Quelques Contributions en Modélisation, Analyse et Contrôle pour le Calcul des Structures

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Quelques Contributions en Modélisation, Analyse et

Contrôle pour le Calcul des Structures

Dominique Chapelle

To cite this version:

Dominique Chapelle. Quelques Contributions en Modélisation, Analyse et Contrôle pour le Calcul des

Structures. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2003. �tel-00003993�

Quelques ontributions en...

Modélisation, Analyse et Contrle pour leCal ul des Stru tures

Dominique CHAPELLE 1

Résumé :Ce do ument présente lasynthèse des travauxde re her he del'auteur, ainsiqueleurs perspe tives. Lamajeurepartiede estravaux on ernelaabilité et l'"appli abilité"desméthodesnumériquespourles oquesmin es.Laabilitédes mé-thodesestplusparti ulièrementétudiéedansle ontextedes omportements asympto-tiques(vis-à-visdel'épaisseur)desmodèlesde oque.Onrésumeaussidestravauxplus exploratoires on ernant le ouplage uide-stru ture,l'optimisationdes gyrovibrants etlabiomé anique ardiaque.

Abstra t:Thisdo umentpresentsasummaryoftheauthor'sresear hwork,together withsomeperspe tives.Themajorpartofthisworkdealswiththereliabilityandthe "appli ability" of numeri al methods for thin shells. More spe i ally, the issue is analysedinthe ontextof the asymptoti behaviors(with respe tto the thi kness) ofshellmodels.Somemorere entinvestigationsregardinguid-stru tureintera tion, optimaldesignofresonatorgyros opesand ardia biome hani sarealsosummarized.

Ce mémoireprésente lasynthèse de mestravauxde re her he,dontbeau oup sontlefruitde ollaborationsri heset variéesave denombreux ollèguesqu'il m'estagréablede olle tivement(maisnonmoins haleureusement!)remer ier dans epréambule.

Lamajeurepartiede estravaux on ernelesméthodesnumériquespourles stru tures min es (et notamment les plus omplexes et plus élégantes d'entre elles : les oques). Dans e adre et plus spé iquement, mes re her hes ont essentiellement porté sur la abilitédes méthodes d'élémentsnis (Se tion 1) d'unepart,etlaformulationetl'analysedeméthodesadaptéesauxappli ations (Se tion 2) d'autre part, les deux aspe ts n'étant naturellementpas sans lien entre eux.

Enn la Se tion 3 fait un bilan (provisoire) d'a tivités de re her he plus ré entes,plusexploratoires(bienqu'à haquefoisave desobje tifsappli atifs on rets),etdon aussimoinsabouties.

Andepermettreaule teurd'identierplusfa ilementmespropres ontri-butions dans e do ument, j'utilise un mode de itationdiérent pour les ré-féren es dont je suis auteur ou oauteur (par exemple [1℄) et pour les autres ( omme [Bat96, BF91℄), et en onséquen e deux listes bibliographiques dis-tin tes.

1

1 Le verrouillage des méthodes d'éléments nis : omment ou-pler analyse etnumérique 2 1.1 Méthodesmixtespourledéverrouillage:del'in ompressibleaux

stru turesmin es . . . 3 1.2 Pourquoi rien ne s'étend aux oques (et omment espérer s'en

sortir) . . . 6 1.2.1 Lesdi ultéste hniques: onditioninf-supetverrouillage

membranaire . . . 6 1.2.2 Lesdi ultésfondamentales:robustessedesméthodesen

présen ede omportementsasymptotiquesmultiformes . 7 1.2.3 Travauxen ourset perspe tives . . . 10 2 Elémentsde oques pour lesappli ations industrielles 11 2.1 Lesgeneralshellelements . . . 11 2.2 Elémentsde oque-3D . . . 12

3 Explorations diverses 15

3.1 Couplageuide-stru ture . . . 15 3.2 Optimisationdesgyrovibrants. . . 16 3.3 Biomé aniquedu oeur . . . 17

1 Le verrouillage des méthodes d'éléments nis : omment oupler analyse et numérique Cet intitulé en apparen e un peu mystérieux traduit pourtant l'esprit qui animema démar hede her heur(depuis sespremiers pasdans lelaboratoire de K.J.Bathe au MIT). Cet esprit s'exprime, dans la on eption et l'analyse de méthodes numériques, par la re her he de synergies entre les é lairages apportéspar lesmathématiques appliquéeset l'analyse numériqued'une part, et l'expérimentation numérique (et au delà la modélisation physique) d'autre part.Sesmotivationssontsimples:lesmathématiquesappliquées(dansunsens omprenantl'analysenumérique)nepeuventpastoutdémontrerde equi pré-o upel'ingénieuroulephysi ien,maisellesfournissentdesrésultats ertains surdesformulationsgénériquesetaussi(engénéral)des léspour omprendre le omportementdelasolution( ontinueoudis rète)d'unmodèle;parailleurs l'expérimentationnumériqueapportedesindi ationspré ises(etpré ieuses)sur le omportement des solutionsdans des as né essairement parti uliers (mais quel'onpeutvarierjudi ieusementenexploitantdesé lairagesthéoriques), e quipermetdeguiderl'analyse(notammentendéte tant ertainesimpasses),de quantiersesrésultats( ommepourle asdesestimationsd'erreur),et d'explo-rerlesextensionspossiblesd'uneméthodologieaudelàdudomainedevalidité del'analyse.Ils'agitdon bien làd'unevéritablesynergie où ha undesdeux

dationnumérique(oùlese ondjouealorsunpeulerledeparentpauvredu premier).Sous diverses formes, les travaux dé rits dans lasuite sonttousdes illustrationsde ettedémar he.

1.1 Méthodes mixtes pour le déverrouillage : de l'in om-pressible aux stru tures min es

Leverrouillagenumériqueestunphénomèneindésirablequipeutseproduire lorsque l'on her he à appro her la solution d'une formulation variationnelle danslaquelleune ontrainteestimposée,soitexa tement,soit(leplussouvent) parpénalisation.Sousformepénalisée, egenredeformulations'é rit:

Trouver

U

ε

dans

V

telque

A(U

ε

, V

) + ε

−2

_(Γ(U

ε

_{), Γ(V ))}

0

= F (V ),

∀V ∈ V.

