Expressions des fonctions et dans un domaine borné et multiplement connexe

Expressions des fonctions et dans un domaine borné et multiplement connexe

ϕϕϕϕ ^{( ) z} ψψ ψ ψ ^{( ) z}

* Domaine simplement connexe

D

C

D

C

* Domaine multiplement connexe

D

C1

C2

Domaine doublement connexe

C1

C2

Cm

C_m+1

Cj

Lj

Domaine multiplement connexe

n

- L’uniformité de la solution impose sur tout contour fermé C de D σσσσ σσσσ

σσσσ σσσσ σσσσ

y x

y x xy

z

i z z z

+ =

− + = +

R S|

T|

4

2 2

Re ' Φ

Φ Ψ

b g c h b g b g

d i

- Le champ des contraintes est solution de

ReΦ z

b g

C ⁼⁰

- Cette condition est satisfaite si on prend Φ(z) de la forme : Φz Α_k z z_k Φ z

k

b g

⁼ m

b

⁻

g

⁺

b g

=

∑

^{log *}

1

avec A_k∈R, les points situés à l'intérieur de z_k C_k et Φ^*( )z uniforme dans m_ connexeD

* Vérification sur la courbe fermée L_javec z-z_j=re^iθ

C1

C2

Cm

Cm+1

C_j Lj

Domaine multiplement connexe

Φ z iΑ Φz n

Lj j Lj

b g

⁼²ππππ ^{⇒ Re}

b g

⁼⁰

Φ z Α_k z z_k Φ z Φ

k

b g

⁼ m

b

⁻

g

⁺

b g

=

∑

^{log *}

1

avec (z) = '(z)ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ z z dz cste _k z z_k z z_k z z_k z dz cste

k

b g

⁼

z

^Φ

b g

^{+ =}

^∑

m₌₁ ^Α

b

⁻

g b

^{log −}

g b

^{− −}

g

⁺

z

^Φ*

b g

⁺

Φ^* z dz C_klogz z_k

k

b g

m

b g

z

⁼

^∑

₌₁ ⁻ + fonction uniforme dans D

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

log log

+ fonction uniforme dans

m m

k k k k k k

k k

z z z zk C A z z z z z

ϕ

= =

=

∑

Α − +

∑

− − −

∑

−

D

Finalement ϕϕϕϕ ^z k^z γγγγk ^{z z}k ϕϕϕϕ ^z

k

b g

⁼ m

b

⁺

g b

⁻

g b g

⁺

∑

= ^{Α log *} 1

avec

+ f. u.

A R

C A z C

z z z

k

k k k k

k k

m

= − ∈ ∈

= − −

R S ||

T || ^∑

₌

γγγγ ϕϕϕϕ

b g

b g b g

*

1

σσσσ σσσσ

σσσσ σσσσ ^y σσσσ^x ψψψψ

y x xy

z

i z z z

+ =

− + = +

R S|

T|

4

2 2

Re ' Φ

Φ

b g

Ψ Ψ

c h b g b g

d i

avec (z) = ' (z)

- La condition d’uniformité de la solution impose Ψ(z) uniforme, c.a.d. ψ(z) de la forme : ψ

ψψ

ψ γγγγ ψψψψ γγγγ

ψψψ

z z zk z ψ C

k z

k m

b g

⁼

^∑

^{= '}

b

⁻

g

^{+ *}

b g RS T b g

k^∈ '

log * 1

avec

uniforme dans D

* Conséquences sur le champ des déplacements ?

2 3

µµµµ κκκκ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ψψψψ κκκκ λλλλ µµµµ

λλλλ µµµµ

U_x +iU_y = z −z z − z = +

d i b g

^'

d i d i

^avec + ^{en DP}

ϕϕϕϕ ^z k^z γγγγk ^{z z}k ϕϕϕϕ ^z

k

b g

⁼ m

b

⁺

g b

⁻

g b g

⁺

∑

= ^{Α log *} 1

⇒ =

+ =

R S|

T|

^{∀ ∈}

Αj

j j

j m

0

0 1

κγκγκγ

κγ γγγγ ^{' ,}

( )

^{2 ( )}

j j j

z L i z

ϕ = π Α +γ

 

