MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

(1)

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

R. FORTUNIER

CINEMATIQUE DEFORMATIONS

CONTRAINTES

ELASTICITE

METHODES SEMI-INVERSES METHODES ENERGETIQUES METHODES NUMERIQUES

CALCUL TENSORIEL APPLICATION AUX POUTRES

Notions de base

Loi de comportement

Méthodes de résolution

Applications

Compléments

(2)

Cadre général

Équilibre d ’un solide

Configuration

Description lagrangienne Description eulérienne Continuité de la matière

Tenseur gradient d’une transformation Transport d’un vecteur élémentaire Transport d’un volume élémentaire Transport d ’une surface élémentaire

1 - Cisaillement simple Ligne d’émission Equilibre et continuité

Description d’une transformation

Transport de quantités

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse

CINEMATIQUE

(3)

P

x u

P

X

P : point « matériel »

v

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Cadre général

(4)

forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement

moments) = variation du moment de quantité de mouvement Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Équilibre d ’un solide

(5)

* vision macroscopique

* « masse » d’un élément de volume : dm =  dv

Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Continuité de la matière

(6)

configuration de référence : C

₀

: description lagrangienne C(t) : descrition eulérienne C

₀

C(t)

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Configuration

(7)

P

X C

₀

P

x

coordonnées d'un point : x = ( X , t ) avec  ( X , 0 ) = X  v

vitesse d'un point : v = dx / dt =  / t

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Description lagrangienne

(8)

vitesse d'un point : v( x , t)

v P

x

C(t)

coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt P

X

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Description eulérienne

(9)

maquette du Concorde (document ONERA)

P

ligne d'émission du point P

cargo échoué

trace produite sur la mer (ligne d'émission du cargo)

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Ligne d’émission

(10)

tenseur gradient de la transformation

* déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I P

x u

P

X

* déplacement du point P : u ( X, t) = x - X

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Tenseur gradient d’une transformation

(11)

dX dx

dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX P

x P

X

u

x = X + u

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Transport d’un vecteur élémentaire

(12)

dv

dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F) dV

dV = [dX, dY, dZ]

P

x P

X

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Transport d’un volume élémentaire

(13)

n

ds

ds = nds et dv = ds.dz = JdV, avec dz = F.dZ N

dS

dS = NdS et dV = dS.dZ

P

x P

X

ds = J(F

^-1

)

^t

.dS avec J = det(F)

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Transport d ’une surface élémentaire

(14)

P

x P

X

Évolution d’une grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ? df / dt = f / t + f / x

_i

. dx

_i

/ dt = f / t + v.grad(f)

v

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Dérivées particulaires

(15)

m = dm =  dv = cste d / dt +  div(v) = 0 v

P

x P

X

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

Équations de bilan Dérivées particulaires Conservation de la masse Conservation de la masse

(16)

Description lagrangienne : Description eulérienne : x

₁

= X

₁

+ 2tX

₂

x

₂

= X

₂

x

₃

= X

₃

v

₁

= x

₂

v

₂

= 0 v

₃

= 0

a a

1 2

u X

P

x

P

CINEMATIQUE

Cadre général

Configuration

Exemples

1 - Cisaillement simple

(17)

DEFORMATIONS

Cadre général

Tenseur gradient des vitesses de déplacement

Intégration dans le temps

Tenseur des dilatations Dilatation dans une direction

Tenseurs taux de déformation et de rotation

Tenseur des déformations de Green-Lagrange Formulation eulérienne en vitesses

Formulation en déplacements

Hypothèse des petites perturbations Tenseur gradient des déplacements Déformation et rotation de corps solide Dilatation volumique

Équations de compatibilité Mesure des déformations

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi Angle entre deux directions

Conditions aux limites

DEFORMATIONS

(18)

Il faut utiliser :

Comment décrire la transformation de ce solide ?

- une déformation

- un déplacement de corps solide - une rotation

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Cadre général

(19)

vitesse d'un point : v( x , t)

v P

x

C(t)

P

X C

₀

vitesse autour du point P : dv = grad

_X

(v).dX = grad

_X

(v).F

^-1

.dx = F.F

^-1

.dx v+dv

. Tenseur gradient des vitesses de déplacement : L = F.F .

