6GT Math 4h Avril 2020
Mathématique – 6 ème GT 4h – Travail 2 - Géométrie analytique
Chers élèves,
Tout d’abord, nous espérons que vous allez bien et que votre entourage est aussi épargné par la maladie. Comme nous ne pouvons vous retrouver physiquement au sein de notre école, nous vous envoyons un nouveau travail pour vous accompagner pédagogiquement pendant ce confinement.
Vous trouverez ci-après différents exercices qui vous permettront de revoir la matière de géométrie analytique et également de vous entraîner à bien en maîtriser les notions.
Les solutions finales sont également mises à votre disposition.
Si vous avez la moindre question, n’hésitez pas (vraiment) à nous contacter via notre adresse mail du Collège : [email protected] ; [email protected] ; [email protected]. Nous sommes disponibles et nous ferons de notre mieux pour y répondre.
Aussi, chacun de nous vous enverra un mail sur votre adresse du Collège pour reprendre un contact plus « personnel » avec vous, avoir de vos nouvelles et ainsi maintenir un accompagnement davantage social et humain.
Prenez bien soin de vous et restez bien chez vous. Nous pensons bien fort à vous.
A bientôt en forme,
C. Badot, P. Boufflette, A. Noël
Chapitre 4 : Géométrie analytique de l’espace
1) Dans un RON, on donne les points ; ; .
a) recherche et écris l’équation vectorielle, des équations paramétriques et des équations cartésiennes de la droite .
b) recherche et écris l’équation vectorielle, des équations paramétriques et une équation cartésienne du plan .
2) Ecris une équation cartésienne du plan passant par le point et de vecteur normal
.
3) Détermine une équation cartésienne du plan passant par le point et parallèle au plan .
4) Détermine une équation cartésienne du plan passant par le point et perpendiculaire à la droite de vecteur directeur .
5) Vérifie que la droite
est parallèle au plan .
6) Quelle valeur faut-il donner à pour que les plans et soient parallèles ?
7) Quelle valeur faut-il donner à pour que les droites
et
soient orthogonales?
8) Donne un système d’équations cartésiennes de la droite comprenant le point et perpendiculaire au plan .
6GT Math 4h Avril 2020 9) Détermine un vecteur directeur de la droite
.
10) Détermine les coordonnées du point de percée de la droite passant par les points et dans le plan .
11) On donne un plan et une droite . La droite perce-t-elle le plan ? En quel point ?
12) Détermine la position relative des droites
et
.
13) On donne un tétraèdre TRUC et un repère de l’espace comme le propose le dessin ci- dessous :
a) Ecris les coordonnées des sommets de ce tétraèdre ainsi que celles des points , , et milieux respectifs de , , et .
b) Trouve des équations paramétriques de la droite . c) Cherche une équation cartésienne du plan . d) Cherche l’intersection du plan avec
1) l’axe 2) le plan (appelé aussi plan )
Solutions
1.
Equation vectorielle
Equations cartésiennes :
2.
3.
est aussi un vecteur normal de
4. . En particulier, .
Ensuite, il faut utiliser le point donné pour trouver le terme indépendant de l’équation cartésienne du plan.
5.
6.
Il faut ensuite développer les composantes des vecteurs directeurs et résoudre le système.
doit être égal à pour que les deux plans soient parallèles.
7.
doit être égal à pour que les deux droites soient orthogonales.
8. . En particulier, .
Ainsi, on peut écrire les équations paramétriques de la droite
.
On obtient alors un système d’équations cartésiennes :
6GT Math 4h Avril 2020 9.
Pour déterminer le vecteur directeur, il faut réécrire les équations paramétriques de la droite. Pour cela, nous posons et nous résolvons le système jusqu’à obtenir les valeurs de et .
On obtient
ce qui s’écrit aussi
où
Donc, le vecteur directeur de la est le vecteur
.
10. Rechercher d’abord des équations paramétriques de la droite (droite ) :
où
Calculer l’intersection de la droite et du plan en résolvant le système composé des équations respectives de la droite et du plan.
Le point de percée de la droite dans le plan est le point .
11. Calculer l’intersection de la droite et du plan en résolvant le système (3 équations à 3 inconnues) composé des équations respectives de la droite et du plan.
Le point de percée de la droite dans le plan est le point
. 12.
et .
Vous devez ensuite examiner le parallélisme et l’orthogonalité des deux droites : - Les droites ne sont pas parallèles (vecteurs directeurs pas multiples)
- Les droites ne sont pas orthogonales ( ).
Pour terminer, vous calculez l’intersection des deux droites (résoudre le système avec leurs équations) pour déterminer si elles sont sécantes ou gauches.
Ecrire d’abord des équations cartésiennes de la droite Calculer l’intersection des deux droites en résolvant le système composé des équations paramétriques de et des équations cartésiennes de . Après avoir obtenu deux valeurs différentes pour le paramètre , on conclut que les deux droites ne possède pas d’intersection. ou
Conclusion : les deux droites sont gauches.
14.
d) 1) Pas d’intersection 2) L’intersection est une droite
