Graphes
Judicaël Courant Le 26 novembre 2017
1 Introduction
1.1 Les sept ponts de Königsberg
Peut-on passer une et une seule fois par chaque pont ? Le génial Euler modélise le problème mathématiquement et le résout en 1735 :
Euler :
1. Donne des noms aux quatre régions ;
2. Introduit une notation pour modéliser un chemin.
3. Démontre que le problème n’a pas de solution.
De façon moderne :
Existe t-il un chemin eulériendans ce graphe ?
(i.e. un chemin passant une et une seule fois par chaquearête) (ou mieux : uncircuit eulérien?)
1.2 Problèmes de graphes
Trouver un chemin dans un réseau de transport :
13 Cuire
Hôtel de VilleLouis Pradel 5 13
3 1418
Fourvière
12 Hôpital Feyzin Vénissieux
Vaulx-en-Velin La Grappinière Rillieux Semailles
Gare de Vénissieux 14
Gare St-Paul
Charpennes Charles Hernu 2 16 17
Gare Part-Dieu Vivier Merle 9 13 25 67
Vaulx-en-Velin La Soie 8 15
Vieux Lyon Cathédrale St-Jean 20E 20 Saint-Just
20 21
Perrache 19 21 22
Eurexpo Parc du Chêne Grange Blanche
22 26 16 8 13
25 St-Priest Bel Air Cité Internationale
Centre de Congrès 45
Bellecour 10 12 59 20E 20
Aéroport Lyon Saint Exupéry Meyzieu Z.i.
IUT - Feyssine
Jet d’eau Mendès France
25
Gare d’Oullins Gare de Vaise
6 14
Gare Part-DieuVillette
47 12 14 Jean Macé
22 Debourg
10 7
La Doua Gaston Berger
Meyzieu Les Panettes 79 13
17 13
4
12 23 9
4 11 12 14 23 49 14
7 23 16
12 12
25 7
9 26 17
16
3
15 23
26
311
15 178
12
5
25
22 25 16 22 25 16
15 23
15
17
12
12
25 25 25 17
26 17 26
22 7 22 7 10
23
15 23 25
7 9 14 4 Musée d’Art Contemporain
Centre de Congrès Interpol
Parc Tête d’Or Pt Churchill Muséum Parc Tête d’Or
Duquesne Vitton - Belges
Grandclément Poizat
Bernaix Cyprian Léon BlumLéon Blum
Pont des Planches Lefèvre Cuzin - Stalingrad
Hôtel de Ville - Campus Grand Vire Lesire Mas du Taureau Vaulx les Grôlières
Ste-Geneviève Alsace
Institut d’Art Contemporain Verlaine
L. Braille Montaland Blanqui Centre Mémoires
et Société Les Halles
Paul Bocuse Part-Dieu Jules Favre Garibaldi Lafayette Saxe Lafayette
St-Clair - Square Brosset Montée des Soldats Caluire Place Foch Montessuy Fleming Montessuy Calmette Impasse Mathieu Square Elie Vignal
Tonkin Rossellini Parc Tête d’Or Stalingrad
Lycée Cuzin Caluire
Chemin Petit Leclerc
Drevet
Rillieux Les Alagniers
George Sand Michelet
Companet Piscine du
Loup Pendu Les
Verchères Espace Baudelaire
Bât d’Argent Terreaux
Cordeliers Bourse
Molière La Feuillée
Bon Coin Cité Internationale
Transbordeur Leclerc Thimonnier
PERICA Mercières
6 Henon
Ampère Victor Hugo
Monplaisir Lumière Place
Guichard Bourse du Travail
Flachet Masséna
Foch Croix - Paquet
République Villeurbanne
Cusset 6
Brotteaux
Gratte - Ciel26 Croix - Rousse
14 5 23 13 Cordeliers3
Place Jean Jaurès 24E
21 24 Gorge de Loup
L. Bonnevay Astroballe
23 25 Parilly Sans Souci
Mermoz - Pinel15 Laennec GuillotièreGabriel Péri GambettaSaxe Garibaldi
Valmy6 14
Stade de Gerland Centre Berthelot
Garibaldi Berthelot Saint-André
Rue de l'Université Quai Claude Bernard
Collège Bellecombe
Rebufer Hôtel de Ville - Bron Ambroise Paré8 26
Vinatier Essarts - Iris
Boutasse - Camille Rousset
Les Alizés