(1) Dans etteéquation variationnelle,

A

désigneune forme bilinéaire symétrique positive,

Γ

unopérateur ontinude

V

dansunespa edetype

L

2

 dontle pro-duit s alaire est noté i i

(·, ·)

0

, opérateur également supposé rendre la forme bilinéaire(symétriquepositive)

A(U, V ) + (Γ(U ), Γ(V ))

0

 oer ive,et

F

repré-sente une forme linéaire.Enn

ε

−2

joue lerle duparamètrede pénalisation 2 orrespondantàla ontrainte

Γ(V ) ≡ 0.

(2)

Parexemple,enmé aniquein ompressible(ouquasi-in ompressible) ette on-traintes'é rit

div~v ≡ 0,

(3)

'estàdirequ'ontendàannulerun ertaintypededéformations(i i,les défor-mationsvolumétriques).Lorsquel'onfaittendreleparamètre

ε

vers0,onpeut montrerquelasuitedesolutions

(U

ε

₎

onvergevers

U

0

solutionde Trouver

U

0

dans

V

0

telque

A(U

0

, V

) = F (V ),

∀V ∈ V

0

,

(4)

où

V

0

désignelesous-espa e ontraint

V ∩ {Γ(V ) ≡ 0}

, equijustieaupassage ladénomination ontraintepénalisée.

Onditalorsqu'ilyaverrouillagenumériquequandlesestimationsd'erreur optimalesquel'onpeutdémontrerpouruns hémad'approximationdonnéà

ε

xédégénèrentlorsquel'onfaittendre

ε

vers0.C'estparexemple lairementle aspouruneméthodedeGalerkinquandlasuitedesous-espa edis rets

V

h

est telleque

V

h

∩ V

0

= {0},

(5)

puisqu'alors, à 

h

xé, la suite de solutions dis rètes

(U

ε

h

)

tend vers 0 ave

ε

. Ce genre de situation où le sous-espa edis ret est totalement inadapté à 2

Laraisonpourlaquelleon hoisitleparamètredepénalisationsous etteformeapparaîtra plusbas.

pressionverrouillagenumérique (enmé anique,lesystème onsidéréapparaît deplusenplusraide àtraverssasolutiondis rèteàmesurequeleparamètre

ε

dé roit).

Lesméthodesd'élémentsnismixtes,introduitesdanslesannées70[Bab73, Bre74℄ ont fourni un adre systématique d'analyse et de traitement du ver-rouillage numérique. Elles onsistent à utiliser omme in onnue auxiliaire le multipli ateur de Lagrange de la ontrainte et à dis rétiser également ette nouvellein onnue.Onposeainsi

Σ

ε

= ε

−2

Γ(U

ε

),

(6)

soiten oresousformefaible

ε

2

(Σ

ε

,

Ξ)

0

= (Γ(U

ε

), Ξ)

0

,

∀Ξ ∈ L

2

.

(7)

Onaboutitdon ausystèmevariationnel



A(U

ε

_{, V}

_{) + B(V, Σ}

ε

_{) = F (V ),}

_{∀V ∈ V}

B(U

ε

_,

_{Ξ) − ε}

2

(Σ

ε

_,

_Ξ)

0

= 0,

∀Ξ ∈ L

2

(8) ave

B(V, Ξ) = (Γ(V ), Ξ)

0

.

(9) Onpeutnoterqu'onaainsitransforméuneformulationpénaliséeenunsystème perturbéparlepetitparamètre

ε

(perturbationrégulièreousingulièreselonles as). La di ulté essentielle au plan numérique onsiste alors àidentier des s hémas de dis rétisation des deux in onnues, sous la forme de sous-espa es dis rets

V

h

et

T

h

(pourlemultipli ateur)qui satisfontune onditiondutype:

sup

V

∈V

h

, V

6=0

B(V, Ξ)

kV k

V

≥ δ

sup

V

∈V, V 6=0

B(V, Ξ)

kV k

V

,

∀Ξ ∈ T

h

,

(10)

pour une onstante

δ

stri tement positive et indépendante du paramètre de dis rétisation

h

.Cette onditionest onnuesouslenomde onditioninf-supdu faitque,endénissantlanorme

3

kΞk

T

=

sup

V

∈V, V 6=0

B(V, Ξ)

kV k

V

,

(11)

onpeutréé rire etteéquationsouslaformeplus lassique

inf

Ξ

_∈T

h

, Ξ6=0

sup

V

∈V

h

, V

6=0

B(V, Ξ)

kV k

V

kΞk

T

≥ δ > 0.

(12)

La onditioninf-suptraduitlastabilitédelaformulationmixte(dis rète) vis-à-visdel'in onnueauxiliaire(multipli ateur).Lastabilitéenl'in onnueprin ipale

3

Onnoteque 'estbienunenormedans

L

2

,quotienté aubesoinparlesous-espa edes

pratiquebeau oup plusfa ilement, ar enquelquesorte héritée de la formu-lationd'origine[Pit92, AB93,24,12,1℄.