^-1

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

(20)

Tenseur « taux de déformation » D = ½ (L+L

^t

)

Tenseur « taux de rotation »

 = ½ (L-L

^t

)

L = D+

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

(21)

Comment intégrer dans le temps les tenseurs taux de déformation et de rotation ?

C0 C(t) C(2t)

etc…

La configuration est actualisée à la fin de chaque incrément de temps Configuration « lagrangienne réactualisée »

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Intégration dans le temps

(22)

C : tenseur des dilatations P

C

₀

P C(t) dy dx

dX dY

dx . dy = dX . F

^t

.F . dY

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Tenseur des dilatations

(23)

P C

₀

P C(t)

dx

dX N

_X

(N

_X

) = dx / dX = N

_X

.C.N

_X

Dilatation  (ou changement de longueur) dans la direction N

_X

:

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Dilatation dans une direction

(24)

P C

₀

P C(t) dy dx

dX dY

N

_X

N

_Y

Glissement (ou changement d’angle ) entre les directions N

_X

et N

_Y

: cos((N

_X,

N

_y

)) = dx . dy / dx dy = N

_X

.C.N

_Y

/ (N

_X

) (N

_Y

)



DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Angle entre deux directions

(25)

tenseur de Green-Lagrange : E = ½ (C-I) = ½ (F

^t

F-I) P

C

₀

P C(t) dy dx

dX dY

dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dX . E . dY

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Tenseur des déformations de Green-Lagrange

(26)

tenseur d’Euler-Almansi : e = ½ (I-C

^-1

) = ½ (I-F

^-t

F

^-1

) P

C

₀

P C(t) dy dx

dX dY

dx . dy = dX . C . dY = dX . dY + 2dx . e . dy

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Tenseur des déformations d’Euler-Almansi

(27)

évolution de la composante u

_i

du déplacement le long de la direction x

_j

de l ’espace

a

₁

a

₂

état initial

d = grad

_X

(u) ou d

_ij

= u

_i,j

L = grad

_X

(v)

identification de C

₀

et C(t) : F  grad .

_X

(v) F = I + grad(u)

état courant

d

₁₁

= 0 d

₁₂

> 0 d

₂₁

= 0 d

₂₂

= 0

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Tenseur gradient des déplacements

(28)

- symétrique - diagonal

dans le repère

- antisymétrique - « rotation » des axes

a

₁

a

₂

état initial

état courant d  ⁺  ^avec

 ^{= ½ (d-d}

^t

) : tenseur des rotations

Tenseur des déformations

Tenseur des rotations

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Déformation et rotation de corps solide

(29)

 _{F = I+d}

dv = det(F)dV = det(I+d)dV  (1+tr(  ^))dV

En tout point du solide, la variation de volume est donnée par la trace du tenseur des déformation

dv P

x

C(t)

P dV

X C

₀

d = grad( u )

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Dilatation volumique

(30)

 (symétrique) donné est-il toujours le tenseur

de déformation d’une ou de plusieurs transformations ?

d =  + 



un tenseur gradient des déplacements d = 

 _ki,jl +  _jl,ik =  _kj,il +  _il,kj



6 équations de compatibilité doit être tel que : d.dX = du où du est une différentielle totale

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Équations de compatibilité

(31)

0° 45°

90°

différents points de mesure

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Mesure des déformations

(32)



tous les déplacements sont imposés nuls sur cette ligne

le vecteur déplacement est imposé ici (chargement de la structure)

 

_u

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Conditions aux limites Conditions aux limites

(33)

Déformations

Hypothèse des petites perturbations

équations de compatibilité :



_ki,jl

⁺ 

_lj,ik

⁼ 

_kj,il

⁺ 

_li;jk

vecteur déplacement : u( X ,t)

conditions aux limites : u = U sur  

u

tenseur des déformations :

 = ½ (grad(u) + grad(u)

^t

)

DEFORMATIONS

Cadre général

Résumé Bilan

Résumé

(34)

