MÉMOIRE DE FIN D ÉTUDES

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Année Universitaire : 2016/2017

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Abderrahmane MIRA de Bejaia

Faculté de Technologie Département d’Hydraulique

MÉMOIRE DE FIN D’ÉTUDES

Présenté par :

LEBDIRI Fatiha

En vue de l’obtention du diplôme de MASTER en Hydraulique Option : Ouvrages et Aménagements Hydrauliques

INTITULE:

Etude numérique d’un écoulement turbulent dans un coursier à marches d’escalier

Soutenu le 03 /07 2017 devant le jury composé de :

- Président : M^r Labiod C.

- Promoteur (s) : M^rSeghir A.

M^r Hamani S.

- Examinateur (s) : M^r Berreksi A.

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Table des matières

i

Table des matières

Introduction générale ... 1

Chapitre I : Etat de l’art ... 2

I.1. Introduction ... 2

I.2.Travaux réalisés ... 2

I.3.Régime d’écoulement sur un coursier en marche d’escalier ... 4

I.3.1.Ecoulement en nappe ... 4

I.3.1.1.Caractéristiques hydrauliques de l’écoulement en nappe ... 6

I.3.1.2.Dissipation d’énergie ... 7

I.3.2 Ecoulement extrêmement turbulent ... 9

I.4. Caractéristiques et propretés des écoulements turbulents ... 10

I.5. Définition de la CFD (computational fluid dynamics) : ... 11

I.6. Conclusion ... 11

Chapitre II : Mise en équation et prise en compte de la turbulence ... 12

II.1. Introduction ... 12

II.2. Equations gouvernant l’écoulement ... 12

II.2.1.Equation de continuité : ... 12

II.2.2. Equation de conservation de la quantité de mouvement : ... 13

II.2.3. L’équation de Navier –Stokes ... 15

II.3.Prise en compte de la turbulence ... 16

II.3.1. Approche directe : ... 16

II.3.2. Approche à grande échelle ... 16

II.3.3. Approche statistique ... 16

- Equations du mouvement moyen (équation de Reynolds) ... 17

II.4. Modélisation de la turbulence ... 18

II.4.1. Modèles de turbulence basés sur le concept de viscosité Turbulente ... 18

II.4.1.1. Les modèles à zéro équation ... 18

II.4.1.2. Modèles à une équation de transport : ... 20

II.4.1.3. Les modèles à deux équations : ... 20

II.4.2. Modèles aux tensions de Reynolds : ... 21

II.4.2.1. Modèles de transport des tensions de Reynolds(R.S.M) : ... 21

II.4.2.2. Modèles de tenseur de Reynolds algébriques : ... 21

II.5.Le modèle choisi : ... 21

II.5.1. Représentation du modèle k- ... 21

II.5.1.1. L’équation de transport de l’énergie cinétique turbulente : ... 22

II.5.1.2.L’équation de transport de la dissipation de l’énergie cinétique turbulente : .... 23

II.6.Ecoulement turbulent prés d’une paroi : ... 24

II.6.1. Lois de parois ... 24

II.6.1.1.Lois logarithmique de la vitesse : ... 25

II.7. Conclusion ... 26

(3)

Table des matières

ii

Chapitre III : Méthode de résolution ... 27

III.1.Introduction ... 27

III.2.Discrétisation des équations ... 27

III.2.1. Méthodes des volumes finis ... 27

III.2.1.1. Equation générale de l’écoulement. ... 27

III.2.1.2. Discrétisation de l’équation générale de l’écoulement par la méthode des volumes finis ... 28

III.2.2. Méthodes des éléments finis ... 35

III.2.2.1. Discrétisation de l’équation générale de l’écoulement par la méthode des éléments finis ... 35

III.3. Présentation des logiciels ... 42

III.3.1.Présentation de code de calcul ANSYS-Fluent ... 43

III.3.1.1. Traitement de la turbulence : ... 43

III.3.1.2.Traitement de l’écoulement diphasique : ... 43

III.3.1.3. Couplage vitesse pression ... 43

III.3.2.Présentation du logiciel COMSOL multiphysics ... 44

II.3.2.1. Traitement de la turbulence ... 44

II.2.2.Traitement de l’écoulement diphasique : ... 44

III.3.2.3. La discrétisation ... 45

III.4. Conclusion: ... 45

Chapitre IV : Résultats et discutions ... 46

IV.1.Introduction ... 46

IV.2. Présentations des modèles ... 46

IV.2.1. Les paramètre de calcul ... 46

IV.2.2. Les géométries ... 46

IV.2.3. Le maillage utilisé ... 47

IV.2.4. Les conditions aux limites ... 48

IV.3. Simulations réalisées ... 49

IV.3.1 Cas de coursier lisse ... 49

IV.3.1.1. Comparaison des profiles de la surface libre ... 50

IV.3.1.2.Comparaison des profiles verticaux de la vitesse : ... 51

IV.3.2. Etude comparative entre les coursiers lisses et les coursiers à marches d’escaliers 54 IV.3.2.1 Effet des marches d’escalier sur la surface libre : ... 54

IV.3.2.2. Effet des marches d’escalier sur les profiles verticaux de la vitesse. ... 56

IV.3.2.3. Effet des marches d’escalier sur les profiles de l’énergie cinétique turbulente . 59 IV.3.2.4. Effet des marches d’escaliers sur la dissipation de l’énergie cinétique turbulente ... 62

IV.3.2.5. Effet des marches d’escalier sur la variation longitudinale des caractéristiques de l’écoulement ... 66

IV.4. Conclusion:……… ………...68

Conclusion générale………69 Références bibliographiques.

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Liste des figures

iii

Liste des figures

Figure (I.1) : écoulement en nappe avec formation de ressaut hydraulique pleinement développé

... 5

Figure (I. 2) : écoulement en nappe avec formation de ressaut hydraulique partiellement développé ... 5

Figure (I. 3) : écoulement en nappe sans formation de ressaut hydraulique ... 5

Figure (I.4) : écoulement nappe ... 6

Figure (I. 5) : les différentes régions d’écoulements sur un évacuateur en marche d’escalier dans le cas d’écoulement turbulent. ... 9

Figure (II. 1) : représentation de la contrainte de viscosité ... 14

Figure (III.1) : volume de contrôle pour un écoulement bidimensionnel ... 28

Figure(III.2) : schématisation d’un volume de contrôle et les volumes adjacents ... 30

Figure (III. 3) : Discrétisation du domaine –élément rectangulaire ... 36

Figure (III.4) : triangle de PASCAL ... 37

Figure (III. 5) : décomposition du vecteur normal ... 40

Figure(III.6) : Le passage d’un élément réel à un élément de référence ... 41

Figure(IV.1) : représentations des géométries utilisée ... 47

Figure(IV.2) : les maillages utilisés (a-maillage utilisée dans Fluent b-maillage utilisé dans Comsol ... 48

Figure (IV.3) : profile de la surface libre (a .cas c.lisse avec α=45° b. cas c.lisse avec α=22.5°) ... 50