Pour é lairer le fon tionnement des méthodes mixtes en matière de trai-tement du verrouillagenumérique, onpeut remarquer qu'au niveaudis ret la deuxièmeéquationdusystèmemixtes'é rit

Σ

ε

h

= ε

−2

P

h

Γ(U

h

ε

)
,

(13)

où

P

h

désignela proje tion

L

2

sur l'espa e dis ret

T

h

.On peutalors éliminer l'in onnueauxiliairedelapremièreéquation, equi donne

A(U

ε

h

, V

) + ε

−2

P

h

(Γ(U

h

ε

)), P

h

(Γ(V ))

0

= F (V ),

∀V ∈ V

h

,

(14) et on voit que, lorsqu'on fait tendre

ε

vers 0, la ontrainte qui prévaut est devenue

P

h

(Γ(U

h

ε

)) = 0,

(15) equ'on peutinterpréter ommeune relaxationde la ontrainted'origine.On peut ainsivoirles méthodesmixtes ommeunoutil rigoureuxde onstru tion de s hémas d'intégration numérique réduite pour le déverrouillage (de tels s hémasétantemployéssurunmodeempirique parlesingénieursdepuisque le mé anisme du verrouillagea été identié; voir par exemple [Bat96, ZT91℄ etleursréféren espourdesperspe tiveshistoriquessurleverrouillage).Notons égalementquelaformulation(14)peutfournirenpratiqueunmoyentrèse a e de résoudre le problème mixte dis ret (et don idéalement sans verrouillage), à ondition que l'espa e dis ret des multipli ateurs soit dis ontinu entre les élémentsdesortequ'on puisse al ulerlaproje tionauniveauélémentaire(et ainsiserameneràuneformulationprimalemodiée,de omplexité omparable à elle d'origine). Cette dis ontinuité est par onséquent souvent un élément importantdu ahierdes harges dunuméri ien.

Onpeutdon voirla onditioninf-sup (10) ommela lédubon ompor-tement dess hémasnumériquesemployéspourdis rétiserlesformulationsoù leverrouillageest àredouter. Lorsqu'elleest satisfaite, et si onapris garde à lastabilité de l'in onnue primale, on obtient en eet des estimations d'erreur indépendantes du paramètre

ε

, e qui implique que le verrouillagen'apparaît pas.Parailleurs,elleprésenteégalementun ara tèrené essaire arelle om-mande la stabilité de l'in onnue auxiliaire (le multipli ateur) qui possède en généralunesigni ationphysiqueimportante(lapressiondanslesformulations in ompressibles).Onadon vuapparaître,depuisl'introdu tiondesméthodes mixtes,deste hniquesvariéesdedémonstrationdela onditioninf-sup( 'està direde onstru tionde s hémas numériquesla satisfaisant)pour des formula-tionsdiverses,et notammentpourlamé aniquein ompressibleainsi quepour lespoutreset lesplaques.Dans es formulationsdites destru tures min es la ontraintepénalisée orrespondàl'annulationdesdéformationsde isaillement

4 , 4

dant,lesdémonstrationsde onditionsinf-sup fon tionnentau aspar as et s'avèrentengénéraldéli ates,etmonpremiertravaildere her he,en ollabora-tionave K.J.Bathe,a onsistéàmettreaupointunoutilnumériquedestinéà guiderl'analyseenévaluantle omportementd'uns hémanumériquevis-à-vis dela onditioninf-sup.Onpeuteneetmontrerquel'expressioninf-supdans (12)est dire tementreliéeàunproblèmeauxvaleurspropresqui s'é rit(et se résoutnumériquement)demanièrestandardlorsquelanorme

k · k

T

orrespond à une norme de Sobolev usuelle, e qui est en parti ulier le as pour les for-mulationsin ompressiblesoùil s'agitdelanorme

L

2

. En al ulantlesvaleurs inf-sup pourune suite demaillages de pas dé roissant, on peut ainsi se faire uneidée del'existen eounond'uneborneinférieurestri tementpositivepour esvaleurs.Naturellement e test(baptisé testinf-sup) n'apasvaleurde dé-monstration,maisenpratiqueils'avèreremarquablementableetdis riminant [15℄.

1.2 Pourquoi rien ne s'étend aux oques (et omment es-pérer s'en sortir)

Dans le as des oques,le verrouillageades sour es multiples, ar au ver-rouillagede isaillementdéjàmentionnépourlesautresstru turesmin es s'ajou-televerrouillagemembranaire(asso iéàdes ontraintesdedéformations mem-branairesnulles), voirparexemple [Pit92℄.Ce phénomène préo upeles ingé-nieursdepuisplusieursdé ennies,etonpeutsansdoutedire qu'iln'a toujours pas,àl'heurea tuelle,trouvédesolutiondénitive.Pour ara tériseret résu-merlesdi ultésparti ulièresauxquellesonseheurteave esformulations,on peutdirequ'ellessontdedeuxordres:lesdi ultéste hniquesetlesdi ultés fondamentales.

1.2.1 Les di ultés te hniques : ondition inf-sup et verrouillage membranaire

Les di ultés te hniques on ernentau premier hef la on eptionde mé-thodesnumériques non-verrouillantessurlabase de la onditioninf-sup.Tout d'abordlaprésen ede oe ientsgéométriquesvariables(notammentles our-bures)danslesformulationsde oquesrendimprati ablesleste hniques  lassi-quesdedémonstrationdela onditioninf-sup:ma roélémentsd'unepart(voir [BN83,Ste84℄)et utilisationdulemmedeFortin(Fortin'stri k,voir[BF91℄). A etégard,ilestsigni atifqu'undestrèsraresrésultats,publiédans[AB97℄, on ernantune onditioninf-supde oquené essitel'hypothèsede oe ients géométriques onstants( equienrestreintnotablementlaportée).Parailleurs, dans esformulationsl'espa edesmultipli ateursdeLagrangen'estpasun es-pa esurlequelonpeutopérerfa ilement(notammentauplannumérique, aril nes'exprimequepardualité),etdon letestinf-supnes'appliquepasnonplus entantquetel(voirnéanmoins[8℄pourdesélémentsdans ettedire tion).Pour pallier es di ultés te hniques,j'ai exploré, en ollaborationave Rolf

Sten-stabiliséesquivisentpré isémentàsedispenserdela onditioninf-sup.Ces tra-vauxont onduit auxseulsrésultats (à l'heure a tuelleet à ma onnaissan e) d'estimationsd'erreurindépendantesdel'épaisseursanshypothèseparti ulière surlagéométrie,voir[12℄.