  ^'

( ) [

^{( )}

]

^{2 '}

( )

²

j Lj j j j

L L

z z i z z i z

ϕ = Φ = πΑ ⇒ ϕ = − Απ

   

   

( )

²

j j

z L i

ψ = π γ

 

 

( )

²

j j

z L i

ψ = −π γ

 

 

( )

2 _{x y} 2 _{j j j} '_j

U iU Lj i A z A z

µ ^ + ^ = π κ^ +γ + +γ ^

( )

2 _{x y} 2 1 _{j j} '_j

U iU Lj i z

µ ^ + ^ = π ^κ+ Α +κγ +γ ^

* Calcul de la résultante du torseur des efforts sur L_j

n orientée vers l' intérieur du contour ⇒ changement de signe

C1

C2

C_m C_m+1

Cj

L_j

Domaine multiplement connexe

Résultante des efforts sur L_j X_j iY_j i z z z z n

Lj

⇒ + = − ϕ

b g

+ ϕ^'

d i d i

+ψ

⇒ + = −

+ = − −

R S|

T|

X iY i i i

X iY

j j j j

j j j j

2 2

2

ππππ γγγγ ππππ γγγγ ππππ γγγγ γγγγ

'

d

'

i

Α_j

j j

=

+ =

R S|

T|

0 κγ 0 κγ κγ

κγ γγγγ ^{' ⇒}

= − + +

= −

+

R S ||

T ||

γγγγ ππππ κκκκ

γγγγ κκκκ

ππππ κκκκ

j

j j

J

j j

X iY X iY

2 1

2 1

b g

b g

'

* Finalement, les expressions de ϕ^{(z) et} ψ(z) seront :

ϕϕϕϕ ππππ κκκκ ϕϕϕϕ

ψ ψψ

ψ κκκκ

ππππ κκκκ ψψψψ

z X iY z z z

z X iY z z z

k k k

k m

k k k

k m

b g b g b g b g b g

b g b g b g b g b g

= − + + − +

= + − − +

R S ||

T ||

=⁼

∑

∑

1

2 1

2 1

1

1

log log

*

*

Expressions des fonctions et dans un domaine infini et multiplement connexe

ϕϕϕϕ ^{( ) z} ψψ ψ ψ ^{( ) z}

* On se place à l’extérieur d’un cercle C_Rde rayon R très grand tel que : ∀j z, _j < <R z

log log log log

)

z z z z

z z z

z z

k z

k k k

− = +

F

−

HG I

KJ

^{= − −}

F

HG I KJ

⁺

b g

^{1 1}

2

2

…

uniforme dans ( -CD _R

ϕϕϕϕ ππππ κκκκ ϕϕϕϕ

ψ ψψ

ψ κκκκ

ππππ κκκκ ψψψψ

z X iY z z z

z X iY z z z

k k k

k m

k k k

k m

b g b g b g b g b g

b g b g b g b g b g

= − + + − +

= + − − +

R S ||

T |

|

=

=

∑

∑

1

2 1

2 1

1

1

log log

*

*

ϕϕϕϕ ππππ κκκκ ϕϕϕϕ

ψ ψψ

ψ κκκκ

ππππ κκκκ ψψψψ

ϕϕϕϕ ψψψψ

z X iY

z z

z X iY

z z

z z

X X_k Y Y

m

k m

b g b g b g

b g b g

b g b g

b g b g b g

= − +

+ +

= −

+ +

R S ||

T ||

^{= =}

R S|

T| ^{∑ ∑}

2 1

2 1 ^{1 1}

log log

**

**

** **

avec

et uniformes dans - C et

D R

Développement en série de Laurent ⇒ =

=

R S ||

T ||

^−∞

∞

−∞

∞

∑

∑

ϕϕϕϕ ψψψ ψ

**

** '

z a z

z a z

n n

n n

b g

b g

σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ

σσσσ σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ ψψψψ

y x

y x xy

z z

i z z z

+ = +

− + = +

R S|

T|

2

2 2

' '

