Chapitre n°3 : « Calcul littéral ; distributivité » Chapitre n°3 : « Calcul littéral ; distributivité »
I.
I. Expressions littérales Expressions littérales
1/ 1/ Exemples Exemples
a.
a. Activité 1 page 30Activité 1 page 30 Rappel
Rappel
• Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
• Le périmètre d'une figure est la mesure du contour de cette figure.
Le périmètre du losange est cccc=4×c. cccc est une somme. 4×c est un produit.
b. b. Formules connues (à connaître)Formules connues (à connaître)
À quoi correspond chacune des expressions suivantes ? 2×Ll ; 4×c ; c×c ; 2×π×r ; L×l×h ; 2×L2×l
• 2×Ll correspond au périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur l.
• 4×c correspond au périmètre d'un losange de côté c
• c×c correspond à l'aire d'un carré de côté c. Par exemple, si c=11 cm alors l'aire est égale à 11×11=121 cm2.
• Dans 2×π×r la lettre « pi » notée π représente un nombre. On a π ≈3,14159, mais il faut savoir qu'il y a un nombre infini de décimales. Cette formule permet de calculer la longueur d'un cercle.
Par exemple, le périmètre d'un cercle de rayon r=10 cm se calcule ainsi : 2×π×r≈2×3,14×10≈62,8cm
2/ 2/ L'essentiel L'essentiel
Définition Définition
Une expression littérale est constitué de lettre(s), de nombres et d'opérations. La lettre représente un nombre.
Exemples Exemples
• Si x représente le nombre de tablettes de chocolat de mon placard et si une tablette coûte 1,60 euros alors 1,60×x représente le prix qu'a coûté toutes les tablettes.
• Si n représente le nombre de bonbons bleus et m le nombre de bonbons roses, et si un « rose » coûte 30 centimes et un « bleu » 50 centimes, alors 50×n30×m représente le prix qu'a coûté le lot de bonbons.
Un problème Un problème
Je choisis un nombre, je le multiplie par 2 , j'ajoute 7 et je retranche le nombre de départ. Donne une expression littérale qui correspond à ce problème.
• Sur des exemples : si le nombre est 4,5 , on fait le calcul suivant 4,5×27–4,5=11,5 ; si le nombre est 0,1 , on fait ce calcul 0,1×27–0,1=7,1 .
• Cas général : on suppose que le nombre est noté x, on obtient alors 2×x7– x. Remarque
Remarque
On observe que faire 2×x7– x revient à faire x7 . On a donc 2×x7– x=x7 . On vient de faire du calcul littéral !
Rappel (à savoir) Rappel (à savoir)
Il y a deux façons de calculer le périmètre (ou longueur) d'un cercle :
• 2×π×r où ≈3,14159
• D×π où D représente le diamètre.
3/ 3/ Remplacer dans une expression littérale Remplacer dans une expression littérale
Avec une variable Avec une variable
On considère l'expression littérale suivante : A=2×x15– x 2
• Calcule A pour x=2 : A=2×215–2
2 A=415–1 A=18
• Calculer A pour x=5 : A=2×515–5
2 A=1015–2,5 A=25–2,5 A=22,5 Avec deux variables
Avec deux variables
On considère l'expression littérale B=4×x –7– x y
• Calculer B pour x=14 et y=2 B=4×14–7–14
2 B=56–7–7 B=42
• Calculer B pour x=3 et y=10 B=4×3–7– 3
10 B=12–7–0,3 B=5–0,3 B=4,7
4/ 4/ Simplification d'écritures Simplification d'écritures
Règles Règles
On peut supprimer le signe × devant une lettre et devant une parenthèse.
Exemples Exemples
4×x=4x ; 7×5– x=75– x
Remarques Remarques
5x signifie donc 5 multiplié par x Notations spéciales
Notations spéciales
• 1×x se note x
• a×a se note a2 ; on lit « a au carré ».
• a×a×a se note a3 ; on lit « a au cube ».
Rappel Rappel
c2 est la formule de l'aire d'un carré de côté c. Si c est en cm, c2 est en cm2.
II.
II. Distributivité Distributivité
1/
1/ Rappels Rappels
Une somme est une expression où la dernière opération est une addition (ou une soustraction). Par exemple : 4×47 est une somme car la première opération est la multiplication et l'on terminera par 87.
Un produit est une expression où la dernière opération est une multiplication. Par exemple : 24×4 ou encore ab×c
2/
2/ Avec des nombres Avec des nombres
Comment calculer de tête (ou presque) 101×7,9 ?
Prendre 101 fois le nombre 7,9 , c'est d'abord le prendre 100 fois, puis 1 autre fois.
On commence par calculer 100×7,9=790 puis on ajoute 1 fois 7,9 , ce qui donne 7907,9=797,9 .
On peut résumer par le calcul suivant :
101×7,9=1001×7,9=100×7,91×7,9=7907,9=797,9 Comment calculer de tête 87×1,9713×1,97 ?
On a d'abord 87 fois le nombre 1,97 puis 13 fois. On l'a donc en tout 8713=100 fois. Il suffit donc de calculer 100×1,97=197 .