Porte des Alpes Parilly - Université Hippodrome Europe - Université
Parc Technologique Hauts de Feuilly Salvador Allende Alfred de Vigny St-Priest - Hôtel de Ville Esplanade des Arts Jules Ferry Cordière Sainte-Blandine
Suchet Part-DieuServient
Professeur BeauvisageCISL États-UnisViviani
Joliot Curie Marcel Sembat
Lycée Jacques Brel La Borelle
Croizat - Paul Bert Marcel Houël Hôtel de Ville
Herriot - Cagne Vénissy Division Leclerc
Darnaise Maurice Thorez Lénine - Corsière Route
de Vienne
Lycée Lumière États-Unis Musée Tony Garnier Le Tonkin
Universitéyon1 Croxi-Luziet
L
Décines Centre
Meyzieu Gare Décines Grand Large 16
13 Dauphiné Lacassagne Saxe
Préfecture
ni et s n i E - A S N I t e c r o d n o C
Palais de JusticeMairie du 3e
Reconnaissance Balzac Gare de Villeurbanne Bel Air Les Brosses Thiers
Lafayette
Liberté
De Tassigny Curial
Lycée Jean-PaulSartre Bachut - Mairie du 8e
Villon Jean XXIII - Maryse Bastié Minimes
Théâtres Romains
Les jours de salon
Manufacture Montluc
Lycée Colbert
Halle Tony Garnier Musée
des Confluences ENS Lyon
Hôtel de RégionMontrochet
11 Archives Départe- mentales
Le Rhône
Le Rhône
La Saône
Le Rhône
Canal de Jonage
Plan lignes fortes Métro Tramway Funiculaire Ligne majeure de Bus (en correspondance avec métro / tramway)
septembre 2014 Appli mobile TCL sitemobile www.tcl.fr
m.tcl.fr (prix d’un appel local) ALLÔ TCL 04 26 10 12 12 SERVICES
Parc relais TCL
Pour les autres lignes de bus se référer aux plans détaillés Jean Macé Les Sources 14
Laurent Bonnevay - Astroballe Bachut - Mairie du 8e 15
Charpennes - Charles Hernu Surville Route de Vienne 16
Charpennes - Charles Hernu Laurent Bonnevay - Porte des Alpes 17
Hôtel de Ville - Louis Pradel Croix-Rousse Nord 18
Perrache Francheville Taffignon 19
Bellecour Francheville Taffignon / Fort du Bruissin 20 20E
Gorge de Loup Perrache 21
Perrache Grange Blanche 22
Cordeliers Parilly 23
Gorge de Loup Grézieu Gym. E. Catalon / Craponne Val d’Yzeron 24 24E
Gare Part-Dieu - Vivier Merle Saint-Priest Plaine de Saythe / Sogaris Promotrans 25
Grange Blanche Cité Internationale - Transbordeur 26
Gare Part-Dieu - Vivier Merle Cuire 1
Gare Part-Dieu - Vivier Merle Rillieux Semailles 2
Gare Saint-Paul Vaulx- en-Velin La Grappinière 3
Jean Macé Cité Internationale 4
Bellecour Rillieux Semailles - Vancia Château Bérard 5
Gare Part-Dieu - Vivier Merle Écully Le Pérollier 6
Gare Part-Dieu - Vivier Merle Hôpital Lyon Sud 7
Grange Blanche Vaulx- en-Velin Résistance 8
Bellecour - Antonin Poncet Hôpitaux Est 9
Bellecour - Charité Saint-Genis Barolles 10
Saxe - Gambetta Laurent Bonnevay - Astroballe 11
Bellecour - Antonin Poncet Hôpital Feyzin Vénissieux 12
Grange Blanche Montessuy Gutenberg 13 LIGNES MAJEURES BUS MÉTROPerrache
Vaulx- en-Velin La Soie Charpennes - Charles Hernu Gare d’Oullins Hôtel de Ville - Louis Pradel Cuire Gare de Vaise Gare de Vénissieux
FUNICULAIRE Vieux Lyon - Cathédrale St-Jean Saint-Just Vieux Lyon - Cathédrale St-Jean Fourvière TRAMWAYDebourg
Hôtel de Région - Montrochet IUT - Feyssine Perrache Saint-Priest Bel-Air Gare Part-Dieu - Villette Meyzieu Z.i.