1.2.2 Lesdi ultésfondamentales:robustessedesméthodesen pré-sen e de omportements asymptotiques multiformes

Les di ultés à ara tère fondamental sont en ore plus redoutables que lespré édentes.En parti ulier,les oquessedistinguent desformulations ver-rouillantes évoquées i-dessusparunepluralité derégimes asymptotiques pos-sibles(pourunmême modèle).En eet,dufait des ontraintes d'inextension-nalité(déformations membranaires nulles) qui sont des ontraintes fortes (3 équations s alaireshomogènesindépendantes pour 3 omposantes de dépla e-ment),lessituationsdanslesquelles

V

0

= {0}

(16)

sont ourantes(probablementlesplusfréquentesen pratique,d'ailleurs).Pour ara tériserle omportementasymptotique,onintroduit alorsl'espa e

V

m ob-tenuen omplétant

V

pourlanormedéniepar

k · k

m

= kΓ(·)k

0

.

(17) L'espa e

V

m

orrespondaux dépla ements d'énergie de déformation membra-nairenie.Ensupposantquelasuite(pour

ε

variable)des hargementsimposés est dansle dualde et espa e( equi est unerestri tion puisque

V

m

est plus grand que

V

), on montre alors quele omportementasymptotique pertinent s'obtientparune autremiseàl'é hellequedans(1),àsavoir[SHSP97, 11,1℄

A

m

(U

ε

_{, V}

_{) + ε}

2

A(U

ε

_{, V}

_{) = F (V ),}

_{∀V ∈ V,}

(18) où

A

m

(U

ε

, V

) = (Γ(U

ε

), Γ(V ))

0

.

(19) Onre onnaîtlàunproblèmedeperturbationsingulière,dontleproblèmelimite s'é rit[Lio73℄ Trouver

U

m dans

V

m telque

A

m

(U

m

, V

) = F (V )

∀V ∈ V

m

.

(20) Onnote aupassageque e omportement asymptotique,dit àmembrane do-minante orrespondàunestru turebeau oupplusraideque elui ara térisé pré édemment, dit à exion dominante pour les oques, puisque le se ond membrepeutêtremisàl'é helleparun oe ientd'ordre

ε

−2

plusgrandpour obtenir une solution nie ( e qui explique que 'est en général e omporte-mentqui estre her hédans lesstru turesindustrielles). Onpeutmontrerque

lièrepourles méthodesd'élémentsnis lassiques (enparti ulier,il n'y aplus deverrouillageà raindrepuisqueplusde ontraintepénalisée)[11℄.

Enrevan he,sil'onveutdisposerd'uneméthodenumériqueuniquequirende ompte orre tementdetousles omportementspossibles( equiesthautement souhaitabledanslesappli ations,voirplusbas),onest onduitàemployerdans les asdemembranedominante desméthodesdetypemixte (quidansl'idéal neverrouillentpasenexiondominante). Dans e as,onrésoutenréalité

A

h

m

(U

ε

h

, V

) + ε

2

A(U

ε

h

, V

) = F (V ),

∀V ∈ V

h

,

(21) où

A

h

m

(U

ε

h

, V

) = P

h

(Γ(U

h

ε

)), P

h

(Γ(V ))

0

,

(22) 'est à dire qu'on a perturbé par l'opérateur de proje tion le terme prin i-paldel'équationvariationnelle.Pouravoirunbon omportementnumérique,il estdon né essaired'obtenirlespropriétésadéquatesde onsistan epour ette perturbation. Ils'agit là d'une di ulté onsidérable ar, outre la omplexité te hniquequeprésentel'analysenumériquede ettequestion(dufaitdela om-plexitédesformulationsde oqueetdesopérateursdeproje tion,voir ependant deséléments d'analysedans [Mal01, HP02℄), lalogique dudéverrouillageest fondamentalementétrangèreà elle delapréservationde onsistan e membra-naire.Onest don onfronté àune formededilemmeasymptotique :defait, il n'y a pas à l'heure a tuelle de méthode pour laquelle on ait pu démontrer une onvergen e uniforme(en

ε

)pour lesdeux omportementsasymptotiques dé rits i-dessus.Laméthodeproposéedans[12℄nesembled'ailleurspas é hap-per à e dilemme ar des tests numériques simples ee tués sur des oques à membranedominante révèlentde manièreagrante desdéfauts de onsistan e (d'oùletitre del'arti le).

Iln'est ependantpasvéritablementenvisageable, ommeonpourraità pre-mièrevueyêtre in ité,d'utiliser des méthodesnumériquesdiérentesselonle omportement(asymptotique)delastru ture onsidérée.Eneet,ladi hotomie des omportementsdé rits i-dessusestenréalitésimpli atri eparlefaitqu'on aéva uéparl'hypothèse

F

∈ V

′

m

 (dansle asoù(16)alieu)touteunefoison de omportementsasymptotiques intermédiaires,voir[PSP97,BL02, 1, 7℄ et Figure 1. Dans es omportements plus omplexes à analyser, l'énergie mem-branaire joue un rle déterminant (et don les onsidérations de onsistan e i-dessussontpertinentes)etnéanmoins ertainsexemplesmettentenéviden e la présen e simultanée de ontraintes (pénalisées) qui s'appliquent au moins dans ertaines zones de la stru tures, notamment à proximité des frontières [KSHSP00, PMS01℄, et par onséquent le déverrouillageest également essen-tiel.Onadon d'une ertainefaçonlesdeux omportementsasymptotiquesen même temps, et onen est (pourl'instant)réduit àespérerqu'un s héma qui fon tionneraitbien, 'est àdire quiprésenteraitdes propriétésde onvergen e uniformevis-à-visdel'épaisseur,danslesdeuxsituationsextrêmesdeexionet membranedominantes donnerait également debonsrésultats (dans unsens à pré iser)pour es omportementsasymptotiquesplus omplexes.

G

∈ V

′

m

∃V ∈ V

0

, G(V ) 6= 0

Membrane-dominatedproblem

ρ

= 1

Bending-dominatedproblem

ρ

= 3

Ill-posedmembraneproblem

1 < ρ < 3

?