Figure(IV.4) : comparaison des profiles de vitesse de Fluent et Comsol pour (x=0.1,x=0.37)pour le cas de 45°et(x=0.1,x=0.42)pour le cas de 22.5° ... 51

Figure(IV.5) : comparaison des profiles de vitesse de Fluent et Comsol pour (x=0.54,x=0.07,x=0.88)pour le cas de 45°et(x=0.64,x=0.86,x=1.09)pour le cas de 22.5°52 Figure(IV.6) : comparaison des profiles de vitesse de Fluent et Comsol pour (x=1.1, x=1.3) pour le cas de 45°et(x=1.35,x=1.5)pour le cas de 22.5° ... 53

Figure (IV.7) : détail de profile de la surface libre (cas coursiers 22.5°) ... 54

Figure (IV.8) : comparaison de la surface libre entre CME et c.lisse (cas des coursiers avec α=45°) ... 55

Figure (IV.9) détail fin de coursier (cas des coursiers avec α=45°) ... 55

Figure (IV.10) : comparaison de la surface libre entre CME et c.lisse (cas coursiers avec α=22.5°) ... 55

Figure (IV.11) détail fin de coursier (cas des coursiers avec α=45°) ... 55

Figure(IV.12): représentations du champ de vitesse ... 56

Figure(IV.13) : comparaison des profiles verticaux de vitesse pour (x=0.1, x=0.37) pour le cas de 45°et(x=0.1, x=0.42)pour le cas de 22.5° ... 57

Figure(IV.14) : comparaison des profiles verticaux de vitesse pour (x=0.54,x=0.07,x=0.88)pour le cas de 45°et(x=0.64,x=0.86,x=1.09)pour le cas de 22.5° ... 58

Figure(IV.15) : comparaison des profiles verticaux de vitesse pour (x=1.1, x=1.3,) pour le cas de 45°et(x=1.35, x=1.5) pour le cas de 22.5° ... 59

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Liste des figures

iv

Figure(IV.16) : comparaison des profiles verticaux de l’énergie cinétique turbulente pour (x=0.1, x=0.37) pour le cas de 45°et(x=0.1, x=0.42) pour le cas de 22.5° ... 60 Figure (IV.17) : comparaison des profiles verticaux de l’énergie cinétique turbulente pour

(x=0.54, x=0.07,x=0.88)pour le cas de 45°et(x=0.64,x=0.86,x=1.09)pour le cas de 22.5°61 Figure (IV.18) : comparaison des profiles verticaux de l’énergie cinétique turbulente pour

(x=1.1, x=1.3,) pour le cas de 45°et(x=1.35, x=1.5) pour le cas de 22.5° ... 62 Figure (IV.19) : comparaison des profiles verticaux de la dissipation de l’énergie cinétique

turbulent pour (x=1.1, x=1.3,) pour le cas de 45°et(x=1.35, x=1.5) pour le cas de 22.5° 63 Figure(IV.20) : comparaison des profiles verticaux de la dissipation de l’énergie cinétique

turbulent pour (x=0.54, x=0.07, x=0.88) pour le cas de 45°et(x=0.64,x=0.86,x=1.09)pour le cas de 22.5° ... 64 Figure (IV.21) : comparaison des profiles verticaux de la dissipation de l’énergie cinétique

turbulente pour (x=1.1, x=1.3,) pour le cas de 45°et(x=1.35, x=1.5) pour le cas de 22.5°65

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Liste des tableaux

v

LISTE DES TABLEAUX

Tableau(II.1):longueur de mélange en écoulement libre ... 19

Tableau (II. 2) : différente modèles à deux équations ... 21

Tableau (II. 3) : Expressions de la fonction de rugosité ΔB (ANSYS-Fluent) ... 25

Tableau(III.1) : tableau récapitulatif de la valeur de et dans l’équation de transport 258 Tableau(III.2) : tableau récapitulatif des schémas de convection ... 32

Tableau (III. 3) : les schémas de discrétisation selon la variation de ... 33

Tableau(IV.1) : Paramètres de calcul ... 46

Tableau(IV.2) : Les caractéristiques des géométries ... 47

Tableau(IV.3) : la différence entre les caractéristiques des coursiers de 45° et 22.5° ... 66

(7)

Liste des symboles

vi

Liste des symboles

: facteurs des polynômes C : constante d’intégration.

: Constante de rugosité : constante numérique

dt : le pas d’intégration temporelle : la profondeur critique

la hauteur d’eau dans le bassin à l’aval

: Le flux diffusif à travers a face i de volume de contrôle.

E : constante empirique égale à 9.79.

le vecteur élémentaire du système d’équation.

: le flux de masse à travers la face i du volume de contrôle.

g: la gravité

h_en: La hauteur d’eau a l’entrée H : La hauteur des marches

: la charge maximale a la crête du barrage au dessus du pied aval.

: l’élévation de la surface du réservoir au-dessus de la crête de l’évacuateur Il : l’échelle de longueur.

I_t : l’intensité de la turbulence

| | est le déterminant de la matrice jacobienne k : l'énergie cinétique turbulente

la matrice élémentaire.

: l’énergie cinétique turbulente au premier point P de discrétisation près de la paroi.

L: La longueur des marches

⃗ : vecteur normale

: les composante de vecteur normale N_m: Nombre de marche

N =〈 〉 * ^-+ est un vecteur ligne contenant les fonctions de forme : nombre de courant.

: nombre de Peclet

: valeurs des polynômes aux nœuds de coordonnées xi.

S : la frontière de l’élément

̅ source moyenne de la propriété dans le volume de contrôle.

: source liée aux conditions aux limites.

: source estimée au nœud P du volume de contrôle : source de

t : le temps T : contour de

u et v sont les composantes du vecteur vitesse ̅ : vitesse moyenne de l’écoulement

: vitesse de frottement

: est la vitesse tangentielle uen Vitesse du fluide à l’entrée

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Liste des symboles

vii V est un vecteur

x : Coordonnée longitudinale

et sont les coordonnées de nœuds i y : Coordonnée transversale

α: La pente du coursier

:l'energie cinétique turbulente

la quantité de stabilisation de la fonction level set, : la taille de la maille

ΔB : Fonction de rugosité :la viscosité cinémayique

:la viscosité turbulente la viscosité dynamique

la viscosité turbulente.

la masse volumique.

:est une constante empirique de diffusion : Propriété moyenne transportée

: représente les valeurs aux nœuds de la fonction.

: la fonction Level set :fonction de pondération.

: domaine de l’écoulement.

La costante de VON KARMAN égale à 0.4 : coefficient de transport par diffusion

: Indice de Kronecker

̅̅̅̅̅̅ : les contraintes normales de tenseur de Reynolds.

Liste des abréviations

CFD : computational fluid dynamics MEF : méthode des éléments finis MVF : Méthode des volumes finis CME : coursiers à marches en escalier

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.