Meyzieu Les Panettes (en semaine) Hôpital Feyzin Vénissieux La Doua - Gaston Berger Grange Blanche Parc du Chêne Eurexpo (les jours de salon)
Toutes les stations de métro, tramway et trolleybus C1 C2 C3 sont accessibles à l’exception de la station Croix-Paquet.
Pour connaître la disponibilité des ascenseurs, appeler le 04 26 10 12 12 ou tcl.fr rubrique accessibilité.
Desserte aéroport (tarification spéciale) Gare ferroviaire Aéroport
Étudier les réseaux sociaux :
Effectuer des commandes dans un certain ordre :
(typiquement 103 à 104 fichiers pour un projet informatique) Planifier un projet industriel (programme de missiles Polaris) :
Refaire le réseau électrique de la Moldavie (arbre couvrant de poids minimal) :
Colorier (une carte, les variables d’un programme) Router des paquets (postaux, IP)
Entrecroiser des réseaux (pb des trois maisons et trois services).
Graphes de flots.
Accessibilité dans un automate.
2 Vocabulaire
2.1 Graphes non-orientés
— Ensemble dessommets (ounœuds) : un ensembleS.
— Ensembles desarêtes : un ensembleA de pairesde sommets.
— Une arêtearelie sàs0 :a={s, s0}.
— Graphe (non-orienté) : couple (S, A).
— Degré d(s) d’un sommets: le nombre d’arêtesatelles ques∈a.
NB :srelié às0 si et seulement sis0 relié às.
2.2 Graphes orientés
— Ensemble dessommets (ounœuds) : un ensembleS.
— Ensembles desarcs un ensembleA de couplesde sommets distincts.1
— Un arcarelie sà s0 :a= (s, s0). Se notes→s0.
— Lessuccessseurs d’un sommets: les s0 tels que s→s0.
— Arc sortant d’un sommets: arc de la forme (s, s0).
— Arc entrant pour un sommets: arc de la forme (s0, s).
— Graphe (orienté) : couple (S, A).
— Degré entrant d−(s) d’un sommets: nombre de ses arc entrants.
— Degré sortant d+(s) d’un sommets : nombre de ses arc sortants.
NB :
— s→s0 n’implique pass0 →s;
— on parlera souvent d’arête au lieu d’arc.
Graphe orienté canoniquement associé à un graphe non-orienté (S, A) : graphe (S, A0) oùA0contient un arc (s, s0) et un arc (s0, s) pour chaque arête{s, s0}de A :
A0=(s, s0)
s, s0 ∈A
Graphes non orienté canoniquement associé à un graphe orienté (S, A) : Le graphe (S, A0) obtenu
«en enlevant le bout des flèches» :
A0= s, s0 (s, s0)∈A 2.3 Graphes pondérés
Définition 1 Étiqueterles arêtes d’un graphe(S, A) (orienté ou non), c’est se donner une fonction f :A→V (où V est un ensemble de valeurs).
On dit qu’un graphe est pondérési ses arêtes sont étiquetées par des nombres. On parlera alors du poids d’une arête.
1. Au moins dans tout le programme de CPGE, pour éviter plein de petits problèmes techniques. En conséquence, les automates ne sont pas des graphes dans le cadre du programme de CPGE.
2.4 Vocabulaire général
Définition 2 Une arête est dite incidenteà chacun des sommets qu’elle relie. Ces sommets sont les extrémités de l’arête.
Deux sommets reliés par une arête sont dit adjacents ou voisins.
En anglais :
— Sommet se ditvertex (plurielvertices).
— Arête se ditedge.
— Graphe orienté :directed graph oudigraph.
— Graphe non-orienté :undirected graph.
— Un graphe est donc en général noté (V, E).
Définition 3 Chemin dans un graphe : suite finie s0, . . . , sn−1 de n sommets tels que pour tout i∈[[0, n−1[[, une arête reliesi à si+1. On dit que ce chemin relie le sommet de départs0 au sommet de fin sn−1. Ses arêtes sont les arêtes {si, si+1} (resp. (si, si+1)) pour i ∈ [[0, n−1[[ dans le cas non-orienté (resp. orienté).
