Construire une coque mince connaissant ses deux formes fondamentales

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HAL Id: hal-01507582

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Submitted on 13 Apr 2017

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Construire une coque mince connaissant ses deux formes fondamentales

Danielle Fortuné, Claude Vallée

To cite this version:

Danielle Fortuné, Claude Vallée. Construire une coque mince connaissant ses deux formes fondamentales. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. �hal-01507582�

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5HYXH9ROXPH;±Q[DQQpHSDJHVj

&RQVWUXLUHXQHFRTXHPLQFHFRQQDLVVDQWVHV IRUPHVIRQGDPHQWDOHV

([HPSOHG¶LQWpJUDWLRQSRXUGHX[IRUPHVIRQGDPHQWDOHV VSKpULTXHVFRPSDWLEOHV

'DQLHOOH)RUWXQp&ODXGH9DOOpH

Laboratoire de Mécanique des Solides UMR CNRS 6610 SP2MI-Téléport 2-Boulevard Marie et Pierre Curie-BP30179 Futuroscope Chasseneuil Cedex-86962-France

RESUME

Il est possible de reconstituer les équations paramétrées d’une surface qui initialement était caractérisée par ses 2 formes fondamentales. C’est ce qu’affirme le Théorème de Bonnet. Nous allons le prouver en utilisant comme point de départ la décomposition polaire droite et les équations de compatibilités qui en découlent. Ce choix n’est pas anodin car il fait apparaître un découplage des équations de compatibilité et cette nouvelle mise en scène introduit des expressions qui dépendent explicitement des deux formes fondamentales. L’obtention de la surface nécessite deux intégrations successives et les étapes d’intégrations à effectuer en sont simplifiées. Une illustration de cette démarche est présentée sur le cas de 2 formes fondamentales sphériques compatibles

ABSTRACT

According to Bonnet’s theorem, it is possible to reconstruct the parametric equations of the surface initially characterised by its two fundamental forms. Starting from the right polar decomposition and the induced compatibility equations the previous theorem was reformulated. This choice is not innocent since it shows a decoupling of the compatibility equations and this new methodology introduce expressions depending on the two fundamental forms. The attainment of the surface requires two successive integrations and the integration steps are thus simplified. An illustration of this approach is presented in the case of two compatible spheric fundamental forms.

MOTS-CLES : Coques Minces, Formes fondamentales, Equations de compatibilités.

KEYWORDS : Thin shells, Fundamental forms, Compatibility equations.

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5HYXH9ROXPH;±Q[DQQpH

,QWURGXFWLRQ

1RXV GpYHORSSRQV LFL XQH PpWKRGH G¶LQWpJUDWLRQ SHUPHWWDQW G¶H[KLEHU OHV pTXDWLRQV SDUDPpWUpHV GH OD VXUIDFH PR\HQQH G¶XQH FRTXH HQ SDUWDQW GH VHV GHX[

IRUPHV IRQGDPHQWDOHV &HWWH UHFRQVWLWXWLRQ GH OD VXUIDFH HVW pQRQFpH GDQV OH WKpRUqPH GH %RQQHW 0XOOHU 3 2VVDG]RZ & 'HV WUDYDX[ V¶LQWpUHVVHQW j FHWWHTXHVWLRQSDUH[HPSOH&LDUOHW*3/DUVRQQHXU))RNDV$6HWDO &HWWH PpWKRGH V¶DSSXLH VXU OD WKpRULH TXH OHV DXWHXUV RQW GpYHORSSpH GDQV O¶DUWLFOH9DOOpH&)RUWXQp'jSDUWLUGHODGpFRPSRVLWLRQSRODLUH

