PanaMaths
[ 1-2 ]Juin 2013
Soit Γ la courbe paramétrée définie par :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
cosh sinh
M 2cosh
x t t t t
t y t t
= − ×
=
Calculer la longueur de l’arc M 0 M
q( ) ( ) t .
Analyse
Exercice direct d’application du cours. A partir des coordonnées du vecteur dOM dt JJJJG
, on obtient facilement sa norme dOM
dt JJJJG
et il convient alors d’effectuer un calcul intégral.
Résolution
On a immédiatement :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
' 1 sinh cosh OM
' 2sinh
x t t t
d
y t t
dt
= − −
= JJJJG
soit, en tenant compte de la relation cosh2
( )
t −sinh2( )
t =1 :( ) ( )
( ) ( )
' 2sinh2
OM
' 2sinh
x t t
d
y t t
dt
= −
= JJJJG
.
Il vient alors :
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )
( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
( ( ) )
2
2 2 2 2 2
4 2 2 2
2 2 2
2
OM ' ' 2 sinh 2 sinh
4 sinh sinh 4 sinh sinh 1
4sinh cosh 2 sinh cosh
sinh 2
d x t y t t t
dt
t t t t
t t t t
t
= + = − +
= + = +
= =
= JJJJG
Finalement : dOM sinh 2
( )
tdt = JJJJG
.
PanaMaths
[ 2-2 ]Juin 2013
En notant l
(
M 0 Mq( ) ( )
t)
la longueur de l’arc M 0 Mq( ) ( )
t , il vient alors :( ) ( )
(
q) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( )
( )
0 0 0
0
2
2
M 0 M OM sinh 2 sinh 2
1 1 1
cosh 2 cosh 2 cosh 0
2 2 2
1 1
cosh 2 1 2sinh
2 2
sinh
t t t
t
l t d du u du u du
du
u t
t t
t
= = =
⎡ ⎤
= ⎢⎣ ⎥⎦ = −
= − = ×
=
∫ ∫ ∫
JJJJG
Pour la courbe paramétrée définie par :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
cosh sinh
M 2 cosh
x t t t t
t y t t
= −
=
la longueur l
(
M 0 Mq( ) ( )
t)
de l’arc M 0 Mq( ) ( )
t vaut :( ) ( )
(
M 0 Mq)
sinh2( )
l t = t
Complément
A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation de l’arc Γ (en bleu).