Définition 4 Chemin fermé : dont le sommet de départ et d’arrivée sont les mêmes.
Chemin élémentaire : n’empruntant que des arêtes distinctes.
Chemin simple : chemin tels que les n−2 sommets intermédiaires si, pour i∈ [[1, n−1[[ soient deux à deux distincts et tous distincts du sommet de départ s0 et du sommet d’arrivée sn−1 et tels que ce chemin n’est pas de la forme a, b, a dans le cas non-orienté.
Exercice 1 Vrai ou faux : tout chemin simple est élémentaire ?
Exercice 2 Vrai ou faux : tout chemin élémentaire est simple ?
Définition 5 Longueurd’un chemin : nombre de ses arêtes.
Poidsd’un chemin (dans le cas pondéré) : somme des poids de ses arêtes.
Exercice 3 Vrai ou faux : il existe des chemins simples de longueur nulle ?
Exercice 4 Vrai ou faux : il existe des chemins de longueur nulle ?
Exercice 5 Vrai ou faux : il existe des chemins fermés de longueur non-nulle ?
Exercice 6 Vrai ou faux : il existe des chemins simples fermés de longueur non-nulle ?
Définition 6 Circuit dans un graphe : chemin fermé de longueur non nulle.
Cycle dans un graphe : circuit élémentaire (chemin fermé de longueur non nulle dont toutes les arêtes sont distinctes).
Cycle simple: comme son nom l’indique, chemin fermé et simple de longueur non nulle.
Chemin (resp. cycle)eulérien : contenant une et une seule fois toutes les arêtes du graphe.
Graphe eulérien : contenant un circuit eulérien.
Graphe acyclique : ne contenant aucun cycle.
Exercice 7 Vrai ou faux : Si deux sommets set s0 sont reliés par un chemin de longueur non-nulle c, alors ils sont reliés par un chemin simple de longueur non-nulle c0?
Exercice 8 Vrai ou faux : même chose en enlevant «non-nulle» ?
Exercice 9 Vrai ou faux : Tout graphe comportant un cycle comporte également un cycle simple ? Exercice 10 Vrai ou faux : Si s est un sommet apparaissant dans un cycle d’un grapheG alors G comporte un cycle simple contenant s?
Exercice 11 Vrai ou faux : si a est une arête apparaissant dans un cycle d’un graphe G alors G comporte un cycle simple contenant a?
DangerLa terminologie est fluctuante :
Sur un point mineur Selon les auteurs, un chemin est une suite de sommets ou une suite d’arêtes adjacentes, voire le couple des deux. Tant qu’il y a au plus une arête entre deux sommets, ce n’est pas essentiel.
Sur des points plus importants Pour certains auteurs, un chemin élémentaire est ce que nous avons appelé un chemin simple et réciproquement. Pour d’autres, un cycle est ce que nous avons appelé un cycle simple.
Exercice 12 Pour certains auteurs, acyclique veut donc en fait dire «sans cycle simple». Si on appelle E l’ensemble des graphes acycliques pour eux et N l’ensemble des graphes acycliques pour nous, lesquelles des propositions suivantes sont correctes :
A E 6⊆N et N 6⊆E B E (N.
C N (E.
D E =N.
Définition 7 (Sous-graphe) Étant donné un graphe orienté (resp. non-orienté)G= (S, A) on dit qu’un coupleG0 = (S0, A0)est unsous-graphede(S, A)si les trois conditions suivantes sont réalisées :
1. (S0, A0) est un graphe orienté (resp. non-orienté) ; 2. S0 ⊂S;
3. A0 ⊂A.
Un sous-grapheG0 = (S0, A0) d’un graphe G= (S, A) est de plus appelé :
— un sous-graphe couvrant de Gsi G0 et Gont même ensemble de sommets (i.e. si S0 =S) ;
— le sous-graphe induit par l’ensemble de sommets S0 si A0 est l’ensemble des arêtes de G dont les deux extrémités sont dans S0.
Exercice 13 Peut-on trouver un graphe(S, A) et un couple (S0, A0) vérifiant la deuxième et la troi- sième conditions sans vérifier la première ?
Exercice 14 Pourquoi parle-t-on d’un sous-graphe couvrant d’un graphe G alors qu’on parle du sous-graphe induit par un ensemble de sommets S0 d’un graphe G?