Introduction générale

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Introduction générale

1

Introduction générale

Avec la construction des barrages, le problème d’évacuation des forts débits générés par les crues est apparu. Cela a nécessité la construction d’un ouvrage particulier appelé évacuateur de crues. Le long de ce dernier, l’eau s’écoule à grande vitesse, ce qui peut conduire à d’importants dommages dus à l’érosion du lit à l’aval du barrage. Afin de dissiper la majeure partie de l’énergie cinétique de l’écoulement, le recours à l’utilisation des ouvrages de dissipation est indispensable, on en cite les sauts de ski, les bassins de dissipation ou la construction des marches sur le coursier de l’évacuateur de crues.

Vue l’importance des ouvrages de dissipation dans les barrages, plusieurs modèles physiques ont été construits pour analyser l’écoulement de l’eau dans ces structures. Ces modèles physiques sont très couteux et prennent beaucoup de temps pour leur réalisation. Avec le développement technologique et l’apparition des ordinateurs de hautes performances, plusieurs études se sont penchées sur la modélisation numérique pour simuler les problèmes de l’écoulement de l’eau dans les ouvrages de dissipation.

Dans le cadre de notre travail, nous allons aborder l’étude numérique des écoulements à surface libre dans les coursiers. Nous allons réaliser une étude comparative ente les coursiers lisses et les coursiers en marches d’escaliers. Ce présent travail est organisé en quatre chapitres.

Dans le premier chapitre, nous allons exposer l’étude phénoménologique relative aux écoulements à surface libre dans les coursiers. Nous commencerons par une recherche bibliographique puis nous représenterons les différents régimes d’écoulements sur les coursiers ainsi que la représentation de quelques caractéristiques et notions sur les écoulements turbulents.

Le deuxième chapitre sera consacré à l’établissement des équations régissant les écoulements à surface libre, la prise en compte de la turbulence et sa modélisation ainsi que l’exposé du modèle de turbulence choisi. Après avoir obtenu les équations régissant l’écoulement, nous passerons au troisième chapitre dans lequel nous présenterons deux méthodes de discrétisation, à savoir la méthode des éléments finis et la méthode des volumes finis. Nous allons représenter les différentes étapes de discrétisation et pour une bonne clarification nous allons discrétiser une équation générale de l’écoulement en utilisant ces deux méthodes. Ensuite une présentation des outils de calcul utilisés dans notre travail sera faite. Dans le dernier chapitre, nous allons présenter les caractéristiques des modèles réalisés ainsi que l’éxposé et l’interprétation des résultats obtenus par les simulations.

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Chapitre I :

Etat de l’art

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Chapitre I Etat de l’art

2

Chapitre I : Etat de l’art

I.1. Introduction

Ce chapitre à pour objectif d’aborder d’une manière globale les écoulements sur les coursiers à marches d’escalier, le contenu examine quelques études antérieures réalisées dans ce contexte.

Ensuite, nous aborderons la représentation des différents types des écoulements dans les coursiers de ce type ainsi que leurs caractéristiques. On terminera ce chapitre par quelques caractéristiques et notions sur les écoulements turbulents et la définition de la dynamique des fluides numériques.

I.2.Travaux réalisés

Jusqu’à une époque très récente tous les coursiers des évacuateurs de crue des barrages étaient lisses que possibles et toute l’énergie de jet devrait être dissipée à l’aval ce qui peut provoquer l’érosion du lit, et pour cette raison, la réalisation des ouvrages de dissipation d’énergie est indispensable.

La dissipation d'énergie permet de passer d'un écoulement en général rapide à un écoulement lent sans inconvénient pour le lit en aval. Dans la zone de dissipation d'énergie, l'écoulement à grande vitesse est transformé en un écoulement en moyenne lent constitué par de grands tourbillons et caractérisé par des fluctuations intenses de vitesse, de niveau et de pression.

L'énergie de l'écoulement peut être dissipée par :

- La mise en place d’un bassin amortisseur en pied de coursier, qui réalise la transition entre ce dernier et le milieu naturel. Un bassin amortisseur est un lieu, protégé adéquatement, où la dissipation d'énergie de l'écoulement se produit, le plus souvent par la formation d'un ressaut hydraulique, afin d'obtenir une vitesse d'écoulement convenable pour le lit du cours d'eau naturel. Dans cette voie, afin de provoquer la formation de ce ressaut le plus tôt possible et ainsi réduire la longueur du bassin dissipateur (donc son coût d'exécution et d'entretien), il existe diverses dispositions constructives (seuil, marche, blocs dissipateurs,…).

- recourir à l'utilisation de sauts de ski, construits en pied de coursier, afin de dissiper l'énergie de l'écoulement, respectivement, par création d'un rouleau en pied de coursier (dissipation par turbulence) et lors de l'impact du jet loin en aval du pied de l'ouvrage (dissipation par frottement dans l'air)

- l'utilisation d'un type particulier de coursier à savoir, les coursiers à marches d'escalier.

A cause de l’importance de la dissipation d’énergie dans les coursiers à marches d’escaliers (CME), plusieurs modèles physiques et numériques ont été construits pour analyser l’écoulement de l’eau sur ce type de coursier. Selon Goubet (1992), qui a analysé l’étude de modèle physique de plusieurs barrages à savoir (Upper Stillwater, Monksville, Zaaihock, les olivettes, petit Saut, M’Bali), les CME doivent satisfaire les caractéristiques suivantes :

- le nez des marches ne doit jamais faire saillie au-delà du profil des déversoirs lisses, chaque marche affleure ce profil.

- la hauteur des marches croît progressivement de manière à passer de façon continue de la crête déversante au parement « rectiligne» constitué.de marches régulièrement disposées.

- la partie supérieure lisse du déversoir ne doit pas être trop haute pour que l'eau attaque la première marche avec une vitesse limitée.

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3

Ces modèles sont généralement de petites tailles et ne peuvent pas reproduire l’écoulement dans les coursiers réels et estimer la dissipation d’énergie pour avoir des résultats représentatifs, Chamani et Rajaratnam (1999) proposent de construire des modèles plus grands, ce qui n’est pas une tâche facile car ces modèles deviennent très couteux et prennent beaucoup de temps pour leur réalisation.

Avec le développement technologique et l’apparition des ordinateurs de haute performance, plusieurs études numériques existent dans la littérature pour analyser l’écoulement d’eau .En 2005 Tabbara et Chatila après la comparaison des résultats obtenus de leur modèle numérique réalisé avec ADINA software qui est basée sur l’utilisation de la méthode des éléments finis(MEF), et le modèle k- pour modéliser la turbulence et leur modèle expérimental ont montré que la simulation numérique est très efficace pour l’étude des écoulement.

