Chapitre II : lois de probabilités continues : la loi normale Introduction

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1 Université Hassan II –Casablanca- OUIA AZIZ Faculté des Sciences Juridiques Economiques 2019 / 2020 Et Sociales –Mohammedia-

Probabilité : S2

Chapitre II : lois de probabilités continues : la loi normale Introduction

Pour les lois de probabilité discrètes, les probabilités sont représentées graphiquement par des hauteurs de bâtons alors que pour les lois de probabilité à densité, les probabilités sont représentées graphiquement par des aires de parties de plan comprises entre la courbe représentative de la densité et l'axe des abscisses. Il importe donc dans un premier temps de représenter les probabilités de chaque valeur non plus par un bâton mais par une aire.

I. Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire est dite continue, si l’ensemble X(Ω) est un intervalle (ou une réunion d’intervalles) de l’ensemble IR. Exemple : Soit X : note d’une matière d’un étudiant.

La description d’une loi continue diffère de celles des lois discrètes puisque pour une variable aléatoire continue X, la probabilité pour que X prenne une valeur bien précise « constante » x « x : modalité » est nulle, P[X = x] = 0 . Il y a en effet une inﬁnité de valeurs dans IR ou dans un intervalle, et au regard de toutes ces valeurs précises, le poids de la valeur particulière est tellement insigniﬁant qu’il peut être considéré comme nul.

Si on reprend notre exemple de la variable aléatoire X « note dans une matière d’un étudiant » qui a eu 15/20 alors, P(X=15/20)=0

Ainsi, on ne peut pas déﬁnir une loi de probabilité continue pour des valeurs constantes isolées. Mais, il est possible de calculer les probabilités pour que X prenne ses valeurs dans un sous ensemble sous forme d’un intervalle de nombres réels de IR à partir de la fonction de répartition déﬁnie par : F(x) = P[X ≤x] = P[X < x].

I.1 La fonction de densité F doit vérifier les propriétés suivantes :

 F doit être une fonction continue,

 = 0 = 0 = 1,

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2

 F est une fonction croissante,

 Pour tous réel a et b ∈ IR tel que a < b, F(b)−F(a) = P[a < X ≤b].



I.2 Densité d’une variable aléatoire continue Déﬁnition

Une variable aléatoire possède une densité si sa fonction de répartition F est dérivable. La dérivée notée f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.

De ce fait,

P[a ≤X ≤ b] = ∫ ,

La probabilité de trouver X dans un intervalle [a , b] donné, est égale à l’aire de la partie du graphique située entre la courbe de la densité f et l’axe des abscisses.

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I.3 Propriétés d’une densité associée à une variable aléatoire continue X

 ∀x ∈R, f(x) ≥0.

 ∫ =1

 P[a < X ≤b] = F(b)−F(a) =∫ ,

Soit X une variable aléatoire continue de Ω dans IR de densité f. les paramètres de f sont : son espérance mathématique qui est noté E(X) et sa variance qui est notée V(X). Ils sont calculés en utilisant les formules suivantes :

E(X)= ∫ , V(X)=E(X²)-[E(X)]²

II. Loi normale générale

La loi normale joue un rôle capital aussi bien en calcul des probabilités qu'en statistique. De nombreuses questions et études, tant théoriques que pratiques font appel à cette loi. Ceci est lié au fait qu'elle intervient comme loi limite dans des conditions très générales de toutes les lois discrètes et continues. L'étude de la loi normale fait intervenir des fonctions de la forme : F(x) = e^(-kx)² où k est une constante positive II.1 loi normale centrée réduite

La notion de distribution centrée réduite est utilisée dans les situations où deux épreuves, deux distributions, ont chacune une échelle et une étendue différentes. Ceci implique que leurs variables d'origines, leurs moyennes, leurs variances et leurs écart-types, ne sont pas analogues, ce qui rend la comparaison impossible pour l'analyse des

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données. C'est pourquoi, nous procédons à la transformation des variables d'origine en utilisant la formule suivante : ^T^^Xⁱ_^^m

On dit :

(Xi-m) : Variable centré

 i

X : Variable réduite

 m i

X : Variable centrée et réduite ou bien variable normée.

II.2 Définition

On appelle loi normale centrée réduite N(0 , 1), la loi ayant pour fonction de densité la fonction f définie sur IR par : Sa courbe représentative est appelée « courbe de Gauss ou de Laplace » ou « courbe en cloche ». La fonction f étant paire, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

f(x)=

√

L’aire totale sous la courbe en cloche sur l’intervalle est égale à 1.