2.5 Connexité (cas non-orienté)
Définition 8 SoitG= (S, A)un graphenon-orienté. On dit que deux sommetssets0 sontconnectés s’il existe un chemin reliant s à s0.
Exercice 15 On peut dire de cette relation qu’il s’agit d’une relation : A Réflexive, antisymétrique, transitive
B Non-nécessairement réflexive, symétrique, transitive
C Non-nécessairement réflexive, symétrique, non-nécessairement-transitive D Aucun des trois précédents.
Sur le graphe suivant, on aa,b,cetdsont deux à deux connectés mais c etf ne le sont pas.
Définition 9 On dit qu’un graphe non-orienté est connexe si et seulement si pour tout couple de sommets (a, b), il existe un chemin reliant a à b.
Exercice 16 Le graphe suivant est-il connexe :
Définition 10 Soit G = (S, A) un graphe non-orienté. Soit s ∈ S. La composante connexe de G contenant sest la classe d’équivalence S0 de spour la relation de connexité.
NB :
— S0 est l’ensemble des sommetss0 reliés à sdans le grapheG.
— On identifiera souvent la composante connexe S0 et le sous-graphe induit parS0.
— En ce sens, une composante connexe est un graphe connexe.
Sur le graphe suivant, on a 2 composantes connexes : celle dea,b,c et dd’une part et celle de e etf d’autre part.
Proposition 1 Deux composantes connexes d’un même graphe sont égales ou disjointes (et leurs ensembles d’arêtes associés sont alors respectivement égaux ou disjoints).
Démonstration : Les ensembles de sommets sont deux classes d’équivalences donc sont égaux ou disjoints. S’ils sont égaux, par définition des composantes connexes, il ont même ensemble d’arêtes associé. S’ils sont disjoints, toute arête associé à une composante connexe a ses deux extrémités dans cette même composante connexe donc ne peut les avoir dans l’autre.
Lemme 1 (Suppression d’arêtes et connexité) SoitG= (S, A)un graphe et{s1, s2}une arête de ce graphe. Posons G0= (S, A\ {s1, s2}). Notons C la composante connexe de s1 ets2 dansG et Ci celle de si dans G0, pour i= 1,2.
Alors :
1. S’il existe dans Gun cycle comportant l’arête {s1, s2} alors C1=C2 =C.
2. Dans le cas contraire,C1∩C2 =∅ et C1∪C2=C.
Les autres composantes connexes deGet deG0 sont les mêmes, au sens où, en notantCGl’ensemble des composantes connexes de G et CG0 celles de G0, on aCG\ {C}=CG0\ {C1, C2}.
Démonstration : Tout chemin dansG0 est un chemin dansG, donc on a clairementC1∪C2⊂C.
On a de plusC ⊂C1∪C2. En effet, soits ∈C. Alors il existe un chemin simple de s à s2 dans G. Si ce chemin ne comporte pas l’arête {s1, s2}, il s’agit aussi d’un chemin dans G0 et s ∈ C2. Sinon, le chemin étant simple, cette arête ne peut apparaître qu’en dernière position dans le chemin.
En enlevant cette dernière arête, on obtient un chemin élémentaire et simple de s à s1 dans G ne comportant pas l’arête {s1, s2}. C’est donc aussi un chemin dansG0, doncs0 ∈C1.
Donc C1∪C2 =C. OrC1 etC2 sont des composantes connexes et sont donc soit disjointes si s1
ets2 ne sont pas reliés dansG0, soit égales (et donc égales à C) dans le cas contraire.
Montrons que le second cas se produit si et seulement l’arête{s1, s2} fait partie d’un cycle.
S’il existe dans G un cycle comportant l’arête {s1, s2}, alors il en existe également un qui soit simple. Quitte à effectuer une permutation circulaire de la séquence des points, on peut de plus supposer que ce cycle a pour second points2 et quitte à renverser l’ordre de cette séquence, on peut supposer qu’il commence avec s1. On a donc un cycle simple s1, s2, s3, . . . , sk, s1. On en déduit donc qu’on a le chemin élémentaire et simple s2, s3, . . . , sk, s1 qui ne comporte pas l’arête {s1, s2}.s1 et s2 sont donc reliés dansG0.
