Produits de Petersson de formes modulaires associées aux valeurs de fonctions $L$

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

L

IONEL

F

OURQUAUX

Produits de Petersson de formes modulaires associées

aux valeurs de fonctions L

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

14, n

o

_{1 (2002),}

p. 171-185

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Produits de Petersson de formes modulaires

associées

aux

valeurs de

fonctions

L

par LIONEL

FOURQUAUX

RÉSUMÉ. Considérons les formes linéaires

_{f ~}

_{L( f, ~, 1)}

sur l’es-pace vectoriel des formes

paraboliques

de

poids

2 pour le groupe

de _congruence

_03930(p),

avec ~ un caractère de Dirichlet modulo p.

Par le

_produit

scalaire de

_Petersson,

on _peut leur associer des

formes

_{paraboliques.}

Cet article détermine le

_produit

scalaire de deux de ces

_formes,

_pour deux caractères de Dirichlet non triviaux

de

_parités

différentes.

ABSTRACT. The linear forms

_{f ~}

_{L(f, ~, 1)}

on the vector space

of cusp forms of

weight

2 for the congruence group

03930(p), with ~

a Dirichlet character modulo _p, can be associated to cusp forms

through

the Petersson scalar

_product.

This article shows how to

compute the scalar

_product

of two such

_forms,

for two non-trivial Dirichlet characters with

_{opposite parities.}

Cet article

_présente

un résultat sur le

produit

de Petersson de formes modulaires associées à des valeurs de fonctions L

_{que j’ai}

obtenu au cours de mon

_stage

de DEA. Je voudrais remercier à cette occasion M. Loïc MEREL _pour toute l’aide et les conseils

_qu’il

m’a

_apportés

tout au

_long

de celui-ci. Je remercie

_également

le

_rapporteur

pour toutes les corrections et

additions

_qu’il

m’a

_suggérées.

1. Introduction

Soit

S2

(ro (p) )

l’espace

vectoriel

_complexe

des formes

_paraboliques

holo-morphes

de

_poids

_{2 pour} le _groupe de _congruence

avec _p un nombre

premier

fixé.

Sur cet espace, on a le

produit

scalaire de Petersson

(cf.

[Ser70]

et

[Ogg69]),

qui

est défini _par

où D est un domaine fondamental de _ro 11, étant le

demi-plan

de Poincaré.

Si

_f

E

S2

(ro (p)),

on

_peut

écrire

et _poser

Soit X

un caractère de Dirichlet modulo _p. Il définit une

_application

p-périodique

de Z dans

_C,

_que l’on notera aussi _x, avec

X(O)

= 0. On _pose aussi

Les fonctions s H

_L(f,

s)

et s t-t

_L(f,

_X,

s)

se

_prolongent

en des fonctions

holomorphes

sur C.

L’application f

e

_{L( f, x,1)}

est une forme linéaire sur

s2

(ro (p».

Il lui

correspond

donc une

unique

forme

parabolique

h~

E

_S2

_{(ro (p))}

telle _que

Posons enfin :

la somme de Gauss associée

à x,

) le

premier

nombre de Bernoulli

_{généralisé}

n=1

Théorème 1. Si _x et

_x’

sont deux caractères de Dirichlet modulo _p non

triviaux,

de

_{parités différente,}

on a

&#x26;... _..

,

Remarque

1. Le cas où l’un des caractères est trivial se déduit de la

preuve de la

proposition

14 dans

[Mer].

Supposons

par

exemple

que X soit

le caractère

_trivial,

noté ici 1.

_(En

_particulier,

c’est un caractère

_pair;

on

prend

1(n)

= 0 si n _est

multiple

de

p).

Soit

x’

_un caractère

impair.

On

obtient :

Remarque

2. Un résultat

_analogue

se trouve dans l’article

_[KZ84].