Les différentes probabilités possibles qu’on peut avoir sont représentées par le graphique ci-dessus :

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5

II.3 Utilisation de la table de la loi normale réduite :

L’objectif de la table de la loi normale centrée réduite est d'associer à la valeur critique (t) une autre valeur «», qu'on peut interpréter en termes de pourcentage, de proportion ou en termes de probabilité.

Cette proportion est égale à la surface comprise entre la courbe et l'axe horizontal des valeurs, sachant que la surface totale sous la courbe (la probabilité totale) est égale à 1.

, représente la proportion ou le pourcentage de la population qui se trouve aux deux extrémités de la distribution, et si on veut une seule extrémité, on divise  par 2. On notera la valeur t correspondant à une valeur , t_, qui représente à la fois les bornes positive et négative de l'intervalle ne contenant pas  .

On peut, désormais, considérer  comme la proportion d'individus dont la valeur t est extérieure à l'intervalle précité.

Exercice 1: une société fabrique des boites de conserve de tomate. Sachant que la fabrication des boites est distribuée selon une loi normale de moyenne qui est égale à 200 g et d'écart type égal à 40 gr.

1. Calculez la probabilité que le poids d'une boite de tomate excède 250 g.

2. Calculez la probabilité pour que le poids d'une boite de tomate soit inférieur à 100 g.

3. Calculez la probabilité pour que le poids d'une boite de tomate soit inférieur à 230 g.

4. Calculez la probabilité pour que le poids d'une boite de tomate ne s'écarte pas de la valeur moyenne de plus de 20 g.

5. Encadrer la variable aléatoire « poids d’une boite de tomate à un risque de 98%.

1. P(X>250) =1-P(X ≤250)

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X est distribuée selon une loi normale. Donc, avant de calculer la probabilité demandée, il faut tout d’abord centrer et réduire les deux membres « X et 250 » avant d’utiliser la table de la loi normale centrée réduite.

P(X>250)=1-P(X ≤250) =1-P(^Xⁱ_^^m≤²⁵⁰_^^m)=1-P(

40 200 Xi ≤

40 200 250

) =1 -P(T≤

40 200 250

)=1 -P(T≤

40

50 )=1-P(T≤1,25) =1- 08944=0,1056=10,56%

2. P(X≤100) =P(

 m i

X ≤



m

100 )=P(

40 200 Xi ≤

40 200 100

) =P(T≤

40 200 100

)=P(T≤

40

10)=P(T≤-0,25)

La loi normale est symétrique. Donc on peut calculer cette probabilité en utilisant la probabilité complémentaire

P(X≤100) =1-P(T≤0,25)=1-0.5987 =0,4013 =40,13%

3. P(X≤230) =P(^Xⁱ_^^m≤²³⁰_^^m)=P(

40 200 Xi ≤

40 200 230

) =P(T≤

40 200 230

)=P(T≤

40

30)=P(T≤0,75) =0,7734=77,34%

4. P(m-20≤X ≤m+20)= P(200-20≤X ≤200+20)= (180≤X ≤220) = P(

40 200

180 ≤^Xⁱ_^^m≤²²⁰_^^m) = P(-0,5≤T ≤0,5) =P(T≤0,5)-P(T ≤-05)= P(T≤0,5)-(1-P(T ≤05)) =2* P(T≤0,5)-1=2*0,6915-1=0,383=38,3%

5. Pour encadrer X, il faut trouver une borne inférieure Bi et une borne supérieure Bs tel que : ( ) =95%

Avec T=^Xⁱ_^^m et ^Bⁱ_^^m= et ^B^s_^^m=+

Pour un risque α=5% on a : et =+1,96 B_i= m  200-1,96*40=121,6

B_s= m+  200+1,96*40=278,4

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Il y a 95% pour que le poids d’une boite de tomate choisie au hasard soit compris entre 121,6 g et 278,4g avec un risque de 5% pour qu’il se trouve à l’extérieur de ce même intervalle

Exercice 2 : Une machine fabrique des boites de conserves. On sait que la probabilité d’obtenir une boite défectueuse est égale à 5%. Soit X la variable aléatoire représentant « le nombre de boites défectueuses dans chaque lot contrôlé ». On a contrôlé un lot de 200 boites.

1- Donnez la loi de probabilité de la variable aléatoire correspondante ainsi que ses paramètres.

2- Par quelle loi peut-on l’approximer ? Justifiez votre réponse et déterminez ses paramètres ?

3- Calculez la probabilité d'avoir au moins 18 boites défectueuses ? 4- Calculez La probabilité d’avoir au plus 14 boites défectueuses ? 5- Encadrez la variable aléatoire X à 95%.