Autres exemples Autres exemples
• 14×11=14×101=14×1014×1=14014=154 ou bien 14×11=10×114×11=11044=154
• 8,7×11=8,7×101=8,7×108,7=878,7=95,7
• 5×0,15495×0,154=595×0,154=100×0,154=15,4
3/ 3/ Avec des lettres Avec des lettres
Propriété Propriété
a, b et k représentent trois nombres quelconques. On a la formule suivante : kab=kakb ou encore ka – b=ka – kb
Remarque Remarque
On parle de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (ou la soustraction).
Exemples Exemples
5t –8=5×t –5×8=5t –40
y7×8=8×y8×7=8y56
On remarque ici que l'expression donnée au départ est un produit : 5t –8 et
y7×8 sont des produits. Après distributivité, on obtient une somme. Cette
« action » s'appelle un développement.
Définition Définition
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (grâce à la distributivité).
Exemples Exemples
Développe les expressions suivantes : 40,5x=24x
0,7– y×2=1,4–2y
III.
III. Factorisation Factorisation
1/ 1/ Exemples Exemples
1,94×170,06×17=1,940,06×17=2×17=34
On remarque qu'on a utilisé la formule kab=kakb dans l'autre sens, c'est à dire : k×ak×b=k×ab où k=17 ; a=1,94 et b=0,06.
De même : 8×968×104=8×96104=8×200=1600 Avec des lettres : 5×x5×7=5×x7
On remarque que l'expression de départ est une somme et qu'on arrive à un produit : c'est une factorisation.
2/ 2/ A retenir A retenir
Définition Définition
Factoriser une expression, c'est transformer une somme en un produit grâce à la formule kakb=kab ou encore ka – kb=ka – b.
Exemple Exemple
3,2y0,8y=3,20,8×y=4×y=4y
IV.
IV. Un peu de calcul littéral Un peu de calcul littéral
1/
1/ Simplifier une expression Simplifier une expression
Exemples Exemples
5×x×2=5×2×x=10×x=10x
3×x×2×x=3×2×x×x=6×x2=6x2 7×xx×5=7x5x=75×x=12×x=12x
2/
2/ Développer puis simplifier Développer puis simplifier
Exemples Exemples
2x5–2=2×x2×5–2=2x10–2=2x8 52x7=5×25×x7=105x7=5x17
V.
V. Point sur le vocabulaire Point sur le vocabulaire
Lorsqu'on simplifie l'expression 7×x2, on obtient 7x2. Cette expression est un produit, 7 et x2 sont les facteurs.
D'où l'expression « 7 facteur de x2 »
De même x3x5 se dit « x3 facteur de x5 ».
VI.
VI. Notion d'équation Notion d'équation
Exemple Exemple
Je choisis un nombre, je prends son quadruple puis je retranche 2 . Je prends le même nombre, je prends son double puis j'ajoute 5 . J'obtiens le même résultat.
Quel est ce nombre ?
Mise en équation (programme de 4 Mise en équation (programme de 4èmeème ))
On cherche à écrire une « égalité » qui traduit le problème.
On suppose que x représente le nombre recherché. On exprime en fonction de x les phrases de l'énoncé :
• « je prends son quadruple puis je retranche 2 » : x×4–2=4x –2
• « je prends son double et j'ajoute 5 » : 2x5
• « J'obtiens le même résultat » : 4x –2=2x5 On obtient une équation où l'on recherche la valeur de x.
Tester une équation Tester une équation
Tester l'équation 4x –2=2x5 pour x=8, cela signifie :
• calculer 4x –2 pour x=8 ;
• calculer 2x5 pour x=8 ;
• regarder si on obtient ou non le même résultat.
4x –2=4×8–2=32–2=30 2x5=2×85=165=21
On n'obtient pas le même résultat, donc x=8 n'est pas la solution.
Tester l'équation pour x=3,5 :
• 4x –2=4×3,5–2=14–2=12
• 2x5=2×3,55=12
• Donc x=3,5 est le nombre recherché.
VII.
VII. Un problème : construction d'un escalier Un problème : construction d'un escalier
Clémence a fabriqué un escalier de quatre marches à l'aide de briques bleues toutes identiques d'un jeu de construction. Martin a ajouté des briques jaunes (toutes identiques) afin de former le même escalier « à l'envers » au dessus.
• Quel est le nombre de briques bleues utilisées ? Écris-le sous la forme d'une somme.
Clémence rajoute des briques bleues pour obtenir une cinquième marche à son escalier. À son tour, Martin rajoute autant de briques jaunes pour avoir le même escalier « à l'envers ».
• Réalise un dessin représentant les deux escaliers. Ils forment un rectangle.
• Quel est alors le nombre total de briques utilisées ? Écris-le sous la forme d'un produit.
• Déduis-en la valeur de 1 2 3 4 5.
Sans faire de dessin, donne le nombre total de briques qu'il faudrait si on rajoutait une sixième marche à chacun des deux escaliers. Quel serait alors le nombre de briques bleues ? Déduis-en la valeur de 1 2 3 4 5 6.
On appelle n le nombre de marches d'un escalier. Écris une expression qui indique le nombre total de briques nécessaires à la construction de deux escaliers de n marches. Et pour un seul escalier ? Quelle égalité peut-on alors écrire ?
Combien de briques faut-il pour construire un escalier de 30 marches ? Et pour un escalier de 300 marches ?
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