La diversité des modèles de turbulence ainsi que les modèles de simulation de l’écoulement diphasique rend le choix du modèle utilisé très difficile, Dans le but de comparer le modèle de mélange et VOF, Kositgittiwong et al en 2012 ont simulé un écoulement en nappe et turbulent sur un CME en utilisant deux modèles VOF et le modèle de mélange pour simuler l’écoulement diphasique, la turbulence à été modélisé par le modèle k- réalizable, la comparaison des résultats obtenus avec une large série de résultats expérimentaux montre que le modèle VOF donne des résultats plus exact que le modèle de mélange. Après une année Nikseresht et al ont utilisé deux types de marches en escalier avec différentes pentes pour simuler un écoulement diphasique avec deux méthodes VOF et le modèle de mélange en utilisant divers modèles de turbulence (k- standard, k- realizable, RNG k- , SST, RSM et k-ω standard). La procédure numérique suivi est basée sur l’utilisation de la méthode des volumes finis(MVF) pour résoudre l’équation de Navier-Stokes, et le couplage vitesse-pression avec PISO, La comparaison de la vitesse moyenne, la dissipation d’énergie et la surface libre de l’écoulement des différents cas avec le modèle expérimental montre que le modèle de mélange avec RSM convient à la simulation de l’écoulement diphasique dans les CME. Et en 2014 Daneshfaraz et al ont réalisé une étude de comparaison entre trois type de modèle de turbulence (k- standard, RNG k- et k-ω) pour déterminer le modèle le plus efficace dans la simulation des écoulements sur les CME, l’analyse et la comparaison des profiles de la surface libre avec les résultats expérimentaux de Tabbara et al(2005) montre que RNG k- convient mieux pour les écoulements sur CME.

Et pour déterminer l’effet de la variation de la géométrie, la vitesse ainsi que la charge sur les différentes caractéristiques de l’écoulements, Kherbache.K et al (2013)ont étudié l’influence de la charge sur la distributions des pressions et d’énergie cinétique turbulente dans un CME, ils ont réaliser un modèle numérique avec Fluent software en utilisant le modèle k- et le schémas VOF, d’après leur étude, l’augmentation de la charge engendre l’augmentation de la pression statique et la dissipation turbulente, et ils ont trouvé que la valeur maximale de la pression est localisé au voisinage de la partie horizontale des marches par contre le taux de la dissipation turbulente atteint des valeurs maximales dans la partie haute des marches et augmente le long du coursier.

Cette étude a été complété par l’étude de Rassaei et Rahbar (2014) qui ont étudié l’effet de différents paramètres (nombre, longueur, hauteur des marches et la charge unitaire) sur la dissipation d’énergie dans un CME, ils ont utilisés le logiciels Fluente Software pour réalisés un modèles numérique basée sur l’utilisation de modèle k- standard pour modélisé la turbulence et VOF pour simuler l’écoulement diphasique. Les résultats obtenus par leur simulation ont été comparé avec les résultats de plusieurs chercheurs à savoir Rajaratnam (1990) et Chanson (1994).ces chercheurs ont montré que l’énergie dissipé diminue avec l’augmentation de la charge ce qui provoque l’augmentation de la vitesse et la formation de l’écoulement turbulent ou avec l’augmentation de nombre de marche (réduction de la hauteur des marches) avec une hauteur de barrage constante ce qui provoque la submersion des marches, par conte l’augmentation de la

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4

hauteur ou la largeur des marches provoque l’apparition de l’écoulement en nappe et par conséquence l’augmentation de la dissipation d’énergie qui augmente aussi avec la réduction de la pente.

Pour déterminer la méthode de discrétisation la plus efficace dans la simulation des écoulements dans des coursiers en marches d’escalier (CME), plusieurs chercheurs ont comparé la méthode des éléments finis(MEF) et la méthode des volumes finis (MVF) on en trouve Shoja, et al. (2013), qui ont employés le code de calcul Fluent qui est basé sur MVF, dans lequel le modèle k- (RNG)et choisi pour modéliser la turbulence et le modèle VOF (Volume Of Fluide) pour simuler l’écoulement diphasique. Et pour employer la MEF ces auteurs ont développé un code dans Fortran-90. Ces deux modèles numériques ont été employés avec différents débits et les résultats obtenus ont été comparé avec les résultats expérimentaux de Chanson (2001). Leur étude montre que la MVF convient mieux pour la simulation des écoulements sur CME. Ce même résultat a été obtenu par Daneshfaraz et al (2014), qui ont comparé cette fois-ci le code Fluent et le logiciel le code MEF-ADINA où le modèle k- (RNG) et le modèle VOF ont été aussi utilisés.

Récemment Zhan.J et al (2016) dans leur étude sur l’entrainement d’air dans un écoulement turbulent sur un CME ils ont utilisé VOF, le modèle de mélange et le modèle Eulérien pour simuler l’écoulement diphasique avec l’utilisation de RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes) et LES (Large Eddy Simulation). Leur résultats montre que la simulation avec avec modèle Eulérien et RANS n’a pas peu capturer la surface libre d’aération par contre la simulation avec VOF est capable de capturer cette surface libre et le jaillissement des gouttes d’eau, et pour prévoir la localisation du point d’inception le modèle de mélange peut donner des résultats beaucoup plus meilleurs.

I.3.Régime d’écoulement sur un coursier à marche d’escalier

L’écoulement au-dessus des canaux en marche d’escalier peut être divisé en deux régimes : l’écoulement en nappe et l’écoulement extrêmement turbulent. Le type d’écoulement est influencé par les caractéristiques géométriques du coursier, la nature de la surface des marches et du débit évacué.

I.3.1.Ecoulement en nappe

L’écoulement en nappe est défini comme une série de chute libre d’eau d’une marche à une autre suivie par la formation de ressaut hydraulique, mais pour des débit relativement forts avant l’apparition d’un écoulement extrêmement turbulent ,l’écoulement de l’eau se produit sans formation de ressaut. Dans ce type d’écoulement la dissipation de l’énergie se produit par le jet dispersé dans l’air, le jet de mélange dans l’eau et par la formation de ressaut hydraulique. Il existe trois types d’écoulements en nappe :

 écoulement en nappe avec formation de ressaut hydraulique pleinement développé.

 écoulement en nappe avec formation de ressaut hydraulique partiellement développé.

 écoulement en nappe sans formation de ressaut hydraulique.

(15)

5

Figure (I.1) : écoulement en nappe avec formation de ressaut hydraulique pleinement développé

Figure (I. 2) : écoulement en nappe avec formation de ressaut hydraulique partiellement développé

Figure (I. 3) : écoulement en nappe sans formation de ressaut hydraulique

(16)

6

I.3.1.1.Caractéristiques hydrauliques de l’écoulement en nappe

Figure (I.4) : écoulement nappe

MOORE en (1943) et RAND en (1955) ont remarqué que les conditions d’écoulement tout prés de l’extrémité de la marches changes d’un écoulement subcritique en un écoulement critique dans des sections se situant à une faible distance en amont du bord ou la profondeur de l’écoulement ( est donnée par :

(I.1)

Avec:

: la profondeur critique de l’eau.

La profondeur de l’écoulement et la charge totale de l’eau à la section 1 sont données respectivement par les formules suivantes :

√

√ (I.2)

( ) (I.3)

Avec :

: la profondeur d’eau à la section 1 h : la hauteur de la marche.

: la charge total en (m).

La profondeur de l’écoulement est la charge totale ) à la section 2 sont donnés respectivement par les équations régissant le ressaut hydraulique :

(17)

7

(√ ) (I.4)

(I.5)

Avec :

: le nombre de froud à la section 1 avec :

√

Apres plusieurs expériences RAND 1955 a développé les relations suivantes : ( )

(I.6)

( )

(I.7)

( )

(I.8)

( )

(I.9)

Avec :

la hauteur d’eau dans le bassin à l’aval.