On considère cette fois-ci

_{l’espace Sk}

_{(SL2 (Z))}

des formes

_paraboliques

holo-morphes

de

_poids

1~ pour le groupe

SL2

(Z),

avec k un entier

pair supérieur

ou

égal

à 2. On définit :

prolongé

analytiquement

sur C

Si q

est un entier

compris

entre 1 et k -

1,

il

existe donc une

_unique

fonction

_hq

E

_Sk

_{(SL2 (Z))}

telle _que

Les auteurs obtiennent alors une formule _pour

(hq,

hr~,

si q

et r deux entiers

compris

entre 1 et k - 1 de

_parités,

_par un calcul

direct,

contrairement à ce

qui

est fait ici.

Remarque

3. On

_peut

_{s’interroger}

sur la nécessité de la condition sur les

parités

des

_{caractères X}

et

_x’.

La

_première

_égalité

du théorème 1 est alors

fausse,

comme on le voit en considérant le _{cas X}

= x’

(le

membre de droite étant nul dans ce

cas).

En

_revanche,

la seconde

_expression

du

_produit

scalaire est

_peut-être

exacte,

même si la méthode

_employée

ici ne

_permet

pas de le montrer.

_(Il

serait intéressant

_{d’essayer d’adapter}

la méthode de

_[KZ84]

_{pour essayer d’éliminer} cette

_condition).

Remarque

4. On

_peut

aussi noter que si est une base orthonormée de

_S2

_{(ro (p) ) (par}

_exemple

celle des formes propres pour les

opérateurs

de

Hecke),

alors on a

et donc le

_produit

scalaire

_auquel

on s’intéresse s’écrit

D’autre

_part,

la théorie des

_équations

fonctionnelles

_approchées

fournit une

approximation

pour les valeurs de fonctions L considérées :

On en déduit alors

ce ’

-où l’on a

posé

gj(z)

=

E aj,ne 2,in,.

Or

d’après

la formule de Petersson n=1

(cf.

[Iwa97],

théorème

_3.6,

_page

_54,

ainsi _que la

_paragraphe

_4.2),

on a

avec la somme de Kloosterman

et le

_symbole

de Kronecker. On

_peut

_procéder

de même _pour la somme

L

aj,naj,n’. Afin de

pouvoir

traiter les deux sommes

_restantes,

choisissons

j

les

_{formes 9j}

de sorte _que les soient tous réels.

_(Il

suffit de

prendre

une base sur R de

l’espace

_propre associé à la valeur _{propre 1 pour}

l’opérateur

f

H

_(z

~

_{f ( -z) ) ) .}

On obtient alors

Si l’on

_supprime

les termes contenant des sommes de Kloosterman dans

cette dernière

_formule,

on trouve

donc on trouve

approximativement

1

On retrouve donc la seconde formule du théorème 1.

_{Remarquons que l’on}

n’a _pas eu besoin de faire intervenir la

parité

des

_caractères,

ce

_qui

_suggère

encore _que cette condition est

_superflue.

_Néanmoins,

il ne

s’agit

ici _que de

calculs

_approchés.

D’autre

_part

on a omis les termes contenant des sommes de Kloosterman. Ceci

_indique

que l’on

pourrait

sans _{doute reformuler le} théorème 1 sous forme d’une relation entre sommes de Kloosterman.

2. Traduction en termes de

_produits

d’intersection

La

_{première étape}

de ce calcul va être de transformer ce

problème

de formes

_paraboliques

en une

_question

d’intersections de chemins. Pour

_cela,

rappelons

un résultat bien connu sur les surfaces de

_Riemann,

dont une démonstration est

_rappelée

en fin d’article

(cf.

_partie

_{5) :}

Lemme 1. Soit X une

_surface

de Riemann non

vide,

_compacte,

connexe. Pour toute

_{1-forme différentielle harmonique}

existe une

_unique

classe

d’homologie

C,,

E

_Hl

_{(X, C)}

telle _que

- -

-pour toute

1-forme différentielle harmonique

w’. De

plus,

on a

(C ·

C’

_désigne

le

_produit

d’intersection de C et de

_C~).

