5-L'intérieur du Soleil

(1)

Version 2021 5 – L’intérieur du Soleil1

1.

Si on obtient 15 x 10⁶ J avec 5 kg, la quantité d’énergie qu’on peut obtenir avec 1,9885 x 10³⁰ kg est

6

30

36

15 10

1,9885 10 5

5,9655 10

E J kg

kg

J

= × ⋅ ×

= ×

La durée de vie du Soleil serait alors de

36 26 10

5,9655 10 3,828 10 1,558 10

493,8 t E

L

J W s ans

=

= ×

×

= ×

=

2.

Calculons l’énergie libérée par cette contraction. L’énergie gravitationnelle initiale est

3 2 g 2 U GM

= − R Alors que l’énergie finale est

3 2 g 2 U GM

′ = − R

′ La variation d’énergie de l’étoile est donc

(2)

( )

2 2

2

11 ² 30 2

² 11 11

40

1 2

1 3 3

2 2 2

3 1 1

4

3 1 1

6,674 10 2 1,9885 10

4 30 1, 496 10 0,1 1, 496 10

5, 27 10

g g

Nm kg

E U U

GM GM

R R

GM R R

kg m m

J

−

= ′ −

 

= − − − 

 ′ 

 

=  − ′

 

= ⋅ × ⋅ ⋅ × ⋅ − 

⋅ × ⋅ ×

 

= − ×

Si l’énergie gravitationnelle de l’étoile a baissé de 5,27 x 10⁴⁰ J, c’est que l’étoile a rayonné 5,27 x 10⁴⁰ J. La puissance rayonnée est donc de

22

28

5, 27 10

100 000 365, 25 24 60 60 1,671 10

43,7 P E

t

J W L

=

= ×

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ×

= ⊙

3.

L’énergie gravitationnelle est

3 2

2

g

U GM

= − R

Puisque la puissance est le rythme à lequel cette énergie change, on a

2

2 2

3 2 3 2 3 2 dUg

P dt

d GM

dt R

d GM dR

dR R dt

GM dR R dt

=

 

= − 

 

 

= − 

 

=

Selon le théorème du viriel, seulement la moitié de l’énergie est rayonnée. Cela veut dire que la puissance obtenue par la gravitation doit être de

(3)

26 26

2 3,828 10 7,656 10

P W

W

= ⋅ ×

= ×

On a donc

( )

2 26

2

11 ² 30 2

26 ²

8 2

7

7,656 10 3

2

6, 674 10 1,9885 10 7,656 10 3

2 6,957 10

9,361 10

Nm kg

m s

GM dR

W R dt

kg dR

W m dt

dR dt

−

× =

× ⋅ ×

× = ⋅ ⋅

×

= ×

Si on change les unités pour avoir de km par siècle, on arrive à

7 1 100 365, 25 24 60 60 9,361 10

1000 1 siècle

2,95

m s km siecle

dR km s

dt m

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= × ⋅ ⋅

=

4.

Trouvons premièrement le nombre de désintégrations par seconde dans le Soleil.

Comme il y a 1,9885 x 10³³ g dans le Soleil et qu’il y a 12 400 désintégrations par seconde dans un gramme, le nombre total de désintégrations par seconde est

33 37

1,9885 10 12400 2, 466 10

des g s des

s

N = × g⋅

= ×

Comme chaque désintégration donne 4,27 MeV, l’énergie libérée par seconde, qui est la luminosité, est

37 38

25

2, 466 10 4, 27 1,053 10

1,697 10

des MeV

s des

L

MeV W

= × ⋅

= ×

Ceci représente 4,4 % de sa luminosité actuelle.

5.

L’énergie libérée lors de la première étape est

(4)

( )

1,007 825 032 9

2,014 1 931,5

2 931,5

0,001548 286 31,5 1, 442

01 778

MeV

avant après u

MeV u MeV

u

Q m m

u u

u MeV

= − ⋅

= ⋅ − ⋅

= ⋅

=

L’énergie libérée lors de la deuxième étape est

( )

1,007 825

9

032 2,014 3

931,5

101 778 ,01 1

931,5 0,005 897 49 31,5

5,

9 4 4

6 02 31 9

9

MeV

avant après u

MeV u MeV

u

Q m m

u u

u MeV

u

= − ⋅

= + − ⋅

= ⋅

=

L’énergie libérée lors de la troisième étape est

( )

2 3,016 029 2

319 4,002 931,5

931,5 0,013 805 53 931,5

12,86

603 254 2 1,007 8 0

25 032

MeV

avant après u

MeV u MeV

u

Q m m

u MeV

u u u

⋅

= − ⋅

=

⋅ ⋅

−

= ⋅

−

6.

a) L’énergie libérée est

( )

931,5

3 4,002 603 254 12,000 000 000 931,5 0,007 809 762 931,5

7, 275

MeV

avant après u

MeV u MeV

u

Q m m

u u

u MeV

= − ⋅

= ⋅ − ⋅

= ⋅

= b) Le rendement est

6 19

27 13

7, 275 10 1,602 10 3 4,002 603 254 1,660 559 10 5,845 10

initiale

J kg

R E M

J kg

−

=

× ⋅ ×

= ⋅ ⋅ ×

= ×

(5)