' ' '

b g d i

e j

b g b g

d i

n a z a z

a a n

n n

n n n

n n

− −

=

∞ + =

⇒ = = ≥

∑

^{1 1}

2

0

0 2

e j

pour ϕϕϕϕ ππππ κκκκ ϕϕϕϕ

ψ ψψ ψ κκκκ

ππππ κκκκ ψψψψ

ϕϕϕϕ ψ ψψ ψ

z X iY

z z

z X iY

z z

z a z

z a z

n n

n n

b g b g b g

b g b g

b g b g

b g b g

= − +

+ +

= −

+ +

R S ||

T ||

=

=

R S ||

T ||

^−∞

∞

−∞

∞

∑

∑

2 1

2 1

log

log

**

**

**

** '

avec

σσσσ^y σσσσ^x ππππ κκκκ ππππ κκκκ ^{n n n} X iY n

z

X iY

z n a z a z

+ = − +

+ − −

+ + +

L NM O

− −

QP

−∞

∑

∞

2 2 1

1

2 1

1 ₁ ¹

b g b g e j

* Les contraintes doivent rester finies à l’infini

bornée bornée pour

σσσσ σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ ψψψψ

ϕϕϕϕ ψψψψ

y x xy

n

i z z z

z z z a n

− + = +

⇒ ⇒ = ≥

2 2

0 2

' ' '

' ' ' '

b g b g

d i

b g b g

ϕϕϕϕ ππππ κκκκ ϕϕϕϕ

ψ ψψ

ψ κκκκ

ππππ κκκκ ψψψψ

ϕϕϕϕ ψ ψψ ψ

z X iY

z z z

z X iY

z z z

B R B iC

z d z

d z z d

z d

z

b g b g b g

b g b g b g

b g b g

= − +

+ + +

= −

+ + +

R S ||

T || RS T

^{= +∈}

= + +

= + +

R S|

T|

2 1

2 1

0

0

0

1 2

2

0

1 2

2

log

log ' ' ' ' ' '

Γ Γ

Γ avec Γ=

et

⋯

⋯

* L’expression finale des fonctions ϕ^{(z) et} ψ(z) est donc :

* Calcul des réels B, B’ et C’ en fonction du chargement à l’infini

σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ

σσσσ σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ ψψψψ

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

x y z

y x xy z

x y

y x

xy

Lim z B

i Lim z z z

B B

C

∞ ∞

→ ∞

∞ ∞ ∞

→ ∞

∞ ∞

∞ ∞

∞

+ = = =

− + = + =

R S|

T|

^⇒

= +

= −

=

R S| T|

4 4 4

2 2 2

4 2 Re '

' ' ' ' '

'

b g

b g b g

d i

d i

d i

Γ

Γ σx

∞

∞

∞

∞

σy

∞∞∞

∞

σxy

∞

∞

∞

∞ α

σI

∞∞

∞∞

σII

∞∞

∞∞

α

x y

I II

α

σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ

σσσσ σσσσ ϕϕϕϕ ψψψψ

σσσσ σσσσ

σσσσ σσσσ

αααα αααα αααα

I II z

II I

i z

i

I II

II I

i

Lim z B

e Lim z z z e

B

e

∞ ∞

→ ∞

∞ ∞

→ ∞

∞ ∞

∞ ∞ −

+ = = =

− = + =

R S|

T|

^⇒

= +

= −

R S|

T|

4 4 4

2 2

4 1

2

2 2 2

Re '

' ' ' ' '

b g b g b g

d i c h

c h

Γ

Γ Γ

- En fonction des contraintes non principales

- En fonction des contraintes principales

Application : plaque comportant un petit trou circulaire de rayon R

Au voisinage du trou

coordonnées polaires ⇒ + = +

− + = +

R S|

T|

^{σσσσθθθθ σσσσσσσσrθθθθ σσσσσσσσrrθθθθ ϕϕϕϕ iθθθθ ϕϕϕϕϕϕϕϕ ψψψψ}

z z

i e z z z

2

2 2 ²

' '

' ' '

b g b g

b g b g

ϕϕϕϕ ππππ κκκκ

ψ ψψ

ψ κκκκ

ππππ κκκκ

z X iY

z z d

z d z

z X iY

z z d

z d

z

b g b g

b g b g

= − +

+ + + + +

= −

+ + + + +

R S ||

T ||

2 1

2 1

1 2

2

1 2

2

log

log ' ' '