Définissons

_l’espace

_S2

_(ro

_(p))

des formes

_{paraboliques antiholomorphes}

par :

et

_l’espace

de formes

_{paraboliques harmoniques}

comme

Soit

_Xo

_(p)

la surface de Riemann ro

Alors,

si

f

E

_s2

_(ro

_(p»,

f (z)

dz donne _{par passage} au

_quotient

une 1-forme différentielle

_holomorphe

sur

Xo (p),

et de

même,

si f

E

S2

_(ro

_{(P)), f (z)}

dZ donne une 1-forme différentielle

_{antiholomorphe}

sur

_Xo

(p).

Les deux

_applications

ainsi définies

sont des

_{isomorphismes,}

et l’on en déduit un

_{isomorphisme f H}

_wf de

l’espace

vectoriel

_S2

_(ro

₈₂

_{(ro (p))}

sur

_l’espace

vectoriel des 1-formes

différentielles

_harmoniques

sur

Xo

(p).

Si f et g

sont des formes

_{paraboliques holomorphes,}

on a alors :

et cette dernière

_expression

_permet

de

_prolonger

le

_produit

de Petersson en une forme bilinéaire non

dégénérée

sur

l’espace

S2

(ro (p)) ~

_S2

_(ro

_(P))

des formes

_paraboliques

_harmoniques.

Notons C H C

_{l’application}

induite _par la

_{conjugaison complexe}

sur les coefficients dans

_l’espace

_Ri

_{(Xo (p), C) .}

Pour toute forme différentielle _VJ, on a

CCIJ

=

Qj.

Le lemme 1 affirme donc _{que pour} toute forme

_{parabolique harmonique}

f

il existe un

_unique

_C,,f

E

_Hl

_{(Xo (p), C)}

tel _que

pour toute forme

parabolique harmonique

g, et de

plus

Déterminons maintenant une autre classe

_{d’homologie}

associée à

l’appli-cation

_{f H}

_{L( f, X, 1),}

_pour un

_{caxactère X}

non trivial.

Si a est un entier

_compris

entre _{1 et p -}

_1,

on notera

_oo}

la classe

d’homologie

de

_l’image

dans

_Xo

_(p)

du chemin

_géodésique

reliant

_a/p

à ioo dans il.

_(Ce

sont bien des chemins fermés car

a/p

et ioo

correspondent

au

même

_point

de

Xo

_(~)).

Rappelons

que

si X

est un caractère de Dirichlet non trivial et si

_f

E

52

(rp

(p)),

on a

avec 9le s assez

_grand,

et _pour

(On

trouve cette formule _par

_exemple

dans

_[Ogg69],

_chapitre

_I,

théorème 1 page 1-5 : c’est à

partir

de cette

_expression

que l’on obtient

l’équation

fonctionnelle de la fonction

_L).

On a alors

Notons maintenant _que

_f

décroît

_{exponentiellement}

à l’infini et en

a/p,

ce

qui permet

de

_{prendre s}

=

1,

_par

prolongement analytique.

On en déduit le résultat suivant :

Lemme 2. Si x est un caractère de Dirichlet non

_trivial,

on a :

A

où

Exprimons

_8x

à

_partir

de

Proposition

1. Si x est un caractère de Dirichlet non

trivial,

on a

Preuve. Si

_f

est une forme modulaire

_holomorphe,

alors on a :

~ Il ,.

D’autre

_part,

si

_f

est une forme modulaire

antiholomorphe,

alors

₁

est une forme modulaire

_holomorphe,

si bien _que l’on obtient :

- - ,

-On a donc :

pour toute forme

parabolique harmonique f ,

d’où la

proposition.

On en déduit

Etudions

h57~ -

Pour

_cela,

si

_f

est une forme

_parabolique

holomor-phe,

définissons

f

est alors une forme

parabolique holomorphe,

et on a les deux

_propriétés

suivantes :

Lemme 3. Si

_{f et g}

sont deux

_{f ormes paraboliques holomorphes,}

on a

Corollaire 1.

_{S1 16}

est un caractère de

_Dirichlet,

on a

Preuve. Le lemme s’obtient par un

simple changement

de variable dans

l’expression

comme

_intégrale

double du

produit

de

_Petersson,

en utilisant la relation =

f (-z).