V

0

= {0}

6= {0}

Inhibitedpurebending Non-inhibitedpurebending

YES YES NO NO (unstablemembrane-dominated")

ρ

= 1

if

G

∈ V

′

1

m

Fig.1Comportementsasymptotiquesdes oques,s hémasynoptique(tiréde [1℄)

L'obtentiondeméthodesd'élémentsnisde oquedontl'analysenumérique puisse garantir la onvergen e uniforme àla fois dans les as de exion et de membrane dominantes reste don à l'heure a tuelle un problème ouvert très important.Naturellement,l'absen edetelsrésultatsn'empê hepasl'utilisation quasi-routinièred'élémentsde oquedans lesappli ations ( esontsansau un doutelesélémentsdestru turelesplusutilisés,deloin).Que esoit pour éva-luerlaabilitédetelséléments ourammentemployésoupourguiderl'analyse mathématique versdes éléments nouveaux qui aientvéritablement de bonnes han esdeprésenterlespropriétésdésiréesde onvergen euniforme,ilimporte don de pouvoirdisposerde méthodologiesrigoureuseset dis riminantes pour testernumériquementles éléments. Dans ette optique, toute la onnaissan e quel'onades omportementsasymptotiquesdesmodèlesde oqueet des pro-priétésnumériques(ee tivesetre her hées)desélémentsestbienentendu pré- ieuse.La méthodologienumériqueprogressivementmise aupointet proposée dans[11,2,1℄s'appuieainsisurlesprin ipesdebase suivants:

 Comparaisonde ourbesde onvergen e( orrespondantdon àdes mailla-gesdeplusenplusns)pourdiérentesvaleursdel'épaisseur;

 Utilisation d'un jeu de as-tests (ben hmarks) dans lequel les deux atégoriesfondamentalesde omportementsasymptotiques(membraneet exiondominante)sontreprésentées,et ave diérentes géométries pour lasurfa emoyenne( arl'énergiemembranaireest trèsprofondémentliée à ettegéométrie,voir[SHSP97℄);

 Emploide ritèresadaptésàlamesuredel'erreur:dansun asdeexion dominanteilestainsilégitimed'utiliserlanormenaturelledel'espa edes dépla ements; en revan he, dans un as de membrane dominante ette normene onvientpas maison peut utiliserla normede l'énergie mem-branaire[11℄;

 Prise en ompte de la régulariténon-uniforme des solutions exa tes par l'emploi de maillages adaptés pour représenter orre tement les ou hes limites[KSHSP00,MP00,1℄.

Ilfautsoulignerque,quoique es prin ipesparaissentsansdoutenaturels,leur mise en oeuvre ee tive n'est pas simple (notamment par le fait qu'il faille utiliserdesnormesd'erreurspé iques),et defaitlapratique ourante dansla littératureen omputationalme hani s (oùl'onn'hésiteparfoispasàarmer larobustessed'uneméthodesurlabased'unrésultatmesuréenunpointisoléet pourunseul al ul!)enestpourl'instantassezéloignée.Pourlesélémentsnis MITC[BD85,BB93,Bat96℄,denombreuxtestsontdéjàétéréaliséssurlabase de esprin ipes[8,1, HB℄et d'autressonten ours.Lesrésultatsdéjàobtenus indiquent un très bon omportement pour ertains éléments (notamment le MITC4),etmoinsbonpourd'autres(enparti ulierleMITC9).Pour esderniers ilssuggèrentnéanmoinsdesvoiesd'améliorationàexplorer[BLH03℄.

dustrielles

Comptetenudel'impa tpotentiel onsidérabledanslesappli ationsdes mé-thodesnumériquespourles oques,unaspe timportantàprendreen ompte(et peut-êtretropsouventnégligédanslestravauxd'analysenumérique) on erne l'appli abilité de es méthodes, 'est à dire leur adéquation àun ahier des hargesqui répondàunelogiquediérentede elledelastri teorthodoxiedes estimationsd'erreur.Parexemple,danslesappli ationsdes onsidérations nu-mériquespratiques,voireinformatiques, onduisentfréquemmentàé arterdes méthodes numériques exotiques trop di iles àmettre en oeuve. En outre, des motivations d'ordre mé anique peuvent onduire à formuler des éléments nisde oque sous une forme àpremière vue radi alement diérente de elle quiparaîtraitlaplusnaturelle(etpropi eàl'analyse)àunnuméri ien.C'esten parti ulierle asdesgeneralshellelements évoqués i-dessous.Ilsembledon important,surtoutdanslamesureoùl'onestimequedanslasituationa tuelle lesprin ipauxprogrèsviendrontdesintera tionsentre théoriqueetnumérique, aussibien qu'entre mé aniqueet mathématique, d'unepart de savoirprendre en omptelesméthodeslesplus ourammentutiliséesetd'autrepartdene for-muleraprioriquedesméthodesquisoientsus eptiblesderépondreàun ahier des hargesappli atifminimal ( equi onstitueunedi ulté supplémentaire, biensûr!).

2.1 Les general shell elements

Cesélémentsnisde oque(désignésdanslasuiteparl'abréviationGSE), sont sans doute les plus ouramment employés en pratique à l'heure a tuelle (lesélémentsMITC,entreautres,appartiennentà ettefamille[Bat96℄),etont pourtantlongtemps onstituéunmystèrepourlesnuméri iens.Ils reposenten eet sur la dis rétisation numérique, non d'un modèle de oque, mais d'une formulationvariationnelle tridimensionnelle. Ce i explique d'ailleurs leur nom ar ette méthode permet,du moins en prin ipe, d'obtenir des éléments nis de oque orrespondant à une formulation mé anique 3D arbitraire (notam-mentpour equi on ernelaloide omportement),don sansenpasserparle préalabled'unmodèlede oque.Defaçonimagée,onpourraitainsidirequela modélisation en oque est assistée par ordinateur, e qui est d'ailleurs aussi le asdesélémentsde oqueàfa ettes,autrefamille ourammentren ontrée danslesappli ations[BD92℄.