Version 2021 5 – L’intérieur du Soleil5 c) Comme le Soleil est composé à 27,1 % d’hélium, la masse d’hélium dans le Soleil

est

30 29

0, 271 1,9885 10 5,389 10

mHe kg

kg

= ⋅ ×

= ×

L’énergie est donc

13 29

43

5,845 10 5,389 10 3,15 10

J kg

E R M

kg J

= ⋅

= × ⋅ ×

= ×

d) La durée de vie est

43 26

16 9

3,15 10 3,828 10 8, 228 10 2,61 10

E Pt

J W t

t s

t ans

=

× = × ⋅

= ×

Ce qui est 2,61 milliards d’années.

7.

a) La pression au centre est

( )

2

2 4

11 ² 30 2

9 4

13

3 8

3 6,674 10 10 10 8 2,324 10 2,73 10

centre

Nm kg

P GM

R

kg m Pa

π

−

=

⋅ × ⋅ ×

=

×

= ×

b) Le Soleil à densité constante a une pression centrale de 1,36 x 10¹⁴ Pa. Donc la pression par rapport à celle du Soleil est

13 14

2,73 10

0, 201 1,36 10

Pa Pa

× =

×

C’est donc 20,1% de la pression au centre du Soleil à densité constante.

c) La densité est

(6)

( )

4 3 3

30 9 3 43

³

10 10 2,324 10 190, 2_m^kg

M R

kg m

ρ π

π

=

= ×

×

=

d) Le Soleil à densité constante a une densité de 1418 kg/m³. Donc la densité par rapport à celle du Soleil est

³

190, 2

0,134 1418

kg m kg m

=

C’est donc 13,4% de la densité au centre du Soleil à densité constante.

e) Pour trouver la température, il nous faut la densité de moles n/V.

Avec une densité de 190,2 kg/m³, on a

³ 5

³

1625

1625 190, 2 3,09075 10

mol kg mol kg

kg m

mol m

n

V = ⋅ρ

= ⋅

= ×

Ainsi, la température au centre de cette étoile de densité constante serait de

13 5

³ 6

2,73 10 3,09075 10 8,31 10,6 10

mol J

m Kmol

P n RT V

Pa T

T K

 

= 

 

× = × ⋅ ⋅

= ×

f) Le Soleil à densité constante a une température de 7,10 x 10⁶ K. Donc la température par rapport à celle du Soleil est

6 6

7,10 10 10,6 10 1,50

K K

× =

×

La température est donc 1,5 fois plus grande.

(7)

8.

Le nombre de mole d’hydrogène dans 50% de la densité est

0,5 500

0,001

H mol

kg kg mol

n V

ρ ρ

= ⋅ = ⋅

Le nombre de mole d’hélium dans 40% de la densité est 0, 4 100 0,004

He mol

kg kg mol

n V

ρ ρ

= ⋅ = ⋅

Le nombre de mole de carbone dans 10% de la densité est

0,1 25

0,012 3

He mol

kg kg mol

n V

ρ ρ

= ⋅ = ⋅

Le nombre de mole d’électrons libres est donc

1 500 2 100 6 25 750

3

é mol mol mol mol

kg kg kg kg

n

V = ⋅ ⋅ + ⋅ρ ⋅ + ⋅ρ ⋅ρ = ⋅ρ Le nombre total de mole par unité de volume est donc de

500 100 25 750

3 1358,3

mol mol mol mol

kg kg kg kg

mol kg

n

V ρ ρ ρ ρ

ρ

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅

9.

a) L’intensité est

² ³

0

0,05 2 50

²

3

²

1

6, 74 10

m kg kg m

k x W m m

W m

I I e e

ρ

−

− ⋅ ⋅

−

=

= ⋅

= ×

b) Le libre parcours moyen est

(8)

² ³

1 1 0,05 2 10

m kg

kg m

k

m λ⁼ ρ

= ⋅

=

10.

_{On a}

( )

³

0

1,3 1000

0 0

1,3 1000

³ 4 ²

0,5 0,5

ln 0,5 1,3 1000

5,33 10

kg m

k x

k m

kg m

m kg

I I e I I e

e

k m

k

ρ

−

− ⋅ ⋅

−

=

= − ⋅ ⋅

= ×

11.

a) n/V est

³ 8

³

1625

1625 152900 2, 485 10

mol kg mol kg

kg m

mol m

n

V = ⋅ρ

= ⋅

= ×

La pression est donc

8 6

³ 16

2, 485 10 8,31 15,67 10 3, 24 10

mol J

m Kmol

P n RT V

K Pa

 

= 

 

= × ⋅ ⋅ ×

= ×

b) La pression calculée est 1,34 fois plus grande que la pression selon le modèle. C’est qu’à de telles densités, on ne peut plus considérer que le gaz est parfait et il faudrait faire des corrections à la formule. En fait, la formule des gaz parfaits donnent de bons résultats pour r > 0,2R^A (pression aux alentours de 4 x 10¹⁵ Pa). Puis à mesure qu’on s’approche du centre, les valeurs divergent de plus en plus de ce que donne la loi des gaz parfaits.

