Nom : . . . .
Prénom : . . . . Devoir n
o08
Janv. 2021 . . ./. . .
DS 05
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Le barème est approximatif. La calculatrice en mode examen est autorisée.
Attention ! Le sujet est recto-verso.
Exercice 1 8,5 points
Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.
Partie A
L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :
• 40 % de la population est vaccinée ;
• 8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
• 20 % de la population a contracté la grippe.
On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les évènements : V : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
G: « la personne a contracté la grippe ».
1 a.
0.5 pt Donner la probabilité de l’évènementG.
20 % de la population a contracté la grippe, doncp(G) = 0,2.
p(G) = 0,2.
1.5 pt b. Reproduire l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre de ses branches.
•
V
V
G
G
G
G 0,4
0,6
0,08
0,92
x
1−x
1 pt 2 Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.
On veut ici la probabilité de l’événementG∩V.
p(G∩V) =p(V)×pV(G)
= 0,4×0,08
= 0,032
La probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée vaut 0,032.
2 pts 3 La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la grippe est égale à 0,28.
On veut ici calculer la probabilité conditionnellepV(G) =x On utilise la formule des probabilités totales :
On décomposeGsuivant la partition :V , V.
p(G) =p(V∩G) +p(V∩G)
p(G) = 0,2 ⇐⇒ p(V∩G) +p(V∩G) = 0,2
⇐⇒ 0,032 + 0,6x= 0,2
⇐⇒ 0,6x= 0,168
⇐⇒ x=0,168 0,6 = 0,28
La probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe sachant qu’elle n’est pas vaccinée vaut 0,28.
Partie B
Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à10−3près.
Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasardnhabitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène àn tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à 0,4.
On noteXla variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi lesninterrogées.
1.5 pt 1 Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoireX?
On répètenfois, de façon indépendante,l’expérience « on choisit au hasard une personne dans cette ville »qui comporte 2 issues :
• « La personne est vaccinée »considéré comme succès, de probabilitép= 0,4
• « La personne n’est pas vaccinée. »considéré comme échec, de probabilitéq= 1−p= 0,6
Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoireX prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètresnet 0,4 notéeB(n; 0.4) .
Pour tout entierkoù 0≤k≤n, on a :
P(X=k) = n k
!
×(0,4)k×(0,6)n−k 2 Dans cette question, on suppose quen= 40.
1 pt a. Déterminer la probabilité qu’exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées.
Ici la variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètres 15 et 0,4 notéeB(40; 0.4) . On veut calculerP(X= 15).
2nd DISTR A binomFdp( 15 , 0.4 , 15 )
binomFdp(15,0.4,15)≈0.123
La probabilité qu’exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées vaut environ 0,123.
1 pt b. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
On veut ici calculerP(X≥20) = 1−P(X≤19).
2nd DISTR B binomFRép( 40 , 0.4 , 19 )
binomFRép(40,0.4,19)≈0,87. Ceci calculeP(X≤19) dans le cas oùXsuit la loi binomialeB(40,0.4) La probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée vaut environ 0,13.
Exercice 2 6 points
On donne les pointsA(5; 2; 1), B(7; 3; 1), C(−1; 4; 5) etD(−3; 3; 5).
0.5 pt 1 Calculer les coordonnées du milieuI du segment [AB].
Le milieuI du segment [AB] a pour coordonnées :
xA+xB yA2+yB zA2+zB
2
=
6
5 2
1
2 pts 2 Démontrer que A, B, C, D sont coplanaires.
AB# »:
xB−xA yB−yA zB−zA
=
7−5 3−2 1−1
=
2 1 0
;# » AC:
−1−5 4−2 5−1
=
−6 2 4
; # » AD:
−3−5 3−2 5−1
=
−8 1 4
x# » AB+y# »
AC+z# » AD=#»
0 ⇐⇒ x
2 1 0
+y
−6 2 4
+z
−8 1 4
=
0 0 0
⇐⇒
2x−6y−8z = 0 x+ 2y+z = 0 4y+ 4z = 0
⇐⇒
x−3y−4z = 0 12L1←L1
x+ 2y+z = 0
y+z = 0 14L3←L3
⇐⇒
x−3y−4z = 0
5y+ 5z = 0 L2−L1←L2
y+z = 0
⇐⇒
x = 3y+ 4z y =−z
⇐⇒
x =z y =−z x= 1 donney=−1 etz= 1, ainsi
AB# »−# » AC+# »
AD=#»
0 ⇐⇒ # » AB=# »
AC−# » AD Comme# »
AB=# »
AC−AD, on peut affirmer que les 4 points# » A, B, CetDsont coplanaires.
1 pt 3 Les droites (AC) et (BD) sont -elles parallèles ? Justifier.
# » AC:
−6 2 4
et # »
BD:
−10 0 4
. Les vecteurs# »
ACet # »
BD ne sont pas colinéaires. En effet leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
−10
−6 ,0 2
Les droites (AC) et (BD) ne sontpas parallèles.
1 pt 4 Donner un représentation paramétrique de la droite (AB).
M
x y z
∈(AB) ⇐⇒ # »
AM=t# »
AB oùt∈R
⇐⇒
x−5 y−2 z−1
=t
2 1 0
oùt∈R
Une représentation paramétrique de (AB) est :
x= 5 + 2t y= 2 +t z= 1
1.5 pt 5 On note∆la droite de représentation partamétrique :
x= 1 +k y=−k oùk∈R z= 2 + 2k
(AB) et∆ne sont pas parallèles . En effet∆admet pour vecteur directeur le vecteur#»u
1
−1 2
et # »
AB
2 1 0
. 2
1 , 1
−1; donc les vecteurs#»u et # »
ABne sont pas colinéaires.
