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N

20 o

t

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Le savoir-faire en mécanique, questions :

- en mécanique, qu’appelle-t-on le noyau idéal lors de la modélisation d’un système pluri- technologies ?

- quelles raisons justifient dans notre cas le passage du modèle textuel au modèle vectoriel ?

- quel est le modèle vectoriel d'un solide cinématique ?

- quel est le modèle vectoriel d’une liaison hélicoïdale de pas réduit λ et d’axe ?

- quels invariants vectoriels permettent de neutraliser les trois degrés de liberté de rotation d’une liaison entre deux solides S_i et S_j ?

- en cinématique, quels éléments permettent d’introduire la variable temps ?

- quelles conditions doit satisfaire un graphe minimum interbases ?

- que représente le concept de moment d’inertie ? Signature

) , (A zr

Exercice :

Grâce à une direction assistée hydraulique, le conducteur d’un véhicule n’a pas besoin de produire un couple très important sur le volant pour orienter les roues. Ce faible effort, indépendant de la vitesse du véhicule, peut poser un problème de sécurité (coup de volant à grande vitesse).

Pour remédier à ce problème, Citroën a introduit un couple de rappel lié à la vitesse du véhicule.

Afin de prendre en compte cette vitesse, les concepteurs ont décidé d’amplifier l’effort résistant en utilisant un distributeur hydraulique multiplicateur d’effort associé à un régulateur centrifuge, qui permet de faire varier le couple de rappel du volant en fonction de la vitesse du véhicule.

Le rôle du "régulateur centrifuge", entraîné par flexible depuis la sortie de la boîte de vitesses, consiste à alimenter une chambre en fluide sous une pression régulée qui est une fonction croissante de sa vitesse de rotation, donc de la vitesse du véhicule.

On propose d'étudier le mouvement du régulateur centrifuge représenté ci-dessous, à partir du moment où le solide S2 en contact avec le solide S1 aura quitté la butée de repos.

1. Modèle dynamique textuel et le schéma cinématique associé 1.1. Géométrie et masse

Le système est composé de :

- quatre solides indéformables : (S₀), (S₁), (S₂) et (S₃) : - le bâti (S₀),

- l’arbre d’entrée et son armature (S₁), un solide de révolution,

- la masselotte (S₂) (une seule masselotte sera prise en compte dans cette étude) dont le plan (G₂,normale z: v₁₂₃

) est plan de symétrie, - le plateau (S₃), un solide de révolution

- un ressort de compression (R), de masse négligeable, situé entre les solides (S₁) et (S₃) ;

- six liaisons indéformables.

(S₀ - S1) : pivot (S₁ - S2) : pivot (S₂ - S3) : ponctuelle (S₁ - S3) : glissière (R – S1) : rotule (R - S3) : rotule - le flexible disposé en parallèle de la liaison (S - S ) imprime le mouvement

B12

G2

A01

D3 C01

xr013

zr123

y13

r S1

S₃

S2

S₀

Flexible d’entraînement

Distributeur

y2

r

x₀₁₃ θ z0

z₁₂₃

y₀ y₁₃

y13

z123

α

x013

x2

y2 Les points A, B, C, D et G2

sont situés dans le plan de la figure.

Butée

(0 ; 1,3)

(1,3 ; 2)

R

1.2. Effort

Le ressort est supposé de caractéristique linéaire, raideur k et longueur libre l0. Les actions du flexible d’entraînement sur l’arbre d’entrée (S₁) sont représentables par un torseur couple de momentC_m xr₀₁₃

.

Les actions du distributeur sur le plateau (S₃) sont représentables par un torseur à résultante, d’axe central (D₃, xr₀₁₃

) et de résultante Fxr₀₁₃

connue, définie par ailleurs en fonction des caractéristiques du distributeur.

Les liaisons pivots, glissière et rotules sont supposées parfaites contrairement à la liaison ponctuelle pour laquelle on tient compte du frottement de glissement par l'intermédiaire du modèle de Coulomb défini dans le plan (B₁₂,normale z: v₁₂₃

).

Le système évolue dans le champ de la pesanteur défini par la verticale ascendanteλxr₀₁₃+µyr₀+ηzr₀^avec λ²+µ²+η² =^1et λ^,µ^,η

considérés comme constants dans le domaine d’étude.

1.3. Repère galiléen

Dans le domaine de l’étude, le repère lié au solide (S₀) est supposé galiléen.

2. Construire un modèle géométrique vectoriel 2.1. Modéliser les liaisons

- tracer le graphe des liaisons

- reporter les modèles vectoriels des liaisons

2.2. Modéliser les solides

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[

]

3 3

123 2 2 2

2 2

123 13 013 1 1

1

0 0 013 0

0

, ,

; ,

, ,

; ,

, ,

; , , ,

, ,

; ,

z y x G

D R R

z y x G

B R R

z y x G C B A R R

z y x C

A R R

r r r

r r r

r r r

r r r

=

=

=

=

S2

S1

S0

S3

2.3. Paramétrer les repères liés

- exploiter un graphe minimum interbases

- exploiter un graphe minimum interpoints

013 3 013

2 2 1 013

013

13 AC ax AG bx BG cy DG dx CD xx

y r

AB r r r r r r

=

−

=

=

−

=

−

=

=

2.4. Rechercher les équations de liaison

Soit I le point de contact entre les solides (S2) et (S3) tel que IB exr₂

= - exploiter les liaisons non prises en compte

- exploiter les caractéristiques non encore prises en compte de certaines liaisons

- exploiter les lois de comportement de type cinématique imprimées par les actionneurs

2.5. Définir les paramètres indépendants

3. Formaliser les lois de comportement en fonction du modèle géométrique 3.1. Le ressort (R)

3.2. Le torseur des actions du flexible d’entraînement

{

}

3.3. Le torseur des actions du distributeur

{

}

B A

G2 G3

b0 b_{1, 3} b₂

θ α

G₁

C D

3.4. La liaison ponctuelle (S₂ - S3)

- expression de la vitesse de glissement de (S3) par rapport à (S2) au point de contact I entre ces deux solides :

( )

G_3,2 r

- expression de la coordonnée somme du torseur des actions de (S3) sur (S2)

{

}

sr

- condition d’existence de la liaison ponctuelle :

- lois de Coulomb

3.5. Les composantes nulles des interefforts de liaison en fonction des hypothèses liaisons parfaites et liaisons non parfaites avec solides indéformables

3.6. Le champ de la pesanteur

4. Recenser les inconnues de l'étude

* Cas du non glissement :

° Condition d’existence

° Equation

* Cas du glissement :

° Condition d’existence

° Equation

5. Ecrire les équations de dynamique 5.1. Définir la coupure

5.2. Définir le graphe des particularités

5.3. Ecrire les conséquences scalaires des théorèmes généraux

= avec E =

= avec E =

S2

S1

S0

S3

S2

S1

S0

S3

+ inc.

+ inc.

+ inc.

(Dans la suite on gardera les paramètres initiaux) 5.4. Calculer les composantes des efforts

=

=

5.5. Calculer les composantes de cinétique

=

=