• Hypothèse Ho: valeur d’un paramètre de la population qu’on veut tester (ex. contenu moyen, pourcentage annoncé)

(1)

Chapitre VII

Tests d’hypothèses

(2)

• Hypothèse Ho: valeur d’un paramètre de la population qu’on veut tester (ex. contenu moyen, pourcentage annoncé)

• H1: hypothèse contraire

• Méthode: analyse d’un échantillon

• Conclusion: acceptation ou refus de Ho

• Région critique: valeurs de l’échantillon où Ho est rejetée

• Région d’acceptation: la valeur de l’échantillon

tombe dans l’intervalle de confiance

(3)

• Bonne décision? Quatre cas possibles:

• Ho est vraie Ho est fausse

• Ho acceptée juste erreur de type II

• Ho refusée erreur de type I juste

• Erreur de type I:

P(refus Ho/Ho est vraie)=α

• Erreur de type II:

P(acceptation Ho / Ho est fausse)=β

(4)

Erreurs dans les jugements

• Ho: imputé innocent

• imputé

jugement coupable innocent

• condamné OK erreur de type I

• libéré erreur de type II OK

• Règle: minimiser l’erreur de type I. Il vaut

mieux libérer un coupable que de condamner

un innocent

(5)

(6)

(7)

(8)

71

(9)

71.71

(10)

71.71

(11)

71.71

(12)

(13)

x=70.8

valeur p

71.71

(14)

α_o β₁

(15)

(16)

Régions critiques

• Test unilatéral, région critique à gauche:

Ho: µ = 75 ; H1: µ = 70 (ou µ<75)

• Test unilatéral, région critique à droite Ho: µ = 75 ; H1: µ = 80 (ou µ > 75)

• Test bilatéral, région critique à gauche et à

droite

Ho: µ = 75 ; H1: µ ≠ 75

(17)

Ho rejetée, test unilatéral

1) x tombe dans la région critique

75 71.71

70

x x=70.8

2)

I z I > 1.645 z=-2.1

z=70.8-75 =-2.1 2

3) valeur p = 0.018 < 0.05

α=5%

(18)

Ho rejetée, test bilatéral (p. 52)

1) x tombe dans la région critique

0.58 0.59 0.60 0.61 0.62

0.6216

x=0.63

0.5784

2)

2.5% (α) 2.5%

z=2.73

3) valeur p=0.0064 < 0.05

z = 0.63-0.6 = 2.73 0.011

I z I > 1.96

(19)

valeur p

x=0.63 0.57

normalcdf(0.63,1.E99,0.6,0.011)=0.003193 x 2 = 0.0064 < 0.05

(20)

Commande TI-83/84

Introduire les données dans L1 avec Stat/Edit (si données brutes)

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 1:Z-Test

• Pour Inpt choisir Data si données brutes ou Stats si données déjà élaborées

• Mettre la valeur de Ho (µ_o)

• Mettre la valeur de σ (estimateur s si σ inconnu)

• Mettre L1 pour List et 1 pour Freq

• Si données élaborées, mettre x et n

• Choisir si bilatéral (µ₁ ≠µ_o), unilatéral à gauche (µ₁ <µ_o) ou à droite (µ₁>µ_o)

• En pressant CALCULATE vous obtenez z et la valeur p du test

(21)

Commande MINITAB

• Pour MINITAB, introduire les données dans C1

• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ Test Z à 1 échantillon

• Sélectionner C1, introduire la valeur de Sigma (σ) (ou s) et de Ho (µ

_o

: Moyenne du test)

• Aller dans Options et choisir pour Alternative:

« différent de » si test bilatéral, « inférieur à » si unilatéral à gauche (µ

₁

<µ

_o

) et « supérieur à » si unilatéral à droite (µ

₁

>µ

_o

)

• Vous obtenez z et la valeur p (P)

(22)

Commande EXCEL

• Introduire les données

• Chercher Test.Z dans les fonctions statistiques

• Introduire la plage des données dans Matrice

• Mettre la valeur à tester (µ_o)

• Introduire σ (ou s)

• EXCEL donne la valeur p dans le cas d’une région critique à droite.

• Si la région critique est à gauche, prendre la contre- probabilité

• Si le test est bilatéral, prendre le double de la valeur p du test unilatéral

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

révision

(29)

(30)

Commande TI-83/84

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 5:1-PropZTest

• Mettre la valeur de Ho (p

_o

)

• Introduire x (nombre de succès) et n (grandeur de l’échantillon)

• Choisir si bilatéral (p

₁

≠p

_o

), unilatéral à gauche (p

₁

< p

_o

) ou à droite (p

₁

>p

_o

)

• En pressant CALCULATE vous obtenez z et

la valeur p du test

(31)

Commandes MINITAB

• Introduire les données dans C1 (ex. OUI=1, NON=0)

• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ 1 proportion

• Sélectionner C1.

• Cocher Données récapitulées, introduire le nombre d’essais et le nombre de succès si vous avez des données élaborées.

• Aller dans Options et introduire p_o pour Tester la

proportion. Choisir pour Alternative «différent de» si test bilatéral, «inférieur à» si p₁<p_o et «supérieur à» si p₁>p_o

• Cocher Utiliser le test et l’intervalle basés sur la loi normale.