Dans[10℄(voiraussi[17,1℄),onadémontrél'existen ed'unmodèlede oque sous-ja entauxGSEs(dansle asdel'élasti itélinéariséeave laloideHooke) parl'obtentiond'estimationsd'erreur( onvergentesenmaillage!)entresolution numérique et solutiondu modèle identié. Parailleurs on a démontré que e modèle sous-ja ent est omparable aux modèles de oque lassiques (voir en parti ulier [Cia00℄) au sens de la onsistan e asymptotique, 'est à dire que, lorsqu'onfait tendre l'épaisseurverszéro, les solutionsdu modèle sous-ja ent

desmodèles lassiques.Ces résultats onstituentdon àlafoisdesélémentsde justi ationthéoriquedes GSEset despasserellesentre es méthodeset elles analyséesparlesnuméri iens.

Soulignons que les estimations d'erreur obtenues pour les GSEs dans [10℄ sontvalablesàépaisseurxéeuniquement, 'estàdirequ'ellesnesontpas adap-téesàl'analyse de la onvergen euniformevis-à-visde l'épaisseur(defait es élémentssourentdeverrouillage ommelesautres enl'absen ede traitement parti ulier[11,1℄).Néanmoins, il semble que es premiersrésultatsouvrentla voie àdes analyses plus poussées visant à évaluer (pour le neutraliser, ou du moins le réduire)l'eet de l'épaisseursur les erreurs numériques, voir notam-ment[Mal01℄.Ilest lairque esanalysessontrenduesen oreplusdi ilesque elles desméthodes de dis rétisationdes modèles lassiques par la omplexité dumodèlesous-ja entetdesarelationauxGSEs(ave notammentdeserreurs de onsistan e assezdéli atesà manipuler).Cependant,onpeut s'inspirerdes similitudes identiées entre es deux atégories de modèles, d'une part, et de méthodesnumériquesd'autrepart,pourtransposerdansle hampdesmodèles et méthodes lassiques (voir notamment [Ber96℄), dansle but depouvoirplus fa ilement les analyser, les méthodes proposées (en général sans analyse ma-thématique) pour réduire leverrouillagedesGSEs. C'est notamment e qui a été fait dans [6℄ pour l'élément MITC9, transposé dans le adre d'un modèle lassique à la Naghdi (voir par exemple [Cia00, BLD00℄) et pour lequel les résultats numériques obtenus sont très pro hesde euxdu GSE dont il s'ins-pire( equisembleindiquerqu'onpeuts'abstrairedesdi ultésinhérentesaux GSEsenanalysantàsapla el'élémentdeformulation lassique).

Uneimportanteperspe tivepour estravaux on ernela on eptiondeGSEs triangulairesrobustes.Eneet,lesélémentstriangulairessonttrèsutiles(voire in ontournables) dans nombre d'appli ations où l'on doit mailler des surfa es omplexes,etlesélémentsexistantsontnotoirementpeurobustes(voir[1℄etses référen es).Dans etteoptique onpeut envisagerde s'inspirer des te hniques d'interpolation mixte MITCpour formulerdes éléments-prototypesque l'on testeraitpar lesméthodesévoquéesdans lase tion 1.2.3avantd'entreprendre l'analysede euxquiprésenteraientlesmeilleurs omportements.

2.2 Eléments de  oque-3D

Dans la lignée des GSEs, je me suis intéressé(dans le adre de ollabora-tionsvariées)àdesélémentsde oqued'untypenouveau,quemes oauteurset moiavonsbaptisésélémentsde oque-3D(3D-shellelements)[28,5,20℄.Ces élémentstirentleurnom dufaitqu'ilsseprésententextérieurement ommedes éléments3D (isoparamétriques) detype standard, 'est àdireave desdegrés delibertédedépla ementuniquement(pasderotations)disposésendesnoeuds présents notamment sur les fa es externes de l'élément, qui dénissent égale-ment lagéométrie. Plus pré isément, leur mise au point a onduit àspé ier unegéométrieprismatique(parexemplehexaédrique)etdesfon tionsdeforme asso iéesprisesquadratiquesenla oordonnéelo alequidé ritl'épaisseurdela

suivantes:

 Puisqu'ils seprésententextérieurement ommedes éléments3D, es élé-mentsde oquese ouplentsansdi ulté au uneàdes éléments3D par leursfa esexternes, e quiesttrèsutiledansbeau oupd'appli ations(la motivationd'origine on ernaitlasimulationdu omportementdesnappes de renfort dans les pneus, voir Figure 2, mais es éléments peuvent na-turellementêtreemployésdans beau oup d'autressituationsoù egenre de ouplagedoitêtreprisen ompte:intera tionuide-stru ture, oques-sandwi hs,pat hspiézoéle triques...).

 La inématique sous-ja ente de es élémentsest plusri he (quadratique) vis-à-vis de la oordonnée transverse que dans les GSEs usuels (où la inématique orrespond à l'hypothèse de Reissner-Mindlin, 'est à dire qu'elle est linéaire pour le dépla ement tangentiel et onstante pour le dépla ement transverse). Ce i permet d'espérer apturer plus nement ertains omportements de grandes déformations où notamment la dé-formationtransverse(depin ement)intervientdemanièresigni ative, ommepourl'emboutissageparexemple.

 Enn, onpeut montrer que es élémentsnené essitentpas,au ontraire desGSEs lassiques,lere oursàunehypothèsede ontrainteplanedans laloi de omportement3D, hypothèse qu'iln'est pasaisé de prendreen ompteenpratiquedansun adredegrandesdéformations.

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rubber sheets reinfor ement

de oque à un ou plusieurs orps massifs par l'intermédiaire de ses surfa es externes,àsavoir:

 Soitparl'approximationqui onsisteànégligerl'épaisseurdela oqueet à ouplerdire tementlesdépla ementsdelasurfa emoyenneà euxdes interfa esdu orpsmassif (méthode souventutiliséeenpratique);  Soitentenant omptedel'épaisseurdela oqueàlafoisdanslagéométrie

et dansl'é rituredes relationsde ouplage( equi estmal ommodeave lesélémentsusuels).

