Enoncé D237 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Supposons que les 3 diagonales AD, BE, CF ne soient pas concourantes. AD et BE se coupent en K, BE et CF en I, CF et AD en J. Quitte à échanger Aet D, B et E, C et F, je peux supposer que K est entre I et B, ainsi qu'entre J et A.
En retirant des quadrilatères ABCD et BCDE, de même aire moitié de celle de l'hexagone, la partie commune BCDK, j'obtiens deux triangles ABK et DEK de même aire. Ayant même angle en K, l'égalité des aires entraîne KA.KB = KD.KE.
De même JA.JF = JC.JD et IB.IC = IE.IF.
On a alors IB.IC.JA.JF = IE.IF.JC.JD < KE.JF.IC.KD = IC.JF.KA.KB < IC.JF.JA.IB les inégalités résultant des positions respectives de I, J, K sur les diagonales.
D'où inégalité stricte entre les membres extrêmes, qui sont identiques : cette contradiction montre que les points I, J, K ne peuvent pas être distincts, CQFD.