Son corollaire s’en déduit alors immédiatement :

donc

_hç

=

hp

puisque

le

produit

de Petersson est non

_{dégénéré.}

Ainsi,

on a :

si bien _que l’on obtient la

_proposition

suivante :

Proposition

2.

_{Si x}

et

_~’

sont deux caractères de Dirichlet non

_triviaux,

on a

-3. Calcul du

produit

d’intersection

Calculons

_{8x~ .}

°

Si b est un entier

_compris

entre 1 et _{p -}

_1,

on notera b*

_l’unique

entier

compris

entre 1 et

_{p - 1}

tel _que b b* - -1

_{(mod p) .}

On

_s’appuiera

sur le lemme suivant

(lemme

des

cordes),

prouvé

dans

[Mer96] :

Lemme 4. Soient a et a’ deax éléments de

{1,... ,p 2013 1}~

vérifiant

a’ et

_{a ~}

_a’*,

alors le

_produit

est

_égal

au nombre

21ria* 21ria 21ria’*

d’intersection de la corde reliant e p à _e P avec la corde reliant _e

, 2nia’

a

Que

se

passe-t-il

si a = a’ ou a =

a’*?

Dans le

premier

_cas, les chemins

sont

_identiques,

donc le

_produit

d’intersection est nul. Dans le

_second,

remarquons que

u v

E

_ro

_(p),

et v sont tels _que au _{+ pv} =

1,

envoie

_a/p

sur oo et oo sur

a’/p.

On a donc deux fois le même

chemin,

au sens de _parcours

_près,

et le

_produit

d’intersection est encore nul.

Il reste à savoir calculer effectivement ces nombres d’intersection.

Mon-trons :

Lemme 5.

_{Sz v, w, x}

_{et y sont}

_quatre

nombres réels deux à deux distincts

compris

entre 0 et

_1,

le nombre d’intersection de la corde reliant le

_point

d’angle

au

point d’angle

_2xy

avec la corde reliant le

_{point d’angle}

2xv au

point d’angle

21rw est

égal

à

où

Bi

_(u)

est le

_premier

_polynôme

de Bernoulli rendu

_{périodique :}

_{Bi (u) _}

= Bi (u)

pour tout u e R.

Preuve. Il suffit de montrer que

si les

_points

_d’angles

21rx et

k - 1 21rv se succèdent dans cet ordre

ÊJ(X-W)

-È,(X-V)

dans le sens

trigonométrique,

B

si les

_points

_d’angles

2xz et

k 2-xw se succèdent dans cet ordre dans le sens

trigonométrique,

pour un réel k

indépendant

de x. Or les deux membres de

_{l’égalité}

ci-dessus sont

_{1-périodiques}

_{en x, v et w,} si bien

_{qu’on peut}

se ramener à x

et v

_compris

entre w et w + 1

_(mais

_plus

nécessairement entre 0 et

_1),

et

l’on a dans ce cas :

d’où le

résultat,

avec k = v - w. D

On en déduit :

Proposition

3. Si x et

x’

sont deux caractères de Dirichlet non

_triviaux,

alors on a la relation

Preuve. En

_effect,

en combinant le lemme 4 et le lemme

5,

on a :

4. Retour sur le

produit

scalaire

Comparons

la

_proposition

3 avec la

_proposition

2. On obtient alors :

Posons

Rappelons

l’identité

_suivante,

_qui

donne la valeur d’une somme de Jacobi en fonction de sommes de Gauss

(cf.

[Lan90],

chapitre

1,

propriété

GS 3

page

4) :

1

avec 16

et

_16’

des caractères non triviaux tels _que leur

_produit

soit non trivial.

On en déduit :

Lemme 6.

_{Si 0}

_{et e’}

sont denx caractères non

_triviaux,

on a la relation

Ainsi,

on a :

Si

_{x et}

_y’

sont de

_{parités différente,}

on obtient :

,,,,, , ,- -- - ,

"’"’’" , ,

Enfin,

cette formule

_peut

être

_exprimée

en termes de valeurs de fonctions L de

_Dirichlet,

à l’aide de

_{l’expression}

bien connue de

L(~,1) (cf.