: la distance entre le parement de la structure et la position . I.3.1.2.Dissipation d’énergie

Pour un écoulement en nappe la dissipation d’énergie se produit par la fragmentation du jet dans l’air et avec la formation de ressaut hydraulique sur la marche.

La perte de charge totale le long d’un évacuateur (ΔH) est égale à la différence entre la charge maximale disponible et la charge résiduelle à l’aval de l’extrémité du canal (équation I.3) dissipée au pied de l’évacuateur par un ressaut hydraulique dans un bassin de dissipation.

Celle-ci peut être exprimée sous forme adimensionnelle comme suit (chanson, 1994) : - Pour un évacuateur sans vanne

( ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ) (I.10) - Pour un évacuateur avec vanne

( ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ) (I.11)

(18)

8 Avec :

: la charge maximale a la crête du barrage au dessus du pied aval.

: l’élévation de la surface du réservoir au-dessus de la crête de l’évacuateur.

La charge maximale disponible est donnée par : Pour un évacuateur sans vanne

(I.12)

Pour un évacuateur avec vanne

(I.13)

Par la combinaison des équations (I.6) et (I.10) L’énergie dissipée totale sera de la forme suivante (Chanson, 1994) :

Évacuateur sans vanne :

( ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ) (I.14) Évacuateur avec vanne

( ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ )

(I.15)

Figure (I- 5) : schématisation des charges sur un évacuateur de crue

(19)

9 I.3.2 Ecoulement extrêmement turbulent

Le long d’un évacuateur de crue en marche d’escalier, pour de grands débits, l’eau s’écoule en un filet cohérent turbulent au-dessus des marches cet écoulement est caractérisé par une submersion complète de la totalité des marches, un fort entrainement d’air et la formation des rouleaux de recirculation.

Le régime d’écoulement très turbulent sur le coursier se décompose en trois parties (Hazzab.1998).comme il est schématisé sur la figure (I-6) ci-dessous.

Figure (I- 6) : les différentes régions d’écoulements sur un évacuateur en marche d’escalier dans le cas d’écoulement turbulent

a. La premier partie : englobe quelques marches du début du coursier dans cette partie, l’écoulement est caractérisé par une surface libre bien régulière, et il ne présente aucun signe d’entrainement d’air, la chute causée par la pente du coursier accélère l’écoulement.

b. La deuxième partie : commence par le point d’injection de l’air dans l’écoulement « point d’inception » qui dépend de la géométrie du coursier et du débit d’écoulement. L’entrainement d’air se produit lorsque l’eau jaillissent au-dessus des marches et retombe sous l’influence de la gravité, au cours de ce processus l’air rentre dans l’eau ce qui produit un écoulement diphasique (eau+air), C’est l’apparition de ce qu’on appelle l’eau blanche. Dans cette partie une zone de transition formée de quelques marches dans laquelle la lame d’eau augmente progressivement par l’aération.

c. troisième partie : est formée des marches du reste du coursier. Dans cette partie, l’écoulement se présente sous forme d’une émulsion. L’épaisseur de la lame d’eau coulante a tendance de rester constante. Ce qui signifie que l’énergie reste également constante ou que chaque marche dissipe l’énergie correspondante à sa hauteur.

(20)

10

Dans notre cas, on s’intéresse à l’étude de l’écoulement turbulent sur CME, Avant d’entamer cette étude on commence d’abord par la représentation de quelque caractéristique de la turbulence.

I.4. Caractéristiques et propriétés des écoulements turbulents

La turbulence est une propriété de l’écoulement et non du fluide lui-même. Dans des écoulements originalement laminaires, la turbulence nait à partir d’instabilités qui se développent lorsque le nombre de Reynolds augmente.

L'observation d'un écoulement turbulent révèle une caractéristique essentielle du régime turbulent est la présence au sein même de l'écoulement de nombreux mouvements secondaires d'aspect chaotique.

Dans le régime turbulent, il existe trois classes d’échelles de mouvement :

 Le mouvement d’ensemble (échelle L) : correspondant à l’évolution moyenne de l’écoulement.

 Le mouvement d’agitation turbulente (échelle 𝓁) : qui résulte de l’effet des tourbillons réellement présents dans l’écoulement.

 Le mouvement d’agitation moléculaire (échelle 𝓁 ) : dont seuls les effets macroscopiques sont pris en compte.

Parmi les propriétés essentielles de l’écoulement turbulent on trouve :

a. Signal irrégulier dans l’espace et dans le temps: les grandeurs physiques telle que vitesse et pression varient de façon apparemment aléatoire, remarquons que les fluctuations organisées ou périodiques ne font pas partie de l’agitation turbulente.

b. Ecoulement rotationnel : la présence des tourbillons traduit le fait que l’écoulement turbulent est fortement rotationnel. Le mouvement turbulent présente alors de fortes fluctuations de rotationnel de vitesse.

c. Diffusivité élevée : le champ turbulent diffuse fortement toute quantité transportable comme la température ou un colorant, mais aussi la quantité de mouvement. En réalité, la diffusion turbulente est due aux écarts de vitesse entre la valeur locale instantanée et une certaine valeur moyenne d’ensemble, on distingue deux classes de diffusion turbulente le transport par des gros tourbillons et le transfert par des petits tourbillons.

d. Caractère imprévisible des trajectoires : Un écoulement turbulent présente une extrême sensibilité aux conditions aux limites et aux conditions initiales. Cette propriété se manifeste si l’on considère un écart infime sur les conditions initiales, on observe alors que les deux écoulements deviennent rapidement très différents dans leur description détaillée instantanée ce comportement imprévisible du détail des trajectoires sur des temps suffisamment longs correspond ainsi à une perte de mémoire des conditions initiales.

e. Existence des tourbillons de tailles très divers : des grands tourbillons qui sont associés aux basses fréquences, leur dimensions est de l’ordre de grandeur de domaine de l’écoulement, sont déterminés par les conditions aux limites du domaine.et des petits tourbillons qui sont associées aux hautes fréquences, ils sont déterminés par les forces visqueuse

(21)

11

f. Persistance de la turbulence : un écoulement turbulent à tendance à se maintenir, il continue à produire des tourbillons pour remplacer ceux dissipés, la turbulence ne peut pas se maintenir par elle même, elle a besoin d’un apport d’énergie, cette apport peut avoir des origines divers comme les forces extérieurs et si elle est privé de tout mécanisme générateur, elle décroit progressivement. Donc la turbulence est dissipative.

g. Dissipation: le mécanisme de dissipation visqueuse de la turbulence est lié à la présence de forts gradients de vitesse instantanés.les taux de déformation instantanés deviennent en effet très importantes dans les petits tourbillons et la dégradation de l’énergie cinétique turbulente en chaleur alors très forte.

I.5. Définition de la CFD (computational fluid dynamics)

CFD ou la mécanique des fluides numérique (MFN) est l’analyse des systèmes impliquant les écoulements de fluide, le transfert de chaleur et autre phénomène tel que les réactions chimiques au moyen des simulations par ordinateur.