Cadre général

Hypothèses de base

Signification physique du vecteur contrainte

Contraintes normale et tangentielle Conditions aux limites en pression Théorème de l’action et de la réaction

Contraintes dans un repère orthonormé Tenseur des contraintes

Signification physique des contraintes

Équations d’équilibre

Forces extérieures agissant sur un volume Équilibre des forces

Équilibre des moments

Contraintes principales

Contrainte moyenne et déviateur Contraintes équivalentes

Différents tenseurs des contraintes

Utilisation du tenseur des contraintes

Bilan Résumé

CONTRAINTES

(35)

Il faut utiliser le tenseur des contraintes

Comment décrire les efforts auxquels est soumis ce solide ?

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé Cadre général

(36)

Efforts de cohésion dans 

A

(dus à la déformation)

Efforts de  ^sur 

_A

(provoquant la déformation)



_A

Densité surfacique de forces t t

Densité volumique de forces F

F

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Hypothèses de base

(37)



Vecteur contrainte

Tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes est symétrique

 F dv =  t ds



 

_A



_A

P

x

C(t)

F



_A

t

F = div(  ⁾

t =  ^.n



Fx dv =  t x ds



 

_A



_A

 ⁼ 

^t

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Théorème de l’action et de la réaction

(38)

Le vecteur contrainte n ’est pas forcément porté par la normale à cette surface.

n

df t

t = lim

ds -> 0

df ds

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

(39)

surface contraintes

vecteur

C(t) C(t)

C ₀ C ₀

C(t) C ₀

Cauchy (eulérien, symétrique)

Piola-Kirchhoff (lagrangien, symétrique)

Piola-Lagrange df =  ^.ds

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

(40)

n

ds

t Contrainte normale



_n

Contrainte tangentielle



_t

b



_n

= t . n = 

_ij

ⁿ

_i

ⁿ

_j



_t

= t . b = 

_ij

^b

_i

ⁿ

_j

ou



_t

^{b = t -} 

_n

ⁿ

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Contraintes normale et tangentielle

(41)



 

Vecteur contrainte T connu

sur la partie  

_T

^{de }  ^{t = T}  ^{.n = T}

n

 

_T

T

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Conditions aux limites en pression

(42)

Dans un repère orthonormé (Oxyz) :

 ⁼



_xx



_xy



_xz



_yx



_yy



_yz



_zx



_zy



_zz

n 0 t 0 1



_xz



_yz



_zz



_xy



_yy



_zy



_xx



_yx



_zx

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Contraintes dans un repère orthonormé

(43)

actions sur 

_A

par le milieu extérieur

- vecteur contrainte t - forces de volume f

_v



_A

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Forces extérieures agissant sur un volume

(44)



= 

 _A

dv +

 _A

f _v dv







  _A tds





  _A

(div() + )dv = f _v 

 _

A

dv div() + = f _v 

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Équilibre des forces

(45)

  _A t ds



 x

= 

 _A

dv  x +

 _A

f _v dv

 ^ ^x

 _A



 (div() + - ) dv f _v   x  ( - dv = 0 ^t

  _A +

équilibre des forces symétrie du tenseur des contraintes

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

(46)

 ⁼ 

^t

Dans le repère « principal » :

Contraintes principales



_III

 ⁼



_I



_II

0 0

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

(47)

symétrique de trace nulle contrainte moyenne :

 ⁼



₁₁



₁₂



₁₃



₂₁



₂₂



₂₃



₃₁



₃₂



₃₃

 _m = 1 ^tr () 3

déviateur des contraintes :

S =



₁₁

^- 

_m



₁₂



₁₃



₂₁



₂₃



₃₁



₃₂



₂₂

^- 

_m



₃₃

^- 

_m

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Contrainte moyenne et déviateur

(48)

contrainte équivalente de von Mises :

 ^{= Sup(|} 

_I

^- 

_II

^{|, |} 

_II

^- 

_III

^{|, |} 

_I

^- 

_III

^|)

contrainte équivalente de Tresca :

 ^{= S} ³

_ij

^S

_ij

2 CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé

Contraintes équivalentes

(49)