Réciproquement, si s1 et s2 sont reliés dans G0, alors il existe un chemin élémentaire et simple s2, s3, . . . , sk, s1 les reliant. Ce chemin ne peut pas comporter l’arête {s1, s2}. Donc le chemin s1, s2, s3, . . . , sk, s1 est un chemin élémentaire dans G (et de plus simple car s1 6= s2). Comme il est de plus fermé et de longueur non nulle, c’est un cycle.
Pour les autres composantes connexes, il est clair que deux sommets connectés de G0 n’apparte- nant pas à C sont aussi connectés dans G. Réciproquement un chemin reliant deux sommets de G n’appartenant pas àCne peut comporter l’arête{s1, s2}(sinon ces sommets seraient dansC), donc
est un chemin dans G0.
Proposition 2 Un graphe (S, A) possédant n sommets et p arêtes possède au moins n−p compo- santes connexes. Il est de plus acyclique si et seulement si ce nombre est exactement n−p.
Démonstration : Supposons le contraire par l’absurde et considérons un contre-exempleG= (S, A) acyclique ayant nsommets et un nombre d’arêtes p minimal.
Le résultat est trivialement vrai lorsque p = 0 puisqu’on a alors un graphe acyclique avec n composantes connexes.
On a doncp >0 doncA n’est pas vide.
Supposons que G comporte un cycle. Alors, on peut choisir une arête appartenant à un cycle et la retirer de G. Le graphe G0 alors obtenu comporte les même composantes connexes que G.
Or G0 comporte n sommets, p−1 arêtes et par minimalité de p, doit donc comporter au moins n−(p−1) =n−p+1 composantes connexes. DoncGcomporte strictement plus den−pcomposantes connexe, donc n’est pas un contre-exemple. C’est absurde.
DoncG est acyclique. Alors en retirant une arête de G, on obtient un graphe G0 comportant une composante connexe de plus que G. G0 est de plus acyclique (car tout cycle de G0 serait un cycle de G), comporte n sommets, p−1 arêtes et par minimalité de p doit donc comporter exactement n−(p−1) = n−p+ 1 composantes connexes. Donc G possède exactement n−p composantes connexes et n’est donc pas un contre-exemple.
C’est donc absurde, d’où le résultat.
2.6 Arbres
Définition 11 On appelle arbre tout graphe non-orienté connexe acyclique.
Remarque : Considérons un graphe G non-orienté acyclique possédant k composantes connexe.
Chacune de ces composantes est un arbre. On dira donc que Gest une forêt dekarbres.
Proposition 3 Soit G = (S, A) un graphe non-orienté fini à n sommets. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. G est un arbre ;
2. Gest un graphe connexe d’ensemble d’arêtes minimal (i.e. si on lui enlève une arête quelconque, il n’est plus connexe) ;
3. G est un graphe acyclique d’ensemble d’arêtes maximal (i.e. si on lui ajoute une arête quel- conque, on crée un cycle) ;
4. G est un graphe connexe ayantn−1 arêtes.
5. G est un graphe acyclique ayant n−1 arêtes.
Démonstration : Notonsple nombre d’arêtes de G.
(i)⇒((iv) et (v)) Si G est un arbre, il est acyclique donc possède exactement n−p composantes connexes. Et comme il est alors connexe, on an−p= 1, donc p=n−1.
((iv) ou (v))⇒(i) SiGest un graphe ayantn−1 arêtes, alors il possède exactementn−(n−1) = 1 composantes connexes si et seulement s’il est acyclique. En particulier s’il est connexe ou acyclique, il s’agit alors d’un arbre.
(i)⇒(ii) SiG est un arbre, alors il est connexe et sans cycle. Si on enlève une arête quelconque de G, celle-ci ne peut faire partie d’un cycle, or on a vu qu’on créait alors une nouvelle composante connexe. Gest donc connexe d’ensemble d’arêtes minimal.
(ii)⇒(i) SiGest connexe d’ensemble d’arêtes minimal, alors il ne peut posséder de cycle : sinon en enlevant une arête d’un cycle, on obtient un graphe avec un ensemble d’arête strictement plus petit et dont les composantes connexes sont les mêmes.