Γ Γ

⋯

⋯

⇒

= − +

+ + − − +

= −

+ + − − +

R S ||

T ||

Φ Γ

Ψ Γ

z X iY

z d z

d z

z X iY

z d

z d z

b g b g

b g b g

2 1

2

2 1

2

1 2

2 3

1 2

2 3

ππππ κκκκ κκκκ ππππ κκκκ

…

' ' ' …

( ) ( )

( ) ( )

0 1 2 1

0

0 1 1 2 1

0

, ,

2 1

' ' ', ' , ' '

2 1

k k

k k

X iY

z a z avec a a a d

X iY

z a z avec a a a a d

π κ

κ κ

π κ

∞ −

∞ −

+

Φ = = Γ = − = −

 +



Ψ = = Γ = − = − = −

 +



∑

∑

⋯

⋯

- Sur le trou (r=R) on a : σσσσR σσσσR_θθθθ ^{θθθθ θθθθ}_θθθθ i

i

i z z e z z z z i

− = + − + z=

=

R S|

T|

⁻

Φ

b g d i

Φ ² Φ^'

b g b g

Ψ ^Re

Re avec

σσσσR σσσσR_θθθθ k k ^{θθθθ θθθθ θθθθ θθθθ θθθθ}

i k k

k

i k i i k

k

i k i k

R a e a

R e a e a

R e a

R e

− =

∑

^{∞ 1}+ ⁻ +

∑

^∞ − − −

∑

^{∞ +}₊ ⁻

0

0

2 1

0

2 2 0

' ' '

- Si le chargement sur le trou (r=R) est connu, le terme de gauche est connu

σσσσR σσσσR_θθθθ k ^θθθθ

i ei k

− =

−∞

∑

∞ Α

1 1

1 1 1

Termes en ⁱ a a' avec '

e a a

R R

θ ^⇒ Α = − = −κ

( ) ' '

k a a a

R a a

R a a

=0 ⇒ Α₀= ₀+ ₀− ²₂ =2 ₀− ²₂ avec ₀= ₀=Γ

2 2

2 2 0 0

Termes en ⁱ a ' avec ' '

e a a

R

θ ⇒ Α = − = Γ

Termes en e pour k a

R

ik

k k k

θθθθ ≥3 ⇒ Α = Termes en e pour k k

R a a

R

ik

k k

k

k k

− +

+ −

≥ ⇒ + − =

θθθθ 1 1 ₂

2

' Α

a a a R a A R

a A R

a R

a_k A R_k ^k pour k a_k R k a_k R^k _k pour k

0 0 2 0

2

2 2

2

1 1

1 1

2

2 2

2

1 1

3 1 1

= = = − = +

= + = −

+

= ≥ = + − ≥

R S ||

T ||

+ +

−

Γ Γ Γ Α Γ

Α

Α

; ' ' ; ' ; '

; '

( ) ; ' ( )

b g d i

κκκκ κκκκ

b g

κκκκ

Exemple 1 : chargement de traction simple

x y

σ∞

σ∞

- Conditions Limites (CL) à l’infini _σσσσ^σσσσx _σσσσ^σσσσ

xy y

∞ ∞

∞ ∞

=

= =0

B B

C

x y

y x

xy

= +

= −

=

R S|

T|

∞ ∞

∞ ∞

∞

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

d i

d i

⁴²

' '

⇒ = =

= = −

R S ||

T ||

∞

∞

B B

Γ Γ

σσσσ σσσσ4 ' ' 2

- CL sur le trou (trou libre)

σσσσR=σσσσR_θθθθ=0 ⇒Αk =0 ∀k

a a a R a A R

a A R

a R

a_k A R_k ^k pour k a_k R k a_k R^k _k pour k

0 0 2 0

2

2 2

2

1 1

1 1

2

2 2

2

1 1

3 1 1

= = = − = +

= + = −

+

= ≥ = + − ≥

R S ||

T ||

+ +

−

Γ Γ Γ Α Γ

Α

Α

; ' ' ; ' ; '