[Lan90],

chapitre

3,

page

74,

en corollaire du théorème

2.2) :

Théorème 2 S1 est un caractere ,

ampazr, .

alors

L(,1)

=

i(--1)

Théorème 2. Sio

est un caractère

impair,

alors

1)

=

T

B 1/J J ,0/

5.

_Appendice

Prouvons maintenant le lemme 1. Pour

_cela,

considérons sur la surface X un

_{complexe A,}

formé de

_sommets,

d’arêtes orientées et de faces

_simplement

connexes

(par

exemple

une

triangulation).

On

_peut

maintenant choisir un

_complexe

dual de A

(cf.

[PG78]),

noté A* . Pour

_cela,

_prenons à l’intérieur de

_chaque

face F un

point

_{sF, et pour}

chaque

paire

de faces

_adjacentes

selon une arête _a, relions les deux

_points

associés

par une arête

_a*,

orientée de sorte que l’intersection de a et a* se fasse dans le sens direct. Les sommets SF et les arêtes a* forment alors le

_complexe

dual 0*. On

_peut

_{supposer que} ses faces sont aussi

_simplement

connexes

(par

exemple

en

_prenant

pour A

une

_{triangulation}

assez

fine).

Notons _que le bidual A** de à

_peut

être choisi comme A avec les sens de _parcours des arêtes renversés.

On a alors

Définissons donc

_Cw

comme la classe

d’homologie

dans

_Hl

(X, C)

du

qui

est

_fermé,

car si s est un sommet de

A,

on a

Considérons en effet le membre de

_gauche.

Renversons l’orientation des arêtes

_partant

de _s, alors l’orientation des arêtes duales est aussi

_renversée,

donc les

_intégrales

associées

_changent

de

_{signe. Finalement,}

on obtient

l’intégrale

de w sur un chemin fermé autour de _s, ce

_qui

est bien nul

_puisque

les faces du

_complexe

dual sont

_simplement

connexes.

D’autre

_part,

par

construction,

on a

comme voulu.

A

_priori,

_{C~ dépend}

de A. Il

_s’agit

maintenant de _prouver l’unicité.

Soient deux

_cycles

C et

C’

vérifiant la

_{propriété :}

pour toute 1-forme différentielle

_harmonique

Alors

pour toute 1-forme différentielle

harmonique

ce

_qui

entraine _que C et

C’

sont dans la même classe

_{d’homologie}

_(cf.

_[Lan82],

cette

_propriété

découle du théorème de Riemann

_Roch).

Donc on a

_{l’unicité,}

et

_Gw

ne

_dépend

_pas de A.

Enfin,

en choisissant

comme

_{représentant}

de

C~,~,

on obtient

car si a et b sont deux arêtes de

_A,

on a

par construction du

complexe

dual et par définition

du

_produit

d’intersection

_{(cf. [PG78])}

ce

_qui

termine la _preuve du lemme.

Bibliographie

[Iwa97] H. IWANIEC, Topic in Classical Automorphic Forms. American Mathematical Society,

1997.

[KZ84] W. KOHNEN, D. ZAGIER, Modular forms with rational periods. Modular Forms

(Robert A. _{Rankin, ed.),} Ellis Horwood Limited, 1984.

[Lan82] S. _LANG, Introduction to Algebraic and Abelian Functions _{(Second edition). Springer}

Verlag, 1982.

[Lan90] S. LANG, Cyclotomic Fields I and II _(Combined Second _{Edition). Springer Verlag, 1990.} [Mer] L. MEREL, Sur la nature _{non-cyclotomique} des points d’ordre _fini des courbes elliptiques. [Mer96] L. MEREL, Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres.

Invent. Math. 124 _(1996).

[Ogg69] A. OGG, Modular Forms and Dirichlet Series. W. A. Benjamin, Inc, 1969.

[PG78] P. GRIFFITHS, J. _{HARRIS, Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience,} 1978. [Ser70] J-P. _SERRE, Cours _{d’Arithmétique. PUF,} 1970.

Lionel FOURQUAUX

École Normale _Supérieure

45, rue d’Ulm 75230 Paris Cedex 05 France