Onapuainsimontrerpardeste hniques d'analyseasymptotiqueque es pro-blèmes ouplés admettent les mêmes solutions-limites lorsque l'épaisseur de la oque tend vers zéro (sous ertaines hypothèses sur les valeurs relatives des raideursde la oque et des orps 3D). En revan he, des tests numériques montrentdesrésultatssigni ativementdiérentsentrelesdeuxméthodespour des oquespourtantrelativementmin es, equidissuaded'employerlapremière méthode de ouplage(on suppose impli itement, à défaut de vrais résultats paranalyse3Ddela oque,que 'estladeuxièmeméthodequiestlaréféren e). Par ailleurs, en analysant les éléments de oque-3D et leur modèle sous-ja ent (voir i-dessous), on a mis en éviden e le fait que les mêmes sour es deverrouillagequedanslesautres GSEssontprésentes(et peuvent don faire l'objetdes mêmestraitementsheuristiques que euxutilisés parailleurs),voir [20℄. En outre, unenouvellesour ede verrouillageapparaît, liéeàl'énergiede déformationdepin ement(d'oùlenomdepin hinglo king dontnousl'avons baptisé),etnousavonssur epoint omplètementjustié(dans[5℄)une straté-giededéverrouillage onsistantàinterpolerlesdéformationsdepin ementaux noeudsde l'élément, stratégieapparemmentdéjàemployée, surdesbases heu-ristiques, dans d'autresélémentsde oques orrespondantà des inématiques transversesdehaut degré[BR97℄.Soulignonsau passageque esdiverses opé-rations de déverrouillage onstituent la seule diéren e entre les éléments de oque-3Detdevéritableséléments3D,etquifontdon quel'élémentde oque enquestionsaitqu'ilestmin e dansunedire tiondonnée.

Enn,onaétendupour esélémentslesrésultatsmentionnéspourlesautres GSEs,surl'existen ed'unmodèlesous-ja ent(diérentde eluidesGSEsusuels, naturellement)etsurla onsistan easymptotiquede emodèleave lesmodèles de oque lassiques[20℄.Aupassage,l'analyseasymptotiquefournituné lairage intéressant sur l'hypothèse de ontraintes planes évoquée i-dessus, puisqu'on montreque elle- iprévautàlalimite. En in idente,onpeutaussi mention-nerquele faitde nepasutiliser ette hypothèseapriori dansles élémentsde oque-3Dprésente tout de mêmeun in onvénient, àsavoirqu'ilredevient dif- ile ( omme dans les formulations 3D) de prendre en ompte des matériaux in ompressibles.Enparti ulier,ilsemblerait( omme onpourrait s'yattendre) qu'unverrouillaged'in ompressibilitéapparaîtalors,voiremêmepeut-êtreaussi desin ompatibilitésdemodèlesdansl'é hangeentrelesdeuxlimites asympto-tiques (de oque et d'in ompressibilité). Ce i fait l'objet de travaux en ours [21℄.

formulationsde oque-3D on ernelamodélisation etlasimulationnumérique de oquespiézoéle triques(voirparexemple[RBOO98,BD00℄).Jesouhaite ex-plorer e sujet dans un avenir pro he, plus généralement d'ailleurs aussidans l'optiquedesses appli ationsau ontrledes stru tures,thématique qui m'in-téresseparti ulièrement(voirégalement i-dessous).

3 Explorations diverses

Mesa tivitésderesponsabled'uneéquipedere her he(projetMACS 5

, de-puis sa réationen 2000) à l'INRIA-Ro quen ourt, et les nombreux onta ts qu'elles o asionnent, m'ont onduit à mener des travaux de re her he (pour l'instantà ara tère largementexploratoire)dans des dire tions variéeset à traversdiverses ollaborations.

3.1 Couplage uide-stru ture

J'ai ontribué au lan ement, puis au pilotage, d'une a tion de re her he ollaborative,intitulée Eets du vent sur les stru tures du génie ivil, oor-donnéeparleLCPC(F.Bourquin)etimpliquantparailleursleCSTB,l'ENPC et l'INRIA,de 1999 à2003. Dans e ontexte,j'ai été o-responsable(ave S. Piperno,projetCAIMAN) dusujetSouerienumérique visantàdévelopper des outils (y ompris au sens de méthodes) de simulation pour appréhender les phénomènes de ouplageuide-stru ture pertinents dans es appli ations, et à onfronter es outils à des vrais résultats expérimentaux (obtenus dans lasouerieduCSTB). Unemotivationessentiellepour ettea tion on ernait l'utilisationd'outilsnumériquesdansla on eptiondesouvrages,en omplément (etnonenrempla ement,biensûr)desessaisensouerie.

LathèsedeM.Fernandez(dire teurdethèse:P.LeTalle )aeulieudans e adredans leprojetMACS,ave pourobje tifdemettre aupointdesmodèles simpliés et des méthodes numériques asso iées pour représenter le ouplage uide-stru tureetanalyserlastabilitédusystème ouplé.L'idée- léde es tra-vauxreposesurlalinéarisationdumodèle oupléenformulationALE,qui four-nitunproblèmeoùledomaineuideestxeetoùles onditionsde ouplagese traduisentpardes onditionsauxlimitesspé iques(ditesdetranspiration)à l'interfa euide-stru ture[22,FFLT00℄.Onétudiealorslastabilitédusystème ouplé (linéaire) en examinant ses valeurs propres, e qui est une alternative séduisante ( ar beau oup moins oûteuse)à la simulation dire te du système oupléenALE.Les premiersrésultatsobtenus par ette méthodesur des as-testsexpérimentauxounumériquessonttrèsprometteurs[FLT02a,FLT02b℄.

En revan he, en e qui on erne l'utilisation d'outils numériques pour la on eption au vent des ouvrages, les ampagnes d'essais numériques détaillés (enutilisantdiversmodèlesdeturbulen eetloisdeparoi)mettentenéviden e

5

nants( omme ledé ollement/re ollementenavaldubordd'attaque)pourla stabilité au vent, et semblentindiquer que des progrès en modélisation uide sont né essaires avant de pouvoirenvisagerd'employer desoutils de souerie numériquedansun ontexteopérationnel[BP03℄.