; '

( ) ; ' ( )

b g d i

κκκκ κκκκ

b g

κκκκ

( )

0 0 1 1

2 2 2 2

2 2 3 4 3

2 4

4 2 4

4 , ' ' 2, ' 0

' 2 , ' 2 2, ' 0

' 1 2 ' 3

2

a a a a

a R R a R R a a a

a R a a R

σ σ

σ σ

σ

∞ ∞

∞ ∞

∞

 = Γ = = Γ = − = =

⇒ = Γ = − = Γ = = = =

 = + ⇒ = −



a a a a

a R a R a a a

a R

0 0 1 1

2 2

2 2

3 3 4

4

4

4 2 0

2 2 0

3 2

= = − = =

= − = = = =

= −

R S ||

T ||

∞ ∞

∞ ∞

∞

σσσσ σσσσ

σσσσ σσσσ

σσσσ

, ' , '

, ' ,

'

'

⇒

=

F

−

HG I

KJ

⁺

F

^{− +}

HG I

KJ

=

F

+

HG I

KJ

⁻

F

⁺

HG I

KJ

= −

F

+ −

HG I

KJ R

S

|| ||

T

|| ||

∞ ∞

∞ ∞

∞

σσσσ σσσσ σσσσ θθθθ

σσσσ σσσσ σσσσ θθθθ

σσσσ σσσσ θθθθ

θθθθ

θθθθ r

r

R r

R r

R r R

r

R r R

r R r

2 1

2 1 4 3

2

2 1

2 1 3

2

2 1 2 3

2

2 2

2 2

4 4

2 2

4 4

2 2

4 4

cos

cos

sin

⇒

=

F

+

HG I

KJ

= −

F

+ −

HG I

KJ R

S ||

T ||

∞

∞

ϕϕϕϕ σσσσ ψψψ

ψ σσσσ

z z R

z

z z R

z R

z

b g b g

4 2

2

2

2 4

3

- Calcul des contraintes au voisinage du trou - Détermination des fonctionsϕ^{(z) et} ψ^(z)

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

θθθθ

θθθθ θθθθ θθθθ

+ =

− + = +

R S|

T|

r

r r

i

z

i e z z z

4

2 2²

Re

' Φ

Φ Ψ

b g

c h

b g b g

d i

Φ Ψ

z R

z

z R

z R z

b g b g

=

F

−

HG I

KJ

= −

F

− +

HG I

KJ R

S ||

T ||

∞

∞

σσσσ σσσσ

4 1 2

2 1 3

2 2 2 2

4 4

max

Au bord du trou , on a alors 0

2 3

R R

r R

θ

θ θ

σ σ

σ σ θ π σ^∞

=

= =



 =  = =

  



Le coefficient de concentration des contraintes K_Τ =σσσσ _∞ = σσσσ

max

3

- Calcul du champ des déplacements

u iu e

z z z z

r

+ _θθθθ = ⁻i^θθθθ − −

µµµµ κκκκ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ψψψψ

d i

₂

b g

^'

d i d i

^ϕϕϕϕ

σσσσ

ψψψ ψ σσσσ

z z R

z

z z R

z R

z

b g b g

=

F

+

HG I

KJ

= −

F

+ −

HG I

KJ R

S ||

T ||

∞

∞

4 2

2

2

2 4

3

u r r R R r R

r

u r R r R

r

r = − + +

L

+ + −

NM O

RS QP

T UV W

= −

RS T

− + +

UV W R

S ||

T ||

∞

∞

σσσσ

µµµµ κκκκ κκκκ θθθθ

σσσσ

µµµµ κκκκ θθθθ

θθθθ

8 1 2 2 1 2

4 1 2

2 2 2 2

4 2

2 2

4 2

b g b g

b g

cos sin

Exemple 2 : chargement de traction équibiaxiale

x y

σ∞

σ∞

σ∞

σ∞

- Conditions Limites (CL) à l’infini ^σx_σ^{σy σ}

xy

∞ ∞ ∞

∞

= =

=0 B B

C

x y

y x

xy

= +

= −

=

R S|

T|

∞ ∞

∞ ∞

∞

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

d i

d i

⁴²

' '