Avec la progression des mathématiques, le CFD est devenue un outil essentiel et indispensable dans la quasi-totalité des branches de la dynamique des fluides car elle permet l'accès à toutes les informations instantanées du fluide et de l’écoulement en tout point avec un coût global négligeable par rapport aux expériences correspondantes.

Tous les codes CFD contient trois éléments principaux : un pré processeur, un solveur et un post processeur

a. Le pré processeur : consiste à apporter le problème à un programme CFD par le moyen d’une interface, dans ce pré traitement il faut définir la géométrie, le maillage, les propriétés du fluide, les conditions aux limites et les conditions initiales.

b. Le solveur : après le pré traitement, le programme passe à l’exécution par utilisation des méthodes numériques (méthode des différences finis, méthodes des volumes finis et méthodes des éléments finis), l’algorithme numérique suivi dans ces trois méthodes se compose de :

 L’intégration des équations de l’écoulement sur l’ensemble des éléments du domaine.

 La discrétisation (conversion des équations d’intégrales en un système d’équation algébriques)

 La résolution des équations algébriques par une méthode itérative.

c. Le post processeur : qui consiste à visualiser les résultats obtenus.

I.6. Conclusion

La synthèse bibliographique réalisé dans ce chapitre montre l’importance de ce sujet ainsi qu’elle nous a permet de classifier les écoulements dans les coursiers en écoulement nappe et écoulement extrêmement turbulent. Ce dernier fera l’objet d’une étude bien détaillé dans les chapitres suivants.

(22)

Chapitre II :

Mise en équations et prise en compte de la turbulence

(23)

Chapitre II Mise en équations et prise en compte de la turbulence

12

Chapitre II : Mise en équations et prise en compte de la turbulence

II.1. Introduction

Ce chapitre sera consacré à l’étude du mouvement du fluide et à l’établissement des équations qui le gouvernent. Nous commencerons par présenter les équations régissant l’écoulement d’un fluide Newtonien en passant par l’équation de conservation de la masse, l’équation de quantité de mouvement et l’équation de Navier-Stokes. Ensuite nous parlerons sur les approches de la turbulence et les modèles de turbulence basés sur la viscosité turbulente ou nous présenterons le modèle choisi. Enfin, nous aborderons la loi de paroi et les caractéristiques de l’écoulement au voisinage de la paroi.

II.2. Equations gouvernant l’écoulement

Les équations régissant l’écoulement d’un fluide Newtonien sont les équations de la conservation de la masse et l’équation de la quantité de mouvement

II.2.1.Equation de continuité :

L’équation de continuité est celle qui décrit le principe de conservation de la masse en mécanique des fluides. La variation de la masse contenue dans le volume de contrôle est égale au débit massique entrant moins le débit massique sortant.

Δ Δ Δ Δ Δ _ΔΔ Δ Δ Δ _ΔΔ Δ Δ Δ _ΔΔ Δ

(II.1) avec :

:la variable à l’entrée du volume de contrôle _Δ: la variable à la sortie du volume de contrôle En utilisant le développement de Taylor :

_Δ

Δ (II.2)

: terme négligeable de l’ordre supérieur On aura :

Δ Δ Δ *

+Δ Δ Δ (II.3)

En simplifiant le volume on obtient :

*

+ (II.4)

(24)

13 Donc l’équation de continuité est :

(II.5)

Et en absence d’apport et de perte cette équation peut s’écrire sous la forme :

(II.6)

II.2.2. Equation de conservation de la quantité de mouvement

La quantité de mouvement est égale au produit de la masse par la vitesse. Elle dépend des forces appliquées sur la particule fluide. Cette équation découle du deuxième principe de Newton, qui stipule que le taux de variation de la quantité de mouvement est égal à la somme des forces extérieures, à savoir:

 Les forces de surface : viscosité, pression

 Les forces de volume : gravité, Coriolis, centrifuges, électromagnétiques…

Pour établir l’équation de quantité de mouvement on prend en considération que les forces de gravité, de viscosité et de pression. Ces forces sont définies comme suit :

La force de Pression:

_Δ Δ Δ

Δ Δ Δ

Δ Δ Δ (II.7) La force de viscosité :

Δ Δ Δ (II.8)

La force de gravité :

Δ Δ Δ (II.9)

La variation temporelle de la quantité de mouvement est la différence entre la quantité entrante et sortante du volume de contrôle plus les forces qui s’appliquent sur celui-ci. On aura:

Δ Δ Δ Δ Δ _ΔΔ Δ Δ Δ

_ΔΔ Δ Δ Δ _ΔΔ Δ

(II.10)

En utilisant le développement de Taylor, on obtient :

Δ Δ Δ *

+Δ Δ Δ

Δ Δ Δ Δ Δ Δ *

+Δ Δ Δ

(II.11)

(25)

14

Figure (II- 7) : représentation de la contrainte de viscosité

On simplifie le volume de contrôle dans l’équation (II.11) on obtient l’équation de quantité de mouvement suivant (ox) :

(II.12)

Avec :

(II.13) On suit les mêmes étapes pour établir les équations suivant (oy)et (oz).

D’une manière générale l’équation de conservation de la quantité de mouvement peut se mettre sous la forme indicielle comme suit :

⏟

⏟ ⏟

⏟

(II.14)

avec :

A : la variation de la quantité de mouvement par unité de volume.

B: forces associées à la pression par unité de surface.

C: forces volumiques par unité de volume.

D : contraintes visqueuses par unité de surface

u_i: composante de la vitesse suivant la direction i .

gxi : composante de force de volume par unité de volume due à la gravité ; P : la pression

: la masse volumique du fluide.

: tenseur de craintes visqueuses, et i et j des indices (i, j=1, 2, 3).

(26)

15 II.2.3. L’équation de Navier –Stokes

Les équations de Navier Stokes sont l’assemblage des équations de conservation de la quantité de mouvement et l’équation de conservation de la masse pour un fluide newtonien.

Pour les fluides newtoniens les contraintes de viscosité sont reliées au taux de déformation locale comme suit :

(II.15)

Avec :

V : Vecteur de vitesse d’écoulement de composante u_i : Viscosité dynamique.