Ainsi (AB) et∆ne sont pas parallèles.
On résout alors :
1 +k= 5 + 2t
−k= 2 +t 2 + 2k= 1
⇐⇒
k=−1
2
t=−k−2 =12−2 =−3
2
1 +k= 1−1
2 =12 5 + 2t= 5 + 2
−3
2
= 5−3 = 2 Comme12,2, on peut affirmer que l’intersection de (AB) et∆est vide.
(AB) et∆sont non coplanaires.
Exercice 3 4 points
Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants :
ln 8 ; ln
1 4
; ln(16e) ; ln(
√ 2) 0.5 pt 1 ln 8 = ln
23
= 3 ln 2 0.5 pt 2 ln
1 4
=−ln 4 =−ln 22
= −2 ln 2 0.5 pt 3 ln(16e) = ln 16 + ln e = ln
24
+ 1 = 4 ln 2 + 1 0.5 pt 4 ln(
√ 2) = 1
2ln 2
ln 8 = 3 ln 2 ; ln 1
4
=−2 ln 2 ; ln(16e) = 4 ln 2 + 1 ; ln(
√ 2) = 1
2ln 2
2 pts ln(2x+ 1) + ln(x−3) = ln(x+ 5)
• x∈D ⇐⇒
2x+ 1>0 x−3>0 x+ 5>0
⇐⇒
x >−1
2
x >3 x >−5
⇐⇒ x >3
D=]3; +∞[
•
ln(2x+ 1) + ln(x−3) = ln(x+ 5) ⇐⇒ ln ((2x+ 1)(x+ 5)) = ln(x+ 5)
⇐⇒ (2x+ 1)(x−3) =x+ 5
⇐⇒ 2x2−5x−3 =x+ 5
⇐⇒ 2x2−6x−8 = 0
⇐⇒ x2−3x−4 = 0 En calculant∆, on trouvez que−1 et 4 sont solutions
• −1<Ddonc -1 n’est pas solution.
4∈Ddonc 4 n’est pas solution.
S={4}.
Exercice 4 0 point
Partie A : existence et unicité de la solution
1 f est une somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ : elle est donc dérivable sur ]0 ; +∞[ etf0(x) = 1 +1 x Comme on travaille sur ]0; +∞[ ; on ax >0 donc1
x>0 ainsi 1
x+ 1>1>0.
La fonctionf est donc strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
2 En appliquant le théorème de la bijection sur ]0 ; +∞[ : f est continue surI=]0 ; +∞[ (elle est dérivable surI) ; f est strictement croissante surI;
limx→0f(x) =−∞
xlim→+∞f(x) = +∞
doncf réalise une bijection de ]0 ; +∞[ sur ]− ∞; +∞[. Comme 0∈]− ∞; +∞[ l’équationf(x) = 0 admet une unique solutionαdansI
Ainsi l’équationf(x) = 0 admet une unique solutionαdans ]0 ; +∞[.
3 f 1
2
=1 2+ ln
1 2
=1
2−ln 2<0.
f(1) = 1 + ln 1 = 1 + 0 = 1>0.
On a :f 1
2
<0, f(1)>0 etf strictement croissante sur 1
2 ; 1
, donc 1
2 6α61.
Partie B : encadrement de la solutionα
1 Étude de quelques propriétés de la fonctiong.
a. gest une différence de fonctions dérivables sur ]0 ; +∞[ ; elle est donc dérivable et g0(x) = 1
5
4−1 x
=1 5
4x−1 x qui est du signe de 4x−1, donc négative sur
0 ; 1
4
et positive sur 1
4 ; +∞
. gest donc décroissante sur
0 ; 1
4
, puis croissante sur 1
4 ; +∞
. b. Sur l’intervalle
1 2; 1
, on vient de voir quegest croissante. Donc : 1
2 6x61⇒g 1
2
6g(x)6g(1).
Org 1
2
=2−ln12
5 =2 + ln 2
5 ≈0,53>0,5 etg(1) =4−ln 1
5 =4
5<1.
Conclusion :1
26x61⇒ 1
26g(x)61.
c. On a (E) :g(x) =x ⇐⇒ 4x−lnx
5 =x ⇐⇒ 4x−lnx= 5x ⇐⇒ x+ lnx= 0 ⇐⇒ f(x) = 0.
2 a. Initialisation :u0=1
2, on a vu queu1=g(u0)≈0,53.
Donc1
26u06u161.
Hérédité : supposons qu’il existep∈Ntel que 1
26up6up+161.
D’une part1
26up61⇒1 26g
up
61 soit1
26up+161.
D’autre part par croissance de la fonctiong: up6up+1⇒g
up
6g up+1
, soitup+16up+2. La démonstration par récurrence est achevée.
b. On vient donc de démontrer que la suite (un) croissante et majorée par 1 converge vers une limite`61.
On aun+1=g(un). La fonction étant continue sur 1
2 ; 1
, la limite`vérifie :`=g(`) c’est-à-dire d’après la question1. c.vérifiex+ lnx= 0 ⇐⇒ f(x) = 0, dont l’unique solution estα.
Conclusion : la suite (un) converge versα.
3 a. La calculatrice donneu10≈0,567 124 à 10−6près.
b. On admet que :
0,567 1246α6u10+ 5×10−4, soit 0,567 1246α60,567 524.
Donc au millième près : 0,5676α60,568.