(9)

12.

a) La pression au centre est

( )

2

2 4

11 ² 30 2

9 4

15

21

6,674 10 10 10

21 2,324 10

4,80 10

centre

Nm kg

P GM

R

kg m

Pa

−

≈

× ⋅ ×

≈ ⋅

×

≈ ×

b) Le Soleil a une pression centrale de 2,4 x 10¹⁶ Pa. Donc la pression par rapport à celle du Soleil est

15 16

4,8 10

0, 20 2, 4 10

Pa Pa

× =

×

C’est donc 20 % de la pression au centre du Soleil.

c) La température est

2 2

5

11 30

5

9 7

8, 2 10

6,674 10 10 10 8, 2 10

2,324 10 2,355 10

kgK

centre J

Nm kg kgK

J

T GM

R

kg m

K

−

− ⋅

= × ⋅

× ⋅ ×

= × ⋅

×

= ×

C’est 23,55 millions de K.

d) Le Soleil a une température de 15,67 x 10⁶ K. Donc la température par rapport à celle du Soleil est

6 6

23,55 10 15,67 10 1,50

K K

× =

×

La température est donc 1,5 fois plus grande.

e) On trouve n/V avec

(10)

15 7

7

³

4,8 10 8,31 2,34 10

2, 47 10

J Kmol

mol m

P n RT V

Pa n K

V n V

 

= 

 

 

× = ⋅ ⋅ ×

 

= ×

Alors la densité est

7

³

1625 2, 47 10 1625

15200

mol kg

mol mol

m kg

kg m

n

V ρ

ρ ρ

= ⋅

× = ⋅

=

f) Le Soleil a une densité de 152 900 kg/m³. Donc la densité par rapport à celle du Soleil est

³

15200

0,0955 152 900

kg m

=

C’est donc 9,55 % de la densité au centre du Soleil.

13.

a) On sait que le rythme sont

4

Rythme de fusion_PP =k T1 19,9

Rythme de fusion_CNO =k T2

De plus, on sait qu’il y a égalité à 18,5 millions de kelvins. On a donc

( )

7 19,9 2

7 4 1

7 15,9 2

1

1,85 10 1 1,85 10

1,85 10

k K

k

−

= ×

×

= ×

Pour avoir un rythme 2 fois plus grand, on doit avoir

(11)

( )

19,9 2

4 1

15,9 19,9 7

4

7 15,9 15,9

15,9 7

7

2 2 1,85 10

2 1,85 10 2 1,85 10

1,85 10 2 1,932 10

k T k T

K T

T

K T

T K T

K

T K

−

=

= × ⋅

 

= 

 × 

× =

= ×

C’est 19,32 millions de kelvins.

b) À 15 670 000 K, on a

4

Rythme de fusion_PP =k T1 19,9

Rythme de fusion_CNO =k T2

Le rythme de fusion totale est

4 19,9

1 2

Rythme de fusion total=k T +k T La proportion provenant de la réaction PP est donc

2 1

4 1

4 19,9

1 2

15,9

Rythme de fusion Rythme de fusion total

1 1

PP

k k

k T k T k T

T

= +

= + Avec les valeurs on obtient

(12)

( ) ( )

( )

2 1

7 7

15,9

15,9 15,9

7 7

1,567 10 15,9 1,85 10

1,567 15,9 1,85

Rythme de fusion 1 Rythme de fusion total 1

1

1 1,85 10 1,567 10 1

1 1 1 0,933

PP

k k

K K

T

K ⁻ K

×

= +

=

+ × ⋅ ×

= +

=

Ainsi, 93,3 % de l’énergie provient de la réaction PP. Il reste donc 6,7 % pour le cycle CNO.

14.

À 15 millions de kelvins, on a

23 16

1,38065 10 15 000 000 2, 071 10

1, 293

J

kT K K

J keV

−

= × ⋅

= ×

= Avec cette valeur, l’intégrale

( )

2

1

3/2

1,084 3/2

E E

kT tot

E

N keV N E e dE

kT

=



−

devient

( )

2

1 2

1

3/2 1,293

3/2

1,293

1,084

1, 293 0,7676

E E

keV tot

E

E E

keV tot

E

N keV N E e dE

keV

N E e dE

−

=

= ⋅



Avec les bornes, on obtient

11

1,293 3

0,7676

E keV

N Ntot E e dE

−

=



⋅

(13)

Version 2021 5 – L’intérieur du Soleil13 Le code pour cette intégrale sur wolfram est

integrate (x^0.5*exp(-x/1.293)) from 3 to 11

Cette intégrale vaut 0,2598.

On a donc

0,7676 0, 2598 0,1994

tot tot

N N

N

= ⋅

=

Donc, 19,9 % des particules ont une énergie entre 3 et 11 keV.