⇒ = =

= = ⇒ =

R S|

T|

Γ ∞

Γ B

B C

σσσσ 2

0 0

' ' '

- CL sur le trou (trou libre)

σσσσR=σσσσR_θθθθ =0 ⇒Αk =0 ∀k

a a a R a A R

a A R

a R

a_k A R_k ^k pour k a_k R k a_k R^k _k pour k

0 0 2 0

2

2 2

2

1 1

1 1

2

2

1 1

3 ₂ 1 ² 1

= = = − = +

= + = −

+

= ≥ = + − ≥

R S ||

T ||

₊ ⁺ ₋

Γ Γ Γ Α Γ

Α

Α

; ' ' ; ' ; '

; '

( ) ; ' ( )

b g d i

κ κ

b g

κ

⇒

= = = = = =

= = = = = = =

= + =

R S ||

T ||

∞

∞

a a a a

a R a R R a a

a R a

0 0 1 1

2 2

2

2 2

3 3

4 2

2

2 0 0

0 2 0 0

1 2 0

Γ Γ

Γ Γ

σσσσ

σσσσ

, ' ' , '

' , ' , ' ,

'

b g

⋯

a a R

a a a a a a a

0 2

2

0 1 1 2 3 3 4

2

0

= =

= = = = = = = =

R S|

T|

∞ ∞

σσσσ , ' σσσσ

' ' ' ' ⋯

⇒ = =

= = −

R S ||

T ||

∞ ∞

∞ ∞

Φ z Ψ z R

z

z z

z R

z

b g b g

b g b g

σσσσ σσσσ

ϕϕϕϕ σσσσ ψψψψ σσσσ

2 2

2 2

2

, , - Détermination des fonctionsϕ^{(z) et} ψ^(z)

- Calcul des contraintes au voisinage du trou

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

θθθθ

θθθθ θθθθ θθθθ

+ =

− + = +

R S|

T|

r

r r

i

z

i e z z z

4

2 2 ²

Re

' Φ

Φ Ψ

b g

c h

b g b g

d i

^⇒

=

F

−

HG I

KJ

=

F

+

HG I

KJ R

S ||

T ||

⁼

∞

∞

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

σσσσ

θθθθ

θθθθ r

r

R r R r 1

1

0

2 2

2 2

et

max max

Au bord du trou , on a alors 0 2

2

R R

r R ^θ K

θ

σ σ σ

σ σ^{∞ Τ} σ^∞

= =

=  ⇒ = =

 =

Exemple 3 : Trou sous pression hydrostatique

- Conditions Limites (CL) à l’infini σσσσ x σσσσ y σσσσxy

∞= ∞= ∞ =0 ⇒ Γ Γ= '=0

- CL sur le trou

σσσσR= −P, σσσσR_θθθθ =0 ⇒ A₀= −P et Ak =0 ∀ ≠k 0

a a a R a A R

a A R

a R

a_k A R_k ^k pour k a_k R k a_k R^k _k pour k

0 0 2 0

2

2 2

2

1 1

1 1

2

2 2

2

1 1

3 1 1

= = = − = +

= + = −

+

= ≥ = + − ≥

R S ||

T ||

+ +

−

Γ Γ Γ Α Γ

Α

Α

; ' ' ; ' ; '

; '

( ) ; ' ( )

b g d i

κκκκ κκκκ κκκκ

b g

a P R

a a a a a a a a

'

' ' ' '

2 2

0 0 1 1 2 3 3 4 0

=

= = = = = = = = =

RS T

^⋯

⇒

= =

= = −

R S|

T|

Φ Ψ

z d où z

z P R

z d où z P R

z

b g b g

b g b g

0 0

2 2

2

' '

ϕϕϕϕ ψ ψψ

ψ ^⇒

= − = =

= =

R S ||

T ||

σσσσ σσσσ σσσσ

µµµµ

θθθθ θθθθ

θθθθ

r r

r

P R r

P R r u P R

r u

2 2

2 2 2

0

2 0

; ;

;

P P

σσσσR σσσσR_θθθθ k ^θθθθ

i ei k

− =

−∞

∑

∞ Α