'pFRPSRVLWLRQSRODLUHGURLWHHWVHVpTXDWLRQVGHFRPSDWLELOLWpV

Décomposition polaire

/HV GpYHORSSHPHQWV SUpVHQWpV GDQV FHWWH SDUWLH VRQW H[WUDLWV GH 9DOOpH &

)RUWXQp'&RQVLGpURQVXQHFRTXHPLQFH6SDUDPpWUpHSDUXHWY2QQRWH θODWUDQVIRUPDWLRQTXLjXHWYIDLWFRUUHVSRQGUHXQSRLQW[GHODVXUIDFH6

[=θXY

2QQRWH)O¶HQVHPEOHGHVGpULYpHVSDUWLHOOHVGHθSDUUDSSRUWjXHWYVRLW

@

Y

> X

) ∂

θ

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/DQRUPDOHXQLWDLUHHQ[jODVXUIDFHDLQVLTX¶DXSODQWDQJHQWHVWQRWpH1

6RLHQWDHW EOHV GHX[ IRUPHV IRQGDPHQWDOHV FDUDFWpULVDQW6 /D SUHPLqUH IRUPH IRQGDPHQWDOHDHVWV\PpWULTXHHWGpILQLHSRVLWLYHD=)⁷)R)⁷ HVWODWUDQVSRVpH GH)/DGHX[LqPHIRUPHIRQGDPHQWDOHV¶pFULW @

Y 1 X

> 1 )

E ⁷

∂

− ∂

=

/D SUHPLqUH IRUPH IRQGDPHQWDOH D DGPHW XQH UDFLQH FDUUpH V\PpWULTXH SRVLWLYH QRWpH D (OOH HVW XWLOLVpH SRXU FRQVWUXLUH XQH GpFRPSRVLWLRQ SRODLUH GH ) ,O H[LVWHΩpOpPHQWGH62WHOTXH

) = Ω>89@

>@

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D

9 HW

D

8 >@

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Equations de compatibilités

/HV YDULDWLRQV GH OD URWDWLRQΩ SDU UDSSRUW j FKDFXQ GHV SDUDPqWUHVX HWY PHWWHQW HQ pYLGHQFH OHV SURSULpWpV G¶DQWLV\PpWULHV GH

X

7

∂ Ω Ω ∂ HW

Y

7

∂ Ω Ω ∂ SURSULpWpVTXHO¶RQWUDGXLWSDUO¶H[LVWHQFHGHYHFWHXUV<HW=UpDOLVDQW

M<

X

7 =

∂ Ω

Ω ∂

HW

M=

Y

7 =

∂ Ω

Ω ∂

>@

RO¶RQDQRWpSRXUWRXWYHFWHXUZM<Z <∧ZHW M=Z =∧Z

,O D pWp GpPRQWUp 9DOOpH & )RUWXQp ' TXH O¶H[LVWHQFH GH

Ω

^{DLQVL TXH}

O¶LQWpJUDWLRQGH>@SHUPHWWDQWG¶DWWHLQGUHODVXUIDFH6VRQWVRXPLVDX[pTXDWLRQVGH FRPSDWLELOLWp FRQQXHV SRXU OHV VXUIDFHV VRXV OH QRP GHV pTXDWLRQV GH *DXVV

&RGD]]L0DLQDUGL/¶XWLOLVDWLRQGHODGpFRPSRVLWLRQSRODLUHOHXUVGRQQHQWODIRUPH FRQGHQVpHVXLYDQWH

- SRXUO¶LQWpJUDELOLWpGH>@ < = X

= Y

< = ∧

∂

− ∂

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- SRXUO¶LQWpJUDELOLWpGH>@ < 9 = 8 X

9 Y

8 = ∧ − ∧

∂

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2QUDSSHOOHTXHOHVGHX[YHFWHXUV8HW9VRQWGLUHFWHPHQWGpGXLWVGH D/HV YHFWHXUV<HW=VRQWFRPSOqWHPHQWGpILQLVSDUOHUHVSHFWGH>@LOVQHGpSHQGHQW H[SOLFLWHPHQWTXHGHEGH DHWGHVGpULYpHVSDUWLHOOHVGH D

Remarques

&HV GpYHORSSHPHQWV GpGXLWV GH OD GpFRPSRVLWLRQ SRODLUH RQW GH PXOWLSOHV DYDQWDJHV,OVPHWWHQWHQpYLGHQFHXQHEDVHRUWKRQRUPpHDVVRFLpHjODVXUIDFHGRQW OHV YHFWHXUV VRQW GpILQLV JUkFH j OD URWDWLRQΩ ,OV pYLWHQW OHV FRHIILFLHQWV GH