Contraintes

Hypothèse des petites perturbations

vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t =  . n avec  ⁼  ^{( X, t)}

équations d’équilibre :



_ij,j

^{+ f}

_vi

⁼ 

_i

conditions aux limites :

 . n = T sur  

_T

CONTRAINTES

Cadre général

Hypothèses de base

Bilan Résumé Résumé

(50)

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation

Domaine d’élasticité Historique

L’essai de traction

Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique Symétrie cubique

Bilan Résumé

Tenseur des contraintes Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotrope

ELASTICITE

(51)

Cadre général

Bilan Résumé

Loi de comportement du matériau

Contraintes Déformations

Hypothèse des petites perturbations

vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations :

 = ½ (grad(u) + grad(u)

^t

)

tenseur des contraintes : t =  . n avec  ⁼  ^{( X, t)}

équations de compatibilité :



_ki,jl

⁺ 

_lj,ik

⁼ 

_kj,il

⁺ 

_li;jk

équations d’équilibre :



_ij,j

^{+ f}

_vi

⁼ 

_i

conditions aux limites : u = U sur  

u

conditions aux limites :

 . n = T sur  

_T

ELASTICITE

Cadre général

(52)

traction flexion

Discorsi e Demonstrazioni matematiche Galilée (1638) :

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Résistance des solides

(53)

Hooke (1660) :

Mariotte (1680) :

notion de module d ’élasticité Relation

entre déformations

et

contraintes en

élasticité

même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion)

Young (1807) :

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Relation contrainte-

déformation

(54)

partie utile

él as tic ité P la st ic ité ho m og èn e lo ca lis at io n

élasticité

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Courbe force-allongement

(55)

Pour passer de F à  , il faut connaître la section courante S de la partie utile de l ’éprouvette

 =

0 0 0

0 0 section S F/S

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Tenseur des contraintes

(56)

x = X

₂

(1-  t) X

₃

(1+  t)

v = -  x

₂

/(1-  t)

 x

₃

/(1+  t)

 ⁼

ln (1-  ^t)

ln (1+  ^t)

0 0

lagrangien (Green-Lagrange) : E =

-  ^{t + ½} 

²

^t

²

-  ^{t + ½} 

²

^t

²

 ^{t + ½} 

²

^t

²

0 0

eulérien (Euler-Almansi) : cinématique :

E =

0 0

1 - 1 (1-  ^t)

²

1 - 1

1 - 1 (1-  ^t)

²

(1+  ^t)

²

En pratique, intégration du champ de vitesses

de déformation

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Tenseur des déformations

(57)



33

= ln(1+  ^t)=ln(l/l

0

)



₃₃

^=F/S

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Courbe contrainte-déformation

(58)

 = 

₃₃

0 0 0

0 0 1



₃₃

= E 

₃₃

E Module d ’Young

 = 

₃₃

- 

0 0

0 - 

0 0 0 1

Coefficient de Poisson

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Domaine d’élasticité

(59)

 ^{= C:} 

 ^{= S:} 

Tenseur des rigidités

Tenseur des complaisances

36 coefficients !!!!

Ordre 4 81 termes !!



₁₁

=



₂₂



₃₃



₂₃



₁₃



₁₂



₁₁



₂₂



₃₃

2 

₂₃

2 

₁₃

2 

₁₂

C

₁₁₁₁

C

₁₁₂₂

C

₁₁₃₃

C

₁₁₂₃

C

₁₁₁₃

C

₁₁₁₂

C

₂₂₁₁

C

₂₂₂₂

C

₂₂₃₃

C

₂₂₂₃

C

₂₂₁₃

C

₂₂₁₂

C

₃₃₁₁

C

₃₃₂₂

C

₃₃₃₃

C

₃₃₂₃

C

₃₃₁₃

C

₃₃₁₂

C

₂₃₁₁

C

₂₃₂₂

C

₂₃₃₃

C

₂₃₂₃

C

₂₃₁₃

C

₂₃₁₂

C

₁₃₁₁

C

₁₃₂₂

C

₁₃₃₃

C

₁₃₂₃

C

₁₃₁₃

C

₁₃₁₂

C

₁₂₁₁

C

₁₂₂₂

C

₁₂₃₃

C

₁₂₂₃

C

₁₂₁₃

C

₁₂₁₂

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Loi de Hooke généralisée

(60)

