Sur une vieille tablette en bois

Sur une vieille tablette en bois

Problème D155 de Diophante

Sur une vieille tablette en bois, on trouve la trace d’un cercle (C) de diamètre AB. A partir d’un point P sur AB,ont été successivement dessinés :

- le cercle (C’) de diamètre AP ;

- le triangle isocèle de base PB et dont le sommet S au dessus de PB est sur le cercle (C) ;

- le cercle de centre O tangent à la fois au cercle (C), au cercle (C’) et au côté SP.

Il apparaît que OP est perpendiculaire au diamètre AB. Les calculs démontrant cette propriété ne sont plus lisibles. Faire la démonstration, si possible sans refaire les calculs.

Solution

Ci-contre, figurent : en noir, les cercles (C) et (C'), le centre I de (C), le diamètre AB et la droite SP ; en vert, le cercle de centre O et la tangente en P au cercle (C') ; en rouge, le milieu M de PB, la médiatrice de PB (qui coupe (C) en S et N), la tangente en B au cercle (C) (qui coupe SP en Q), la bissectrice de l'angle PQB (qui coupe la tangente en P au point J) et le cercle de centre J tangent aux droites QP et QB.

Montrons que le cercle rouge est tangent au cercle (C).

Plus précisément, en notant R le rayon du cercle (C), s la distance MB et a l'angle NAP (qui se retrouve en BMN et PQB), on observe que :

PJ = PQ = 2s / sin a NB = 2R sin a

s = NB sin a = 2R sin² a

Calculons IJ² = JP² + PJ² = (R – 2s)² + 4s² / sin² a

= R² – 4sR + 4S² + 4s² (2R/s) = R² + 4sR + 4S²

= (R + 2s)²

Ainsi IJ = R + 2s et le cercle de centre J est tangent au cercle (C).

Oui mais qu'en est-il du cercle vert ?

Il est l'inverse du cercle rouge dans l'inversion de centre P, qui permute A et B, qui conserve le cercle (C), les droites PS et PJ et qui permute (C') et la droite QB.

Ainsi le cercle vert, (initialement tangent aux cercles (C) et (C') et à la droite SB) étant l'inverse du cercle rouge, est centré en O sur PJ.