&KULVWRIIHO SDU OD FRQQDLVVDQFH GHVGpULYpHV SDUWLHOOHVGH Ω ,OV VRQW j ODEDVHGH GpYHORSSHPHQWVHQFRXUVGRQQDQWXQU{OHSULYLOpJLpDX[IRUPHVIRQGDPHQWDOHV

(WDSHVVXFFHVVLYHVDERXWLVVDQWjODFRQVWUXFWLRQGHODVXUIDFH6jSDUWLUGHOD GRQQpHGHVHVIRUPHVIRQGDPHQWDOHV

$ SDUWLUD HW E OH GpURXOHPHQW GHV GLIIpUHQWHV pWDSHV SRXU FDUDFWpULVHU6 VH GpFOLQHQWGHODIDoRQVXLYDQWH

- &RQVWUXFWLRQGHVYHFWHXUV8HW9SDUO¶XWLOLVDWLRQGHODIRUPXOH>@

(5)

- &RQVWUXFWLRQGHVYHFWHXUV<HW=WUDGXLVDQWODFRPSDWLELOLWp>@

- 9pULILFDWLRQGHODFRPSDWLELOLWpGpILQLHSDUODUHODWLRQ>@

- ,QWpJUDWLRQGXV\VWqPH>@DILQG¶H[WUDLUHΩ

- ,QWpJUDWLRQGXV\VWqPH>@SRXUO¶REWHQWLRQGH[=θXY

$SSOLFDWLRQjGHX[IRUPHVIRQGDPHQWDOHVVSKpULTXHVDHWEFRPSDWLEOHV

&RQVLGpURQVOHVIRUPHVIRQGDPHQWDOHV

_»

¼

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Y X 5

5 5

E

Y

X 5

5

D

R5HVWXQHFRQVWDQWHKRPRJqQHjXQHORQJXHXU

. Construction des vecteurs U, V, Y, Z.

$SDUWLUGHD QRXVIDEULTXRQVOHVYHFWHXUV8HW9

[ ]

⁷

Y

X 5

5 8

+

= + HW

[ ]

⁷

Y

X 5

5 9

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/HUHVSHFWGHODFRPSDWLELOLWp>@QRXVSHUPHWGHGpILQLUOHVYHFWHXUV<HW=

[ ]

⁷

5 Y Y

X 5

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[

5 X

]

⁷

Y X 5

= − −

+

= +

/DFRQGLWLRQGHFRPSDWLELOLWp>@HVWVDWLVIDLWH

.Intégration du système précédent par application du Théorème de Frobenius.

&HWWH pWDSH HVW GH ORLQ OD SOXV GpOLFDWH j HIIHFWXHU FDU VL O¶RQ HVW DVVXUp GH O¶H[LVWHQFH GH Ω SXLVTXH OHV FRQGLWLRQV GH FRPSDWLELOLWpV VRQW VDWLVIDLWHV LO IDXW H[WUDLUH Ω GX V\VWqPH DX[ GpULYpHV SDUWLHOOHV >@ /H WKpRUqPH GH )UREHQLXV 'LHXGRQQp-QRXVLQGLTXHODPDUFKHjVXLYUH

/¶LGpH HVW GH UHPSODFHU OH V\VWqPH DX[ GpULYpHV SDUWLHOOHV j UpVRXGUH SDU XQ V\VWqPH GLIIpUHQWLHO GpSHQGDQW G¶XQ VHXO SDUDPqWUH λ 1RXV WUDQVIRUPRQV OHV

(6)

SDUDPqWUHVXHWYSDUKRPRWKpWLHHQλXHWλY /HV\VWqPHjWUDLWHUGHYLHQWDORUVXQ V\VWqPHGLIIpUHQWLHOUHODWLIjλ TXLSUHQGODIRUPH

MX< Y= G

G =Ω λ λ + λ λ

Ω

>@

&HWWHWUDQVIRUPDWLRQSHUPHWGHPHWWUH>@VRXVXQHIRUPHGLIIpUHQWLHOOHLQWpJUDEOHOD VROXWLRQGXV\VWqPHLQLWLDOpWDQWREWHQXHSRXUλ =

^G_G ₅ ⁵_X _YΩλ^M

[

− ^Y ^X

]