3.2 Optimisation des gyrovibrants

Lesgyrovibrantssontdes apteursinertielsqui,àladiéren edesgyros opes traditionnels, ne omportent pas de piè es tournantes (sensibles à l'usure et peu propi es à la miniaturisation). Ce sont des stru tures parti ulières dans lesquellesl'observationd'un ertainplan d'ondedevibrationpermet lamesure delarotationdudispositifparrapportàunrepèreinertiel,eetdûauxfor es de Coriolis et onnu sousle nom de son dé ouvreur, Bryan[Bry90℄. Cet eet requiertl'existen ed'unespa emodaldedimension2( orrespondantaumode fondamental,de préféren e),et il apparaîten parti ulier dans lesstru tures à symétrie de révolution.Dans ette atégorie,onprivilégiealors naturellement les oquesmin esqui permettentde réduirelataille de lastru ture (quelques entimètres)sansélévationex essivede lafréquen edumodefondamental (et del'amortissementasso ié),voirparexemple[Lyn95℄.

Comme le laisse entendre le prin ipe de fon tionnement exposé i-dessus, l'exploitationde l'eetBryanreposesur l'observation d'un phénomènede di-mension2 (ou4dansl'espa ed'état),etsupposequ'onpeutidéalement s'abs-trairedu omportementglobaldelastru ture, 'estàdirede eluidesesautres modes.Or esautresmodessontex ités,àlafoispar ouplageave lesmodes fondamentauxpareetCoriolis(et entrifuge),etaussiparl'a tiondudispositif de ontrlevisantàentretenirlavibrationdumodefondamental(sansperturber sapré ession,naturellement). En retour,lavibrationdes modesindésirables induit des perturbations sur le omportement des modes fondamentaux (par ouplageinverse), et don sur la mesureinertielle. L'a tion du ontrle étant probablement la ause prin ipale d'ex itation des modes indésirables, on voit don qu'unedi ulté essentiellepourla on eptionde gyrovibrants onsiste à limiter ephénomènedespillover de ontrle.

Dans e adre,notretravaila onsisté,aprèsavoirmisenéquations l'eet Bryanpourlesstru tures derévolution,àmettre aupoint (et enoeuvre) une stratégie pour minimiser lespilloverde ontrle en jouant sur les paramètres deforme dela stru ture.Pour ela, nous noussommes donnéune fon tionde transfertmodèle detypeSISOpourlastru turegyrovibrante(sousformede sommeinniesurlesmodes),etnousavons hoisi omme ritèredeminimisation lapartie de ettefon tion de transfert orrespondantauxmodesindésirables, onsidéréeà une fréquen e de fon tionnement orrespondantà elle du mode fondamental( ellequele ontrleviseàentretenir).Ce ritèremesuredon bien lafra tiondel'énergie(vuedu apteur)dueauxmodesindésirables. L'utilisa-tionde e ritèredansune haîned'optimisationadho ( al uldesgradientspar diérentiation automatique; algorithme de point intérieur) a mis en éviden e d'importantes margesd'optimisationparrapport auxstru turesgyrovibrantes

3.3 Biomé anique du oeur

Ces travauxonteulieu pourleur majeurepartie dans le adre desARCs 6 intitulées ICEMA et ICEMA2

7

, en ollaborationave des her heurs de dié-rentes spé ialités(automatique, modélisation mé aniqueet al ul s ientique, traitementd'images)del'INRIAetd'autresorganismes.Leurobje tif on erne l'exploitationd'imagesdel'a tivité ardiaqueaumoyendemodèles éle tromé a-niquesdu omportementdel'organe,dansuneperspe tived'aideaudiagnosti depathologies diverses(de ondu tion et/oude ontra tion).

Dans un premier temps, on a formulé les équations d'un modèle éle tro-mé aniquede mus le ardiaque (en grandsdépla ements et grandes déforma-tions)surlabased'uneloide omportement( omportantuneentréeéle trique) elle-mêmeobtenuesurdesbases physiologiquesaumoyend'uneanalyse multi-é helles [BCS01, 31℄. Les outils numériques né essaires à la simulation de e modèleontensuiteétémisaupointetsonten oursdedéveloppementdansla toolboxOpenFEM

8 .

En parallèle,desréexions etdesétudesontétémenéessurl'utilisationde te hniquesd'assimilationdedonnéesdanslaperspe tived'exploiterdesimages provenant d'examens liniques (é hographies, IRM) pour remonter aux infor-mations orrespondantauxparamètresdumodèleéle tromé aniquementionné i-dessus,ainsi qu'àl'état omplet dusystème au ours dutemps ( equi per-met également d'a éder à des indi ateurs physiologiques globaux pertinents ommel'indi e de ontra tilitéoulevolumed'éje tion). Lesrésultats prélimi-nairesobtenusau moyende modèlessimpliés et dedonnéesde synthèsesont très en ourageants[26℄. Lesdiérentséléments de la haîne méthodologique né essairesau ouplagedumodèleetdesdonnéesétantainsisurlepointd'être assemblés,lespremièresvalidationsee tives(surdesvraiesdonnées)devraient pouvoirêtremenéesdanslespro hainsmois.

Même si estravauxrelèventpourl'instant du"défri hages ientique"au sensoùiln'estpasen orefa ilededis ernersurquelssujetsspé iquesl'analyse numériquepeutyavoirunimpa tdéterminant,despistesémergentnéanmoins ave notamment:

 lamodélisationmulti-é helleset les ouplagesdemodèles;

 lesquestionsrelativesàl'identi ationdesmodèlesàtraversl'assimilation dedonnées,etlesretourssurlamodélisationque elaimplique.

Cesthématiques sontd'ailleursgénériquespourlamodélisation duvivant, do-mainequejejugepassionnantetdanslequeljesouhaitem'investir signi ative-mentdansl'avenir,personnellementautantqu'autitre deresponsabled'équipe dere her he.

6

A tionsdeRe her heCoopérativesdeladire tions ientiquedel'INRIA. 7

http ://www-ro q.inria.fr/sos so/ i em a2/i em a2.h tml 8

à Patri k Le Talle qui m'a fait l'amitié de relire et ommenter une version préliminairede edo ument.

Publi ations

Livres et hapitres de livres

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