1. Soit X la variable aléatoire mesurant « le nombre de boites défectueuses dans chaque lot contrôlé ».

Le tirage d’une seule boite est une épreuve ayant 2 issues possibles :

✓ La boite est défectueuse (succès) avec, p = 0,05 ;

✓ La boite n’est pas défectueuse (échec) avec, 1-p = q = 0,95.

On répète 200 fois cette épreuve de manière indépendante c.-à-d. un lot de 200 boites. Donc, la variable aléatoire X suit une loi binomiale B(200, 5%). E(X) = n*P = 10 V(X)= n*p*(1-p)=9,5

2. Les conditions d'approximation d'une loi binomiale B (n , p) par une loi normale (1) : ✓ n>30, ✓ n*p>5 ✓ n*p*(1-p)>5.

On n = 200, n*p=10>5 et n*p*(1-p)=9,5 > 5 ; On approche la loi binomiale par la loi normale N(10 ; 3,08)

Avec m=E(x)=n*p=10, (X)=3,08 et T=^Xⁱ_^^m

T est distribué selon une loi normale centrée réduite de moyenne égale à 0 et d’écart type égal à 1

3. P(X≥18) = 1 - P(X≤18) = 1 – P(T≤

08 , 3

10 18

) = 1 – P(T≤2,597) = 1 – 0.9953 = 0,47%.

4. P(X≤14) = P(X≤14) = P(T≤

08 , 3

10 14

) = P(T≤1,2987) =0,9032

5. P(B_i≤ X ≤ B_s)=95% (avec B_i et B_s sont respectivement les bornes inférieure et supérieure).

P( 3,08

10

Bi ≤T≤

08 , 3

10

Bs ) = 95% avec T=

08 , 3

10

X

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8

P( ≤T≤+ )=95% Pour α=5% on a = t0,975= 1,96

08 , 3

10

Bi = =-1,96 Bi= 10-(1,96)*(3,08)=3,963 4

08 , 3

10

Bs = =1,96 Bs= 10+(1,96)*(3,08) =13,037 13

Exercice 3 : Sachant que X suit une loi N (0;1) calculer à l’aide de la table de la loi normale centrée réduite les probabilités suivantes :

1. P(X < 0,82); P(X < 0,5); P(X > 1,42); P(X < −1,32); P(X > −2,24);

P(−1 < X < 1); P(−1,5 < X < 2,35)

2. Dans chacun des cas, calculer b sachant que X suit une N (0;1) : P(X < b) = 0,8238; P(X > b) = 0,0632; P(X < b) = 0,0268.

Exercice 4 : On considère que la mesure de la résistance d’un conducteur, effectuée avec un ohmmètre, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale. Des relevés statistiques permettent d’estimer que, sur l’ensemble des mesures, la moyenne est m=82 ohms et l’écart-type  ^{0, 2} ohms.

On mesure à nouveau cette résistance.

1. Quelle est la probabilité qu’elle soit inférieure à 81 ohms ? comprise entre 81,7 et 82,5 ohms ?

2. Déterminez la valeur du réel r tel que ^{P X}⁽ ^{ }^r⁾ ^0,9. 3. Déterminez le réel h tel que ^P⁽⁸²    ^h ^X ⁸² ^h^{) 0,95}.

Exercice 5 : La durée de vie d’un appareil fabriqué par une machine est distribuée selon une loi normale de moyenne égale à 500 jours et d’écart- type égal à 25 jours. On tire un appareil de la production de cette machine.

Calculez les probabilités suivantes :

P(X < 562,5); P(X < 575); P(X > 512,5); P(X < 450); P(X > 465,5);

P(512,5 < X < 575) ;

Exercice 6 : On suppose que le pourcentage moyen de gauchers est de 1%.

Soit X la variable aléatoire prenant comme valeurs le nombre de gauchers dans un échantillon de 200 personnes choisies au hasard. Montrer que la loi de X est pratiquement une loi de Poisson dont on précisera la moyenne et la variance. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait moins de 4 gauchers dans l’échantillon ?

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9 TABLE DE LA VARIABLE NORMALE CENTREE REDUITE

Probabilité d’être inférieur à x Exemple : P(T≤0,54)=0,7054=70,54%

x 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 0,5 0,504 0,508 0,512 0,516 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,591 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,648 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,67 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,695 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,719 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,758 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,791 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,834 0,8365 0,8389 1 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,877 0,879 0,881 0,883 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,898 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,937 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,975 0,9756 0,9761 0,9767 2 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,983 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,985 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,989 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,992 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,994 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,996 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,997 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,998 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986