⁷

+ λ

= + λ

Ω

8QQRXYHDXFKDQJHPHQWGHSDUDPqWUHμλDERXWLWDXV\VWqPHGLIIpUHQWLHO

^G_G^Ω_μ ⁼ ^Ω^μ^M

[

⁻ ^Y ^X

]

⁷ ^>@

/D VROXWLRQ REWHQXHΩHVW FODLUHPHQW XQH URWDWLRQ TXL HVW VHXOHPHQW FRQFHUQpH SDU

μ 4XHO HVW FH SDUDPqWUH μ " ,O QRXV D SHUPLV GH UHPSODFHU + λ

λ

+ G

Y X 5

5

SDUGμ/HGHUQLHUFDOFXOjHIIHFWXHUHVWGRQF

5 Y WDQ X

Y $UF G X

Y X 5

5

+

= + + λ

λ

= +

μ

³

_λ^λ₌⁼

6LRQSRVHψWHOTXH

5 Y WDQ X

+

ψ = DORUV

X

Y Y

X M VLQ X

Y X

Y Y X

FRV

, FRV

7

»»

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¬ ª− ψ +

+

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¬ ª− ψ +

− + ψ Ω

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,OYLHQWDORUVO¶H[SUHVVLRQGHODURWDWLRQΩVRXVODIRUPH

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−

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− + Ω

= + Ω

Y X 5 5Y

5X

5Y Y

X 5 XY

5X XY

Y X 5 Y

X 5

Y X

3RXUODVXLWHQRXVSUHQGURQVΩ =,

(7)

Intégration du système [1] pour l’obtention de [=θXY.

/¶LQWpJUDWLRQGH) =Ω>89@SHUPHWG¶H[SOLFLWHUOHVpTXDWLRQVSDUDPpWUpHVGH6

^[^X^Y⁼ ₅ ₊⁵_X ₊ _Y

[

^5X ^5Y ⁵ ⁻^X ⁻ ^Y

]

⁷

2QUHFRQQDvWODUHSUpVHQWDWLRQVWpUpRJUDSKLTXHG¶XQHVXUIDFHVSKpULTXHGHUD\RQ5 /HUpVXOWDWHVWDFTXLVjXQHURWDWLRQHWXQHWUDQVODWLRQFRQVWDQWHVSUqV

&RQFOXVLRQVHWSHUVSHFWLYHV

,OHVWDLQVLGpPRQWUpTXHO¶XWLOLVDWLRQGHODGpFRPSRVLWLRQSRODLUHHWGHODPLVHHQ

°XYUH TXL HQ GpFRXOH HVW XQ pOpPHQW HVVHQWLHO SHUPHWWDQW OD UHFRQVWUXFWLRQ GH OD VXUIDFH j SDUWLU GH VHV IRUPHV IRQGDPHQWDOHV &HV UpVXOWDWV QRXV LQFLWHQW j GpYHORSSHUGHVWUDYDX[VXUOHVFRTXHVpSDLVVHVGRQWODVXUIDFHPR\HQQHHVW6HWSRXU OHVTXHOVXQSRLQW[GHODFRTXHHVWGpILQLSDUOHVpTXDWLRQVSDUDPpWULTXHV

Y X 1 [ Y X [ Y X

[ =θ +

/HV FRPSDWLELOLWpV ' UHODWLYHV j FHWWH FRTXH pSDLVVH VRQW XQLTXHPHQW OLpHV DX[

pTXDWLRQV GH FRPSDWLELOLWpV LPSRVpHV DX[ FDUDFWpULVWLTXHV GH OD VXUIDFH PR\HQQH GRQF Oj HQFRUH GLUHFWHPHQW OLp j D HWE (Q JDUGDQW FH FDGUH QRXV SRXYRQV HQYLVDJHUG¶pQRQFHUXQSULQFLSHGHVWUDYDX[YLUWXHOVVSpFLILTXHVDX[FRTXHV

%LEOLRJUDSKLH

'LHXGRQQp-)RXQGDWLRQVRI0RGHUQ$QDO\VLV$FDGHPLF3UHVV1HZ<RUN

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