(32)

(33)

(34)

(35)

Commande TI-83/84

Introduire les données dans L1 et L2 avec Stat/Edit (si données brutes)

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 3:2-SampZTest

• Mettre les valeurs de σ₁ et σ₂(ou s₁et s₂)

• Mettre L1 et L2, Freq1 et Freq2. Si données élaborées, mettre x₁ , n₁ , x₂ , n₂

• Choisir si test bilatéral (µ₁≠µ₂), unilatéral à gauche (µ₁<µ₂) ou unilatéral à droite (µ₁>µ₂)

• En pressant CALCULATE vous obtenez z et la valeur p du test

(36)

(37)

(38)

Commande TI-83/84

Aller dans STAT/TESTS et choisir 6:2-PropZTest

• Introduire x

₁

, n

₁

, x

₂

, n

₂

(nombres de succès et grandeurs des échantillons)

• Choisir si test bilatéral p

₁

≠ p

₂

; unilatéral à gauche (p

₁

< p

₂

) ou à droite (p

₁

> p

₂

)

• En pressant CALCULATE vous obtenez z et

la valeur p du test

(39)

Commandes MINITAB

• Introduire les données dans C1 et C2 (ex. OUI=1, NON=0)

• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ 2 proportions

• Cocher Echantillons dans deux colonnes. Sélectionner C1 et C2.

• Cocher Données récapitulées, introduire les nombres d’essais et les nombres de succès si vous avez des données

élaborées.

• Aller dans Options. Pour Tester la différence, mettre la

différence de l’hypothèse Ho (peut être ≠ 0 dans MINITAB).

Choisir «différent de» si test bilatéral, «inférieur à» si unilatéral à gauche et «supérieur à» si unilatéral à droite

• Cocher Utiliser l’estimation regroupée de p pour le test

• En pressant CALCULATE vous obtenez z et la valeur p du test (P).

(40)

(41)

Commande TI-83/84

Introduire les données dans L1 avec Stat/Edit (si données brutes)

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 2:T-Test

• Introduire la valeur de µ_o

• Mettre L1 pour List et 1 pour Freq

• Si données élaborées, mettre x, s et n

• Choisir µ₁≠µ_o si test bilatéral, µ₁<µ_o si unilatéral à gauche et µ₁>µ_o si unilatéral à droite

• En pressant CALCULATE vous obtenez t et la valeur du test

(42)

Commande MINITAB

• Introduire les données dans C1

• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ Test t à 1 échantillon

• Sélectionner C1

• Introduire la valeur de µ

_o

pour Moyenne du test

• Aller dans Options et mettre «différent de» si

test bilatéral, «inférieur à» si unilatéral à gauche et «supérieur à» si unilatéral à droite

• Vous obtenez t et la valeur p du test (P)

(43)

(44)

(45)

Commande TI-83/84

Introduire les données dans L1 et L2 avec Stat/Edit (si données brutes)

• Aller dans STAT/TESTS et choisir 2:2-SampTTest

• Mettre L1 et L2 pour List1 et List2 et 1 pour Freq

• Si données élaborées, mettre x₁, s₁, n₁, x₂, s₂, n₂

• Choisir µ₁≠µ₂ si test bilatéral, µ₁<µ₂ si unilatéral à gauche et µ₁>µ₂

• Pour Pooled choisir No si σ₁≠ σ₂

• En pressant CALCULATE vous obtenez t et la valeur p du test

(46)

Commande MINITAB

• Introduire les données dans C1 et C2

• Aller dans Stat / Statistiques élémentaires/ Test t à 2 échantillons

• Choisir Echantillons dans plusieurs colonnes

• Sélectionner C1 pour Premier et C2 pour Deuxième

• Cocher Assumer variances égales si σ₁=σ₂

• Aller dans Options et introduire 0 si µ₁=µ₂ pour

Moyenne du test (MINITAB permet des différences

≠0). Pour Alternative, choisir «différent de» si test bilatéral, «inférieur à» si unilatéral à gauche,

«supérieur à» si unilatéral à droite

• MINITAB donne t et la valeur p du test (P)

(47)

Commande EXCEL

• Introduire les données

• Chercher TEST.STUDENT dans les fonctions statistiques

• Introduire les plages des données dans Matrice 1 et Matrice 2

• Introduire 1 pour Uni/Bilatéral si test unilatéral et 2 si bilatéral

• Pour Type, choisir 2 si σ₁=σ₂ et 3 si σ₁≠σ₂

• EXCEL donne la valeur p dans le cas d’une région critique à gauche (µ₁<µ₂).

• Si la région critique est à droite (µ₁>µ₂), prendre la contre-probabilité de la région à gauche

(48)

(49)

(50)

(51)

= 5%,

(52)

(53)

(54)

71.71

(55)

71.71

(56)

71.71

(57)

71.71

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

10%

(65)

(66)

(67)

Commande TI-83/84

• Calcul de la région critique optimale avec une probabilité conditionnelle binomiale

• Introduire les proportions dans L1, les probabilités a priori dans L2, les pertes implicites si Ho acceptée dans L3 et les pertes implicites si Ho refusée dans L4 en utilisant la commande STAT / EDIT.

• Aller dans PRGM et choisir PBRCO

• Introduire la grandeur de l’échantillon

• Pour trouver la grandeur optimale de l’échantillon, essayer avec différentes valeurs et comparer

• Ce programme ne fait pas partie des programmes standard de la TI. Vous devez le télécharger (voir page web du cours)