: Viscosité qui relie la contrainte visqueuse à la déformation volumétrique div(v) : elle est prise égale à - 2/3 ;

: Indice de Kronecker ( =1 si i=j, =0 si i≠j) . Sij : Composante de taux de déformation exprimé par :

(II.16)

Donc :

(

) (II.17) Après quelques arrangements l’équation de Navier Stokes sous forme indicielles s’écrit :

(II.18)

(II.19)

Et pour un fluide incompressible :

(II.20)

(II.21)

Cette équation peut s’écrire finalement:

(II.22) (II.23)

(27)

16

II.3.Prise en compte de la turbulence

II.3.1. Approche directe

Cette approche est basée sur la résolution numérique des équations de Naviers-Stokes de manière directe. Elle constitue le fondement de la simulation numérique directe (SND). Dans une SND, aucun modèle de turbulence n’est utilisé. Cette méthode nécessite des schémas de haute précision et des maillages de haute résolution, afin de capturer l’ensemble des échelles turbulentes en jeu et d’obtenir ainsi le niveau de description le plus élevé. (Chassaing,2000)

II.3.2. Approche à grande échelle

En plus de la SND, il y a une autre approche intéressante, la SGE (la simulation à grande échelle), qui s’appuie sur la distinction des structures des tourbillons selon leur taille, en introduisant une fonction de filtrage aux équations de Navier-Stockes. La gamme d’application de la LES correspond à un nombre de Reynolds s’élevant à . C’est une limite très forte qui exclut l’écoulement dans des canaux naturels ou artificiels (Chassaing ,2000)

II.3.3. Approche statistique

Cette approche consiste à décomposer les grandeurs caractéristiques instantanées de l’écoulement turbulent en une partie moyenne et une partie turbulente d’apparence aléatoire, cela permet de développer un traitement statistique des équations de mouvement. C’est une décomposition qui a été introduite, à la fin du dix-neuvième siècle (1894), par Reynolds.

Les variables décrivant l’écoulement, la pression et les vitesses, sont alors décomposées en une valeur moyenne et fluctuante comme suit :

̅ (II.24) ̅

(II.25) avec :

̅ ̅ : Valeurs moyennes.

, : écarts par rapport à la moyenne ou valeurs fluctuantes.

Et :

̅ ( )

(II.26) ̅

(II.27) ̅ ∑

∫

(II.28)

(28)

17

Le symbole ( ) représente l’opérateur de moyenne statistique ou moyenne d’ensemble qui est défini, en fait, comme la limite statistique de la moyenne arithmétique prise à travers un certain nombre d’expériences faites dans les mêmes conditions générales de l’écoulement. Cette moyenne vérifiés les règles de Reynolds suivantes.

Si on considère f et g deux fonctions aléatoires, et les fluctuations des fonctions aléatoires de f et g respectivement, et s une variable d’espace ou de temps.

̅ ̅

̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅

̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅

̅̅̅

̅

̿ ̅

̅ ( ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ) ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅

 Equations du mouvement moyen (équation de Reynolds)

Dans notre étude nous adopterons l’approche statistique de Reynolds, qui permet de distinguer l’écoulement moyen et l’écoulement fluctuant qui conduit aux équations de Reynolds.

En appliquant la décomposition de Reynolds dans les équations de base on obtient :

̅ (II.29)

̅ ̅

̅

̅ (II.30) En prenant la moyenne de ces deux équations et en appliquant les règles de Reynolds on aura :

( ̅ ) (II.31)

̅

̅ ̅

(II.32)

La non linéarité du terme d’advection introduit un terme supplémentaire qui peut s’interpréter comme la moyenne de l’advection par le mouvement fluctuant de la quantité de mouvement fluctuante. Il y a donc influence de l’agitation turbulente sur le bilan de quantité de mouvement moyenne.

On peut aussi écrire :

̅ ̅

̅̅̅̅̅ (II.33)

(29)

18 Le système d’équation devient :

̅

(II.34) ̅

̅ ̅

̅

̅̅̅̅̅̅̅ (II.35) Les termes ̅̅̅̅̅̅̅ donnent naissance aux tensions de Reynolds « tenseur des contraintes de Reynolds ou tenseur des contraintes turbulentes(Chassing.2000), ils traduisent l’interaction entre le mouvement moyen et le mouvement fluctuant.

Ce système (II.34, II.35) contient plus d’inconnues que d’équations, c’est un système ouvert et pour prédire les champs de vitesse moyenne et de pression moyenne à partir des équations de Reynolds, il est nécessaire de formuler des hypothèses de fermeture de la turbulence qui permettent de calculer le tenseur de Reynolds en fonction du champ de vitesse moyenne

II.4. Modélisation de la turbulence

L’objectif de la modélisation est d’établir des relations ou équations permettant le calcul des contraintes de Reynolds à partir des caractéristiques de l’écoulement moyen. Ces relations forment avec les équations de Reynolds un système fermé.

Il existe une grande variété de modèles de turbulence. On dit qu’un modèle est bon s’il vérifie les critères suivant : (Obbas,2000 )

 Fermeture du système d’équation.

 Contenir un minimum de contraintes ou fonctions empiriques.

 Présente une simplicité et une rapidité dans la résolution numérique.

 Donne des résultats précis.

II.4.1. Modèles de turbulence basés sur le concept de viscosité Turbulente

Ces modèles sont basés sur la modélisation de la contrainte turbulent en utilisant le concept de la viscosité turbulent qui es introduite par Boussinesq en 1877 et permet d’exprimer le tenseur de Reynolds en fonction de Taux de déformation moyen.

̅̅̅̅̅̅̅ * ̅̅̅̅

̅̅̅̅

+ (II.36)

Avec :

: Indice de Kronecker ( =1 si i=j, =0.i i≠j) k: énergie cinétique turbulente.

viscosité turbulente qui est une propriété de l’écoulement turbulent.

Donc, la détermination du tenseur de Reynolds et transformé sur l’évolution de la viscosité turbulente, et selon la procédure utilisée pour le calcul de cette dernière on distingue les classes suivantes du modèles :

II.4.1.1. Les modèles à zéro équation

Ces modèles ne font appel à aucune équation de transport, la viscosité turbulente est donnée par une expression algébrique. On distingue essentiellement deux types de modèle à zéro

(30)

19

équation : les modèles à viscosité effective et le modèle de longueur de mélange.

Dans ce qui suit on va représenter le principe du modèle de longueur de mélange. Ce modèle proposé par Prandtl en 1925 basé sur deux hypothèses pour la détermination de la viscosité turbulente dans un écoulement turbulent cisaillé (Schiestel, 2006)

La première hypothèse est inspirée de la théorie cinétique des gaz elle est introduite sur l’expression de la contrainte de cisaillement :

̅

𝓁 ̅

𝓁 (II.37) Avec :

: la viscosité turbulente.

: la vitesse caractéristique.

𝓁 : longueur caractéristique.

̅ : la vitesse moyenne.

La deuxième hypothèse concerne la vitesse caractéristique 𝓁 | ̅

| (II.38)

Ce qui conduit à l’expression suivante de la viscosité turbulente : 𝓁 | ̅

| (II.39)

La généralisation aux écoulements quelconque est : 𝓁 √ ̅

̅

(II.40)

La longueur de mélange 𝓁 est généralement choisie proportionnelle à l’épaisseur de l’écoulement . (Schiestel, 2006)

Tableau(II.1):longueur de mélange en écoulement libre Type

d’écoulement

Zone de mélange bidimensionnelle

Jet plan Jet circulaire Jet radial Sillage plan

𝓁

Le principal avantage de ces modèles est la simplicité. Leur inconvénient vient du fait que le domaine de leur d’application est très limité (écoulements simples). Ils sont généralement utilisés dans de nombreux écoulements afin d’obtenir une description des profils de vitesse moyenne.

(31)

20 II.4.1.2. Modèles à une équation de transport :

Ce type de modèle utilise une seule équation de transport pour déduire la viscosité turbulente.

