, K?

100 101 102 -100 -50 0 50 100 150 200 frequency (Hz) M a g n it u d e ( d B ) Hx(ω)= X(ω)/F(ω) Hv(ω)= jωX(ω)/F(ω) Ha(ω)= -ω²X(ω)/F(ω) 1/k 1/m

Let’s

H(0)=1/k

Let’s

ω

→

∞

0

→

ω

m / 1 ) ( H ² ) ( Ha ω = −ω ω →

12

18

19

Data Transformation

•

Functions that modify data are also termed operations

or transformations.

•

Since most signal processing operations are

implemented using digital electronics, functions are

represented in discrete form as a sequence of

numbers:

•

x(n) = [x(1),x(2),x(3), . . . ,x(N)]

•

A transform can be thought of as a re-mapping of the

original data into a function that provides more

20

Fourier Transform

• The Fourier Transform is a classic example as it converts the original time data into frequency information which often provides greater insight into the nature and/or origin of the signal.

• Many of the transforms are achieved by comparing the signal of interest with some sort of probing function. This comparison takes the form of a correlation (produced by multiplication) that is averaged (or integrated) over the duration of the waveform, or some portion of the waveform:

• where x(t) is the waveform being analyzed, fm(t) is the probing function and m is some variable of the probing function, often specifying a

particular member in a family of similar functions. For example, in the Fourier Transform fm(t) is a family of harmonically related sinusoids and m specifies the frequency of an individual sinusoid in that family (e.g., sin(mft)).

22 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 2 4 6 8 10 sampling time, t_k [ms] V o lt ag e [V ] t_s -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 2 4 6 8 10 sampling time, t_k [ms] V o lt a g e [ V ] t_s

Signaux A/N

Fonction

Fonction

continue V d’une

continue

variable continue t (temps,

... etc) : V(t).

Analogique

Fonction

Fonction

discrete Vk

discrete

D’une

variable discrete t

k

, avec k =

entier: V

k =

V(t

k

).

Numérique

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0 2 4 6 8 10 time [ms] V o lt a g e [ V ] Fréquence d’échantillonage f_S = 1/ t_S Durée d’enregistrement t=N/ f_S

23

Echantillonnage

Soit un "La" dont la Fréquence est 440Hz. Ce signal s'écrit : x(t)=sin (2Pi*440t) Sous matlab, on est en numérique, donc le temps est discret = échantillonnage à Fe. Echantillonnage d'un "La" à une fréquence Fe donnée :

(essayer avec Fe = 10000, 5000, 2000, 1000, 881, 600, etc)

Fe= ????; t= 0:1/Fe:2;

x=sin(2*pi*440*t); sound(x,Fe);

24

Repliement :aliasing

__

_{s(t) = sin(2}

_π

_f

0

t)

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t

s(t) @ f

_S

f

₀

= 1 Hz, f

_S

= 3 Hz

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t

__

_s

1

(t) = sin(8

π

f

0

t)

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t

__

_s

2

(t) = sin(14

π

f

0

t)

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t

s

_k

(t) = sin( 2

π

(f

₀

+ k f

_S

) t ) ,



k



∈

25

Le théorème !!

la fréquence d'échantillonnage Fs d'un signal doit être

égale ou supérieure à 2 fois la fréquence maximale

contenue dans ce signal

f

_S

> 2 f

_MAX

.

Condition sur f_S? f_S > 300 Hz t) cos(100_π t) π sin(300 10 t) π cos(50 3 s(t)= ⋅ + ⋅ − F₁=25 Hz, F₂ = 150 Hz, F₃ = 50 Hz

F

₁

F

₂

F

₃

f

_MAX Exemple

Théorème

*

26

Calcul de spectre

•

•

Attention

Attention

: FFT: N=2^x, sinon TFD classique

•

Y = fft(X,n) n-point DFT.

Si la longueur de X est<n, X est complété par des

zéros jusqu ‘à n.

Si la longueur de X est>n, X est tronqué

tfsignal = fft(signal);

tfsignal_dB = 20*log10(abs(tfsignal))*Te;

axe_f = (0:N-1)*Fe/N;

•

•

Utilisation de la

Utilisation de la

commande

commande

fft

fft

Exemple

27

Calcul de spectre

•

•

Utilisation de la

Utilisation de la

commande

commande

fft

fft

Exemple

tic;for fi=1:length(f)

Yc(1,fi)=y*cos(-2*pi*f(1,fi)*t'/(Npts));

Ys(1,fi)=y*sin(-2*pi*f(1,fi)*t'/(Npts));

end YFI=Yc+i*Ys; toc;

tic;Uc=fft(y);toc;

Sur cet exemple: cosinus a 100 pts

La fft est ~15 fois plus rapide …

28

Fourier Transform

•

A family of probing functions is also termed a basis.

For discrete functions, a probing function consists of a

sequence of values, or vector, and the integral

becomes summation over a finite range:

where x(n) is the discrete waveform and fm(n) is a

discrete version of the family of probing functions. This

equation assumes the probe and waveform functions

are the same length.