(i)⇒(iii) Si G est un arbre, alors il est acyclique. Soitsets0 deux sommets distincts quelconques de G tel que l’arête {s, s0} ne soit pas dans G. En ajoutant cette arête à G on obtient un
graphe G0.Gétant connexe,G0 l’est aussi. SiG0 était acyclique, alors ce serait un arbre, donc en particulier, il serait connexe d’ensemble d’arêtes minimal. Or en enlevant l’arête {s, s0} à G0, on obtient G qui ne serait donc pas connexe, donc ne serait pas un arbre. Absurde. Donc G0 possède un cycle. Donc Gest bien acyclique d’ensemble d’arêtes maximal.
(iii)⇒(i) Réciproquement, si Gest acyclique d’ensemble d’arêtes maximal, alors soits1 ets2 deux points distincts de G. Alors si l’arête {s1, s2} appartient à G, s1 et s2 sont connectés. Sinon, en ajoutant l’arête {s1, s2} à G on obtient un graphe G0 dont l’ensemble des arêtes est un sur-ensemble strict de celui deG. Par maximalité deG,G0 possède un cycle comportant l’arête {s1, s2}. On sait alors que dansG0 privé de cette arête, c’est-à-dire dansG,s1 ets2 ont même composante connexe, donc sont connectés.
2.7 Connexité (cas orienté)
Pour les graphes orientés, la relation de connexité définie précédemment n’est pas une relation d’équivalence. Par exemple, sur le graphe suivant, on a un chemin de a à b mais pas b à a (ni d’ailleurs de b àc).
Pour construire une relation d’équivalence sur les sommets d’un graphe G orienté, la première solution est de regarder le graphe non-orienté canoniquement associé à G.
Définition 12 Deux sommets s et s0 d’un graphe orienté G sont dit simplement connectés s’ils sont connectés dans le graphe non-orienté canoniquement associé à G. Un graphe orienté est dit simplement connexe si et seulement si le graphe non-orienté canoniquement associé est simplement connexe.
Proposition 4 La relation de simple connexité est une relation d’équivalence.
Définition 13 Soit G un graphe orienté. Soit s un sommet de G. La composante simplement connexe de G contenant s est la composante connexe dans le graphe non-orienté canoniquement associé à S.
Comme précédemment, on peut constater qu’une composante simplement connexe est un graphe simplement connexe et que deux composantes simplement connexes sont égales ou disjointes.
Une deuxième solution est d’introduire une nouvelle relation : celle de forte connexité.
Définition 14 Soit G = (S, A) un graphe orienté. Alors deux sommets s et s0 sont dit fortement connecté si et seulement s’il existe un chemin de s à s0 et un chemin de s0 à s.
Proposition 5 La relation de forte connexité est une relation d’équivalence.
Définition 15 Un grapheGest dit fortement connexesi et seulement si tous les sommets sont deux à deux fortement connectés.
Attention : les deux chemins ne passent pas nécessairement par les mêmes sommets. Par exemple le graphe suivant est fortement connexe :
Proposition 6 Tout graphe fortement connexe est simplement connexe.
La réciproque est fausse. Par exemple, le graphe suivant est simplement connexe mais non fortement connexe :
Définition 16 Soit Gun graphe orienté. Soitsun sommet de S. La composante fortement connexe de G contenant s est la classe d’équivalence des pour la relation de connexité.
NB : Toute composante fortement connexe est fortement connexe.
Sur le graphe suivant, on a trois composantes fortement connexes :
Proposition 7 Deux composantes fortement connexes d’un même grapheGsont égales ou disjointes.
Crédits
— Carte de Königsberg de Merian-Erben, domaine public (http://ur1.ca/ikugj).
— Figure des ponts de Königsberg, tirée de Leonhard Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1759), dans Mémoires de l’Académie des sciences de Berlin (http://ur1.
ca/ipjoy).
— Graphe modélisant le problème des ponts de Königsberg, par Chris Martin, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported (http://ur1.ca/ikuku).
— Lignes fortes des Transports en Commun Lyonnais (http://ur1.ca/ipjp9).
— Connexions entre les utilisateurs de Twitter ayant utilisé le mot «bigdata» les 26 et 27 février 2012, Marc Smith, CC BY 2.0 (http://ur1.ca/ipjpo).
— Exemple de diagramme PERT, par Gschmitt et Callyope sur fr.wikipedia, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license (http://ur1.ca/ipjq7).