En fait, contrairement aux modèles à zéro équation qui, selon leur formulation, ignorent le caractère turbulent de l’écoulement. Les modèles à une équation de transport sont basés sur l’introduction au moins une grandeur turbulente, comme l’énergie cinétique turbulente k, pour la déduction de la viscosité turbulente. Il existe plusieurs modèles de ce type à savoir : modèle de Prandtl, modèle de Nee et Kovasznay, modèle de Spalart &Allmaras (Schiestel, 2006).

Dans le modèle de Prandtl la viscosité est donnée par l’expression suivante :

𝓁√ (II.41)

Et l’énergie cinétique turbulente est donnée par l’équation de transport modélisée :

( ̅ )

( )

𝓁

(II.42)

Avec :

:constante numérique égale à 0.09

𝓁 : échelle de longueur.

=1.5

Pour les autres modèles, Ils sont détaillés dans Scheistel (2006). Ces modèles n’ont prouvé leur efficacité que dans le cas des écoulements simples.

II.4.1.3. Les modèles à deux équations

Dans les modèles à deux équations la viscosité turbulente est obtenue par la formule de Prandtl-Kolmogroff

𝓁√ (II.43)

𝓁 : échelle des tourbillons porteurs de l’énergie.

Ces modèles utilisent deux équations de transport : une équation de transport pour l’échelle de

vitesse k et une équation pour l’échelle de la turbulence 𝓁 ou bien une autre variable 𝓁 à partir de laquelle on peut déduire l’échelle de longueur 𝓁

Les équations de la variable Z est généralement de la forme suivante :

(𝓁√

) √

𝓁 (II.44)

Avec :

:une source secondaire variant suivant le choix de Z.

(32)

21 Tableau (II. 2) : différente modèles à deux équations

Modèle Fonction Z utilisée

Kolmogoroff(1942) 𝓁

Rotta(1951) 𝓁

Davido(1961) 𝓁

Harlow,Nakayama(1967) 𝓁

Saffman(1970) 𝓁

Jones,Launder 𝓁

Wilcox(1988) 𝓁

Le modèle de base le plus rependu, dans cette catégorie, est celui appelé k-ε. On va le développer dans ce qui suit.

II.4.2. Modèles aux tensions de Reynolds : On distingue deux types :

II.4.2.1. Modèles de transport des tensions de Reynolds(R.S.M) :

Ces modèles permettent de traiter de façon plus exacte l’anisotropie du tenseur de Reynolds, ils sont plus généreux que les précédents mais plus difficile à mettre en point. Ces modèles ne font pas appel à la notion de viscosité turbulente, chaque élément de tenseur de Reynolds étant déterminer par la résolution d’une équation de transport. L’inconvénient des modèles aux tension de Reynolds est qu’ils nécessites la résolution de sept (07) équations de transport pour décrire l’aspect turbulent de l’écoulement (06 équations pour les tensions de Reynolds et une équation de transport de  ), donc 05 équations supplémentaires par rapport au modèle k-. Ce type de modèles pose encore des problèmes de modélisation imparfaitement résolus qui font l’objet de nombreuses recherches actuelles (Schiestel, 2006).

II.4.2.2. Modèles de tenseur de Reynolds algébriques :

Ils constituent une expression simplifiée des modèles précédents pour le transport des tensions de Reynolds, plus facile à résoudre numériquement, ils sont constitués par un système d’équations algébriques pour les composantes individuelles du tenseur de Reynolds.

II.5.Le modèle choisi

Dans notre cas on va utiliser le modèle k- pour modéliser la turbulence, en se référant aux études de Kositgittiwong al (2012), Kherbache et al (2013),Rassaei et Rahbar (2014),ce modèle donne de bon résultats dans la simulation des écoulement sur les coursier en marche d’escalier.

Par conséquent il fera l’objet d’une présentation dans la section qui suit.

II.5.1. Représentation du modèle k-

Le modèle k- est le plus souvent utilisé dans une version qui s’obtient avec l’hypothèse des grands nombres de Reynolds. La viscosité turbulente est définie par :

(II.45)

(33)

22 Avec :

: constante numérique : énergie cinétique turbulente.

: la dissipation de l’énergie cinétique turbulente.

Ces deux variables k et doivent être déterminées par deux équations de transport.

II.5.1.1. L’équation de transport de l’énergie cinétique turbulente L’énergie cinétique turbulente moyenne k, est définie par :

̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅ (II.46)

̅̅̅̅̅̅̅ : les contraintes normales de tenseur de Reynolds.

L’équation d’évolution exacte de k s’écrit (Robinet.2010)

⏟ ̅

⏟ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅

⏟ ( )

⏟ ( ̅̅̅̅̅)

⏟ ( ̅̅̅̅̅̅

⏟ )

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

⏟

(II.47)

Avec :

A : taux de variation de l’énergie cinétique turbulente B : convection de l’énergie cinétique turbulente.

C : production de l’énergie cinétique turbulente par le champ moyen noté D : diffusion visqueuse

E : diffusion turbulente

F : terme de diffusion de pression fluctuante G : dissipation visqueuse .

Le tenseur de Reynolds peut êtres exprimé selon l’hypothèse de Boussinesq par :

̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

(II.48)

Donc, on peut écrire le terme de production de l’énergie cinétique turbulente sous la forme suivante :

̅̅̅̅̅̅̅ ̅

̅̅̅̅

̅

(II.49)

Avec l’hypothèse de grand nombre de Reynolds, le terme de diffusion visqueuse

(

)est négligé. Les deux termes diffusion turbulente et de diffusion de pression fluctuent sont modélisé ensemble sous la forme suivante :

( ̅̅̅̅̅)

( ̅̅̅̅̅̅

)

( ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

) (

) (II.50)

(34)

23 Avec :

:est une constante empirique de diffusion.

L’équation finale de k sous la forme modélisée s’écrit comme suit :

̅

( ̅̅̅̅

̅̅̅̅

) ̅

(

) (II.51) II.5.1.2.L’équation de transport de la dissipation de l’énergie cinétique turbulente : L’équation de l’évolution exacte de est donné par (Robinet.2010)

⏟ ̅

⏟ * ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ +

⏟

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

⏟

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

⏟

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

⏟ ̅̅̅̅̅

⏟

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

⏟

(II.52)

Avec :

A : taux de variation de la dissipation de l’énergie cinétiqueturbulente.

B: Convection de la dissipation de l’énergie cinétique turbulente.

C : Terme de production . D: Diffusion visqueuse.

E : Interaction interne au mouvement d’agitation.

F: Terme de diffusion de pression fluctuante.

G : Diffusion turbulente.

H : Destruction visqueuse.

A grand nombre de Reynolds le terme de diffusion visqueuse

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

est négligé

Et le terme de production est lié à la production de l’énergie cinétique turbulente comme suit : ̅̅̅̅̅̅̅ ̅

̅̅̅̅

̅

(II.53)

Le terme de diffusion de pression fluctuante et le terme de diffusion turbulente sont modélisé par :

(

)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

(

) (II.54)

Le terme d’interaction interne au mouvement d’agitation et de destruction visqueuse sont modélisés ensemble comme suit :