Le tenseur des rigidités a 6x7/2 = 21 composantes indépendantes !!!

de =  ^{w +}  ^q

Par unité de volume en cours de transformation :

Travail mécanique fourni :  ^.d  Taux de chaleur reçu : Tds



_ij

⁼ ^{ w}

 

_ij

= ^C

_ijkl



_kl

^C

ijkl

= 

²

w



_kl



_ij

^C

^ijkl

^{= C}

^klij

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Énergie de déformation élastique

(61)



₁₁

=



₂₂



₃₃



₂₃



₁₃



₁₂



₁₁



₂₂



₃₃

2 

₂₃

2 

₁₃

2 

₁₂

C

₁₁

C

₁₂

C

₁₂

0 0 0

C

₁₂

C

₁₁

C

₁₂

0 0 0

C

₁₂

C

₁₂

C

₁₁

0 0 0

0 0 0 C

₄₄

0 0

0 0 0 0 C

₄₄

0 0 0 0 0 0 C

₄₄

même comportement dans trois directions orthogonales

Le tenseur des rigidités a trois composantes indépendantes (C

₁₁

C

₁₁₁₁

, C

₁₂

C

₁₁₂₂

, C

₄₄

C

₁₂₁₂

)

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Symétrie cubique

(62)



₁₁

=



₂₂



₃₃



₂₃



₁₃



₁₂



₁₁



₂₂



₃₃

2 

₂₃

2 

₁₃

2 

₁₂

même comportement dans toutes les directions

 ⁰ ⁰ ⁰

0 0 0

0 0 0  ⁰ ⁰

0 0 0 0 0



 



 ⁺² 



Le tenseur des rigidités a deux composantes

indépendantes (  ^{= C}

₁₁

^,  ^{= C}

₄₄

) : les coefficients de Lamé

Quel est le lien entre les coefficients de Lamé (  ,  ) et les paramètres (E,  ) ?

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Comportement élastique linéaire isotrope

(63)



_ij

⁼ ² 

_ij

+  ^tr ()

_ij

Contraintes Déformations

Hypothèse des petites perturbations

vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations :

 = ½ (grad(u) + grad(u)

^t

)

tenseur des contraintes : t =  . n avec  ⁼  ^{( X, t)}

équations de compatibilité :



_ki,jl

⁺ 

_lj,ik

⁼ 

_kj,il

⁺ 

_li;jk

équations d’équilibre :



_ij,j

^{+ f}

_vi

⁼ 

_i

conditions aux limites : u = U sur  

u

conditions aux limites :

 . n = T sur  

_T

Comportement élastique linéaire isotrope

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Résumé

(64)

METHODES SEMI-INVERSES

Inconnues et équations

Résolution en déplacements

Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base

Le tube sous pression

Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats

Contraintes et déformations

Approches en déplacements et en contraintes Résumé

METHODES

SEMI-INVERSES

(65)

Contraintes Déformations

Hypothèse des petites perturbations

équations de compatibilité :



_ki,jl

⁺ 

_lj,ik

⁼ 

_kj,il

⁺ 

_li;jk

vecteur déplacement : u( X ,t)

conditions aux limites : u = U sur  

u

tenseur des déformations :

 = ½ (grad(u) + grad(u)

^t

)

vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des contraintes : t =  . n avec  ⁼  ^{( X, t)}

équations d’équilibre :



_ij,j

^{+ f}

_vi

⁼ 

_i

conditions aux limites :

 . n = T sur  

_T

Loi de comportement :

 = 2  +  tr()  _ij _ij _ij

METHODES SEMI-INVERSES

Inconnues et équations

Résolution en déplacements

Géométrie et cinématique Résolution en contraintes Équations de base

Le tube sous pression

Résolution en déplacements Résolution en contraintes Conditions aux limites Résultats

Contraintes et déformations

Approches en déplacements et en contraintes Résumé

Résumé