29

Les fenêtres d’apodisation

•

•

Conserver N

Conserver N

é

é

chantillons

chantillons

revient

revient

à

à

multiplier le signal par

multiplier le signal par

une

une

fenêtre

fenêtre

rectangulaire

rectangulaire

x=ones(1,16);

plot((0:127)/128,abs(fft(x,128)))

•

•

Certains

Certains

pics

pics

peuvent

peuvent

donc

donc

dispara

dispara

î

î

tre

tre

ou

ou

être

30

Exemple fenêtrage

x=sin(2*pi*130*(0:63)/1000)+0.01*sin(2*pi*300*(0:63)/1000);

plot((0:63)/1000,x)

31

Solution

x=x'.*blackman(64);

32

Exemple 2

t = [0:1/fe:tmax-1/fe];

N=tmax*fe-1

33

Ex2 Limitation 1

Echantillonnage trop grand df=1/tmax=10 ne permet

pas de retrouver la valeur exacte du pic 3 = 125 Hz

34

Ex2 Limitation 2

Si on diminue la durée de l’enregistrement: de 0.1 à

0.05s (N=100>>N=50), on divise la résolution

35

Ex2 solution 1

Une solution: on rajoute des zéros

Pour N=50 échantillons (t=0.05s)

36

Conclusion

Lors d’un calcul de spectre il faut:

• Echantillonner de façon suffisamment fine pour éviter le repliement du spectre

• Avoir une durée d’enregistrement suffisamment longue pour avoir une bonne résolution spectrale

37

38 Linéarité

système linéaire

SL

SL

( )

=

∑

⋅

( )

i i i x t a t x y( )t a y_i( )t i i⋅ =_∑ Invariance

système invariant

SI

SI

( )

t x

(

t T

)

x = ₀ − y( )t = y0( )t-T

☛ SLI ⇔⇔⇔⇔ y(t) et x(t) sont reliés par une équation différentielle linéaire à coefficients

constants

47

Représentation en pôle d’une fonction de

transfert

n

n

n

σ

j

ω

48

2 approches d’identification: temporelle ou

fréquentielle

49

2 approches d’identification: temporelle ou

fréquentielle

K Cp Mp p F p X p H + + = = ₂ 1 ) ( ) ( ) (

50

2 approches : locale

(SDOF)

ou globale

(MDOF)

Une approche SDOF estime

Pour chaque resonance séparement

Puis on moyenne sur toutes les FRFs

Critère semi globale pour une FRF

mais tous les modes sur une certaine bande passante

k

k

et

f

ξ

Une approche MDOF estime Globalement (en

terme de moindre carrés)

k

k

et

51

52

(

)

(

*)

)(

(

1

)

(

1

12 1 11 1 1

λ

λ

λ

λ

−

=

−

+

−

−

=

p

c

p

c

p

p

M

p

H

Decomposition: chaque resonance est isolé

et on reconstruit un résonateur à 1DDL puis

on somme

[

]

∑

=













−

+

−

=

N k

j

k

k

k

A

k

k

j

k

A

H

1

(

(

)

(

)*)

*

)

(

))

(

)

(

(

)

(

)

(

λ

ω

λ

ω

ω

*) ( ) ( *) )( ( 1 ) ( 2 2 22 2 21 2 2 λ λ λ λ − = − + − − = p c p c p p M p H

53

Justification des résidus

*)

(

)

(

*)

)(

(

1

)

(

1

1 12 1 11 1 1

λ

λ

λ

λ

−

=

−

+

−

−

=

p

c

p

c

p

p

M

p

H

1 1

(

*)

)

(

*)

(

1

1 1 2 1 1 λ

λ

_λ

λ

λ

₌





₌









−

−

+

=

−

_s

s

_s

s

c

c

s

M

)

(

*

1

s

−

λ

₁

H

1 1 1 *) ( 1 c M = −λ λ 1 1 1 1 1 1 1

2

1

)

(

)

(

1

A

j

M

j

j

M

c

=

=

−

−

+

=

ω

ω

σ

ω

σ

* 2 1 1 1 2 A j M c = − = ω

In general, for a multiple degree of freedom system, the residue A1 can be a complex quantity.

But, as shown for a single degree of freedom system A1 is purely imaginary (represent modeshapes). Therefore:

*)

(

*

)

(

)

(

1 1 1 1

λ

λ

+

−

−

=

s

A

s

A

s

H

54

Hypothèse AME

•

Incertitudes Bruits entrée/Sortie

•

Effet moyenne pour des excitations Random

•

Fenêtrage

55

56

Signaux aléatoires

•

Exemple 1 sous matlab

•

Compréhension d’un système sous excitation aléatoire

Signal aléatoire = signal dont on ne sait pas à priori la valeur qu ’il va prendre

On peut observer une REALISATION d ’un signal aléatoire, on ne pouvait pas deviner quelle réalisation on allait observer

60

SLI: filtre passe-bas

f f

( )

f x

φ

_{( )}2

φ

y

( )

f f H